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1. 下列说法中正确的个数为 （
① 不可能事件发生的概率为0；② 必然事件可能发生也可能不发生；③ 在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值.
A.0
B.1
C.2
D.3
频率|
C
）① 不可能事件发生的概率为0；② 必然事件可能发生也可能不发生；③ 在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值.
A.0
B.1
C.2
D.3
频率|
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查概率相关基础概念的辨析，解题时需逐个判断3个说法的正误：首先回忆不可能事件、必然事件的概率特征，再回忆用频率估计概率的适用条件，统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
我们对三个说法逐一分析：
① 不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件，其发生的概率为0，该说法正确；
② 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，并非可能发生也可能不发生（可能发生也可能不发生的是随机事件），该说法错误；
③ 根据用频率估计概率的原理，在相同条件下，当试验的次数足够多时，频率会稳定在概率附近，因此频率可以作为概率的估计值，该说法正确。
综上，正确的说法是①③，共2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
概率基本概念；用频率估计概率
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对事件分类对应的概率特点、频率与概率的联系这两个核心知识点的记忆和理解，是概率模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查概率相关基础概念的辨析，解题时需逐个判断3个说法的正误：首先回忆不可能事件、必然事件的概率特征，再回忆用频率估计概率的适用条件，统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
我们对三个说法逐一分析：
① 不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件，其发生的概率为0，该说法正确；
② 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，并非可能发生也可能不发生（可能发生也可能不发生的是随机事件），该说法错误；
③ 根据用频率估计概率的原理，在相同条件下，当试验的次数足够多时，频率会稳定在概率附近，因此频率可以作为概率的估计值，该说法正确。
综上，正确的说法是①③，共2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
概率基本概念；用频率估计概率
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对事件分类对应的概率特点、频率与概率的联系这两个核心知识点的记忆和理解，是概率模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 一个不透明的袋子中装有9个白球和若干个黑球，这些球除颜色外无其他差别. 小明有放回地随机摸取，每次摸取一球、记录结果，绘制白球出现的频率折线图如图所示，由此可估计袋子中有
21
个黑球. 答案
2. 21
解析
【分析】
解决本题首先要利用频率估计概率的知识点：当大量重复试验时，某一事件发生的频率会逐渐稳定在对应的概率附近。第一步先观察折线图，发现随着摸球次数增加，白球出现的频率稳定在0.3附近，由此可估计摸到白球的概率为0.3；第二步根据概率公式“某事件概率=对应情况数÷总情况数”，已知白球个数和摸到白球的概率，可求出袋子中球的总个数；第三步用总球数减去白球个数，就能得到黑球的数量。
【解析】
观察频率折线图可知，随着摸球次数的增加，白球出现的频率稳定在0.3附近，因此估计从袋子中摸到白球的概率为0.3。
根据概率公式，袋子中球的总个数为：$9÷0.3=30$（个）
则黑球的个数为：$30-9=21$（个）
【答案】
21
【知识点】
用频率估计概率；概率公式
【点评】
本题将统计折线图与概率计算相结合，核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，解题的关键是从折线图中提取出频率的稳定值，再结合概率公式完成计算，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要利用频率估计概率的知识点：当大量重复试验时，某一事件发生的频率会逐渐稳定在对应的概率附近。第一步先观察折线图，发现随着摸球次数增加，白球出现的频率稳定在0.3附近，由此可估计摸到白球的概率为0.3；第二步根据概率公式“某事件概率=对应情况数÷总情况数”，已知白球个数和摸到白球的概率，可求出袋子中球的总个数；第三步用总球数减去白球个数，就能得到黑球的数量。
【解析】
观察频率折线图可知，随着摸球次数的增加，白球出现的频率稳定在0.3附近，因此估计从袋子中摸到白球的概率为0.3。
根据概率公式，袋子中球的总个数为：$9÷0.3=30$（个）
则黑球的个数为：$30-9=21$（个）
【答案】
21
【知识点】
用频率估计概率；概率公式
【点评】
本题将统计折线图与概率计算相结合，核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，解题的关键是从折线图中提取出频率的稳定值，再结合概率公式完成计算，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
3. 在抛硬币实验中，抛10 000次，正面出现的频率是0.5，这是 （
A.确定的
B.可能的
C.不可能的
D.不太可能的
B
）A.确定的
B.可能的
C.不可能的
D.不太可能的
答案
3. B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先明确抛均匀硬币时，正面朝上的理论概率是0.5；第二步，理清频率和概率的联系与区别：大量重复试验中，事件的频率会稳定在概率附近，频率是实际试验的结果，具有随机性，既可以接近概率，也可能恰好等于概率；第三步，结合题意判断：抛10000次属于大量试验，正面频率为0.5是符合规律的，对应选出正确选项即可。
【解析】
我们知道，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的理论概率为0.5。频率是实际试验中，事件发生次数与总试验次数的比值，在大量重复试验中，频率会在概率附近随机波动，也存在恰好等于概率的情况。
抛10000次属于大量重复试验，因此出现正面的频率为0.5是可能发生的情况，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 频率与概率的关系
2. 用频率估计概率
【点评】
本题主要考查对频率和概率概念的理解，要注意区分理论概率的固定性和试验频率的随机性，明确大量重复试验中频率只是稳定在概率附近，并不是必须等于概率，也不是不可能等于概率。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，先明确抛均匀硬币时，正面朝上的理论概率是0.5；第二步，理清频率和概率的联系与区别：大量重复试验中，事件的频率会稳定在概率附近，频率是实际试验的结果，具有随机性，既可以接近概率，也可能恰好等于概率；第三步，结合题意判断：抛10000次属于大量试验，正面频率为0.5是符合规律的，对应选出正确选项即可。
【解析】
我们知道，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的理论概率为0.5。频率是实际试验中，事件发生次数与总试验次数的比值，在大量重复试验中，频率会在概率附近随机波动，也存在恰好等于概率的情况。
抛10000次属于大量重复试验，因此出现正面的频率为0.5是可能发生的情况，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 频率与概率的关系
2. 用频率估计概率
【点评】
本题主要考查对频率和概率概念的理解，要注意区分理论概率的固定性和试验频率的随机性，明确大量重复试验中频率只是稳定在概率附近，并不是必须等于概率，也不是不可能等于概率。
【难度系数】
0.8
4. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外无其他差别. 经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的数量约为
15
.答案
4. 15
解析
【分析】
解题时首先要用到频率估计概率的原理：大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个数值附近，这个数值就可以作为该事件发生概率的估计值。据此我们可得到摸到黑球的概率为0.25；接下来设红球数量为x个，可表示出球的总数量为(x+5)个，再结合“概率=所求情况数÷总情况数”的公式列方程，解方程即可求出红球数量。
【解析】
设盒子中红球的数量约为$x$个。
∵多次摸球试验后摸到黑球的频率稳定在0.25左右
∴摸到黑球的概率约为0.25
根据概率计算公式列方程得：
$\frac{5}{x+5}=0.25$
解方程：
$x+5=5÷0.25$
$x+5=20$
$x=15$
检验：当$x=15$时，$x+5=20≠0$，因此$x=15$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
15
【知识点】
频率估计概率；概率计算公式
【点评】
本题是概率应用的典型基础题，解题关键是理解频率和概率的关系，结合概率公式列方程求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先要用到频率估计概率的原理：大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个数值附近，这个数值就可以作为该事件发生概率的估计值。据此我们可得到摸到黑球的概率为0.25；接下来设红球数量为x个，可表示出球的总数量为(x+5)个，再结合“概率=所求情况数÷总情况数”的公式列方程，解方程即可求出红球数量。
【解析】
设盒子中红球的数量约为$x$个。
∵多次摸球试验后摸到黑球的频率稳定在0.25左右
∴摸到黑球的概率约为0.25
根据概率计算公式列方程得：
$\frac{5}{x+5}=0.25$
解方程：
$x+5=5÷0.25$
$x+5=20$
$x=15$
检验：当$x=15$时，$x+5=20≠0$，因此$x=15$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
15
【知识点】
频率估计概率；概率计算公式
【点评】
本题是概率应用的典型基础题，解题关键是理解频率和概率的关系，结合概率公式列方程求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 从一个不透明的袋子中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知袋子中仅有10个黑球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别，由此估计袋子中有
20
个白球。答案
5. 20
解析
【分析】
当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此可以用摸到黑球的频率估计黑球在总球数中所占的比例。解题步骤如下：①先根据试验数据计算摸到黑球的频率；②设白球的个数为未知数，结合黑球的概率公式（黑球个数÷总球数=黑球概率）列方程；③求解方程并检验得到白球的数量。
【解析】
解：首先计算摸到黑球的频率：
摸球总次数为150次，摸到黑球50次，因此摸到黑球的频率为$\frac{50}{150}=\frac{1}{3}$。
大量重复试验中，频率可近似等于概率，因此可估计从袋中摸出1个球是黑球的概率为$\frac{1}{3}$。
设袋子中有$x$个白球，则袋中球的总个数为$(10+x)$个，根据概率公式可得：
$\frac{10}{10+x}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：$10+x=30$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$10+x=30≠0$，所以$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率计算公式
【点评】
本题是概率在实际估算问题中的应用，核心是掌握“大量重复试验下频率的稳定值即为事件概率”这一规律，再结合概率公式列方程求解即可，解题时注意要对方程的解进行合理性检验。
【难度系数】
0.8
当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此可以用摸到黑球的频率估计黑球在总球数中所占的比例。解题步骤如下：①先根据试验数据计算摸到黑球的频率；②设白球的个数为未知数，结合黑球的概率公式（黑球个数÷总球数=黑球概率）列方程；③求解方程并检验得到白球的数量。
【解析】
解：首先计算摸到黑球的频率：
摸球总次数为150次，摸到黑球50次，因此摸到黑球的频率为$\frac{50}{150}=\frac{1}{3}$。
大量重复试验中，频率可近似等于概率，因此可估计从袋中摸出1个球是黑球的概率为$\frac{1}{3}$。
设袋子中有$x$个白球，则袋中球的总个数为$(10+x)$个，根据概率公式可得：
$\frac{10}{10+x}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：$10+x=30$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$10+x=30≠0$，所以$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率计算公式
【点评】
本题是概率在实际估算问题中的应用，核心是掌握“大量重复试验下频率的稳定值即为事件概率”这一规律，再结合概率公式列方程求解即可，解题时注意要对方程的解进行合理性检验。
【难度系数】
0.8
6. 如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个边长为20 cm的正方形内，将米粒随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在0.35附近，由此估计该“福”字的面积为
（第6题）
140
cm²。（第6题）答案
6. 140
解析
【分析】
本题是概率在实际测量中的应用问题，解题思路如下：首先，根据大量重复试验中频率稳定于概率的规律，可确定米粒落在“福”字区域的概率约为0.35；其次，几何概率的计算规则是：某区域发生事件的概率=该区域的面积÷总区域的面积；最后，我们先算出正方形的总面积，再结合概率公式反推即可求出“福”字的估计面积。
【解析】
首先计算边长为20cm的正方形的面积：
$S_{\mathrm{正方形}} = 20 × 20 = 400 \, \mathrm{cm}^2$
已知大量重复试验后，米粒落在“福”字区域的频率稳定在0.35附近，因此米粒落在“福”字区域的概率约为0.35。
设“福”字的面积为$S$，根据几何概率公式可得：
$\frac{S}{S_{\mathrm{正方形}}} = 0.35$
代入正方形面积求解：
$S = 0.35 × 400 = 140 \, \mathrm{cm}^2$
【答案】
140
【知识点】
频率估计概率；几何概率计算
【点评】
本题属于概率应用的基础题型，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，结合几何概率的面积占比规律即可快速求解，体现了概率在实际测量中的实用价值。
【难度系数】
0.8
本题是概率在实际测量中的应用问题，解题思路如下：首先，根据大量重复试验中频率稳定于概率的规律，可确定米粒落在“福”字区域的概率约为0.35；其次，几何概率的计算规则是：某区域发生事件的概率=该区域的面积÷总区域的面积；最后，我们先算出正方形的总面积，再结合概率公式反推即可求出“福”字的估计面积。
【解析】
首先计算边长为20cm的正方形的面积：
$S_{\mathrm{正方形}} = 20 × 20 = 400 \, \mathrm{cm}^2$
已知大量重复试验后，米粒落在“福”字区域的频率稳定在0.35附近，因此米粒落在“福”字区域的概率约为0.35。
设“福”字的面积为$S$，根据几何概率公式可得：
$\frac{S}{S_{\mathrm{正方形}}} = 0.35$
代入正方形面积求解：
$S = 0.35 × 400 = 140 \, \mathrm{cm}^2$
【答案】
140
【知识点】
频率估计概率；几何概率计算
【点评】
本题属于概率应用的基础题型，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，结合几何概率的面积占比规律即可快速求解，体现了概率在实际测量中的实用价值。
【难度系数】
0.8
7. 某数学兴趣小组为调查市民骑电动车佩戴头盔的情况，连续6天在同一路口选择相同时段进行了调查，将所得数据整理成下表，根据数据估计骑电动车经过该路口的市民佩戴头盔的概率为
0.95
（结果精确到0.01）。答案
7. 0.95
解析
【分析】
要估计骑电动车市民佩戴头盔的概率，需用到用频率估计概率的知识：当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。解题时既可以直接观察给出的频率的波动规律，找到稳定的数值，也可以通过计算6天总佩戴人数和总电动车数量的比值，用总频率估计概率。
【解析】
解法一：观察表格中6天的自觉佩戴头盔频率，分别为0.95、0.94、0.95、0.96、0.95、0.95，所有频率都在0.95附近波动，根据频率估计概率的原理，可估计佩戴头盔的概率为0.95。
解法二：先计算6天经过路口的电动自行车总数量：
$180+230+300+260+240+280=1490$（辆）
再计算6天自觉佩戴头盔的总人数：
$171+216+285+250+228+266=1416$（人）
总频率为$\frac{1416}{1490}\approx0.95$，因此估计佩戴头盔的概率为0.95。
【答案】
0.95
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题结合生活实际考查概率的应用，解题的核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，题目难度较低，贴合生活场景。
【难度系数】
0.9
要估计骑电动车市民佩戴头盔的概率，需用到用频率估计概率的知识：当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。解题时既可以直接观察给出的频率的波动规律，找到稳定的数值，也可以通过计算6天总佩戴人数和总电动车数量的比值，用总频率估计概率。
【解析】
解法一：观察表格中6天的自觉佩戴头盔频率，分别为0.95、0.94、0.95、0.96、0.95、0.95，所有频率都在0.95附近波动，根据频率估计概率的原理，可估计佩戴头盔的概率为0.95。
解法二：先计算6天经过路口的电动自行车总数量：
$180+230+300+260+240+280=1490$（辆）
再计算6天自觉佩戴头盔的总人数：
$171+216+285+250+228+266=1416$（人）
总频率为$\frac{1416}{1490}\approx0.95$，因此估计佩戴头盔的概率为0.95。
【答案】
0.95
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题结合生活实际考查概率的应用，解题的核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，题目难度较低，贴合生活场景。
【难度系数】
0.9
