登录
8. 一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外无其他差别，某数学兴趣小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是
（2）估计该不透明的袋子中有红球
（3）现从该袋子中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好“摸到1个白球，1个红球”的概率。
（1）摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是
0.33
（精确到0.01）；（2）估计该不透明的袋子中有红球
2
个；（3）现从该袋子中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好“摸到1个白球，1个红球”的概率。
答案
8.（1）0.33 （2）2 （3）表格略. 共有6种等可能结果,其中,“摸到1个白球,1个红球”的结果有4,P(摸到1个白球,1个红球)=$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
（1）根据频率的稳定性规律：当重复试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在对应概率的附近，观察表格中随摸球次数增大的频率数值，即可找到稳定的常数。
（2）利用频率估计概率得到摸到白球的概率，结合概率公式“某事件概率=该事件对应情况数÷总情况数”，设红球个数为未知数列式求解即可。
（3）先明确袋子中球的种类和数量，用列表法列出摸2个球的所有等可能结果，找到符合“1个白球、1个红球”的结果数，再代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）观察表格中摸到白球的频率，随着摸球次数从200增加到2000，频率逐渐稳定在0.33附近，因此这个常数是0.33。
（2）设袋子中有红球$x$个，由频率估计概率可知，摸到白球的概率约为0.33，根据概率公式得：
$\frac{1}{1+x}\approx0.33$
解得$x\approx2$，经检验符合实际意义，因此红球有2个。
（3）将1个白球记为$白$，2个红球分别记为$红\_\_\_\_\_\_1$、$红\_\_\_\_\_\_2$，列表如下：
| 第一次\第二次 | 白 | $红\_\_\_\_\_\_1$ | $红\_\_\_\_\_\_2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | / | （白，$红\_\_\_\_\_\_1$） | （白，$红\_\_\_\_\_\_2$） |
| $红\_\_\_\_\_\_1$ | （$红\_\_\_\_\_\_1$，白） | / | （$红\_\_\_\_\_\_1$，$红\_\_\_\_\_\_2$） |
| $红\_\_\_\_\_\_2$ | （$红\_\_\_\_\_\_2$，白） | （$红\_\_\_\_\_\_2$，$红\_\_\_\_\_\_1$） | / |
由列表可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球、1个红球的结果有4种，
因此$P(摸到1个白球，1个红球)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
（1）$\boxed{0.33}$；（2）$\boxed{2}$；（3）$\boxed{\frac{2}{3}}$
【知识点】
频率估计概率，概率公式，列表法求概率
【点评】
本题考查概率的实际应用，既需要理解频率和概率的关系，会用大量重复试验的频率估计概率，也需要掌握列举法求概率的方法，能准确不重不漏地列出所有等可能结果。
【难度系数】
0.7
（1）根据频率的稳定性规律：当重复试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在对应概率的附近，观察表格中随摸球次数增大的频率数值，即可找到稳定的常数。
（2）利用频率估计概率得到摸到白球的概率，结合概率公式“某事件概率=该事件对应情况数÷总情况数”，设红球个数为未知数列式求解即可。
（3）先明确袋子中球的种类和数量，用列表法列出摸2个球的所有等可能结果，找到符合“1个白球、1个红球”的结果数，再代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）观察表格中摸到白球的频率，随着摸球次数从200增加到2000，频率逐渐稳定在0.33附近，因此这个常数是0.33。
（2）设袋子中有红球$x$个，由频率估计概率可知，摸到白球的概率约为0.33，根据概率公式得：
$\frac{1}{1+x}\approx0.33$
解得$x\approx2$，经检验符合实际意义，因此红球有2个。
（3）将1个白球记为$白$，2个红球分别记为$红\_\_\_\_\_\_1$、$红\_\_\_\_\_\_2$，列表如下：
| 第一次\第二次 | 白 | $红\_\_\_\_\_\_1$ | $红\_\_\_\_\_\_2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | / | （白，$红\_\_\_\_\_\_1$） | （白，$红\_\_\_\_\_\_2$） |
| $红\_\_\_\_\_\_1$ | （$红\_\_\_\_\_\_1$，白） | / | （$红\_\_\_\_\_\_1$，$红\_\_\_\_\_\_2$） |
| $红\_\_\_\_\_\_2$ | （$红\_\_\_\_\_\_2$，白） | （$红\_\_\_\_\_\_2$，$红\_\_\_\_\_\_1$） | / |
由列表可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球、1个红球的结果有4种，
因此$P(摸到1个白球，1个红球)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
（1）$\boxed{0.33}$；（2）$\boxed{2}$；（3）$\boxed{\frac{2}{3}}$
【知识点】
频率估计概率，概率公式，列表法求概率
【点评】
本题考查概率的实际应用，既需要理解频率和概率的关系，会用大量重复试验的频率估计概率，也需要掌握列举法求概率的方法，能准确不重不漏地列出所有等可能结果。
【难度系数】
0.7
9. 某景点为吸引游客，设置了一项游戏，规则如下：在一个不透明的纸箱中装有2个红球和若干个白球，参与游戏的游客从纸箱中随机摸出一个球，这些球除颜色外无其他差别。摸到红球则可免费获得1个景点吉祥物。据统计，参与这种游戏的游客共有60 000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15 000个。
（1）估计参与该游戏可免费得到景点吉祥物的概率；
（2）估计纸箱中白球的数量。
（1）估计参与该游戏可免费得到景点吉祥物的概率；
（2）估计纸箱中白球的数量。
答案
9.（1）P(免费得到景点吉祥物)=$\frac{1}{4}$ （2）6个
解析
【分析】
（1）大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以用摸到红球的频率来估计获得吉祥物的概率，计算时用发放吉祥物的总数量除以参与游戏的总人数即可。
（2）已知摸到红球的概率，结合概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”，设白球数量为未知数，列方程求解即可得到白球的估计数量。
【解析】
（1）参与游戏的游客总共有60000人，免费获得吉祥物（即摸到红球）的有15000人，根据频率估计概率的原理：
$P(\mathrm{免费得到景点吉祥物})=\frac{\mathrm{获得吉祥物的人数}}{\mathrm{参与游戏的总人数}}=\frac{15000}{60000}=\frac{1}{4}$
（2）设纸箱中白球的数量为$x$个，则纸箱中球的总个数为$(2+x)$个。
由摸到红球的概率为$\frac{1}{4}$，结合概率公式可得：
$\frac{2}{2+x}=\frac{1}{4}$
交叉相乘得：$2+x=8$
解得：$x=6$
经检验，$x=6$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）6个
【知识点】
频率估计概率；概率公式的应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，核心考查频率与概率的关系以及简单概率的计算，解题时要注意理解频率可作为概率估计值的前提，列方程求解后要注意检验结果是否符合实际。
【难度系数】
0.8
（1）大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以用摸到红球的频率来估计获得吉祥物的概率，计算时用发放吉祥物的总数量除以参与游戏的总人数即可。
（2）已知摸到红球的概率，结合概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”，设白球数量为未知数，列方程求解即可得到白球的估计数量。
【解析】
（1）参与游戏的游客总共有60000人，免费获得吉祥物（即摸到红球）的有15000人，根据频率估计概率的原理：
$P(\mathrm{免费得到景点吉祥物})=\frac{\mathrm{获得吉祥物的人数}}{\mathrm{参与游戏的总人数}}=\frac{15000}{60000}=\frac{1}{4}$
（2）设纸箱中白球的数量为$x$个，则纸箱中球的总个数为$(2+x)$个。
由摸到红球的概率为$\frac{1}{4}$，结合概率公式可得：
$\frac{2}{2+x}=\frac{1}{4}$
交叉相乘得：$2+x=8$
解得：$x=6$
经检验，$x=6$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）6个
【知识点】
频率估计概率；概率公式的应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，核心考查频率与概率的关系以及简单概率的计算，解题时要注意理解频率可作为概率估计值的前提，列方程求解后要注意检验结果是否符合实际。
【难度系数】
0.8
