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11. 小明与小华玩游戏，在一个不透明的口袋里，装有标号为1，2，3，4的四个小球，这些球除所标数字外无其他差别. 先由小明从中随机摸出一个球，记下数字后放回；再由小华从中随机摸出一个球，记下数字后放回.
（1）请用列表或树状图的方法，表示两次所记数字的情况.
（2）小明和小华约定游戏规则如下：若抽出的两个球上数字之和为偶数，小明获胜；若抽出的两个球上数字之和为奇数，小华获胜. 这个游戏公平吗？请说明理由.
（1）请用列表或树状图的方法，表示两次所记数字的情况.
（2）小明和小华约定游戏规则如下：若抽出的两个球上数字之和为偶数，小明获胜；若抽出的两个球上数字之和为奇数，小华获胜. 这个游戏公平吗？请说明理由.
答案
11.（1）树状图略
（2）所有等可能的情况有16种，其中两次数字之和为偶数的情况有8种，则两次数字之和为偶数的概率为$\frac{1}{2}$；两次数字之和为奇数的情况有8种，则两次数字之和为奇数的概率为$\frac{1}{2}$.$\therefore$这个游戏公平
（2）所有等可能的情况有16种，其中两次数字之和为偶数的情况有8种，则两次数字之和为偶数的概率为$\frac{1}{2}$；两次数字之和为奇数的情况有8种，则两次数字之和为奇数的概率为$\frac{1}{2}$.$\therefore$这个游戏公平
解析
【分析】
（1）本次摸球是有放回试验，两次摸球互不影响，每次摸球都有4种等可能的结果，我们可以通过列表或画树状图的方法，不重不漏地列举出两次摸球的所有可能结果。（2）判断游戏是否公平的核心是比较小明和小华获胜的概率是否相等，因此我们先统计所有等可能结果的总数，再分别找出数字之和为偶数、奇数的结果数，结合概率公式计算两人获胜的概率，比较概率大小即可判断游戏是否公平。
【解析】
（1）用树状图表示情况如下：
第一层为第一次摸球的结果：1、2、3、4，每个结果下分别对应第二次摸球的4种结果：1、2、3、4，最终共得到16种等可能的结果，分别为$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)$。
（2）由列举结果可知，两次摸球共有16种等可能的情况。
其中两次数字之和为偶数的情况有$(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)$，共8种，因此$P(小明获胜)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$；
两次数字之和为奇数的情况有$16-8=8$种，因此$P(小华获胜)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
因为两人获胜的概率相等，所以这个游戏公平。
【答案】
（1）树状图略
（2）所有等可能的情况有16种，其中两次数字之和为偶数的情况有8种，则两次数字之和为偶数的概率为$\frac{1}{2}$；两次数字之和为奇数的情况有8种，则两次数字之和为奇数的概率为$\frac{1}{2}$.$\therefore$这个游戏公平
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 游戏公平性判断
【点评】
本题考查用列表或树状图求概率的方法，以及游戏公平性的判断规则，解题的关键是准确列举所有等可能的结果，明确当游戏双方获胜的概率相等时，游戏才公平。
【难度系数】
0.8
（1）本次摸球是有放回试验，两次摸球互不影响，每次摸球都有4种等可能的结果，我们可以通过列表或画树状图的方法，不重不漏地列举出两次摸球的所有可能结果。（2）判断游戏是否公平的核心是比较小明和小华获胜的概率是否相等，因此我们先统计所有等可能结果的总数，再分别找出数字之和为偶数、奇数的结果数，结合概率公式计算两人获胜的概率，比较概率大小即可判断游戏是否公平。
【解析】
（1）用树状图表示情况如下：
第一层为第一次摸球的结果：1、2、3、4，每个结果下分别对应第二次摸球的4种结果：1、2、3、4，最终共得到16种等可能的结果，分别为$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)$。
（2）由列举结果可知，两次摸球共有16种等可能的情况。
其中两次数字之和为偶数的情况有$(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)$，共8种，因此$P(小明获胜)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$；
两次数字之和为奇数的情况有$16-8=8$种，因此$P(小华获胜)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
因为两人获胜的概率相等，所以这个游戏公平。
【答案】
（1）树状图略
（2）所有等可能的情况有16种，其中两次数字之和为偶数的情况有8种，则两次数字之和为偶数的概率为$\frac{1}{2}$；两次数字之和为奇数的情况有8种，则两次数字之和为奇数的概率为$\frac{1}{2}$.$\therefore$这个游戏公平
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 游戏公平性判断
【点评】
本题考查用列表或树状图求概率的方法，以及游戏公平性的判断规则，解题的关键是准确列举所有等可能的结果，明确当游戏双方获胜的概率相等时，游戏才公平。
【难度系数】
0.8
12. 在四张完全相同的卡片正面写上数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为$a$；不透明的袋子中装有标号为1，2，3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为$b$.
（1）先抽取一张卡片，再摸一个球，求$a - b = 0$的概率.
（2）若规定：当$a - b ≥ 0$时，甲获胜；否则，乙获胜. 这样的规则公平吗？请说明理由. 如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案.
（1）先抽取一张卡片，再摸一个球，求$a - b = 0$的概率.
（2）若规定：当$a - b ≥ 0$时，甲获胜；否则，乙获胜. 这样的规则公平吗？请说明理由. 如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案.
答案
12.（1）表格略. 共有12种等可能的结果，其中$a-b=0$的结果有3种，$\therefore a-b=0$的概率为$\frac{1}{4}$
（2）规则不公平，理由如下：由(1)可知，共有12种等可能的结果，其中$a-b≥0$的结果有9种，$a-b＜0$的结果有3种，$\therefore$甲获胜的概率为$\frac{3}{4}$，乙获胜的概率为$\frac{1}{4}$，$\because \frac{3}{4}≠ \frac{1}{4}$，$\therefore$这样的规则不公平. 调整方案为把标号为1的小球调整为4
（2）规则不公平，理由如下：由(1)可知，共有12种等可能的结果，其中$a-b≥0$的结果有9种，$a-b＜0$的结果有3种，$\therefore$甲获胜的概率为$\frac{3}{4}$，乙获胜的概率为$\frac{1}{4}$，$\because \frac{3}{4}≠ \frac{1}{4}$，$\therefore$这样的规则不公平. 调整方案为把标号为1的小球调整为4
解析
【分析】
（1）本题属于两步随机事件的概率求解问题，首先需明确所有等可能的结果总数：抽卡片有4种可能结果，摸球有3种可能结果，共4×3=12种等可能结果；再筛选出满足$a-b=0$（即$a=b$）的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。（2）判断游戏公平性的核心是比较甲、乙两人获胜的概率是否相等：先统计所有结果中满足$a-b≥0$的结果数，计算甲获胜的概率，再推导乙获胜的概率，二者不相等则规则不公平；调整标号时，只需让甲乙获胜的结果数均为6种（总结果12种，概率均为$\frac{1}{2}$）即可。
【解析】
（1）抽取卡片得到的$a$可取1、2、3、4，摸球得到的$b$可取1、2、3，所有等可能的结果共有$4×3=12$种。
其中满足$a-b=0$即$a=b$的结果有$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$，共3种。
因此$P(a-b=0)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
（2）规则不公平，理由如下：
在12种等可能的结果中，满足$a-b≥0$的结果有：$a=1$时$b=1$；$a=2$时$b=1、2$；$a=3$时$b=1、2、3$；$a=4$时$b=1、2、3$，合计$1+2+3+3=9$种。
因此$P(甲获胜)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，$P(乙获胜)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$。
因为$\frac{3}{4}≠\frac{1}{4}$，所以该规则不公平。
调整方案：将袋子中标号为1的小球调整为4（方案不唯一），此时袋子中小球标号为2、3、4，满足$a-b≥0$的结果共6种，甲乙获胜概率均为$\frac{1}{2}$，规则公平。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）规则不公平，理由见解析；调整方案：把标号为1的小球调整为4（调整方案不唯一）
【知识点】
列表法求概率，游戏公平性判断，概率计算
【点评】
本题结合抽卡片、摸球的实际场景考查概率的应用，解题关键是准确枚举所有等可能结果，通过比较双方获胜概率判断游戏公平性，调整方案具有开放性，只要符合双方获胜概率相等的要求即可。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于两步随机事件的概率求解问题，首先需明确所有等可能的结果总数：抽卡片有4种可能结果，摸球有3种可能结果，共4×3=12种等可能结果；再筛选出满足$a-b=0$（即$a=b$）的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。（2）判断游戏公平性的核心是比较甲、乙两人获胜的概率是否相等：先统计所有结果中满足$a-b≥0$的结果数，计算甲获胜的概率，再推导乙获胜的概率，二者不相等则规则不公平；调整标号时，只需让甲乙获胜的结果数均为6种（总结果12种，概率均为$\frac{1}{2}$）即可。
【解析】
（1）抽取卡片得到的$a$可取1、2、3、4，摸球得到的$b$可取1、2、3，所有等可能的结果共有$4×3=12$种。
其中满足$a-b=0$即$a=b$的结果有$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$，共3种。
因此$P(a-b=0)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
（2）规则不公平，理由如下：
在12种等可能的结果中，满足$a-b≥0$的结果有：$a=1$时$b=1$；$a=2$时$b=1、2$；$a=3$时$b=1、2、3$；$a=4$时$b=1、2、3$，合计$1+2+3+3=9$种。
因此$P(甲获胜)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，$P(乙获胜)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$。
因为$\frac{3}{4}≠\frac{1}{4}$，所以该规则不公平。
调整方案：将袋子中标号为1的小球调整为4（方案不唯一），此时袋子中小球标号为2、3、4，满足$a-b≥0$的结果共6种，甲乙获胜概率均为$\frac{1}{2}$，规则公平。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）规则不公平，理由见解析；调整方案：把标号为1的小球调整为4（调整方案不唯一）
【知识点】
列表法求概率，游戏公平性判断，概率计算
【点评】
本题结合抽卡片、摸球的实际场景考查概率的应用，解题关键是准确枚举所有等可能结果，通过比较双方获胜概率判断游戏公平性，调整方案具有开放性，只要符合双方获胜概率相等的要求即可。
【难度系数】
0.7
13. 集市上有一个人在设游戏摊，他手拿一个黑色的袋子，内装20只白球，每一个白球上都写有号码(1～20号)，袋子中还装有1只红球，这些球除颜色、所标数字外全相同。规定：每次只摸一只球，摸前交1元且在1～20内写一个号码，摸到红球获得价值5元的奖品，摸到号码数与参与者写的号码相同获得价值10元的奖品。
（1）你认为该游戏对参与者有利吗？说明你的理由。
（2）若一个参与者多次摸奖，他平均每次将获利或损失多少元？
（1）你认为该游戏对参与者有利吗？说明你的理由。
（2）若一个参与者多次摸奖，他平均每次将获利或损失多少元？
答案
13.（1）$P$(摸到红球)$=P$(摸到同号球)$=\frac{1}{21}$，故不利
（2）每次的平均收益为$\frac{1}{21}(5+10)-1=-\frac{6}{21}=-\frac{2}{7}＜0$，故每次平均损失$\frac{2}{7}$元
（2）每次的平均收益为$\frac{1}{21}(5+10)-1=-\frac{6}{21}=-\frac{2}{7}＜0$，故每次平均损失$\frac{2}{7}$元
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确判断游戏对参与者是否有利的核心是计算参与者的平均收益，再和参与成本对比。首先袋子里共有21只等可能被摸到的球，先算出两种中奖情况的概率，再通过“各情况收益×对应概率求和得到平均获奖价值，再减去参与成本”的思路计算净收益，净收益为正则对参与者有利，为负则不利。
【解析】
（1）袋子内共有球：$20+1=21$（只），每只球被摸到的可能性相等。
摸到红球的概率：$P(\mathrm{摸到红球})=\frac{1}{21}$，
摸到和参与者所写号码相同的白球的概率：$P(\mathrm{摸到同号球})=\frac{1}{21}$，
两种中奖概率之和仅为$\frac{2}{21}$，不中奖概率高达$\frac{19}{21}$，且后续计算可知平均净收益为负，因此该游戏对参与者不利。
（2）每次摸奖的平均获奖价值为两种中奖情况的收益乘对应概率之和，再减去参与成本1元，就是平均净收益：
$\begin{aligned}\mathrm{平均净收益}&=\frac{1}{21}×5+\frac{1}{21}×10 - 1\\&=\frac{15}{21}-1\\&=-\frac{6}{21}=-\frac{2}{7}（元）\end{aligned}$
结果为负，说明平均每次是损失状态。
【答案】
（1）该游戏对参与者不利，理由：$P$(摸到红球)$=P$(摸到同号球)$=\frac{1}{21}$，故不利
（2）每次平均损失$\frac{2}{7}$元
【知识点】
概率计算，平均收益计算，游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活中常见的摸奖游戏命题，考查概率知识的实际应用，解题时需要掌握等可能事件的概率计算方法，理解平均收益的计算逻辑，能将数学知识和生活场景结合解决问题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确判断游戏对参与者是否有利的核心是计算参与者的平均收益，再和参与成本对比。首先袋子里共有21只等可能被摸到的球，先算出两种中奖情况的概率，再通过“各情况收益×对应概率求和得到平均获奖价值，再减去参与成本”的思路计算净收益，净收益为正则对参与者有利，为负则不利。
【解析】
（1）袋子内共有球：$20+1=21$（只），每只球被摸到的可能性相等。
摸到红球的概率：$P(\mathrm{摸到红球})=\frac{1}{21}$，
摸到和参与者所写号码相同的白球的概率：$P(\mathrm{摸到同号球})=\frac{1}{21}$，
两种中奖概率之和仅为$\frac{2}{21}$，不中奖概率高达$\frac{19}{21}$，且后续计算可知平均净收益为负，因此该游戏对参与者不利。
（2）每次摸奖的平均获奖价值为两种中奖情况的收益乘对应概率之和，再减去参与成本1元，就是平均净收益：
$\begin{aligned}\mathrm{平均净收益}&=\frac{1}{21}×5+\frac{1}{21}×10 - 1\\&=\frac{15}{21}-1\\&=-\frac{6}{21}=-\frac{2}{7}（元）\end{aligned}$
结果为负，说明平均每次是损失状态。
【答案】
（1）该游戏对参与者不利，理由：$P$(摸到红球)$=P$(摸到同号球)$=\frac{1}{21}$，故不利
（2）每次平均损失$\frac{2}{7}$元
【知识点】
概率计算，平均收益计算，游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活中常见的摸奖游戏命题，考查概率知识的实际应用，解题时需要掌握等可能事件的概率计算方法，理解平均收益的计算逻辑，能将数学知识和生活场景结合解决问题。
【难度系数】
0.7
