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1. 小明和小红玩“石头、剪子、布”游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{4}{9}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{4}{9}$
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路如下：首先确定该事件属于古典概型，所有结果发生的可能性相等；其次通过列举法找出两人玩游戏的所有等可能结果总数；再筛选出小明获胜的结果数；最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可得到小明获胜的概率。
【解析】
解：小明和小红出“石头、剪子、布”的手势，每人都有3种等可能的选择，因此所有等可能的结果总数为：$3×3=9$种。
小明获胜的情况有3种：①小明出石头，小红出剪刀；②小明出剪刀，小红出布；③小明出布，小红出石头。
根据概率公式，小明获胜的概率为：$P=\frac{小明获胜的结果数}{总结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率公式应用
3. 等可能事件判断
【点评】
本题属于概率基础题型，核心是准确列举出所有等可能结果及符合要求的结果，只要明确“石头、剪子、布”的胜负规则，结合概率公式就能顺利求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路如下：首先确定该事件属于古典概型，所有结果发生的可能性相等；其次通过列举法找出两人玩游戏的所有等可能结果总数；再筛选出小明获胜的结果数；最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可得到小明获胜的概率。
【解析】
解：小明和小红出“石头、剪子、布”的手势，每人都有3种等可能的选择，因此所有等可能的结果总数为：$3×3=9$种。
小明获胜的情况有3种：①小明出石头，小红出剪刀；②小明出剪刀，小红出布；③小明出布，小红出石头。
根据概率公式，小明获胜的概率为：$P=\frac{小明获胜的结果数}{总结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率公式应用
3. 等可能事件判断
【点评】
本题属于概率基础题型，核心是准确列举出所有等可能结果及符合要求的结果，只要明确“石头、剪子、布”的胜负规则，结合概率公式就能顺利求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙两人分别投掷一枚质地均匀的正方体骰子，规定掷出“和为7”则甲赢，掷出“和为8”则乙赢，这个游戏 （
A.对甲有利
B.对甲乙双方公平
C.对乙有利
D.无法确定
A
）A.对甲有利
B.对甲乙双方公平
C.对乙有利
D.无法确定
答案
2. A
解析
【分析】
要判断游戏对谁有利，本质是比较甲、乙两人赢的概率大小，概率更大的一方更有利。解题时首先计算两人投掷骰子的所有等可能结果总数，再分别枚举“和为7”“和为8”的符合条件的结果数，最后根据古典概型的概率公式分别计算两人赢的概率，比较概率大小即可得出结论。
【解析】
甲、乙分别投掷一枚质地均匀的骰子，所有等可能的结果共有 $6 × 6 = 36$ 种。
1. 计算甲赢的概率：两数和为7的情况有 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$，共6种，因此 $P(\mathrm{甲赢})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
2. 计算乙赢的概率：两数和为8的情况有 $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$，共5种，因此 $P(\mathrm{乙赢})=\frac{5}{36}$。
比较概率大小：$\frac{1}{6}=\frac{6}{36}＞\frac{5}{36}$，即甲赢的概率更大，因此游戏对甲有利。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
游戏公平性判断；古典概型概率计算；枚举法计数
【点评】
本题核心是通过比较双方获胜概率判断游戏公平性，解题时要注意枚举符合条件的结果时做到不重不漏，避免因计数错误导致概率计算偏差。
【难度系数】
0.7
要判断游戏对谁有利，本质是比较甲、乙两人赢的概率大小，概率更大的一方更有利。解题时首先计算两人投掷骰子的所有等可能结果总数，再分别枚举“和为7”“和为8”的符合条件的结果数，最后根据古典概型的概率公式分别计算两人赢的概率，比较概率大小即可得出结论。
【解析】
甲、乙分别投掷一枚质地均匀的骰子，所有等可能的结果共有 $6 × 6 = 36$ 种。
1. 计算甲赢的概率：两数和为7的情况有 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$，共6种，因此 $P(\mathrm{甲赢})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
2. 计算乙赢的概率：两数和为8的情况有 $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$，共5种，因此 $P(\mathrm{乙赢})=\frac{5}{36}$。
比较概率大小：$\frac{1}{6}=\frac{6}{36}＞\frac{5}{36}$，即甲赢的概率更大，因此游戏对甲有利。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
游戏公平性判断；古典概型概率计算；枚举法计数
【点评】
本题核心是通过比较双方获胜概率判断游戏公平性，解题时要注意枚举符合条件的结果时做到不重不漏，避免因计数错误导致概率计算偏差。
【难度系数】
0.7
3. 甲、乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平的标准是 （
A.游戏的规则由甲方确定
B.游戏的规则由乙方确定
C.游戏的规则由甲、乙双方商定
D.甲、乙双方赢的概率相等
D
）A.游戏的规则由甲方确定
B.游戏的规则由乙方确定
C.游戏的规则由甲、乙双方商定
D.甲、乙双方赢的概率相等
答案
3. D
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，首先要明确游戏公平的核心判定标准：游戏公平的本质是参与游戏的各方获胜的概率相等，和规则由谁制定没有必然联系。我们逐一分析每个选项，判断其是否符合这个核心标准即可解题。
【解析】
判断游戏公平的根本依据是参与游戏的双方获胜的概率是否相等：
选项A：游戏规则由甲方确定，很容易出现规则偏向甲方的情况，甲乙双方赢的概率不一定相等，不能作为公平的判定标准；
选项B：游戏规则由乙方确定，同理可能偏向乙方，甲乙赢的概率不一定相等，不符合要求；
选项C：即使规则由甲乙双方商定，也可能出现商定后的规则下双方获胜概率不等的情况，比如约定掷骰子点数大于3甲赢、点数小于3乙赢，此时甲赢的概率为$\frac{1}{2}$，乙赢的概率为$\frac{1}{3}$，概率不等，游戏不公平，因此该选项也不是判定标准；
选项D：甲乙双方赢的概率相等，符合游戏公平的本质要求，是判定游戏公平的标准。
【答案】
D
【知识点】
游戏公平性判断、概率的应用
【点评】
本题考查游戏公平的本质属性，需要注意区分规则的制定方式和公平的核心标准，不要被表面的“双方商定”等表述误导，抓住“获胜概率相等”这一核心即可正确解题。
【难度系数】
0.9
要判断游戏是否公平，首先要明确游戏公平的核心判定标准：游戏公平的本质是参与游戏的各方获胜的概率相等，和规则由谁制定没有必然联系。我们逐一分析每个选项，判断其是否符合这个核心标准即可解题。
【解析】
判断游戏公平的根本依据是参与游戏的双方获胜的概率是否相等：
选项A：游戏规则由甲方确定，很容易出现规则偏向甲方的情况，甲乙双方赢的概率不一定相等，不能作为公平的判定标准；
选项B：游戏规则由乙方确定，同理可能偏向乙方，甲乙赢的概率不一定相等，不符合要求；
选项C：即使规则由甲乙双方商定，也可能出现商定后的规则下双方获胜概率不等的情况，比如约定掷骰子点数大于3甲赢、点数小于3乙赢，此时甲赢的概率为$\frac{1}{2}$，乙赢的概率为$\frac{1}{3}$，概率不等，游戏不公平，因此该选项也不是判定标准；
选项D：甲乙双方赢的概率相等，符合游戏公平的本质要求，是判定游戏公平的标准。
【答案】
D
【知识点】
游戏公平性判断、概率的应用
【点评】
本题考查游戏公平的本质属性，需要注意区分规则的制定方式和公平的核心标准，不要被表面的“双方商定”等表述误导，抓住“获胜概率相等”这一核心即可正确解题。
【难度系数】
0.9
4. 小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢”.判断该游戏
不公平
.（填“公平”或“不公平”）答案
4. 不公平
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，需比较小明和小红两人获胜的概率是否相等。解题时首先用列举法列出连续抛两次硬币的所有等可能结果，再分别统计对应两人获胜的结果数量，结合概率公式计算两人的获胜概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
连续抛两次硬币，所有等可能的结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中两次都是正面的结果有1种，故小红获胜的概率为：$P(\mathrm{小红赢})=\frac{1}{4}$；
两次是一正一反的结果有2种，故小明获胜的概率为：$P(\mathrm{小明赢})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}$，两人获胜的概率不相等，所以该游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
游戏公平性判断、列举法求概率
【点评】
本题是概率在实际生活中的应用类基础题，解题的核心是准确枚举所有等可能事件，易错点是易将“一正一反”的两种不同情况误算为1种，从而错误判断游戏公平性。
【难度系数】
0.8
要判断游戏是否公平，需比较小明和小红两人获胜的概率是否相等。解题时首先用列举法列出连续抛两次硬币的所有等可能结果，再分别统计对应两人获胜的结果数量，结合概率公式计算两人的获胜概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
连续抛两次硬币，所有等可能的结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中两次都是正面的结果有1种，故小红获胜的概率为：$P(\mathrm{小红赢})=\frac{1}{4}$；
两次是一正一反的结果有2种，故小明获胜的概率为：$P(\mathrm{小明赢})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}$，两人获胜的概率不相等，所以该游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
游戏公平性判断、列举法求概率
【点评】
本题是概率在实际生活中的应用类基础题，解题的核心是准确枚举所有等可能事件，易错点是易将“一正一反”的两种不同情况误算为1种，从而错误判断游戏公平性。
【难度系数】
0.8
5. 甲、乙两人做游戏，他们准备了一个正方体骰子，骰子的六面分别标有1，2，3，4，5，6. 若用该骰子掷出的数是偶数，则甲赢；若掷出的数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是
不公平
的.（填“公平”或“不公平”）答案
5. 不公平
解析
【分析】
要判断游戏对甲、乙是否公平，核心是看两人获胜的概率是否相等，因此我们可以按以下步骤思考：第一步先确定掷骰子的所有等可能结果总数；第二步分别找出甲赢、乙赢对应的结果数量；第三步根据等可能事件的概率公式，计算两人各自的获胜概率；第四步对比两个概率的大小，若相等则游戏公平，若不相等则游戏不公平。
【解析】
掷均匀的正方体骰子，朝上的点数共有1、2、3、4、5、6，共6种等可能的结果。
1. 计算甲获胜的概率：
掷出的数为偶数的结果有2、4、6，共3种，根据概率公式可得：
$ P(\mathrm{甲赢})=\frac{\mathrm{甲赢的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $
2. 计算乙获胜的概率：
掷出的数为3的倍数的结果有3、6，共2种，同理可得：
$ P(\mathrm{乙赢})=\frac{\mathrm{乙赢的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $
由于$ \frac{1}{2} ≠ \frac{1}{3} $，即甲、乙两人获胜的概率不相等，因此这个游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
概率的计算；游戏公平性判断
【点评】
本题考查游戏公平性的判断，解题关键是准确计算双方的获胜概率，只要两个概率相等游戏就公平，反之则不公平，注意枚举符合条件的结果时不要漏数或多数。
【难度系数】
0.9
要判断游戏对甲、乙是否公平，核心是看两人获胜的概率是否相等，因此我们可以按以下步骤思考：第一步先确定掷骰子的所有等可能结果总数；第二步分别找出甲赢、乙赢对应的结果数量；第三步根据等可能事件的概率公式，计算两人各自的获胜概率；第四步对比两个概率的大小，若相等则游戏公平，若不相等则游戏不公平。
【解析】
掷均匀的正方体骰子，朝上的点数共有1、2、3、4、5、6，共6种等可能的结果。
1. 计算甲获胜的概率：
掷出的数为偶数的结果有2、4、6，共3种，根据概率公式可得：
$ P(\mathrm{甲赢})=\frac{\mathrm{甲赢的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $
2. 计算乙获胜的概率：
掷出的数为3的倍数的结果有3、6，共2种，同理可得：
$ P(\mathrm{乙赢})=\frac{\mathrm{乙赢的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $
由于$ \frac{1}{2} ≠ \frac{1}{3} $，即甲、乙两人获胜的概率不相等，因此这个游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
概率的计算；游戏公平性判断
【点评】
本题考查游戏公平性的判断，解题关键是准确计算双方的获胜概率，只要两个概率相等游戏就公平，反之则不公平，注意枚举符合条件的结果时不要漏数或多数。
【难度系数】
0.9
6. 一个不透明的箱子中放有红色、黄色、黑色3只小球，它们除颜色外无其他差别. 三个人先后摸球，每人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出红色、黄色小球得0分，摸出黑色小球得1分，得分高者获胜，则这个游戏 （
A.公平
B.不公平
C.先摸赢的可能性大
D.后摸赢的可能性大
A
）A.公平
B.不公平
C.先摸赢的可能性大
D.后摸赢的可能性大
答案
6. A
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是看三名参与者获胜的概率是否相等。首先明确摸球规则是有放回摸球，这意味着每一次摸球时，箱子里的球的数量、种类都和最初一致，每次摸球的结果互不影响，每个人摸到黑球（得分）的概率是相同的，由此可判断三人获胜概率是否相等，进而得出游戏是否公平。
【解析】
判断游戏公平的依据是：参与游戏的各方获胜的概率相等时，游戏公平。
已知摸球后放回，因此每次摸球时，箱内都有红、黄、黑共3个球，所有等可能的结果共3种，其中摸到黑球（得1分）的结果有1种，故每次摸到黑球的概率为$\frac{1}{3}$，摸到红球或黄球（得0分）的概率为$\frac{2}{3}$。
三个人摸球时的概率条件完全相同，每人获胜的概率相等，因此这个游戏是公平的。
【答案】
A
【知识点】
游戏公平性判断，有放回试验概率，等可能事件概率
【点评】
本题考查游戏公平性的实际应用，解题的关键是明确有放回摸球的特点：每次摸球的概率不受之前摸球结果的影响，只要各方获胜的概率相等，游戏就公平，避免陷入“先摸更有优势”的思维误区。
【难度系数】
0.8
要判断游戏是否公平，核心是看三名参与者获胜的概率是否相等。首先明确摸球规则是有放回摸球，这意味着每一次摸球时，箱子里的球的数量、种类都和最初一致，每次摸球的结果互不影响，每个人摸到黑球（得分）的概率是相同的，由此可判断三人获胜概率是否相等，进而得出游戏是否公平。
【解析】
判断游戏公平的依据是：参与游戏的各方获胜的概率相等时，游戏公平。
已知摸球后放回，因此每次摸球时，箱内都有红、黄、黑共3个球，所有等可能的结果共3种，其中摸到黑球（得1分）的结果有1种，故每次摸到黑球的概率为$\frac{1}{3}$，摸到红球或黄球（得0分）的概率为$\frac{2}{3}$。
三个人摸球时的概率条件完全相同，每人获胜的概率相等，因此这个游戏是公平的。
【答案】
A
【知识点】
游戏公平性判断，有放回试验概率，等可能事件概率
【点评】
本题考查游戏公平性的实际应用，解题的关键是明确有放回摸球的特点：每次摸球的概率不受之前摸球结果的影响，只要各方获胜的概率相等，游戏就公平，避免陷入“先摸更有优势”的思维误区。
【难度系数】
0.8
7. 多次抛掷一枚质地均匀的硬币，落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值为 （
A.0.83
B.0.52
C.1.50
D.1.03
B
）A.0.83
B.0.52
C.1.50
D.1.03
答案
7. B
解析
【分析】
解题需抓住两个核心依据：第一，质地均匀的硬币正面朝上的概率固定为0.5；第二，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，且频率是事件发生次数和总试验次数的比值，取值范围一定在0到1之间。首先排除超出频率取值范围的错误选项，再从剩余选项中选出最接近概率0.5的数值即可。
【解析】
解：① 质地均匀的硬币抛掷后，正面朝上和反面朝上的概率相等，均为0.5；
② 频率的取值范围为$0≤ 频率≤ 1$，选项C（1.50）、D（1.03）的数值均大于1，不可能是频率，直接排除；
③ 多次抛掷属于大量重复试验，正面朝上的频率会稳定在概率0.5附近，对比剩余选项：$\vert0.83 - 0.5\vert=0.33$，$\vert0.52 - 0.5\vert=0.02$，0.52更接近0.5，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
频率与概率的关系；概率的意义
【点评】
本题考查频率与概率的联系，解题的关键是理解大量重复试验下频率会趋近于对应概率，同时明确频率的取值范围，属于概率模块的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题需抓住两个核心依据：第一，质地均匀的硬币正面朝上的概率固定为0.5；第二，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，且频率是事件发生次数和总试验次数的比值，取值范围一定在0到1之间。首先排除超出频率取值范围的错误选项，再从剩余选项中选出最接近概率0.5的数值即可。
【解析】
解：① 质地均匀的硬币抛掷后，正面朝上和反面朝上的概率相等，均为0.5；
② 频率的取值范围为$0≤ 频率≤ 1$，选项C（1.50）、D（1.03）的数值均大于1，不可能是频率，直接排除；
③ 多次抛掷属于大量重复试验，正面朝上的频率会稳定在概率0.5附近，对比剩余选项：$\vert0.83 - 0.5\vert=0.33$，$\vert0.52 - 0.5\vert=0.02$，0.52更接近0.5，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
频率与概率的关系；概率的意义
【点评】
本题考查频率与概率的联系，解题的关键是理解大量重复试验下频率会趋近于对应概率，同时明确频率的取值范围，属于概率模块的基础题型。
【难度系数】
0.9
8. 甲、乙、丙三位同学玩抛掷A，B两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出A币正面和B币正面，甲赢；抛出A币反面和B币反面，乙赢；抛出A币正面和B币反面，丙赢。在这个游戏中，获胜概率最大的是（
A.甲
B.甲和乙
C.丙
D.三人赢的机会均等
D
）A.甲
B.甲和乙
C.丙
D.三人赢的机会均等
答案
8. D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先通过列举法列出抛掷A、B两枚硬币所有等可能出现的结果，再分别对应找到甲、乙、丙三人获胜的情况数，根据概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数”，分别计算三人的获胜概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
抛掷A、B两枚硬币，所有等可能的结果共有4种，分别为：（A正，B正）、（A正，B反）、（A反，B正）、（A反，B反）。
分别计算三人获胜的概率：
1. 甲获胜的情况为“A币正面、B币正面”，共1种，因此$P(甲赢)=\frac{1}{4}$；
2. 乙获胜的情况为“A币反面、B币反面”，共1种，因此$P(乙赢)=\frac{1}{4}$；
3. 丙获胜的情况为“A币正面、B币反面”，共1种，因此$P(丙赢)=\frac{1}{4}$。
三人的获胜概率相等，即赢的机会均等。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，概率计算
【点评】
本题结合游戏情境考查概率的基础应用，解题核心是准确枚举所有等可能结果，再按概率公式计算比较即可，难度较低，属于概率部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以先通过列举法列出抛掷A、B两枚硬币所有等可能出现的结果，再分别对应找到甲、乙、丙三人获胜的情况数，根据概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数”，分别计算三人的获胜概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
抛掷A、B两枚硬币，所有等可能的结果共有4种，分别为：（A正，B正）、（A正，B反）、（A反，B正）、（A反，B反）。
分别计算三人获胜的概率：
1. 甲获胜的情况为“A币正面、B币正面”，共1种，因此$P(甲赢)=\frac{1}{4}$；
2. 乙获胜的情况为“A币反面、B币反面”，共1种，因此$P(乙赢)=\frac{1}{4}$；
3. 丙获胜的情况为“A币正面、B币反面”，共1种，因此$P(丙赢)=\frac{1}{4}$。
三人的获胜概率相等，即赢的机会均等。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，概率计算
【点评】
本题结合游戏情境考查概率的基础应用，解题核心是准确枚举所有等可能结果，再按概率公式计算比较即可，难度较低，属于概率部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 一个不透明的袋子中有20个球，其中白球$x$个，绿球$2x$个，其余为黑球，这些球除颜色外无其他差别。甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中再摸出一个球，若为黑球则乙获胜。若游戏对甲乙双方公平，则$x$的值为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9. B
解析
【分析】要判断游戏是否公平，核心是看甲乙两人获胜的概率是否相等。解题时首先根据总球数以及白球、绿球的数量表达式求出黑球的数量，再分别计算甲摸到绿球的概率、乙摸到黑球的概率，根据概率相等列出关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值，注意球的个数需为正整数，可对结果进行检验。
【解析】首先计算黑球的个数：总共有20个球，白球x个，绿球2x个，因此黑球的数量为$20 - x - 2x = 20 - 3x$个。
甲获胜的概率为摸到绿球的概率：$P(甲获胜)=\frac{绿球个数}{总球数}=\frac{2x}{20}$。
乙获胜的概率为摸到黑球的概率：$P(乙获胜)=\frac{黑球个数}{总球数}=\frac{20 - 3x}{20}$。
因为游戏对甲乙双方公平，所以两人获胜的概率相等，即：
$\frac{2x}{20} = \frac{20 - 3x}{20}$
两边同乘20得：$2x = 20 - 3x$
移项合并同类项得：$5x = 20$
解得：$x = 4$
经检验，$x=4$时，白球4个、绿球8个、黑球8个，均为正整数，符合实际意义。
【答案】B
【知识点】概率计算、游戏公平的判定、一元一次方程的应用
【点评】本题是概率与方程结合的基础题型，解题的关键是理解游戏公平的本质是双方获胜的概率相等，通过列方程求解即可，解题时要注意结合实际意义检验解的合理性。
【难度系数】0.7
【解析】首先计算黑球的个数：总共有20个球，白球x个，绿球2x个，因此黑球的数量为$20 - x - 2x = 20 - 3x$个。
甲获胜的概率为摸到绿球的概率：$P(甲获胜)=\frac{绿球个数}{总球数}=\frac{2x}{20}$。
乙获胜的概率为摸到黑球的概率：$P(乙获胜)=\frac{黑球个数}{总球数}=\frac{20 - 3x}{20}$。
因为游戏对甲乙双方公平，所以两人获胜的概率相等，即：
$\frac{2x}{20} = \frac{20 - 3x}{20}$
两边同乘20得：$2x = 20 - 3x$
移项合并同类项得：$5x = 20$
解得：$x = 4$
经检验，$x=4$时，白球4个、绿球8个、黑球8个，均为正整数，符合实际意义。
【答案】B
【知识点】概率计算、游戏公平的判定、一元一次方程的应用
【点评】本题是概率与方程结合的基础题型，解题的关键是理解游戏公平的本质是双方获胜的概率相等，通过列方程求解即可，解题时要注意结合实际意义检验解的合理性。
【难度系数】0.7
10. 一个不透明的袋子中有3个白球和2个红球，它们除颜色外无其他差别。甲、乙两人约定：从中任意摸出一个球，摸出红球甲胜，摸出白球乙胜，则
乙
获胜的可能性大。答案
10. 乙
解析
【分析】
要判断甲、乙谁获胜的可能性更大，本质是比较两人获胜的概率大小。首先明确袋子中每个球被摸到的可能性相等，符合古典概型的适用条件，解题步骤为：第一步计算摸球的总可能结果数；第二步分别统计摸出红球（甲胜）、摸出白球（乙胜）的结果数；第三步利用古典概型概率公式分别计算两人获胜的概率；第四步比较概率大小，概率更大的一方获胜可能性更大。
【解析】
袋子中球的总个数为：$3+2=5$（个），由于球除颜色外无其他差别，因此任意摸1个球时，每个球被摸到的可能性相等。
甲获胜的情况为摸出红球，红球共2个，因此甲获胜的概率：
$P(\mathrm{甲胜})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{5}$
乙获胜的情况为摸出白球，白球共3个，因此乙获胜的概率：
$P(\mathrm{乙胜})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{3}{5}$
因为$\frac{3}{5}＞\frac{2}{5}$，所以乙获胜的可能性更大。
【答案】
乙
【知识点】
古典概型概率计算；事件可能性大小判断
【点评】
本题属于概率应用的基础题，主要考查利用概率判断事件发生的可能性大小，解题时只要准确统计总情况数和对应事件的情况数，代入概率公式计算比较即可得分。
【难度系数】
0.9
要判断甲、乙谁获胜的可能性更大，本质是比较两人获胜的概率大小。首先明确袋子中每个球被摸到的可能性相等，符合古典概型的适用条件，解题步骤为：第一步计算摸球的总可能结果数；第二步分别统计摸出红球（甲胜）、摸出白球（乙胜）的结果数；第三步利用古典概型概率公式分别计算两人获胜的概率；第四步比较概率大小，概率更大的一方获胜可能性更大。
【解析】
袋子中球的总个数为：$3+2=5$（个），由于球除颜色外无其他差别，因此任意摸1个球时，每个球被摸到的可能性相等。
甲获胜的情况为摸出红球，红球共2个，因此甲获胜的概率：
$P(\mathrm{甲胜})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{5}$
乙获胜的情况为摸出白球，白球共3个，因此乙获胜的概率：
$P(\mathrm{乙胜})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{3}{5}$
因为$\frac{3}{5}＞\frac{2}{5}$，所以乙获胜的可能性更大。
【答案】
乙
【知识点】
古典概型概率计算；事件可能性大小判断
【点评】
本题属于概率应用的基础题，主要考查利用概率判断事件发生的可能性大小，解题时只要准确统计总情况数和对应事件的情况数，代入概率公式计算比较即可得分。
【难度系数】
0.9
