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一、选择题（每题5分，共20分）
1. 现有4张卡片，分别写着数字2,0,2,5.若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字恰好是2的概率为（
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{3}{4}$
1. 现有4张卡片，分别写着数字2,0,2,5.若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字恰好是2的概率为（
C
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
1.C
解析
【分析】
要计算抽到数字为2的卡片的概率，需按照等可能事件概率的求解思路推导：第一步先确定所有等可能的抽取结果总数，第二步确定抽到数字是2的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。注意每张卡片都是独立的抽取对象，不能按数字的种类数计算总结果数。
【解析】
解：从4张卡片中随机抽取1张，共有4种等可能的结果，其中卡片上数字恰好是2的结果有2张。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得抽到数字为2的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题属于基础题，考查概率的基础计算，易错点是易误将数字种类数（3种：0、2、5）当作总结果数错选B，解题时需明确总结果数等于卡片的总数量。
【难度系数】
0.85
要计算抽到数字为2的卡片的概率，需按照等可能事件概率的求解思路推导：第一步先确定所有等可能的抽取结果总数，第二步确定抽到数字是2的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。注意每张卡片都是独立的抽取对象，不能按数字的种类数计算总结果数。
【解析】
解：从4张卡片中随机抽取1张，共有4种等可能的结果，其中卡片上数字恰好是2的结果有2张。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得抽到数字为2的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题属于基础题，考查概率的基础计算，易错点是易误将数字种类数（3种：0、2、5）当作总结果数错选B，解题时需明确总结果数等于卡片的总数量。
【难度系数】
0.85
2. 如图，甲、乙、丙三位球员分别站在足球门AB前的点$P_1,P_2,P_3$处射门，点$P_1,P_2,P_3$都在同一个以AB为弦的圆上，若球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大，则下列说法正确的是 （
A.甲踢进足球的可能性最大
B.乙踢进足球的可能性最大
C.丙踢进足球的可能性最大
D.三位球员踢进足球的可能性一样大
D
）A.甲踢进足球的可能性最大
B.乙踢进足球的可能性最大
C.丙踢进足球的可能性最大
D.三位球员踢进足球的可能性一样大
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪位球员踢进球的可能性最大，只需比较三位球员面对球门AB的视角大小即可。球员的视角就是该点与A、B两点连线形成的夹角，也就是圆中弧AB所对的圆周角。已知三个点都在以AB为弦的同一个圆上，我们可以利用圆周角定理判断这三个角的大小关系。
【解析】
由题意可知，三位球员面对球门的视角分别为$∠ AP_1B$、$∠ AP_2B$、$∠ AP_3B$。
∵点$P_1$、$P_2$、$P_3$都在以AB为弦的同一个圆上，
∴$∠ AP_1B$、$∠ AP_2B$、$∠ AP_3B$都是同一段弧AB所对的圆周角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得$∠ AP_1B=∠ AP_2B=∠ AP_3B$，
即三位球员的视角大小相等，因此踢进足球的可能性一样大。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；圆周角的定义
【点评】
本题结合足球射门的生活场景考查圆周角定理的实际应用，解题的关键是将生活中的“视角”转化为数学中的圆周角，再利用同弧所对的圆周角相等的性质判断角度大小即可。
【难度系数】
0.9
要判断哪位球员踢进球的可能性最大，只需比较三位球员面对球门AB的视角大小即可。球员的视角就是该点与A、B两点连线形成的夹角，也就是圆中弧AB所对的圆周角。已知三个点都在以AB为弦的同一个圆上，我们可以利用圆周角定理判断这三个角的大小关系。
【解析】
由题意可知，三位球员面对球门的视角分别为$∠ AP_1B$、$∠ AP_2B$、$∠ AP_3B$。
∵点$P_1$、$P_2$、$P_3$都在以AB为弦的同一个圆上，
∴$∠ AP_1B$、$∠ AP_2B$、$∠ AP_3B$都是同一段弧AB所对的圆周角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得$∠ AP_1B=∠ AP_2B=∠ AP_3B$，
即三位球员的视角大小相等，因此踢进足球的可能性一样大。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；圆周角的定义
【点评】
本题结合足球射门的生活场景考查圆周角定理的实际应用，解题的关键是将生活中的“视角”转化为数学中的圆周角，再利用同弧所对的圆周角相等的性质判断角度大小即可。
【难度系数】
0.9
3. 人类性别由一对染色体决定，称为性染色体.女性的性染色体是一对同型的染色体，用XX表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用XY表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等，则一对夫妇的第一个孩子是男孩的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
3.A
解析
【分析】
要计算孩子是男孩的概率，首先明确父母性染色体遗传的所有等可能情况：母亲性染色体为XX，只能遗传给后代X染色体；父亲性染色体为XY，可等可能遗传X或Y染色体。后代性别由父亲提供的染色体决定，我们可以通过列举所有可能的染色体组合，用等可能事件的概率公式（符合条件的情况数÷总情况数）求解即可。
【解析】
解：①母亲的性染色体组成为XX，因此遗传给后代的染色体只能是X，仅1种可能；
②父亲的性染色体组成为XY，因此遗传给后代的染色体可能为X或Y，共2种等可能的情况；
③后代的性染色体组合共有2种等可能的结果：XX（女孩）、XY（男孩）；
根据等可能事件概率公式可得：
$P(\mathrm{第一个孩子是男孩})=\frac{\mathrm{男孩对应的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 性染色体遗传规律
【点评】
本题结合生活中的性别遗传常识考查概率的基础应用，解题的关键是理清父母遗传给后代的性染色体的所有等可能情况，再结合概率公式计算即可，是概率的基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要计算孩子是男孩的概率，首先明确父母性染色体遗传的所有等可能情况：母亲性染色体为XX，只能遗传给后代X染色体；父亲性染色体为XY，可等可能遗传X或Y染色体。后代性别由父亲提供的染色体决定，我们可以通过列举所有可能的染色体组合，用等可能事件的概率公式（符合条件的情况数÷总情况数）求解即可。
【解析】
解：①母亲的性染色体组成为XX，因此遗传给后代的染色体只能是X，仅1种可能；
②父亲的性染色体组成为XY，因此遗传给后代的染色体可能为X或Y，共2种等可能的情况；
③后代的性染色体组合共有2种等可能的结果：XX（女孩）、XY（男孩）；
根据等可能事件概率公式可得：
$P(\mathrm{第一个孩子是男孩})=\frac{\mathrm{男孩对应的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 性染色体遗传规律
【点评】
本题结合生活中的性别遗传常识考查概率的基础应用，解题的关键是理清父母遗传给后代的性染色体的所有等可能情况，再结合概率公式计算即可，是概率的基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
4. 如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.点Q从点A出发,按A→B→C→D→A的顺序滑动到A止;同时点R从点B出发,按B→C→D→A→B的顺序滑动到B止.点N是正方形ABCD内任一点,把点N落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P,则P等于
A.$\frac{4-π}{4}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{π-1}{4}$
A.$\frac{4-π}{4}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{π-1}{4}$
答案
4.A
解析
【分析】
本题属于几何概型问题，解题思路如下：首先明确几何概型的概率等于对应区域的面积比，即所求概率为线段QR中点M的运动轨迹围成的图形面积与正方形总面积的比值；其次推导M的运动轨迹，由于QR长度固定为2，且Q、R始终在正方形相邻的直角边上滑动，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得中点M到正方形对应顶点的距离恒为1，由此确定M的轨迹是四段四分之一圆弧；最后计算两块区域的面积比即可得到概率。
【解析】
1. 计算正方形ABCD的面积：
正方形边长为2，因此$ S_{正方形}=2×2=4 $。
2. 确定中点M的运动轨迹及对应面积：
当Q、R在正方形一组相邻边上滑动时，以Q在AB边、R在BC边为例，此时$∠ B=90°$，M是斜边QR的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，$ BM=\frac{1}{2}QR=\frac{1}{2}×2=1 $，即此时M到点B的距离恒为1，轨迹为以B为圆心、半径为1的四分之一圆；
同理，Q、R分别在BC与CD、CD与DA、DA与AB边上滑动时，M的轨迹分别为以C、D、A为圆心、半径为1的四分之一圆。
四段四分之一圆拼接为一个完整的半径为1的圆，其面积为$ S_{圆}=π×1^2=π $。
3. 计算所求概率：
M的轨迹围成的图形面积为正方形面积减去上述圆的面积，即$ S=4-π $，因此概率$ P=\frac{S}{S_{正方形}}=\frac{4-π}{4} $。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，几何概型，扇形面积计算
【点评】
本题结合了动点轨迹、直角三角形性质和概率计算，核心突破口是利用直角三角形斜边中线的性质确定动点的运动轨迹，再通过面积比求解概率，属于中等综合性题目。
【难度系数】
0.6
本题属于几何概型问题，解题思路如下：首先明确几何概型的概率等于对应区域的面积比，即所求概率为线段QR中点M的运动轨迹围成的图形面积与正方形总面积的比值；其次推导M的运动轨迹，由于QR长度固定为2，且Q、R始终在正方形相邻的直角边上滑动，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得中点M到正方形对应顶点的距离恒为1，由此确定M的轨迹是四段四分之一圆弧；最后计算两块区域的面积比即可得到概率。
【解析】
1. 计算正方形ABCD的面积：
正方形边长为2，因此$ S_{正方形}=2×2=4 $。
2. 确定中点M的运动轨迹及对应面积：
当Q、R在正方形一组相邻边上滑动时，以Q在AB边、R在BC边为例，此时$∠ B=90°$，M是斜边QR的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，$ BM=\frac{1}{2}QR=\frac{1}{2}×2=1 $，即此时M到点B的距离恒为1，轨迹为以B为圆心、半径为1的四分之一圆；
同理，Q、R分别在BC与CD、CD与DA、DA与AB边上滑动时，M的轨迹分别为以C、D、A为圆心、半径为1的四分之一圆。
四段四分之一圆拼接为一个完整的半径为1的圆，其面积为$ S_{圆}=π×1^2=π $。
3. 计算所求概率：
M的轨迹围成的图形面积为正方形面积减去上述圆的面积，即$ S=4-π $，因此概率$ P=\frac{S}{S_{正方形}}=\frac{4-π}{4} $。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，几何概型，扇形面积计算
【点评】
本题结合了动点轨迹、直角三角形性质和概率计算，核心突破口是利用直角三角形斜边中线的性质确定动点的运动轨迹，再通过面积比求解概率，属于中等综合性题目。
【难度系数】
0.6
5.《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容,恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为
$\frac{1}{6}$
.答案
5.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
这是一道结合传统文化的基础概率计算题，解题思路清晰：首先需要明确古典概型的计算逻辑，即概率等于符合条件的事件数除以所有等可能的总事件数。解题时先统计从4部名著中任选2部的总等可能情况数，再统计恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的符合条件的情况数，最后代入概率公式计算即可，初中阶段可通过枚举法统计事件数，避免重复或遗漏。
【解析】
我们将4部名著做标记：设A代表《周髀算经》，B代表《算学启蒙》，C代表《测圆海镜》，D代表《四元玉鉴》。
从4部中任选2部（不考虑选择顺序），所有等可能的结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的结果只有AB这1种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，代入数据得所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率公式，列举法计数，古典概型
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景出题，属于概率模块的基础题型，既考查了学生对基础概率计算方法的掌握，也能帮助学生了解我国古代数学成就，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的情况。
【难度系数】
0.8
这是一道结合传统文化的基础概率计算题，解题思路清晰：首先需要明确古典概型的计算逻辑，即概率等于符合条件的事件数除以所有等可能的总事件数。解题时先统计从4部名著中任选2部的总等可能情况数，再统计恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的符合条件的情况数，最后代入概率公式计算即可，初中阶段可通过枚举法统计事件数，避免重复或遗漏。
【解析】
我们将4部名著做标记：设A代表《周髀算经》，B代表《算学启蒙》，C代表《测圆海镜》，D代表《四元玉鉴》。
从4部中任选2部（不考虑选择顺序），所有等可能的结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的结果只有AB这1种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，代入数据得所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率公式，列举法计数，古典概型
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景出题，属于概率模块的基础题型，既考查了学生对基础概率计算方法的掌握，也能帮助学生了解我国古代数学成就，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的情况。
【难度系数】
0.8
6. 盒子中有$x$枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为$\frac{1}{3}$，则$x$的值是
5
.答案
6.5
解析
【分析】
要解决本题，需结合概率公式列方程求解：首先明确概率的计算公式为$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{事件对应的结果数}}{\mathrm{所有可能的结果数}}$，先确定放入10枚黑棋后，黑棋的总数量和棋子的总数量，再根据给出的概率列出关于x的方程，最后解方程并检验即可。
【解析】
放入10枚黑棋后，黑棋的数量为$(x+10)$枚，
棋子的总数量为：原有黑棋数+原有白棋数+新放入黑棋数$=x+30+10=x+40$枚，
根据取得黑棋的概率为$\frac{1}{3}$，列方程得：
$\frac{x+10}{x+40}=\frac{1}{3}$
交叉相乘去分母得：$3(x+10)=x+40$
去括号得：$3x+30=x+40$
移项、合并同类项得：$2x=10$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，分母$x+40=45≠0$，且符合实际问题的意义，因此$x=5$是原方程的解。
【答案】
5
【知识点】
概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题是基础应用题，解题的核心是准确梳理数量变化，找准概率计算对应的分子、分母，列方程求解即可，注意解分式方程后要检验是否符合实际要求。
【难度系数】
0.85
要解决本题，需结合概率公式列方程求解：首先明确概率的计算公式为$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{事件对应的结果数}}{\mathrm{所有可能的结果数}}$，先确定放入10枚黑棋后，黑棋的总数量和棋子的总数量，再根据给出的概率列出关于x的方程，最后解方程并检验即可。
【解析】
放入10枚黑棋后，黑棋的数量为$(x+10)$枚，
棋子的总数量为：原有黑棋数+原有白棋数+新放入黑棋数$=x+30+10=x+40$枚，
根据取得黑棋的概率为$\frac{1}{3}$，列方程得：
$\frac{x+10}{x+40}=\frac{1}{3}$
交叉相乘去分母得：$3(x+10)=x+40$
去括号得：$3x+30=x+40$
移项、合并同类项得：$2x=10$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，分母$x+40=45≠0$，且符合实际问题的意义，因此$x=5$是原方程的解。
【答案】
5
【知识点】
概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题是基础应用题，解题的核心是准确梳理数量变化，找准概率计算对应的分子、分母，列方程求解即可，注意解分式方程后要检验是否符合实际要求。
【难度系数】
0.85
7. 在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球和4个蓝球.若随机摸出1个蓝球的概率为$\frac{1}{3}$，则随机摸出1个红球的概率为
$\frac{1}{4}$
.答案
7.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，明确概率计算公式：随机事件A的概率P(A)=事件A包含的结果数÷所有可能的结果总数；第二步，根据摸出蓝球的已知概率，先求出袋子里球的总个数；第三步，计算出红球的个数，再代入概率公式求出摸出红球的概率。
【解析】
设口袋里红球的个数为$x$个，则口袋里球的总个数为$x+5+4=x+9$个。
根据随机摸出1个蓝球的概率为$\frac{1}{3}$，结合概率公式可得：
$\frac{4}{x+9}=\frac{1}{3}$
解方程：
两边同乘$3(x+9)$得：$12=x+9$
解得$x=3$，即红球有3个，总球数为$3+5+4=12$个。
则随机摸出1个红球的概率为：$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
概率计算公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率基础应用题型，解题的核心是先通过已知的蓝球概率求出球的总数量，再代入公式计算目标概率，熟练掌握概率的基本计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，明确概率计算公式：随机事件A的概率P(A)=事件A包含的结果数÷所有可能的结果总数；第二步，根据摸出蓝球的已知概率，先求出袋子里球的总个数；第三步，计算出红球的个数，再代入概率公式求出摸出红球的概率。
【解析】
设口袋里红球的个数为$x$个，则口袋里球的总个数为$x+5+4=x+9$个。
根据随机摸出1个蓝球的概率为$\frac{1}{3}$，结合概率公式可得：
$\frac{4}{x+9}=\frac{1}{3}$
解方程：
两边同乘$3(x+9)$得：$12=x+9$
解得$x=3$，即红球有3个，总球数为$3+5+4=12$个。
则随机摸出1个红球的概率为：$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
概率计算公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率基础应用题型，解题的核心是先通过已知的蓝球概率求出球的总数量，再代入公式计算目标概率，熟练掌握概率的基本计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
8. 在一个不透明的盒子里装有三张无差别的卡片，分别标有数字1,2,5，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率为
$\frac{5}{9}$
。答案
8.$\frac{5}{9}$
解析
【分析】
这是一道放回型的两步随机事件概率求解问题，解题思路如下：①首先明确两次抽取是独立的放回试验，每次抽取都有3种等可能的结果，先确定所有等可能的总结果数；②根据“和为偶数”的条件，可知两次抽取的数字需同奇或同偶，可通过列表法或树状图法列举所有结果，筛选出和为偶数的结果数；③最后利用概率公式“P(事件)=符合条件的结果数/所有等可能的结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：由题意，两次抽取为放回试验，通过列表法列举所有等可能的结果如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 和为2 | 和为3 | 和为6 |
| 2 | 和为3 | 和为4 | 和为7 |
| 5 | 和为6 | 和为7 | 和为10 |
所有等可能的结果共9种，其中两次数字之和为偶数的结果有5种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{两次数字之和为偶数})=\frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 概率公式 3. 放回试验概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的试验结果，也可通过奇偶性规律快速判断符合条件的结果，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这是一道放回型的两步随机事件概率求解问题，解题思路如下：①首先明确两次抽取是独立的放回试验，每次抽取都有3种等可能的结果，先确定所有等可能的总结果数；②根据“和为偶数”的条件，可知两次抽取的数字需同奇或同偶，可通过列表法或树状图法列举所有结果，筛选出和为偶数的结果数；③最后利用概率公式“P(事件)=符合条件的结果数/所有等可能的结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：由题意，两次抽取为放回试验，通过列表法列举所有等可能的结果如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 和为2 | 和为3 | 和为6 |
| 2 | 和为3 | 和为4 | 和为7 |
| 5 | 和为6 | 和为7 | 和为10 |
所有等可能的结果共9种，其中两次数字之和为偶数的结果有5种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{两次数字之和为偶数})=\frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 概率公式 3. 放回试验概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的试验结果，也可通过奇偶性规律快速判断符合条件的结果，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
