登录
三、解答题(每题15分,共60分)
9. 一个不透明的口袋中装有6个红球、9个黄球和3个白球,这些球除颜色外其他均相同,从中任意摸出1个球.
（1）求摸到的球是白球的概率；
（2）小明又向这个口袋中放入了6个同样规格的球,若放入前后摸到白球的概率不变,则新放入的6个小球中有多少个白球？
9. 一个不透明的口袋中装有6个红球、9个黄球和3个白球,这些球除颜色外其他均相同,从中任意摸出1个球.
（1）求摸到的球是白球的概率；
（2）小明又向这个口袋中放入了6个同样规格的球,若放入前后摸到白球的概率不变,则新放入的6个小球中有多少个白球？
答案
9.（1）$P(摸到白球)=\frac{3}{6+9+3}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$
（2）设新放入的6个小球中有x个白球,根据题意,得$\frac{3+x}{18+6}=\frac{1}{6}$.解得$x=1$.经检验$x=1$是方程的解,所以新放入的6个小球中有1个白球
（2）设新放入的6个小球中有x个白球,根据题意,得$\frac{3+x}{18+6}=\frac{1}{6}$.解得$x=1$.经检验$x=1$是方程的解,所以新放入的6个小球中有1个白球
解析
【分析】
（1）计算摸到白球的概率可使用等可能事件的概率公式：$P(事件)=\frac{事件对应的结果数}{所有等可能结果总数}$，先求出口袋中球的总数量，再结合白球的数量代入公式计算即可。
（2）本题的核心等量关系为“放入前后摸到白球的概率不变”，设新放入的白球个数为x，分别表示出放入6个球后白球的总数量和球的总数量，结合第一问求出的白球概率列方程，求解后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
（1）口袋中球的总个数为：$6+9+3=18$（个），摸球的所有等可能结果共18种，其中摸到白球的结果有3种，因此：
$P(摸到白球)=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$
（2）设新放入的6个小球中有x个白球，放入后白球总个数为$(3+x)$个，球的总个数为$18+6=24$个，根据放入前后摸到白球的概率不变，列方程得：
$\frac{3+x}{24}=\frac{1}{6}$
去分母得$3+x=4$，解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，分母$24≠0$，且$x=1$符合放入球的数量的实际要求，因此$x=1$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
（1）$\frac{1}{6}$；（2）1个
【知识点】
1. 概率的计算
2. 分式方程的应用
【点评】
本题是概率基础应用题，既考查了等可能事件概率的直接计算，也考查了根据概率等量关系列方程求解实际问题，解题时需注意分式方程的解要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
（1）计算摸到白球的概率可使用等可能事件的概率公式：$P(事件)=\frac{事件对应的结果数}{所有等可能结果总数}$，先求出口袋中球的总数量，再结合白球的数量代入公式计算即可。
（2）本题的核心等量关系为“放入前后摸到白球的概率不变”，设新放入的白球个数为x，分别表示出放入6个球后白球的总数量和球的总数量，结合第一问求出的白球概率列方程，求解后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
（1）口袋中球的总个数为：$6+9+3=18$（个），摸球的所有等可能结果共18种，其中摸到白球的结果有3种，因此：
$P(摸到白球)=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$
（2）设新放入的6个小球中有x个白球，放入后白球总个数为$(3+x)$个，球的总个数为$18+6=24$个，根据放入前后摸到白球的概率不变，列方程得：
$\frac{3+x}{24}=\frac{1}{6}$
去分母得$3+x=4$，解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，分母$24≠0$，且$x=1$符合放入球的数量的实际要求，因此$x=1$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
（1）$\frac{1}{6}$；（2）1个
【知识点】
1. 概率的计算
2. 分式方程的应用
【点评】
本题是概率基础应用题，既考查了等可能事件概率的直接计算，也考查了根据概率等量关系列方程求解实际问题，解题时需注意分式方程的解要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
10. 某学习小组制作了五张卡片，上面分别印有如下五种变化：A. 铁钉生锈；B. 滴水成冰；C. 矿石粉碎；D. 牛奶变质；E. 菠萝榨汁.卡片除内容不同外，其他没有区别.将卡片放置于暗箱中摇匀.
（1）小茜从五张卡片中随机抽取一张，抽中的卡片属于物理变化的概率是
（2）小安从五张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小安抽取两张卡片均属于化学变化的概率.
（1）小茜从五张卡片中随机抽取一张，抽中的卡片属于物理变化的概率是
$\frac{3}{5}$
；（2）小安从五张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小安抽取两张卡片均属于化学变化的概率.
答案
10.（1）由题意知,共有5种等可能的结果,其中抽中的卡片属于物理变化的结果有:B,C,E,共3种,
∴小茜从五张卡片中随机抽取一张,抽中的卡片属于物理变化的概率是$\frac{3}{5}$
（2）列表如下：
共有20种等可能的结果,其中小安抽取两张卡片均属于化学变化的结果有:(A,D),(D,A),共2种,∴小安抽取两张卡片均属于化学变化的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$
解析
【分析】
解题需先区分物理变化和化学变化，再结合概率知识求解：①首先根据“是否有新物质生成”判断5种变化的类型，统计物理变化、化学变化的卡片数量，第一问直接用概率公式（符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可；②第二问是不放回抽取两张卡片，通过列表法列出所有等可能的抽取结果，再筛选出两张均为化学变化的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）首先判断变化类型：有新物质生成的为化学变化，无新物质生成的为物理变化。
其中化学变化为A铁钉生锈、D牛奶变质，共2种；物理变化为B滴水成冰、C矿石粉碎、E菠萝榨汁，共3种。
从5张卡片中随机抽取1张，共有5种等可能的结果，抽中物理变化的结果有3种，因此抽中物理变化的概率为$\frac{3}{5}$。
（2）从五张卡片中随机抽取两张，属于不放回抽取，列表如下：
由列表可得，共有20种等可能的结果，其中两张卡片均属于化学变化的结果有(A,D)、(D,A)，共2种，因此抽取两张均为化学变化的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
【答案】
（1）$\frac{3}{5}$
（2）列表如下：，抽取两张卡片均属于化学变化的概率为$\frac{1}{10}$
【知识点】
物理化学变化判断、概率公式、列表法求概率
【点评】
本题结合物质变化的分类知识考查概率的计算，要求学生先准确判断变化类型再进行概率求解，属于综合类基础题，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题需先区分物理变化和化学变化，再结合概率知识求解：①首先根据“是否有新物质生成”判断5种变化的类型，统计物理变化、化学变化的卡片数量，第一问直接用概率公式（符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可；②第二问是不放回抽取两张卡片，通过列表法列出所有等可能的抽取结果，再筛选出两张均为化学变化的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）首先判断变化类型：有新物质生成的为化学变化，无新物质生成的为物理变化。
其中化学变化为A铁钉生锈、D牛奶变质，共2种；物理变化为B滴水成冰、C矿石粉碎、E菠萝榨汁，共3种。
从5张卡片中随机抽取1张，共有5种等可能的结果，抽中物理变化的结果有3种，因此抽中物理变化的概率为$\frac{3}{5}$。
（2）从五张卡片中随机抽取两张，属于不放回抽取，列表如下：
由列表可得，共有20种等可能的结果，其中两张卡片均属于化学变化的结果有(A,D)、(D,A)，共2种，因此抽取两张均为化学变化的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
【答案】
（1）$\frac{3}{5}$
（2）列表如下：
，抽取两张卡片均属于化学变化的概率为$\frac{1}{10}$【知识点】
物理化学变化判断、概率公式、列表法求概率
【点评】
本题结合物质变化的分类知识考查概率的计算，要求学生先准确判断变化类型再进行概率求解，属于综合类基础题，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 甲、乙、丙三名选手参加“飞花令”比赛，他们通过摸球的方式决定首场比赛的对手：在一个不透明的口袋中放入两个黑球和一个白球，它们除颜色外其他都相同，三人从中各摸出一个球，摸到黑球的两人即为首场比赛的对手.
（1）若甲第一个摸球，则他摸到黑球的概率是
（2）求乙、丙两人成为首场比赛对手的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）.
（1）若甲第一个摸球，则他摸到黑球的概率是
$\frac{2}{3}$
；（2）求乙、丙两人成为首场比赛对手的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）.
答案
11.（1）他摸到黑球的概率是$\frac{2}{3}$
（2）画树状图如下：
列出所有可能的结果有6种,其中符合题意的结果有2种,所以乙、丙两人成为首场比赛对手的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
（1）第一问属于简单的古典概型问题，甲摸球时所有球被摸到的可能性相等，直接用黑球的数量除以总球数即可得到甲摸到黑球的概率。
（2）首先明确乙、丙成为首场对手的条件：两人均摸到黑球，等价于甲摸到白球。我们可以通过画树状图的方式，枚举所有等可能的摸球结果，再统计符合条件的结果数，最后利用概率公式计算即可。
【解析】
（1）口袋中共有3个除颜色外完全相同的球，其中黑球有2个，甲摸球时每个球被摸到的概率相等，因此甲摸到黑球的概率为$\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{3}$。
（2）乙、丙成为首场对手即乙、丙都摸到黑球，也就是甲摸到白球。根据摸球顺序画树状图分析：
首先甲摸球，有3种等可能结果：黑、黑、白；对应甲的每一种结果，乙摸球有2种等可能结果；最后剩余的1个球为丙摸到的球。
由树状图可得，所有等可能的结果共有6种，其中乙、丙均摸到黑球的结果有2种，因此乙、丙成为首场比赛对手的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
（1）$\frac{2}{3}$
（2）画树状图如下：
列出所有可能的结果有6种,其中符合题意的结果有2种,所以乙、丙两人成为首场比赛对手的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 简单概率计算
2. 树状图法求概率
【点评】
本题是概率的基础应用题，第一问直接考查概率公式的基础应用，第二问需要先理清事件成立的条件，再通过树状图枚举所有等可能的结果求解，熟练掌握概率公式和树状图的画法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于简单的古典概型问题，甲摸球时所有球被摸到的可能性相等，直接用黑球的数量除以总球数即可得到甲摸到黑球的概率。
（2）首先明确乙、丙成为首场对手的条件：两人均摸到黑球，等价于甲摸到白球。我们可以通过画树状图的方式，枚举所有等可能的摸球结果，再统计符合条件的结果数，最后利用概率公式计算即可。
【解析】
（1）口袋中共有3个除颜色外完全相同的球，其中黑球有2个，甲摸球时每个球被摸到的概率相等，因此甲摸到黑球的概率为$\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{3}$。
（2）乙、丙成为首场对手即乙、丙都摸到黑球，也就是甲摸到白球。根据摸球顺序画树状图分析：
首先甲摸球，有3种等可能结果：黑、黑、白；对应甲的每一种结果，乙摸球有2种等可能结果；最后剩余的1个球为丙摸到的球。
由树状图可得，所有等可能的结果共有6种，其中乙、丙均摸到黑球的结果有2种，因此乙、丙成为首场比赛对手的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
（1）$\frac{2}{3}$
（2）画树状图如下：
列出所有可能的结果有6种,其中符合题意的结果有2种,所以乙、丙两人成为首场比赛对手的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 简单概率计算
2. 树状图法求概率
【点评】
本题是概率的基础应用题，第一问直接考查概率公式的基础应用，第二问需要先理清事件成立的条件，再通过树状图枚举所有等可能的结果求解，熟练掌握概率公式和树状图的画法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12. 有一个可自由转动的转盘,被分成了三个大小相同的扇形,分别标有数字2,4,6;另有一个不透明的瓶子,装有分别标有数字1,3,5的三个完全相同的小球.小杰先转动一次转盘,停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转),小玉再从瓶子中随机取出一个小球,记下小球上的数字.
(1) 请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果.
(2) 若得到的两数字之和是3的倍数,则小杰赢;若得到的两数字之和是7的倍数,则小玉赢.此游戏公平吗?为什么?
(1) 请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果.
(2) 若得到的两数字之和是3的倍数,则小杰赢;若得到的两数字之和是7的倍数,则小玉赢.此游戏公平吗?为什么?
答案
12.（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种不同结果,即(2,1)(2,3)(2,5)(4,1)(4,3)(4,5)(6,1)(6,3)(6,5)（2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下：
共有9种可能出现的结果,其中“和为3的倍数”的有3种,“和为7的倍数”的有3种,
∴$P_{(小杰胜)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,$P_{(小玉胜)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,因此游戏是公平的
解析
【分析】
（1）本题包含两步独立的等可能随机事件：转动转盘有3种等可能结果（2、4、6），摸球也有3种等可能结果（1、3、5），选择列表法即可不重不漏地列出所有组合结果，将转盘结果作为列、摸球结果作为行，交叉位置就是对应的事件组合。
（2）判断游戏公平性的核心是比较两人获胜的概率是否相等。首先计算所有组合的两数之和，分别统计和为3的倍数、和为7的倍数的情况数，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算两人的获胜概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
（1）采用列表法，以转盘指向的数字为列、摸球得到的数字为行，列出所有组合：
总共有$3×3=9$种等可能的结果，分别为(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)、(6,1)、(6,3)、(6,5)。
（2）分别计算9组数字的和，依次为：3、5、7、5、7、9、7、9、11。
其中和为3的倍数的结果有3种，和为7的倍数的结果有3种。
代入概率公式计算：
$P_{(小杰胜)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P_{(小玉胜)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
两人获胜的概率相等，因此该游戏公平。
【答案】
12.（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种不同结果,即(2,1)(2,3)(2,5)(4,1)(4,3)(4,5)(6,1)(6,3)(6,5)
（2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下：
共有9种可能出现的结果,其中“和为3的倍数”的有3种,“和为7的倍数”的有3种,
∴$P_{(小杰胜)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,$P_{(小玉胜)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,因此游戏是公平的
【知识点】
列表法求概率、概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题是概率基础应用题，通过列表法可以清晰列举所有等可能结果，判断游戏公平性的核心是比较双方获胜的概率是否相等，解题时需先确认所有结果的发生是等可能的。
【难度系数】
0.7
（1）本题包含两步独立的等可能随机事件：转动转盘有3种等可能结果（2、4、6），摸球也有3种等可能结果（1、3、5），选择列表法即可不重不漏地列出所有组合结果，将转盘结果作为列、摸球结果作为行，交叉位置就是对应的事件组合。
（2）判断游戏公平性的核心是比较两人获胜的概率是否相等。首先计算所有组合的两数之和，分别统计和为3的倍数、和为7的倍数的情况数，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算两人的获胜概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
（1）采用列表法，以转盘指向的数字为列、摸球得到的数字为行，列出所有组合：
总共有$3×3=9$种等可能的结果，分别为(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)、(6,1)、(6,3)、(6,5)。
（2）分别计算9组数字的和，依次为：3、5、7、5、7、9、7、9、11。
其中和为3的倍数的结果有3种，和为7的倍数的结果有3种。
代入概率公式计算：
$P_{(小杰胜)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P_{(小玉胜)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
两人获胜的概率相等，因此该游戏公平。
【答案】
12.（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种不同结果,即(2,1)(2,3)(2,5)(4,1)(4,3)(4,5)(6,1)(6,3)(6,5)（2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下：
共有9种可能出现的结果,其中“和为3的倍数”的有3种,“和为7的倍数”的有3种,
∴$P_{(小杰胜)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,$P_{(小玉胜)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,因此游戏是公平的
【知识点】
列表法求概率、概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题是概率基础应用题，通过列表法可以清晰列举所有等可能结果，判断游戏公平性的核心是比较双方获胜的概率是否相等，解题时需先确认所有结果的发生是等可能的。
【难度系数】
0.7
