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一、基础性作业
1. 如图 3-3-1,用棋子摆出下列几个“”,按照这种方法继续摆下去,则第 5 个“”需要用棋子(
A.16 枚
B.20 枚
C.24 枚
D.28 枚
1. 如图 3-3-1,用棋子摆出下列几个“”,按照这种方法继续摆下去,则第 5 个“”需要用棋子(
B
)。A.16 枚
B.20 枚
C.24 枚
D.28 枚
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先从已知的前3个“”入手，先分别数出每个图形的棋子数量，再观察棋子数量和图形序号的对应关系，总结出通用规律，最后把n=5代入规律计算就能得到结果。
【解析】
首先统计前3个“”的棋子数量：
第1个“”：经计数共有4枚棋子，即4=4×1；
第2个“”：经计数共有8枚棋子，即8=4×2；
第3个“”：经计数共有12枚棋子，即12=4×3；
观察可得规律：第n个“”需要的棋子数量为4n。
当求第5个“”的棋子数时，把n=5代入规律：
4×5=20（枚）
【答案】
B
【知识点】
图形规律探索、代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题核心是通过对已知图形的计数，归纳出数量随序号变化的普遍规律，再利用规律求解，做题时注意统计前几个图形棋子数时不要数错即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以先从已知的前3个“”入手，先分别数出每个图形的棋子数量，再观察棋子数量和图形序号的对应关系，总结出通用规律，最后把n=5代入规律计算就能得到结果。
【解析】
首先统计前3个“”的棋子数量：
第1个“”：经计数共有4枚棋子，即4=4×1；
第2个“”：经计数共有8枚棋子，即8=4×2；
第3个“”：经计数共有12枚棋子，即12=4×3；
观察可得规律：第n个“”需要的棋子数量为4n。
当求第5个“”的棋子数时，把n=5代入规律：
4×5=20（枚）
【答案】
B
【知识点】
图形规律探索、代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题核心是通过对已知图形的计数，归纳出数量随序号变化的普遍规律，再利用规律求解，做题时注意统计前几个图形棋子数时不要数错即可。
【难度系数】
0.8
2. 用棋子摆成的“T”形如图3-3-2所示，按照图3-3-2①②③的规律继续摆下去，摆成的第n个“T”形需要的棋子枚数为（
A.$3n+2$
B.$4n+1$
C.$3n+5$
D.$3n+1$
A
）。A.$3n+2$
B.$4n+1$
C.$3n+5$
D.$3n+1$
答案
2.A
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，有两种常用解题思路：一是先数出前几个“T”形的棋子数量，观察数量和图形序号的变化关系，推导通用规律；二是用代入排除法，把前几个图形的序号代入选项，排除不符合的选项即可得到答案，两种方法都符合七年级的知识要求。
【解析】
方法一：找规律推导
先统计前3个图形的棋子数量：
第1个图（n=1）：共5枚棋子；
第2个图（n=2）：共8枚棋子，比第1个多3枚；
第3个图（n=3）：共11枚棋子，比第2个多3枚；
可得规律：每增加1个序号，棋子数增加3，首项为5，因此第n个图的棋子数为：
$5+3(n-1)=3n+2$。
方法二：代入排除法
将n=1代入各选项：
A：$3×1+2=5$，符合；B：$4×1+1=5$，暂时符合；
C：$3×1+5=8$，不符合，排除；D：$3×1+1=4$，不符合，排除；
再将n=2代入剩余选项：
A：$3×2+2=8$，符合；B：$4×2+1=9$，不符合，排除；
因此只有A选项符合规律。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是观察到相邻图形的棋子数差值固定，既可以通过数值推导通项公式，也可以用代入法快速验证选项，侧重考查观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，有两种常用解题思路：一是先数出前几个“T”形的棋子数量，观察数量和图形序号的变化关系，推导通用规律；二是用代入排除法，把前几个图形的序号代入选项，排除不符合的选项即可得到答案，两种方法都符合七年级的知识要求。
【解析】
方法一：找规律推导
先统计前3个图形的棋子数量：
第1个图（n=1）：共5枚棋子；
第2个图（n=2）：共8枚棋子，比第1个多3枚；
第3个图（n=3）：共11枚棋子，比第2个多3枚；
可得规律：每增加1个序号，棋子数增加3，首项为5，因此第n个图的棋子数为：
$5+3(n-1)=3n+2$。
方法二：代入排除法
将n=1代入各选项：
A：$3×1+2=5$，符合；B：$4×1+1=5$，暂时符合；
C：$3×1+5=8$，不符合，排除；D：$3×1+1=4$，不符合，排除；
再将n=2代入剩余选项：
A：$3×2+2=8$，符合；B：$4×2+1=9$，不符合，排除；
因此只有A选项符合规律。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是观察到相邻图形的棋子数差值固定，既可以通过数值推导通项公式，也可以用代入法快速验证选项，侧重考查观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
3. 图3-3-3是用长度相等的小棒按一定规律摆成的几个图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒……则第6个图案中有
31
根小棒。答案
3.31
解析
【分析】
解题时先观察相邻图案的小棒数量变化：第1个图案有6根小棒，第2个比第1个多5根，共11根，可推测每多1组组合图形（1个正方形+1个三角形）就增加5根小棒。接下来我们可以把每个图案的小棒数量和对应序号关联，推导通用公式，最后把n=6代入公式就能算出结果。
【解析】
我们先整理前几个图案的小棒数量规律：
第1个图案：小棒数 = 6 = 5×1 + 1；
第2个图案：小棒数 = 11 = 5×2 + 1；
第3个图案：计数可知小棒数为16，即16 = 5×3 + 1；
由此可归纳得到规律：第n个图案的小棒数量为 $5n+1$（n为正整数）。
当n=6时，代入公式得：$5×6 +1 = 30 +1 =31$。
【答案】
31
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是常见的图形类规律探究题，解题核心是找到相邻图形的小棒数量的固定增量，再结合序号推导通用规律，代入数值计算即可得出答案。
【难度系数】
0.7
解题时先观察相邻图案的小棒数量变化：第1个图案有6根小棒，第2个比第1个多5根，共11根，可推测每多1组组合图形（1个正方形+1个三角形）就增加5根小棒。接下来我们可以把每个图案的小棒数量和对应序号关联，推导通用公式，最后把n=6代入公式就能算出结果。
【解析】
我们先整理前几个图案的小棒数量规律：
第1个图案：小棒数 = 6 = 5×1 + 1；
第2个图案：小棒数 = 11 = 5×2 + 1；
第3个图案：计数可知小棒数为16，即16 = 5×3 + 1；
由此可归纳得到规律：第n个图案的小棒数量为 $5n+1$（n为正整数）。
当n=6时，代入公式得：$5×6 +1 = 30 +1 =31$。
【答案】
31
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是常见的图形类规律探究题，解题核心是找到相邻图形的小棒数量的固定增量，再结合序号推导通用规律，代入数值计算即可得出答案。
【难度系数】
0.7
4. 如图3-3-4，用棋子摆出下列一组图形，如果按照这种规律继续摆下去，那么第6个图形里棋子的枚数为
37
。答案
4.37
解析
【分析】
遇到这类图形规律探究题，解题思路分三步：第一步先数出前几个已知图形的棋子数量，第二步将数量和图形序号一一对应，观察数字和序号的关系总结通用规律，第三步将所求序号代入规律计算结果。本题先数得第1到第4个图形的棋子数分别为2、5、10、17，对比序号1~4，可发现每个棋子数都等于对应序号的平方加1，总结出规律后代入n=6即可求解。
【解析】
先统计前4个图形的棋子枚数：
第1个图形：棋子枚数=2=1²+1
第2个图形：棋子枚数=5=2²+1
第3个图形：棋子枚数=10=3²+1
第4个图形：棋子枚数=17=4²+1
由此可推导规律：第n个图形的棋子枚数为 $n^2 + 1$。
当n=6时，棋子枚数= $6^2 + 1 = 36 + 1 = 37$。
【答案】
37
【知识点】
探索与表达规律，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是常见的图形规律类题目，核心是通过“数数量-找规律-代值计算”的步骤求解，重点考查观察、归纳能力，熟练掌握数字规律的观察方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
遇到这类图形规律探究题，解题思路分三步：第一步先数出前几个已知图形的棋子数量，第二步将数量和图形序号一一对应，观察数字和序号的关系总结通用规律，第三步将所求序号代入规律计算结果。本题先数得第1到第4个图形的棋子数分别为2、5、10、17，对比序号1~4，可发现每个棋子数都等于对应序号的平方加1，总结出规律后代入n=6即可求解。
【解析】
先统计前4个图形的棋子枚数：
第1个图形：棋子枚数=2=1²+1
第2个图形：棋子枚数=5=2²+1
第3个图形：棋子枚数=10=3²+1
第4个图形：棋子枚数=17=4²+1
由此可推导规律：第n个图形的棋子枚数为 $n^2 + 1$。
当n=6时，棋子枚数= $6^2 + 1 = 36 + 1 = 37$。
【答案】
37
【知识点】
探索与表达规律，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是常见的图形规律类题目，核心是通过“数数量-找规律-代值计算”的步骤求解，重点考查观察、归纳能力，熟练掌握数字规律的观察方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 如图3-3-5,每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5个菱形,则第4幅图中有
7
个菱形,第n幅图中有2n-1
个菱形。答案
5.7 (2n-1)
解析
【分析】
解决本题首先从已知的前3幅图的菱形数量切入，先找数量变化规律：观察可得第1幅有1个，第2幅有3个，第3幅有5个，相邻两幅图的菱形数量相差2，即每增加1幅图，菱形数量增加2，因此第4幅的菱形数量为第3幅的数量加2；再推导第n幅的通用规律：结合每幅图的序号和对应菱形数量的关系，可归纳出第n幅的菱形数量表达式。
【解析】
观察已知图形对应的菱形数量：
第1幅图：1个，可写为$2× 1 -1=1$；
第2幅图：3个，可写为$2× 2 -1=3$；
第3幅图：5个，可写为$2× 3 -1=5$；
按照此规律：
第4幅图的菱形数量为$2× 4 -1=7$；
第n幅图的菱形数量为$2n-1$。
【答案】
7；$\boldsymbol{2n-1}$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是典型的规律探索类基础题，解题核心是通过观察前几个特殊项的数量特征，找到数量和序号之间的对应关系，进而归纳出通用的表达式，这类题型能很好地锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
解决本题首先从已知的前3幅图的菱形数量切入，先找数量变化规律：观察可得第1幅有1个，第2幅有3个，第3幅有5个，相邻两幅图的菱形数量相差2，即每增加1幅图，菱形数量增加2，因此第4幅的菱形数量为第3幅的数量加2；再推导第n幅的通用规律：结合每幅图的序号和对应菱形数量的关系，可归纳出第n幅的菱形数量表达式。
【解析】
观察已知图形对应的菱形数量：
第1幅图：1个，可写为$2× 1 -1=1$；
第2幅图：3个，可写为$2× 2 -1=3$；
第3幅图：5个，可写为$2× 3 -1=5$；
按照此规律：
第4幅图的菱形数量为$2× 4 -1=7$；
第n幅图的菱形数量为$2n-1$。
【答案】
7；$\boldsymbol{2n-1}$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是典型的规律探索类基础题，解题核心是通过观察前几个特殊项的数量特征，找到数量和序号之间的对应关系，进而归纳出通用的表达式，这类题型能很好地锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
6. 根据图 3-3-6 中数的规律，空格中应填上的数是
17;38
。（按从左往右的顺序）答案
6.17;38
解析
【分析】
先分位置观察前三个图形中数字的对应关系，分两步推导规律：第一步先找左下位置数的规律，对比左上数和左下数的运算关系；第二步找右侧数与左上、左下数的运算关系，验证前三个图形的规律成立后，代入第四个图形的左上数计算即可得到结果。
【解析】
解：分别推导两个空格的规律：
1. 求左下空格的数：
观察前3个图的数字：
第1个图左上为1，左下数：$1^2+1=2$
第2个图左上为2，左下数：$2^2+1=5$
第3个图左上为3，左下数：$3^2+1=10$
总结规律：若左上数为$n$，则左下数为$n^2+1$
第4个图左上数为4，因此左下空格的数为：$4^2+1=17$
2. 求右侧空格的数：
观察前3个图的数字：
第1个图：$2×2+1=5$
第2个图：$5×2+2=12$
第3个图：$10×2+3=23$
总结规律：右侧数=左下数×2 + 左上数
第4个图左下数为17，左上数为4，因此右侧空格的数为：$17×2+4=38$
【答案】
17；38
【知识点】
规律探索，有理数运算
【点评】
本题是常见的数字规律探究题，需要从不同位置的数字关系入手寻找运算规律，解题时要注意对总结的规律进行验证，确保规律符合所有已知示例后再计算未知项。
【难度系数】
0.7
先分位置观察前三个图形中数字的对应关系，分两步推导规律：第一步先找左下位置数的规律，对比左上数和左下数的运算关系；第二步找右侧数与左上、左下数的运算关系，验证前三个图形的规律成立后，代入第四个图形的左上数计算即可得到结果。
【解析】
解：分别推导两个空格的规律：
1. 求左下空格的数：
观察前3个图的数字：
第1个图左上为1，左下数：$1^2+1=2$
第2个图左上为2，左下数：$2^2+1=5$
第3个图左上为3，左下数：$3^2+1=10$
总结规律：若左上数为$n$，则左下数为$n^2+1$
第4个图左上数为4，因此左下空格的数为：$4^2+1=17$
2. 求右侧空格的数：
观察前3个图的数字：
第1个图：$2×2+1=5$
第2个图：$5×2+2=12$
第3个图：$10×2+3=23$
总结规律：右侧数=左下数×2 + 左上数
第4个图左下数为17，左上数为4，因此右侧空格的数为：$17×2+4=38$
【答案】
17；38
【知识点】
规律探索，有理数运算
【点评】
本题是常见的数字规律探究题，需要从不同位置的数字关系入手寻找运算规律，解题时要注意对总结的规律进行验证，确保规律符合所有已知示例后再计算未知项。
【难度系数】
0.7
7. 某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图3-3-7①表示此基本图形中的地砖排列方式。将图3-3-7①这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图3-3-7②③。显然，图3-3-7①中共有6个矩形，图3-3-7②中共有18个矩形，图3-3-7③中共有36个矩形，……，按照以上规律，解决下列问题：
(1)图3-3-7④中共有
(2)图3-3-7ⓝ中共有
(3)已知图3-3-7①的面积为1.5 m²，若该人行道的面积为600 m²，求该人行道图案上共有多少个矩形。
(1)图3-3-7④中共有
60
个矩形；(2)图3-3-7ⓝ中共有
3n(n+1)
个矩形（用含n的代数式表示）；(3)已知图3-3-7①的面积为1.5 m²，若该人行道的面积为600 m²，求该人行道图案上共有多少个矩形。
答案
7. 解:(1)60 解析:根据6=3×1×2,18=3×2×3,36=3×4,推出题图3-3-7④中的矩形个数为3×4×5=60(个)。
故答案为:60。
(2)3n(n+1) 解析:由(1)可知,题图3-3-7 ⓝ中共有3n(n+1)个矩形。
故答案为:3n(n+1)。
(3)由观察可知,题图3-3-7 ⓝ的面积是题图3-3-7①面积的n倍，
∴当1.5n=600时,n=400，
当n=400时,3n(n+1)=3×400×401=481 200，
故该人行道图案上共有481 200个矩形。
故答案为:60。
(2)3n(n+1) 解析:由(1)可知,题图3-3-7 ⓝ中共有3n(n+1)个矩形。
故答案为:3n(n+1)。
(3)由观察可知,题图3-3-7 ⓝ的面积是题图3-3-7①面积的n倍，
∴当1.5n=600时,n=400，
当n=400时,3n(n+1)=3×400×401=481 200，
故该人行道图案上共有481 200个矩形。
解析
【分析】
我们先从已知的3个图形的矩形数量入手，分析数量和图形序号的关系：先把图①、②、③的矩形数拆成和序号n相关的乘法式子，找到通用规律后，就能解决第(1)(2)问；第(3)问先观察基本图形和组合图形的面积关系：每增加1个基本图形，序号n就加1，面积就多1个基本图形的面积，先根据总面积求出n的值，再代入第(2)问的规律式就能算出矩形总个数。
【解析】
(1) 整理已知的矩形数量规律：
当$n=1$（图①）时，矩形个数$=6=3×1×2$；
当$n=2$（图②）时，矩形个数$=18=3×2×3$；
当$n=3$（图③）时，矩形个数$=36=3×3×4$；
因此当$n=4$（图④）时，矩形个数$=3×4×5=60$。
(2) 结合(1)的规律可归纳得出，第$n$个图形的矩形个数为$3n(n+1)$。
(3) 观察图形可知：第$n$个图形是由$n$个图①的基本图形拼接而成，因此第$n$个图形的面积是图①面积的$n$倍。
已知图①面积为$1.5\ \mathrm{m}^2$，人行道总面积为$600\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$1.5n=600$
解得$n=400$
将$n=400$代入$3n(n+1)$得：
$3×400×(400+1)=3×400×401=481200$（个）
【答案】
(1) $\boxed{60}$
(2) $\boxed{3n(n+1)}$
(3) $\boxed{481200}$个
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类的典型题型，需要通过观察已知数据归纳出通用规律，再结合实际场景的数量关系应用规律解题，能有效锻炼归纳推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
我们先从已知的3个图形的矩形数量入手，分析数量和图形序号的关系：先把图①、②、③的矩形数拆成和序号n相关的乘法式子，找到通用规律后，就能解决第(1)(2)问；第(3)问先观察基本图形和组合图形的面积关系：每增加1个基本图形，序号n就加1，面积就多1个基本图形的面积，先根据总面积求出n的值，再代入第(2)问的规律式就能算出矩形总个数。
【解析】
(1) 整理已知的矩形数量规律：
当$n=1$（图①）时，矩形个数$=6=3×1×2$；
当$n=2$（图②）时，矩形个数$=18=3×2×3$；
当$n=3$（图③）时，矩形个数$=36=3×3×4$；
因此当$n=4$（图④）时，矩形个数$=3×4×5=60$。
(2) 结合(1)的规律可归纳得出，第$n$个图形的矩形个数为$3n(n+1)$。
(3) 观察图形可知：第$n$个图形是由$n$个图①的基本图形拼接而成，因此第$n$个图形的面积是图①面积的$n$倍。
已知图①面积为$1.5\ \mathrm{m}^2$，人行道总面积为$600\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$1.5n=600$
解得$n=400$
将$n=400$代入$3n(n+1)$得：
$3×400×(400+1)=3×400×401=481200$（个）
【答案】
(1) $\boxed{60}$
(2) $\boxed{3n(n+1)}$
(3) $\boxed{481200}$个
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类的典型题型，需要通过观察已知数据归纳出通用规律，再结合实际场景的数量关系应用规律解题，能有效锻炼归纳推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
