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二、拓展性作业
10. 阅读材料：
计算$(-3x^3 + 5x^2 - 7)+(2x - 3 + 3x^2)$时，可列竖式如图3-2-1①所示。
小明认为，整式的加减实际上就是合并同类项，而合并同类项的关键是合并各同类项的系数，因此，可以把上题的竖式简化为如图3-2-1②所示的形式。
所以原式$=-3x^3 +8x^2 +2x -10$。
根据阅读材料解答下列问题：
已知$A=-2x -3x^3 +1 +x^4$，$B=2x^3 -4x^2 +x$。
(1)将A按x的降幂排列：
(2)请仿照小明的方法计算：$A-B$；
(3)请写出一个多项式$C=$
10. 阅读材料：
计算$(-3x^3 + 5x^2 - 7)+(2x - 3 + 3x^2)$时，可列竖式如图3-2-1①所示。
小明认为，整式的加减实际上就是合并同类项，而合并同类项的关键是合并各同类项的系数，因此，可以把上题的竖式简化为如图3-2-1②所示的形式。
所以原式$=-3x^3 +8x^2 +2x -10$。
根据阅读材料解答下列问题：
已知$A=-2x -3x^3 +1 +x^4$，$B=2x^3 -4x^2 +x$。
(1)将A按x的降幂排列：
$x^4 - 3x^3 - 2x + 1$
；(2)请仿照小明的方法计算：$A-B$；
(3)请写出一个多项式$C=$
$-2x^3+1$(答案不唯一)
，使其与B的和是二次三项式。答案
10. 解:(1)$x^4 - 3x^3 - 2x + 1$
(2)$A-B=(x^4 - 3x^3 - 2x + 1)-(2x^3 - 4x^2 + x)$,
如答图3-2-1：
$\begin{array}{r}1 - 3 + 0 - 2 + 1 \\ -)\quad 0 + 2 - 4 + 1 + 0 \\ \hline 1 - 5 + 4 - 3 + 1\end{array}$
答图3-2-1
所以$A-B=x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 3x + 1$。
(3)$-2x^3+1$(答案不唯一) 解析:令$C=-2x^3+1$,则$C+B=(-2x^3+1)+(2x^3 - 4x^2 + x)=-2x^3+1+2x^3 - 4x^2 + x=-4x^2 + x + 1$,多项式$-4x^2 + x + 1$是二次三项式。
(2)$A-B=(x^4 - 3x^3 - 2x + 1)-(2x^3 - 4x^2 + x)$,
如答图3-2-1：
$\begin{array}{r}1 - 3 + 0 - 2 + 1 \\ -)\quad 0 + 2 - 4 + 1 + 0 \\ \hline 1 - 5 + 4 - 3 + 1\end{array}$
答图3-2-1
所以$A-B=x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 3x + 1$。
(3)$-2x^3+1$(答案不唯一) 解析:令$C=-2x^3+1$,则$C+B=(-2x^3+1)+(2x^3 - 4x^2 + x)=-2x^3+1+2x^3 - 4x^2 + x=-4x^2 + x + 1$,多项式$-4x^2 + x + 1$是二次三项式。
解析
【分析】
(1) 按x的降幂排列的核心是将多项式各项按照x的次数从高到低重新排列，注意移动项时要带上项本身的符号；
(2) 仿照材料的系数竖式法计算A-B，首先要将A、B都按x的降幂排列，缺少的对应次数项补系数0，再将对应次数的系数相减，最后把得到的系数还原为对应次数的项即可；
(3) 要使C与B的和为二次三项式，首先需要消去B中的三次项，因此C的三次项系数应为-2，再添加合适的项保证合并后是二次三项式即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 多项式$A=-2x -3x^3 +1 +x^4$的各项次数分别为：$x^4$是4次，$-3x^3$是3次，$-2x$是1次，1是0次，按降幂排列得：$x^4 - 3x^3 - 2x + 1$；
(2) 先将A、B都按x的降幂排列，缺项补系数0：
A的系数从四次项到常数项依次为：1（$x^4$系数）、-3（$x^3$系数）、0（$x^2$系数）、-2（$x$系数）、1（常数项）；
B的系数从四次项到常数项依次为：0（$x^4$系数）、2（$x^3$系数）、-4（$x^2$系数）、1（$x$系数）、0（常数项）；
列减法竖式：
$\begin{array}{r}1 - 3 + 0 - 2 + 1 \\ -)\quad 0 + 2 - 4 + 1 + 0 \\ \hline 1 - 5 + 4 - 3 + 1\end{array}$
将所得系数对应还原为多项式，得$A-B=x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 3x + 1$；
(3) 要使C+B是二次三项式，需消去B的三次项$2x^3$，因此C中三次项为$-2x^3$，再添加常数项1，即$C=-2x^3+1$，验证：$C+B=(-2x^3+1)+(2x^3 -4x^2 +x)=-4x^2+x+1$，是二次三项式，符合要求。
【答案】
(1)$x^4 - 3x^3 - 2x + 1$
(2)$x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 3x + 1$
(3)$-2x^3+1$（答案不唯一）
【知识点】
多项式的排列、整式的加减、合并同类项
【点评】
本题结合新颖的系数竖式计算方法，考查整式加减的核心知识点，既侧重基础运算能力的考查，也通过开放性问题锻炼思维的灵活性，能够有效检验对整式相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 按x的降幂排列的核心是将多项式各项按照x的次数从高到低重新排列，注意移动项时要带上项本身的符号；
(2) 仿照材料的系数竖式法计算A-B，首先要将A、B都按x的降幂排列，缺少的对应次数项补系数0，再将对应次数的系数相减，最后把得到的系数还原为对应次数的项即可；
(3) 要使C与B的和为二次三项式，首先需要消去B中的三次项，因此C的三次项系数应为-2，再添加合适的项保证合并后是二次三项式即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 多项式$A=-2x -3x^3 +1 +x^4$的各项次数分别为：$x^4$是4次，$-3x^3$是3次，$-2x$是1次，1是0次，按降幂排列得：$x^4 - 3x^3 - 2x + 1$；
(2) 先将A、B都按x的降幂排列，缺项补系数0：
A的系数从四次项到常数项依次为：1（$x^4$系数）、-3（$x^3$系数）、0（$x^2$系数）、-2（$x$系数）、1（常数项）；
B的系数从四次项到常数项依次为：0（$x^4$系数）、2（$x^3$系数）、-4（$x^2$系数）、1（$x$系数）、0（常数项）；
列减法竖式：
$\begin{array}{r}1 - 3 + 0 - 2 + 1 \\ -)\quad 0 + 2 - 4 + 1 + 0 \\ \hline 1 - 5 + 4 - 3 + 1\end{array}$
将所得系数对应还原为多项式，得$A-B=x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 3x + 1$；
(3) 要使C+B是二次三项式，需消去B的三次项$2x^3$，因此C中三次项为$-2x^3$，再添加常数项1，即$C=-2x^3+1$，验证：$C+B=(-2x^3+1)+(2x^3 -4x^2 +x)=-4x^2+x+1$，是二次三项式，符合要求。
【答案】
(1)$x^4 - 3x^3 - 2x + 1$
(2)$x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 3x + 1$
(3)$-2x^3+1$（答案不唯一）
【知识点】
多项式的排列、整式的加减、合并同类项
【点评】
本题结合新颖的系数竖式计算方法，考查整式加减的核心知识点，既侧重基础运算能力的考查，也通过开放性问题锻炼思维的灵活性，能够有效检验对整式相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
11. 阅读下列材料，完成相应的任务：
对称式
在一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式。例如：代数式 $abc$ 中任意两个字母交换位置，可得到代数式 $bac, acb, cba$。因为 $abc = bac = acb = cba$，所以 $abc$ 是对称式。而交换代数式 $a - b$ 中字母 $a, b$ 的位置，得到代数式 $b - a$，因为 $a - b$ 与 $b - a$ 不一定相等，所以 $a - b$ 不是对称式。
任务：
(1)下列代数式中，是对称式的是
①$a + b + c$；②$a^2 + b^2$；③$a^2b$；④$\frac{a}{b}$。
(2)写出一个只含有字母 $x, y$ 的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6。
(3)已知 $A = 2a^2 + 4b^2, B = a^2 - 2ab$，求 $A + 2B$，并直接判断所得结果是不是对称式。
对称式
在一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式。例如：代数式 $abc$ 中任意两个字母交换位置，可得到代数式 $bac, acb, cba$。因为 $abc = bac = acb = cba$，所以 $abc$ 是对称式。而交换代数式 $a - b$ 中字母 $a, b$ 的位置，得到代数式 $b - a$，因为 $a - b$ 与 $b - a$ 不一定相等，所以 $a - b$ 不是对称式。
任务：
(1)下列代数式中，是对称式的是
①②
（填序号）。①$a + b + c$；②$a^2 + b^2$；③$a^2b$；④$\frac{a}{b}$。
(2)写出一个只含有字母 $x, y$ 的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6。
(3)已知 $A = 2a^2 + 4b^2, B = a^2 - 2ab$，求 $A + 2B$，并直接判断所得结果是不是对称式。
答案
11. 解:(1)①②
解析:由定义可知①②是对称式。
(2)略。
(3)因为 $A=2a^2 + 4b^2$,$B=a^2 - 2ab$,
所以 $A+2B=2a^2 + 4b^2 + 2(a^2 - 2ab)$
$=2a^2 + 4b^2 + 2a^2 - 4ab = 4a^2 + 4b^2 - 4ab$,
结果是对称式。
解析:由定义可知①②是对称式。
(2)略。
(3)因为 $A=2a^2 + 4b^2$,$B=a^2 - 2ab$,
所以 $A+2B=2a^2 + 4b^2 + 2(a^2 - 2ab)$
$=2a^2 + 4b^2 + 2a^2 - 4ab = 4a^2 + 4b^2 - 4ab$,
结果是对称式。
解析
【分析】
解题时紧扣对称式的核心定义：交换代数式中任意两个字母的位置，代数式的值不变，再结合对应考点逐一解决：
(1)逐个判断4个代数式：交换任意两个字母后，①的和不变，②的平方和不变，③交换a、b后变为b²a，与原式a²b不一定相等，④交换a、b后变为b/a，与原式a/b不一定相等，即可得出符合要求的序号；
(2)要写含x、y的6次对称单项式，需满足交换x、y后单项式不变，因此x、y的次数相等，总次数为6，可得x、y的次数均为3，即可写出符合要求的单项式；
(3)先将A、B代入A+2B，再按照整式加减的步骤：先去括号，再合并同类项得到化简结果，最后交换a、b的位置验证结果是否和原式相等，即可判断是否为对称式。
【解析】
(1)根据对称式的定义判断：
①交换a、b、c中任意两个字母的位置，相加的结果不变，是对称式；
②交换a、b的位置，b²+a²=a²+b²，值不变，是对称式；
③交换a、b的位置得b²a，与a²b不一定相等，不是对称式；
④交换a、b的位置得b/a，与a/b不一定相等，不是对称式；
故填①②。
(2)要求是只含x、y的单项式，是对称式且次数为6，则x和y的次数均为3即可，例如$x^3y^3$（答案不唯一）。
(3)将$A = 2a^2 + 4b^2$，$B = a^2 - 2ab$代入$A + 2B$得：
$\begin{aligned}A+2B&=2a^2 + 4b^2 + 2(a^2 - 2ab)\\&=2a^2 + 4b^2 + 2a^2 - 4ab\\&=4a^2 + 4b^2 - 4ab\end{aligned}$
交换a、b的位置得$4b^2 + 4a^2 - 4ba$，和原式相等，因此所得结果是对称式。
【答案】
(1)①②；
(2)$x^3y^3$（答案不唯一）；
(3)$A+2B=4a^2 + 4b^2 - 4ab$，是对称式。
【知识点】
对称式的定义，整式的加减，单项式的次数
【点评】
本题以新定义题型为载体，核心考查对新定义的理解与应用能力，同时结合了整式加减的基础运算，解题关键是抓住对称式“交换任意两个字母值不变”的核心特征进行判断和构造。
【难度系数】
0.8
解题时紧扣对称式的核心定义：交换代数式中任意两个字母的位置，代数式的值不变，再结合对应考点逐一解决：
(1)逐个判断4个代数式：交换任意两个字母后，①的和不变，②的平方和不变，③交换a、b后变为b²a，与原式a²b不一定相等，④交换a、b后变为b/a，与原式a/b不一定相等，即可得出符合要求的序号；
(2)要写含x、y的6次对称单项式，需满足交换x、y后单项式不变，因此x、y的次数相等，总次数为6，可得x、y的次数均为3，即可写出符合要求的单项式；
(3)先将A、B代入A+2B，再按照整式加减的步骤：先去括号，再合并同类项得到化简结果，最后交换a、b的位置验证结果是否和原式相等，即可判断是否为对称式。
【解析】
(1)根据对称式的定义判断：
①交换a、b、c中任意两个字母的位置，相加的结果不变，是对称式；
②交换a、b的位置，b²+a²=a²+b²，值不变，是对称式；
③交换a、b的位置得b²a，与a²b不一定相等，不是对称式；
④交换a、b的位置得b/a，与a/b不一定相等，不是对称式；
故填①②。
(2)要求是只含x、y的单项式，是对称式且次数为6，则x和y的次数均为3即可，例如$x^3y^3$（答案不唯一）。
(3)将$A = 2a^2 + 4b^2$，$B = a^2 - 2ab$代入$A + 2B$得：
$\begin{aligned}A+2B&=2a^2 + 4b^2 + 2(a^2 - 2ab)\\&=2a^2 + 4b^2 + 2a^2 - 4ab\\&=4a^2 + 4b^2 - 4ab\end{aligned}$
交换a、b的位置得$4b^2 + 4a^2 - 4ba$，和原式相等，因此所得结果是对称式。
【答案】
(1)①②；
(2)$x^3y^3$（答案不唯一）；
(3)$A+2B=4a^2 + 4b^2 - 4ab$，是对称式。
【知识点】
对称式的定义，整式的加减，单项式的次数
【点评】
本题以新定义题型为载体，核心考查对新定义的理解与应用能力，同时结合了整式加减的基础运算，解题关键是抓住对称式“交换任意两个字母值不变”的核心特征进行判断和构造。
【难度系数】
0.8
