1. 下列运算正确的是()。

A.$a + a^2 = a^3$
B.$4a^2 - 2a^2 = 2a^2$
C.$3a - a = 2$
D.$-2(a - 2) = -2a -4$

1.B

【分析】
这道题考查整式的加减相关运算，解题时需要先明确核心规则：①只有同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）才能合并，合并同类项时，仅把系数相加减，字母和字母的指数保持不变；②去括号时，若括号前的系数为负数，去掉括号后括号内每一项都要变号，同时括号外的系数要乘遍括号内的每一项。我们逐个验证四个选项的运算是否符合规则即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$a$和$a^2$所含字母相同，但相同字母$a$的指数分别为1和2，不属于同类项，不能直接合并，因此运算错误；
B选项：$4a^2$和$2a^2$是同类项，合并时系数相减：$4-2=2$，字母和指数不变，结果为$2a^2$，运算正确；
C选项：$3a - a$是同类项合并，系数相减得$3-1=2$，字母$a$保留，结果应为$2a$，而非$2$，运算错误；
D选项：去括号时，$-2$需要分别乘括号内的两项：$-2× a + (-2)×(-2) = -2a + 4$，而非$-2a-4$，运算错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项，去括号法则
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对基础运算法则的掌握，做题时要注意区分同类项，合并同类项不要漏掉字母，去括号时既不要漏乘括号内的项，也不要弄错符号。
【难度系数】
0.8

2. 下列去括号正确的是()。

A.$a^2 - (2a - b + c) = a^2 - 2a + b + c$
B.$(a + 1) - (-b + c) = a + 1 + b + c$
C.$3a - 5(b + 1) = 3a - 5b -5$
D.$-2(a - b) = -2a -2b$

2.C

【分析】
本题考查去括号法则的应用，解题时先明确去括号的核心规则：1.括号前是“+”时，去掉括号和前面的“+”，括号内所有项的符号都不变；2.括号前是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内所有项的符号都要改变；3.若括号前带有数字系数，去括号时要将这个系数乘遍括号内的每一项，不能漏乘。接下来按照上述规则逐一验证每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
A选项：$a^2 - (2a - b + c)$，括号前为负号，去括号后各项变号，结果应为$a^2 - 2a + b - c$，选项中最后一项符号错误，不符合要求；
B选项：$(a + 1) - (-b + c)$，第二个括号前为负号，去括号后变为$+b - c$，最终结果应为$a + 1 + b - c$，选项中最后一项符号错误，不符合要求；
C选项：$3a - 5(b + 1)$，将-5乘括号内每一项，得$-5×b + (-5)×1=-5b -5$，最终结果为$3a - 5b -5$，计算正确，符合要求；
D选项：$-2(a - b)$，将-2乘括号内每一项，得$-2×a + (-2)×(-b)=-2a + 2b$，选项中最后一项符号错误，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则，乘法分配律
【点评】
本题是整式运算的基础题型，易错点为括号前是负号时漏改某项符号，或括号前带系数时漏乘括号内的常数项，熟练掌握去括号规则即可正确作答。
【难度系数】
0.7

3. $a - b - c + d = a - b - (\_\_\_\_\_\_) = a + (\_\_\_\_\_\_) = a - (\_\_\_\_\_\_)$

3. $c-d$ $-b-c+d$ $b+c-d$

【分析】
本题考查添括号法则的应用，解题时需根据括号前的符号判断括号内各项的符号变化：若括号前是正号，括到括号里的各项都不变符号；若括号前是负号，括到括号里的各项都要改变符号。我们可以逐一对三个空进行推导，每一步都对照添括号的符号规则验证即可。
【解析】
1. 推导第一个空：
原式为$a - b - c + d$，等式变形为$a - b - (\_\_\_\_\_\_)$，即要把$-c+d$放到前面带“$-$”的括号中。根据添括号法则，括号前为负号，括号内各项需变号：$-c$变为$c$，$+d$变为$-d$，因此第一个空填$c-d$。
2. 推导第二个空：
等式变形为$a + (\_\_\_\_\_\_)$，括号前为“$+$”，括到括号里的各项符号不变，将$a$后面的$-b-c+d$整体放入括号即可，因此第二个空填$-b-c+d$。
3. 推导第三个空：
等式变形为$a - (\_\_\_\_\_\_)$，即要把$-b-c+d$放到前面带“$-$”的括号中，括号前为负号，括号内各项需变号：$-b$变为$b$，$-c$变为$c$，$+d$变为$-d$，因此第三个空填$b+c-d$。
【答案】
$c-d$；$-b-c+d$；$b+c-d$
【知识点】
添括号法则；整式的恒等变形
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对添括号时符号变化规则的掌握，做题时要注意先判断括号前的正负符号，再对应调整括号内各项的符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.7

4. 已知 $ x + 2y = 3 $，则 $ 1 + 2x + 4y = \_\_\_\_\_\_ $。

4.7

【分析】
本题已知$x+2y$的取值，要求对应代数式的值，解题时不需要单独求解$x$和$y$的具体数值，观察待求式中$2x+4y$部分，可发现其是已知式$x+2y$的2倍，因此采用整体代入的思路即可快速解题：首先将待求式的后两项提取公因数2，变形为含有$x+2y$的结构，再将$x+2y=3$代入计算即可得到结果。
【解析】
解：先对待求式进行变形：
$1 + 2x + 4y = 1 + 2(x + 2y)$
已知$x + 2y = 3$，将其代入上式可得：
原式$= 1 + 2×3 = 1 + 6 = 7$
【答案】
7
【知识点】
代数式求值、整体代入思想、整式化简
【点评】
本题考查代数式求值的方法，核心是运用整体代入的思想简化计算，解题关键是找到待求式与已知条件之间的数量关联，对代数式进行合理变形，避免单独求解未知数增加计算量，是代数求值类的基础题型。
【难度系数】
0.85

5. 设$\overline{abcd}$是一个四位数，其中$a,b,c,d$分别代表千位数字、百位数字、十位数字和个位数字，将其前两位和后两位交换位置，得到一个新的四位数$\overline{cdab}$，则$\overline{abcd} - \overline{cdab} =$。

5. $990a+99b-990c-99d$

【分析】
解题首先要掌握多位数的表示规则：四位数的数值等于千位数字×1000 + 百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字×1。我们第一步先分别将原四位数$\overline{abcd}$和交换位置后的新四位数$\overline{cdab}$用含a、b、c、d的代数式正确表示出来，第二步将两个代数式作差，再通过去括号、合并同类项的整式加减运算化简，就能得到最终结果。
【解析】
首先根据多位数的表示方法：
原四位数$\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$
交换前后两位后的新四位数$\overline{cdab}$，千位为c，百位为d，十位为a，个位为b，因此：
$\overline{cdab} = 1000c + 100d + 10a + b$
计算两个数的差：
$\begin{aligned}\overline{abcd} - \overline{cdab} &= (1000a + 100b + 10c + d) - (1000c + 100d + 10a + b) \\&= 1000a + 100b + 10c + d - 1000c - 100d - 10a - b \\&= (1000a - 10a) + (100b - b) + (10c - 1000c) + (d - 100d) \\&= 990a + 99b - 990c - 99d\end{aligned}$
【答案】
$990a+99b-990c-99d$
【知识点】
1. 多位数的代数式表示 2. 整式的加减运算
【点评】
本题核心是利用数位的计数单位将多位数转化为代数式，再通过整式加减的规则计算，解题的关键是正确对应交换位置后各数位上的数字，避免计数单位对应错误。
【难度系数】
0.8

6. 定义一种运算：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，则$\begin{vmatrix} x+1 & 3 \\ x-1 & 2 \end{vmatrix}=$ ______ 。

6. $-x+5$

【分析】
这是一道新定义运算题，解题思路分为三步：第一步先准确理解题目给出的二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$的计算结果等于左上角的a乘右下角的d，减去右上角的b乘左下角的c；第二步将所求行列式中的元素对应代入规则，$a=x+1$，$b=3$，$c=x-1$，$d=2$，列出对应的代数式；第三步按照整式加减的运算法则去括号、合并同类项，即可得到最终结果。
【解析】
根据题中定义的运算规则可得：
$\begin{vmatrix} x+1 & 3 \\ x-1 & 2 \end{vmatrix} = (x+1) × 2 - 3 × (x-1)$
先计算乘法：
$= 2x + 2 - (3x - 3)$
去括号（括号前是减号，括号内各项要变号）：
$= 2x + 2 - 3x + 3$
合并同类项：
$= (2x - 3x) + (2 + 3)$
$= -x + 5$
【答案】
$-x+5$
【知识点】
新定义运算、整式的加减、去括号法则
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心是准确理解新运算的规则，易错点在于去括号时符号的处理，只要掌握整式加减的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9

7. 先化简，再求值：
(1) $2x^3 + 4x - \frac{1}{3}x^2 - (x - 3x^2 + 2x^3)$，其中$x=-3$。
(2) $(6a^2 + 4ab) - 2(3a^2 + ab - \frac{1}{2}b^2)$，其中$a=2,b=1$。

7. 解:(1)原式$=2x^3 + 4x - \frac{1}{3}x^2 - x + 3x^2 - 2x^3 = 3x + \frac{8}{3}x^2$,把$x=-3$代入上式得原式$=3x + \frac{8}{3}x^2 = 3×(-3) + \frac{8}{3}×(-3)^2 = 15$。
(2)原式$=6a^2 + 4ab - 6a^2 - 2ab + b^2 = b^2 + 2ab$,把$a=2$,$b=1$代入上式得原式$=b^2 + 2ab = 1^2 + 2×2×1 = 5$。

【分析】
这两道题都是整式化简求值类题目，解题按照三步思考：第一步去括号，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；若括号前带系数，要将系数乘遍括号内所有项，避免漏乘。第二步合并同类项，把所含字母、相同字母指数都一致的项的系数相加减，字母和指数保持不变，得到最简整式，能大幅减少后续计算量。第三步将已知的字母取值代入最简式，按照运算顺序计算出最终结果即可。
【解析】
(1) 去括号得：
原式$=2x^3 + 4x - \frac{1}{3}x^2 - x + 3x^2 - 2x^3$
合并同类项：
$=(2x^3 - 2x^3) + (-\frac{1}{3}x^2 + 3x^2) + (4x - x)$
$=\frac{8}{3}x^2 + 3x$
将$x=-3$代入最简式计算：
原式$=\frac{8}{3}×(-3)^2 + 3×(-3) = \frac{8}{3}×9 - 9 = 24 - 9 = 15$
(2) 去括号（注意括号前系数为-2，要乘遍每一项）得：
原式$=6a^2 + 4ab - 6a^2 - 2ab + b^2$
合并同类项：
$=(6a^2 - 6a^2) + (4ab - 2ab) + b^2$
$=2ab + b^2$
将$a=2,b=1$代入最简式计算：
原式$=2×2×1 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
【答案】
(1) $\boxed{15}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
整式化简求值、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，核心考察去括号的符号处理、合并同类项的准确性，代入数值计算时要注意运算顺序，尤其负数乘方的运算规则，避免低级计算失误。
【难度系数】
0.8

8. 已知$a+b=-10$，$ab=-\dfrac{1}{2}$，求代数式$-5(a+b)+(a-b)+2(ab+b)$的值。

8. 解:原式$=-5a -5b + a - b + 2ab + 2b = -4(a+b) + 2ab$,当$a+b=-10$,$ab=-\frac{1}{2}$时,原式$=-4(a+b) + 2ab = -4×(-10) + 2×(-\frac{1}{2}) = 40 - 1 = 39$。

【分析】
这道题没有给出a、b的具体取值，无需单独求解a、b的值，解题思路为：第一步先对所求代数式进行去括号运算，第二步合并同类项，将代数式整理为只含有已知式a+b和ab的形式，第三步将已知的a+b与ab的值整体代入化简后的式子计算即可，这种整体代入的方法比单独求a、b的值更简便。
【解析】
先对原式去括号：
原式$=-5a -5b + a - b + 2ab + 2b$
合并同类项，整理为含已知条件的形式：
$= (-5a+a) + (-5b -b +2b) + 2ab$
$= -4a -4b + 2ab$
$= -4(a+b) + 2ab$
将$a+b=-10$，$ab=-\dfrac{1}{2}$代入上式计算：
原式$=-4×(-10) + 2×(-\dfrac{1}{2})$
$= 40 - 1$
$= 39$
【答案】
39
【知识点】
整式的加减；整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，核心是运用整体代入思想简化计算过程，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8

9. 已知$A=3a^2b - 2ab^2 + abc$，小明错将“$2A - B$”看成“$2A + B$”，算得结果为$4a^2b - 3ab^2 + 4abc$。
(1)计算B的表达式。
(2)小强说正确结果与c无关，他的说法对吗？请说明理由。

9. 解:(1)令$C=4a^2b - 3ab^2 + 4abc$,则
$2A+B=C$,
$\therefore B=C-2A$
$=(4a^2b - 3ab^2 + 4abc) - 2(3a^2b - 2ab^2 + abc)$
$=-2a^2b + ab^2 + 2abc$。
(2)他的说法对,理由:$2A-B$
$=2(3a^2b - 2ab^2 + abc) - (-2a^2b + ab^2 + 2abc)$
$=8a^2b - 5ab^2$。
因为正确结果的代数式中不含字母$c$,所以小强的说法对,正确结果与$c$无关。

【分析】
(1) 小明误将“2A-B”看成“2A+B”得到计算结果，说明该错误结果就是2A+B的取值，因此可通过等量关系“B=错误结果-2A”，代入已知的A的表达式，经过去括号、合并同类项即可求出B的表达式。
(2) 要判断正确结果是否与c有关，只需先计算出正确算式2A-B的化简结果，观察化简后的式子中是否含有字母c，若不含c则说明结果与c无关，反之则有关。
【解析】
(1) 令错误计算的结果为$C=4a^2b - 3ab^2 + 4abc$，由题意得$2A+B=C$，因此：
$\begin{aligned}B&=C-2A\\&=(4a^2b - 3ab^2 + 4abc) - 2(3a^2b - 2ab^2 + abc)\\&=4a^2b - 3ab^2 + 4abc - 6a^2b + 4ab^2 - 2abc\\&=-2a^2b + ab^2 + 2abc\end{aligned}$
(2) 小强的说法对，理由如下：
计算正确结果$2A-B$：
$\begin{aligned}2A-B&=2(3a^2b - 2ab^2 + abc) - (-2a^2b + ab^2 + 2abc)\\&=6a^2b - 4ab^2 + 2abc + 2a^2b - ab^2 - 2abc\\&=8a^2b - 5ab^2\end{aligned}$
化简后的代数式中不含字母$c$，因此正确结果与$c$无关。
【答案】
(1) $B=-2a^2b + ab^2 + 2abc$
(2) 小强的说法对，正确结果为$8a^2b - 5ab^2$，不含字母$c$，因此与$c$无关。
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的应用类题型，解题核心是利用错误的运算关系反向求出未知整式，再代入正确算式化简验证，计算时要注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7