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二、拓展性作业
10. 已知代数式 $ A = 2x^2 - 2x - 1 $，代数式 $ B = -x^2 + xy + 1 $，代数式 $ M = 4A - (3A - 2B) $。
(1) 当 $ (x + 1)^2 + |y - 2| = 0 $ 时，求代数式 $ M $ 的值；
(2) 若代数式 $ M $ 的值与 $ x $ 的取值无关，求 $ y $ 的值。
10. 已知代数式 $ A = 2x^2 - 2x - 1 $，代数式 $ B = -x^2 + xy + 1 $，代数式 $ M = 4A - (3A - 2B) $。
(1) 当 $ (x + 1)^2 + |y - 2| = 0 $ 时，求代数式 $ M $ 的值；
(2) 若代数式 $ M $ 的值与 $ x $ 的取值无关，求 $ y $ 的值。
答案
10. 解:因为$A=2x^2-2x-1$，$B=-x^2+xy+1$，
所以代数式$M=4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$
$=2x^2-2x-1+2(-x^2+xy+1)$
$=2x^2-2x-1-2x^2+2xy+2$
$=-2x+2xy+1$。
(1)因为$(x+1)^2+|y-2|=0$，
所以$x+1=0$，$y-2=0$，
解得$x=-1$，$y=2$。
将$x=-1$，$y=2$代入代数式$M=-2x+2xy+1$得$M=-2×(-1)+2×(-1)×2+1=2-4+1=-1$。
(2)因为$M=-2x+2xy+1=-2(1-y)x+1$的值与$x$的取值无关，
所以$1-y=0$，
所以$y=1$。
所以代数式$M=4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$
$=2x^2-2x-1+2(-x^2+xy+1)$
$=2x^2-2x-1-2x^2+2xy+2$
$=-2x+2xy+1$。
(1)因为$(x+1)^2+|y-2|=0$，
所以$x+1=0$，$y-2=0$，
解得$x=-1$，$y=2$。
将$x=-1$，$y=2$代入代数式$M=-2x+2xy+1$得$M=-2×(-1)+2×(-1)×2+1=2-4+1=-1$。
(2)因为$M=-2x+2xy+1=-2(1-y)x+1$的值与$x$的取值无关，
所以$1-y=0$，
所以$y=1$。
解析
【分析】
解题时首先先化简代数式M，避免直接代入A、B计算增加运算量：先对$M=4A-(3A-2B)$去括号、合并同类项，得到M的最简表达式。
(1) 遇到平方与绝对值的和为0的形式，根据平方和绝对值的非负性，可知两个非负项各自为0，即可求出x、y的取值，再代入化简后的M计算结果即可。
(2) 若代数式的值与x的取值无关，说明代数式中所有含x的项的系数为0，将M整理为关于x的一次式，令x的系数等于0，即可求解y的值。
【解析】
首先化简代数式M：
已知$A = 2x^2 - 2x - 1$，$B = -x^2 + xy + 1$，
则$M = 4A - (3A - 2B) = 4A - 3A + 2B = A + 2B$
将A、B代入得：
$\begin{aligned}M&=2x^2 - 2x - 1 + 2(-x^2 + xy + 1)\\&=2x^2 - 2x - 1 - 2x^2 + 2xy + 2\\&=-2x + 2xy + 1\end{aligned}$
(1) 因为$(x + 1)^2 + |y - 2| = 0$，且$(x+1)^2≥0$，$|y-2|≥0$，
所以$x+1=0$，$y-2=0$，
解得$x=-1$，$y=2$。
将$x=-1$，$y=2$代入$M=-2x + 2xy + 1$得：
$\begin{aligned}M&=-2×(-1) + 2×(-1)×2 + 1\\&=2 - 4 + 1\\&=-1\end{aligned}$
(2) 将M整理为关于x的一次式：$M=-2x + 2xy + 1=-2(1-y)x + 1$，
因为M的值与x的取值无关，所以x的系数为0，
即$1-y=0$，解得$y=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{y=1}$
【知识点】
非负数的性质，整式的加减运算，代数式取值无关的条件
【点评】
本题是整式章节的常见综合题型，核心是先正确化简代数式，再结合对应条件求解，解题时要注意去括号时的符号变化，理解“代数式与某个字母取值无关”即该字母的所有项系数为0的含义。
【难度系数】
0.7
解题时首先先化简代数式M，避免直接代入A、B计算增加运算量：先对$M=4A-(3A-2B)$去括号、合并同类项，得到M的最简表达式。
(1) 遇到平方与绝对值的和为0的形式，根据平方和绝对值的非负性，可知两个非负项各自为0，即可求出x、y的取值，再代入化简后的M计算结果即可。
(2) 若代数式的值与x的取值无关，说明代数式中所有含x的项的系数为0，将M整理为关于x的一次式，令x的系数等于0，即可求解y的值。
【解析】
首先化简代数式M：
已知$A = 2x^2 - 2x - 1$，$B = -x^2 + xy + 1$，
则$M = 4A - (3A - 2B) = 4A - 3A + 2B = A + 2B$
将A、B代入得：
$\begin{aligned}M&=2x^2 - 2x - 1 + 2(-x^2 + xy + 1)\\&=2x^2 - 2x - 1 - 2x^2 + 2xy + 2\\&=-2x + 2xy + 1\end{aligned}$
(1) 因为$(x + 1)^2 + |y - 2| = 0$，且$(x+1)^2≥0$，$|y-2|≥0$，
所以$x+1=0$，$y-2=0$，
解得$x=-1$，$y=2$。
将$x=-1$，$y=2$代入$M=-2x + 2xy + 1$得：
$\begin{aligned}M&=-2×(-1) + 2×(-1)×2 + 1\\&=2 - 4 + 1\\&=-1\end{aligned}$
(2) 将M整理为关于x的一次式：$M=-2x + 2xy + 1=-2(1-y)x + 1$，
因为M的值与x的取值无关，所以x的系数为0，
即$1-y=0$，解得$y=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{y=1}$
【知识点】
非负数的性质，整式的加减运算，代数式取值无关的条件
【点评】
本题是整式章节的常见综合题型，核心是先正确化简代数式，再结合对应条件求解，解题时要注意去括号时的符号变化，理解“代数式与某个字母取值无关”即该字母的所有项系数为0的含义。
【难度系数】
0.7
11. 若$(2x - 1)^5 = a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$，则：
(1)当$x=0$时，有什么结论？
(2)当$x=1$时，有什么结论？
(3)当$x=-1$时，有什么结论？
(4)求$a_1 + a_3 + a_5$的值。
(1)当$x=0$时，有什么结论？
(2)当$x=1$时，有什么结论？
(3)当$x=-1$时，有什么结论？
(4)求$a_1 + a_3 + a_5$的值。
答案
11. 解:(1)当$x=0$时，$(0-1)^5=a_0$，即$a_0=-1$。
(2)当$x=1$时，$(2-1)^5=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$，即$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$。
(3)当$x=-1$时，$(-2-1)^5=-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$，即$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=-243$。
(4)由$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$及$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=-243$，得$a_1+a_3+a_5=122$。
(2)当$x=1$时，$(2-1)^5=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$，即$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$。
(3)当$x=-1$时，$(-2-1)^5=-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$，即$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=-243$。
(4)由$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$及$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=-243$，得$a_1+a_3+a_5=122$。
解析
【分析】
这是利用特殊值代入求多项式系数关系的题目，由于给出的等式对任意x都成立，因此不需要展开高次幂计算，只需给x代入0、1、-1这类特殊整数，就能快速得到各系数的相关结论。前三问直接代入对应x值计算左右两边即可；第四问要求奇次项系数的和，将x=1和x=-1得到的两个等式相减，即可抵消偶次项系数，整理后就能求出目标结果。
【解析】
(1) 将$x=0$代入等式两边：
左边=$(2×0-1)^5=(-1)^5=-1$，右边=$a_0$，因此$a_0=-1$。
(2) 将$x=1$代入等式两边：
左边=$(2×1-1)^5=1^5=1$，右边=$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$，因此$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$ ①。
(3) 将$x=-1$代入等式两边：
左边=$[2×(-1)-1]^5=(-3)^5=-243$，右边=$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$，因此$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=-243$ ②。
(4) 用①式减去②式：
$(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)-(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5)=1-(-243)$
化简左边得$2a_1+2a_3+2a_5$，右边为244，因此$2(a_1+a_3+a_5)=244$，两边同时除以2得$a_1+a_3+a_5=122$。
【答案】
(1) $a_0=-1$
(2) $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$
(3) $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=-243$
(4) $a_1+a_3+a_5=122$
【知识点】
特殊值代入法，多项式系数，整式求值
【点评】
本题解题核心是利用特殊值代入简化高次多项式的系数求解，不需要展开复杂的高次幂运算，通过选择合适的x值代入、结合等式加减消元即可得到目标结果，是处理多项式系数和问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
这是利用特殊值代入求多项式系数关系的题目，由于给出的等式对任意x都成立，因此不需要展开高次幂计算，只需给x代入0、1、-1这类特殊整数，就能快速得到各系数的相关结论。前三问直接代入对应x值计算左右两边即可；第四问要求奇次项系数的和，将x=1和x=-1得到的两个等式相减，即可抵消偶次项系数，整理后就能求出目标结果。
【解析】
(1) 将$x=0$代入等式两边：
左边=$(2×0-1)^5=(-1)^5=-1$，右边=$a_0$，因此$a_0=-1$。
(2) 将$x=1$代入等式两边：
左边=$(2×1-1)^5=1^5=1$，右边=$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$，因此$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$ ①。
(3) 将$x=-1$代入等式两边：
左边=$[2×(-1)-1]^5=(-3)^5=-243$，右边=$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$，因此$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=-243$ ②。
(4) 用①式减去②式：
$(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)-(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5)=1-(-243)$
化简左边得$2a_1+2a_3+2a_5$，右边为244，因此$2(a_1+a_3+a_5)=244$，两边同时除以2得$a_1+a_3+a_5=122$。
【答案】
(1) $a_0=-1$
(2) $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$
(3) $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=-243$
(4) $a_1+a_3+a_5=122$
【知识点】
特殊值代入法，多项式系数，整式求值
【点评】
本题解题核心是利用特殊值代入简化高次多项式的系数求解，不需要展开复杂的高次幂运算，通过选择合适的x值代入、结合等式加减消元即可得到目标结果，是处理多项式系数和问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
