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8. 如图3-3-8,将一个边长为1的正方形纸片分割成七部分,部分①的面积是大正方形纸片面积的一半,部分②的面积是部分①面积的一半,部分③的面积是部分②面积的一半,依此类推。
(1)求阴影部分的面积是多少;
(2)计算:$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^8}$。
(1)求阴影部分的面积是多少;
(2)计算:$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^8}$。
答案
8. 解:(1)因为部分①的面积是大正方形纸片面积的一半，且后一部分的面积都是前一部分面积的一半，
所以部分①的面积是$\frac{1}{2}$，
部分②的面积是$\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$，
部分③的面积是$\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$，
……
所以部分⑥的面积是$\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$。
又部分⑥和阴影部分的面积之和为$\frac{1}{32}$，
则阴影部分的面积是$\frac{1}{64}$。
(2)由(1)可知，
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}=1$，
所以原式$=1-\frac{1}{2^8}$。
所以部分①的面积是$\frac{1}{2}$，
部分②的面积是$\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$，
部分③的面积是$\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$，
……
所以部分⑥的面积是$\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$。
又部分⑥和阴影部分的面积之和为$\frac{1}{32}$，
则阴影部分的面积是$\frac{1}{64}$。
(2)由(1)可知，
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}=1$，
所以原式$=1-\frac{1}{2^8}$。
解析
【分析】
(1) 先明确边长为1的大正方形面积是1，根据“后一部分面积是前一部分面积的一半”的条件，先写出前几部分的面积，归纳出第n部分面积为$\frac{1}{2^n}$的规律，再结合图形中部分⑥和阴影部分的面积和等于部分⑤的面积，即可求出阴影部分面积。
(2) 结合图形的面积意义，可发现$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n}$的和等于大正方形面积减去最后剩下的最小部分的面积，即和为$1-\frac{1}{2^n}$，利用这个规律直接计算即可，无需逐项相加。
【解析】
(1) 边长为1的大正方形面积为$1×1=1$。
由题意得：
部分①的面积为$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$，
部分②的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$，
部分③的面积为$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$，
……
以此类推，第n个部分的面积为$\frac{1}{2^n}$，
则部分⑥的面积为$\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$。
观察图形可知，部分⑥和阴影部分的面积之和等于部分⑤的面积$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$，
因此阴影部分的面积为$\frac{1}{32}-\frac{1}{64}=\frac{1}{64}$。
(2) 结合图形的面积规律可得：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}=1$，
因此$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^8}=1-\frac{1}{2^8}=1-\frac{1}{256}=\frac{255}{256}$。
【答案】
(1) $\boxed{\frac{1}{64}}$
(2) $\boxed{\frac{255}{256}}$（或$\boxed{1-\frac{1}{2^8}}$）
【知识点】
规律探究，乘方的应用，有理数加减运算
【点评】
本题借助正方形面积的分割探究分数求和的规律，将抽象的运算转化为直观的图形问题，渗透了数形结合的思想，解题的关键是找到每部分面积的变化规律，利用规律简化运算。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确边长为1的大正方形面积是1，根据“后一部分面积是前一部分面积的一半”的条件，先写出前几部分的面积，归纳出第n部分面积为$\frac{1}{2^n}$的规律，再结合图形中部分⑥和阴影部分的面积和等于部分⑤的面积，即可求出阴影部分面积。
(2) 结合图形的面积意义，可发现$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n}$的和等于大正方形面积减去最后剩下的最小部分的面积，即和为$1-\frac{1}{2^n}$，利用这个规律直接计算即可，无需逐项相加。
【解析】
(1) 边长为1的大正方形面积为$1×1=1$。
由题意得：
部分①的面积为$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$，
部分②的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$，
部分③的面积为$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$，
……
以此类推，第n个部分的面积为$\frac{1}{2^n}$，
则部分⑥的面积为$\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$。
观察图形可知，部分⑥和阴影部分的面积之和等于部分⑤的面积$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$，
因此阴影部分的面积为$\frac{1}{32}-\frac{1}{64}=\frac{1}{64}$。
(2) 结合图形的面积规律可得：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^8}=1$，
因此$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^8}=1-\frac{1}{2^8}=1-\frac{1}{256}=\frac{255}{256}$。
【答案】
(1) $\boxed{\frac{1}{64}}$
(2) $\boxed{\frac{255}{256}}$（或$\boxed{1-\frac{1}{2^8}}$）
【知识点】
规律探究，乘方的应用，有理数加减运算
【点评】
本题借助正方形面积的分割探究分数求和的规律，将抽象的运算转化为直观的图形问题，渗透了数形结合的思想，解题的关键是找到每部分面积的变化规律，利用规律简化运算。
【难度系数】
0.7
9. 图3-3-9是2018年1月的月历。
(1)在图中用正方形任意框4个数,记左上角的数为x,则另外3个数用含x的代数式表示出来,从小到大依次是
(2)在图中用正方形框出的4个数之和最小记为$a_1$,最大记为$a_2$,则$a_1+a_2=$
(1)在图中用正方形任意框4个数,记左上角的数为x,则另外3个数用含x的代数式表示出来,从小到大依次是
$x+1$
, $x+7$
, $x+8$
。(2)在图中用正方形框出的4个数之和最小记为$a_1$,最大记为$a_2$,则$a_1+a_2=$
128
。答案
9.(1)$x+1$ $x+7$ $x+8$ 解析:因为左上角的数为x，所以另外3个数从小到大依次为$x+1,x+7,x+8$。
(2)128 解析:因为当4个数是1,2,8,9时,这4个数之和最小，
所以$a_1=1+2+8+9=20$。
因为当4个数是23,24,30,31时,这4个数之和最大，
所以$a_2=23+24+30+31=108$。
所以$a_1+a_2=20+108=128$。
(2)128 解析:因为当4个数是1,2,8,9时,这4个数之和最小，
所以$a_1=1+2+8+9=20$。
因为当4个数是23,24,30,31时,这4个数之和最大，
所以$a_2=23+24+30+31=108$。
所以$a_1+a_2=20+108=128$。
解析
【分析】
（1）首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列上下相邻两个数相差7。已知左上角数为x，按规律依次推导另外三个数，再从小到大排序即可。
（2）要得到4个数的最小和，需让左上角的数取可框住的最小值；要得到最大和，需让左上角的数取可框住的最大值，分别计算两个和再相加即可。
【解析】
(1) 月历中，同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。左上角的数为x，则它右侧相邻的数为$x+1$，它下方相邻的数为$x+7$，右下方的数为$x+7+1=x+8$，因此另外三个数从小到大依次是$x+1$、$x+7$、$x+8$。
(2) 要使框出的4个数之和最小，左上角的数应取最小可取值1，此时四个数为1、2、8、9，所以$a_1=1+2+8+9=20$；要使框出的4个数之和最大，需保证框内的数都在月历内，最大的左上角数为23，此时四个数为23、24、30、31，所以$a_2=23+24+30+31=108$，因此$a_1+a_2=20+108=128$。
【答案】
(1)$x+1$；$x+7$；$x+8$
(2)128
【知识点】
月历数字规律；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是数字规律探究类基础题，解题的核心是掌握月历中数字的排列特征，结合代数式的知识即可顺利求解，只要理清数字间的数量关系就不容易出错。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列上下相邻两个数相差7。已知左上角数为x，按规律依次推导另外三个数，再从小到大排序即可。
（2）要得到4个数的最小和，需让左上角的数取可框住的最小值；要得到最大和，需让左上角的数取可框住的最大值，分别计算两个和再相加即可。
【解析】
(1) 月历中，同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。左上角的数为x，则它右侧相邻的数为$x+1$，它下方相邻的数为$x+7$，右下方的数为$x+7+1=x+8$，因此另外三个数从小到大依次是$x+1$、$x+7$、$x+8$。
(2) 要使框出的4个数之和最小，左上角的数应取最小可取值1，此时四个数为1、2、8、9，所以$a_1=1+2+8+9=20$；要使框出的4个数之和最大，需保证框内的数都在月历内，最大的左上角数为23，此时四个数为23、24、30、31，所以$a_2=23+24+30+31=108$，因此$a_1+a_2=20+108=128$。
【答案】
(1)$x+1$；$x+7$；$x+8$
(2)128
【知识点】
月历数字规律；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是数字规律探究类基础题，解题的核心是掌握月历中数字的排列特征，结合代数式的知识即可顺利求解，只要理清数字间的数量关系就不容易出错。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
10. 如图3-3-10，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如，位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是
11. 综合探究
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，而平移运动和翻折变换是初中数学两种重要的图形变换。请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
【问题情境】
(1)平移运动
①一个点从数轴上的原点开始沿数轴运动，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动2.5个单位长度到达点B，然后再向右移动4.5个单位长度到达点C。请画出一条数轴，并表示出A，B，C三点的位置。
②一个机器人从数轴上的原点O开始沿数轴运动，第1次向左跳1个单位长度，紧接着第2次向右跳2个单位长度，第3次向左跳3个单位长度，第4次向右跳4个单位长度……依此规律跳，当它跳完第2021次时，落在数轴上的点表示的数是
(2)翻折变换
①若折叠数轴，表示－1的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示
②若数轴上D，E两点之间的距离为2022（点D在点E的左侧，且折痕与①中折痕相同），且D，E两点经折叠后重合，则点D表示的数是
③一条数轴上有点M，N，P，其中点M，N表示的数分别是－17，8（如图3-3-11①），现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点M'落在点N的右边（如图3-3-11②），并且线段M'N的长度为3，请直接写出点P表示的数。
10. 如图3-3-10，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如，位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是
2019
。11. 综合探究
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，而平移运动和翻折变换是初中数学两种重要的图形变换。请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
【问题情境】
(1)平移运动
①一个点从数轴上的原点开始沿数轴运动，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动2.5个单位长度到达点B，然后再向右移动4.5个单位长度到达点C。请画出一条数轴，并表示出A，B，C三点的位置。
②一个机器人从数轴上的原点O开始沿数轴运动，第1次向左跳1个单位长度，紧接着第2次向右跳2个单位长度，第3次向左跳3个单位长度，第4次向右跳4个单位长度……依此规律跳，当它跳完第2021次时，落在数轴上的点表示的数是
-1011
。(2)翻折变换
①若折叠数轴，表示－1的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示
-3
的点重合；②若数轴上D，E两点之间的距离为2022（点D在点E的左侧，且折痕与①中折痕相同），且D，E两点经折叠后重合，则点D表示的数是
-1010
，点E表示的数是1012
；③一条数轴上有点M，N，P，其中点M，N表示的数分别是－17，8（如图3-3-11①），现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点M'落在点N的右边（如图3-3-11②），并且线段M'N的长度为3，请直接写出点P表示的数。
答案
10.2019 解析:观察题图可知,第n行第一个数是$n^2$，
所以第45行第一个数是2025，
所以第45行、第7列的数是2025-6=2019。
11. 解:(1)①根据已知可得点A表示的数为0+(-2)=-2，
点B表示的数为(-2)+2.5=0.5，
点C表示的数为0.5+4.5=5，
如答图3-3-1所示：
②-1 011 解析:当它跳完第1次时,落在数轴上的点表示的数是-1，
当它跳完第2次时,落在数轴上的点表示的数是1，
当它跳完第3次时,落在数轴上的点表示的数是-2，
当它跳完第4次时,落在数轴上的点表示的数是2，
当它跳完第5次时,落在数轴上的点表示的数是-3，
当它跳完第6次时,落在数轴上的点表示的数是3，
……
可得出当它跳完第(2n-1)次时,落在数轴上的点表示的数为-n,当它跳完第2n次时,落在数轴上的点表示的数为n,其中n≥1,且n为整数。
当2n-1=2 021时,n=1 011,-n=-1 011。
故当它跳完第2 021次时,落在数轴上的点表示的数为-1 011。
(2)①-3 解析:因为表示-1的点与表示3的点重合，
所以折点表示的数为$\frac{-1+3}{2}=1$。
因为5-1=1-(-3),所以表示5的点与表示-3的点重合。
②-1 010 1 012 解析:已知数轴上D,E两点之间的距离为2 022，
设点D,E表示的数分别为d,e，
则$e-d=2 022$。
根据(2)①得$\frac{d+e}{2}=1$，
联立两式解得$e=1 012,d=-1 010$，
故点E表示的数为1 012,点D表示的数为-1 010。
③因为点M对应的点M'落在点N的右边,并且$M'N=3$,设点M'表示的数为m，
所以$m=8+3=11$，
所以点P表示的数为$\frac{-17+11}{2}=-3$，
故点P表示的数为-3。
解析
【分析】
10题：解决本题需先归纳数的排列规律：观察可得第n行的第一个数为$n^2$，同一行中列数每增加1，对应数减少1，因此第n行第k列的数为$n^2-(k-1)$，代入对应数值计算即可。
11题：(1)①数轴上点的平移遵循“左减右加”的规则，从原点出发依次计算每次平移后对应的数，再标注在数轴上即可。②先列举前几次跳跃后对应的数，总结规律：奇数次跳跃后对应的数为负，第$2n-1$次跳跃后对应的数是$-n$，将2021代入规律即可求解。
(2)①翻折后重合的点到折点的距离相等，先计算-1和3的中点得到折点表示的数，再根据对称关系求出5的对称点。②D、E折叠后重合，说明两点到折点的距离相等，结合两点距离为2022，可分别求出两点到折点的距离，再结合折点位置计算两点对应的数。③先根据$M'N$的长度求出$M'$对应的数，折点P是M和$M'$的中点，利用中点公式计算即可得到P表示的数。
【解析】
10. 观察数的排列规律可得：第n行第一个数是$n^2$，
因此第45行第一个数是$45^2=2025$，
同一行从第1列到第7列共减少6，所以第45行第7列的数为$2025-6=2019$。
11. (1)①根据数轴平移“左减右加”的规则：
点A表示的数：$0-2=-2$，
点B表示的数：$-2+2.5=0.5$，
点C表示的数：$0.5+4.5=5$，
三点在数轴上的位置如下：
②列举跳跃结果找规律：
第1次跳后对应的数：$-1$，
第2次跳后对应的数：$1$，
第3次跳后对应的数：$-2$，
第4次跳后对应的数：$2$，
……
可得规律：跳完第$2n-1$次（奇数次）时，对应的数为$-n$；跳完第$2n$次（偶数次）时，对应的数为$n$。
令$2n-1=2021$，解得$n=1011$，因此跳完第2021次时对应的数为$-1011$。
(2)①折叠后$-1$和$3$重合，因此折点是两点的中点，折点表示的数为$\frac{-1+3}{2}=1$。
设5的对称点为$x$，则$\frac{5+x}{2}=1$，解得$x=-3$，即5与表示$-3$的点重合。
②D、E两点距离为2022，折叠后重合，因此两点到折点1的距离均为$2022÷2=1011$，
因为D在E左侧，所以D表示的数为$1-1011=-1010$，E表示的数为$1+1011=1012$。
③因为$M'$在N右侧，且$M'N=3$，N表示的数为8，因此$M'$表示的数为$8+3=11$，
因为P是折点，所以P是M和$M'$的中点，
P表示的数为$\frac{-17+11}{2}=-3$。
【答案】
10. $\boxed{2019}$
11. (1)①
②$\boxed{-1011}$
(2)①$\boxed{-3}$
②$\boxed{-1010}$；$\boxed{1012}$
③$\boxed{-3}$
【知识点】
数字规律探究，数轴动点问题，数轴翻折变换
【点评】
本套题目侧重考察规律归纳能力和数轴的性质应用，需要结合平移、翻折的特征总结通用规律并代入数值计算，既考察基础运算能力，也对观察归纳的思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10题：解决本题需先归纳数的排列规律：观察可得第n行的第一个数为$n^2$，同一行中列数每增加1，对应数减少1，因此第n行第k列的数为$n^2-(k-1)$，代入对应数值计算即可。
11题：(1)①数轴上点的平移遵循“左减右加”的规则，从原点出发依次计算每次平移后对应的数，再标注在数轴上即可。②先列举前几次跳跃后对应的数，总结规律：奇数次跳跃后对应的数为负，第$2n-1$次跳跃后对应的数是$-n$，将2021代入规律即可求解。
(2)①翻折后重合的点到折点的距离相等，先计算-1和3的中点得到折点表示的数，再根据对称关系求出5的对称点。②D、E折叠后重合，说明两点到折点的距离相等，结合两点距离为2022，可分别求出两点到折点的距离，再结合折点位置计算两点对应的数。③先根据$M'N$的长度求出$M'$对应的数，折点P是M和$M'$的中点，利用中点公式计算即可得到P表示的数。
【解析】
10. 观察数的排列规律可得：第n行第一个数是$n^2$，
因此第45行第一个数是$45^2=2025$，
同一行从第1列到第7列共减少6，所以第45行第7列的数为$2025-6=2019$。
11. (1)①根据数轴平移“左减右加”的规则：
点A表示的数：$0-2=-2$，
点B表示的数：$-2+2.5=0.5$，
点C表示的数：$0.5+4.5=5$，
三点在数轴上的位置如下：
②列举跳跃结果找规律：
第1次跳后对应的数：$-1$，
第2次跳后对应的数：$1$，
第3次跳后对应的数：$-2$，
第4次跳后对应的数：$2$，
……
可得规律：跳完第$2n-1$次（奇数次）时，对应的数为$-n$；跳完第$2n$次（偶数次）时，对应的数为$n$。
令$2n-1=2021$，解得$n=1011$，因此跳完第2021次时对应的数为$-1011$。
(2)①折叠后$-1$和$3$重合，因此折点是两点的中点，折点表示的数为$\frac{-1+3}{2}=1$。
设5的对称点为$x$，则$\frac{5+x}{2}=1$，解得$x=-3$，即5与表示$-3$的点重合。
②D、E两点距离为2022，折叠后重合，因此两点到折点1的距离均为$2022÷2=1011$，
因为D在E左侧，所以D表示的数为$1-1011=-1010$，E表示的数为$1+1011=1012$。
③因为$M'$在N右侧，且$M'N=3$，N表示的数为8，因此$M'$表示的数为$8+3=11$，
因为P是折点，所以P是M和$M'$的中点，
P表示的数为$\frac{-17+11}{2}=-3$。
【答案】
10. $\boxed{2019}$
11. (1)①
②$\boxed{-1011}$
(2)①$\boxed{-3}$
②$\boxed{-1010}$；$\boxed{1012}$
③$\boxed{-3}$
【知识点】
数字规律探究，数轴动点问题，数轴翻折变换
【点评】
本套题目侧重考察规律归纳能力和数轴的性质应用，需要结合平移、翻折的特征总结通用规律并代入数值计算，既考察基础运算能力，也对观察归纳的思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
