2.密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积$V$(单位:$\mathrm{m}^3$)变化时,气体的密度$\rho$(单位:$\mathrm{kg/m}^3$)随之变化.已知密度$\rho$与体积$V$是反比例函数关系,它的图象如图所示,当$V=5\ \mathrm{m}^3$时,$\rho=1.98\ \mathrm{kg/m}^3$.根据图象可知,下列说法不正确的是().

A.$\rho$与$V$的函数解析式是$\rho=\dfrac{9.9}{V}\ (V＞0)$
B.当$\rho=9$时,$V=1.1$
C.当$\rho＞5$时,$V＞1.98$
D.当$3＜V＜9$时,$\rho$的变化范围是$1.1＜\rho＜3.3$

C 【提示】设 $\rho=\dfrac{k}{V}$,把$(5,1.98)$代入上式,得 $1.98=\dfrac{k}{5}.$
$\therefore k=9.9.\therefore \rho=\dfrac{9.9}{V}(V＞0).$ 故选项 A 正确,不符合题意. 当 $\rho=9$ 时,$V=1.1$,故选项 B 正确,不符合题意. 当 $\rho=5$ 时,$V=1.98$,结合图象,可得当 $\rho＞5$ 时,$0＜V＜1.98$,故选项 C 不正确,符合题意. 当 $V=3$ 时,$\rho=3.3$,当 $V=9$ 时,$\rho=1.1$,
$\therefore$ 当 $3＜V＜9$ 时,$1.1＜\rho＜3.3$. 故选项 D 正确,不符合题意.

【分析】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据题干给出的$\rho$与$V$是反比例函数关系，设出反比例函数的一般形式；再利用图象上已知点$A(5,1.98)$代入解析式，求出比例系数$k$，得到$\rho$与$V$的函数解析式；最后结合反比例函数的增减性，逐个验证四个选项的正误，选出说法不正确的选项即可。
【解析】
设$\rho$与$V$的函数解析式为$\rho=\dfrac{k}{V}(k≠0,V＞0)$，
将$V=5$，$\rho=1.98$代入解析式，得$1.98=\dfrac{k}{5}$，解得$k=5×1.98=9.9$，
因此$\rho$与$V$的函数解析式为$\rho=\dfrac{9.9}{V}(V＞0)$。
选项A：所得解析式和选项一致，该说法正确，不符合题意；
选项B：当$\rho=9$时，代入解析式得$9=\dfrac{9.9}{V}$，解得$V=\dfrac{9.9}{9}=1.1$，该说法正确，不符合题意；
选项C：当$\rho=5$时，代入解析式得$5=\dfrac{9.9}{V}$，解得$V=\dfrac{9.9}{5}=1.98$；由于$k=9.9＞0$，在$V＞0$时，$\rho$随$V$的增大而减小，因此当$\rho＞5$时，$0＜V＜1.98$，该说法错误，符合题意；
选项D：当$V=3$时，$\rho=\dfrac{9.9}{3}=3.3$；当$V=9$时，$\rho=\dfrac{9.9}{9}=1.1$；根据函数增减性，当$3＜V＜9$时，$\rho$的取值范围为$1.1＜\rho＜3.3$，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质，反比例函数解析式的确定
【点评】
本题结合物理中密度、体积、质量的关系考查反比例函数的相关知识，解题的关键是先求出函数解析式，再结合反比例函数的增减性判断取值范围，需要注意实际问题中自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.7

3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流$ I $（单位：A）与电阻$ R $（单位：$\Omega$）是反比例函数关系，图象如图所示。若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过12 A，则该用电器可变电阻$ R $应控制的范围是。

$R≥3$

【分析】
解题时首先根据电流与电阻是反比例函数关系，设出反比例函数解析式，再利用图象给出的已知点坐标，用待定系数法求出定值电压（也就是反比例函数的比例系数），接着根据用电器限制电流不超过12A列出不等式，结合电阻为正数的实际意义求解不等式，即可得到电阻的取值范围。
【解析】
解：
∵电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设$ I = \frac{k}{R} $（k为定值，$ k≠0 $，$ R＞0 $）。
由图象可知，当$ R=9\Omega $时，$ I=4A $，将其代入解析式得：
$ 4 = \frac{k}{9} $，解得$ k=4×9=36 $，
∴反比例函数解析式为$ I = \frac{36}{R} $（$ R＞0 $）。
∵用电器限制电流不能超过12A，即$ I≤12 $，
∴$ \frac{36}{R}≤12 $，
∵R是电阻，故$ R＞0 $，不等式两边同时乘R，不等号方向不变，得：
$ 36≤12R $，
解得$ R≥3 $。
【答案】
$ R≥3 $
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法，不等式求解
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的实际应用，解题的核心是先利用已知点求出函数解析式，再结合限制条件列不等式求解，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7

4.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于。

1

【分析】
解题时先观察图形的对称性：一是反比例函数图象关于原点中心对称，二是中心在原点的正方形也关于原点中心对称。我们可利用中心对称的性质，将第一象限的阴影部分割补到第三象限的对应空白区域，把不规则的阴影面积转化为规则图形的面积计算。首先明确大正方形边长为2，被坐标轴分割成4个边长为1的小正方形，每个小正方形面积为1，拼接后的阴影刚好占1个小正方形，即可得到结果。
【解析】
1. 已知正方形中心在原点，边长为2，因此x轴、y轴将正方形平均分为4个全等的小正方形，每个小正方形的边长为1，面积为$1×1=1$。
2. 反比例函数的图象关于原点成中心对称，正方形也关于原点中心对称，因此第一象限内的阴影部分与第三象限内对应位置的空白部分全等，面积相等。
3. 利用割补法，将第一象限的阴影部分平移到第三象限的空白处，两块阴影恰好拼成1个完整的边长为1的小正方形，因此阴影部分的总面积为1。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的对称性；中心对称的性质；割补法求面积
【点评】
本题结合反比例函数与正方形的对称性考查不规则图形面积的计算，运用割补法将分散的阴影拼接为规则图形，是解决这类问题的常用技巧，能有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7

5.在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强$ p $(单位：kPa)与汽缸内气体的体积$ V $(单位：mL)成反比例，$ p $关于$ V $的函数图象如图所示.
(1)求压强$ p $(单位：kPa)与汽缸内气体的体积$ V $(单位：mL)的函数解析式；
(2)若压强由80 kPa加压到120 kPa，则气体体积压缩了多少？

(1)设 $p=\dfrac{k}{V}$,把$(100,60)$代入,得 $k=6\ 000.$
$\therefore$ 所求的函数解析式为 $p=\dfrac{6\ 000}{V}(V＞0).$
(2)在 $p=\dfrac{6\ 000}{V}$ 中，
当 $p=80$ 时,$V=75$,当 $p=120$ 时,$V=50$,
$75-50=25(\mathrm{mL}),$
$\therefore$ 压强由 80 kPa 加压到 120 kPa,气体体积压缩了 25 mL.

【分析】
(1) 题目明确压强$p$与体积$V$成反比例，因此可设反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$），观察图象可得点$(100,60)$在函数图象上，将该点代入解析式即可求出常数$k$，再结合实际意义确定自变量$V$的取值范围，就能得到完整的函数解析式。
(2) 要求压强从80kPa加压到120kPa时气体压缩的体积，只需分别将$p=80$和$p=120$代入第一问求出的函数解析式，计算出对应的两个体积值，再用压强较小时的体积减去压强较大时的体积，即可得到压缩的体积。
【解析】
(1) 设$p$与$V$的函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0,V＞0$），
由图象可知，当$V=100\mathrm{mL}$时，$p=60\mathrm{kPa}$，将其代入解析式得：
$60=\frac{k}{100}$，解得$k=60×100=6000$，
因此压强$p$与体积$V$的函数解析式为$p=\frac{6000}{V}(V＞0)$。
(2) 将$p=80$代入$p=\frac{6000}{V}$，得$80=\frac{6000}{V}$，解得$V=\frac{6000}{80}=75(\mathrm{mL})$，
将$p=120$代入$p=\frac{6000}{V}$，得$120=\frac{6000}{V}$，解得$V=\frac{6000}{120}=50(\mathrm{mL})$，
则气体体积压缩了$75-50=25(\mathrm{mL})$。
【答案】
(1) $p=\dfrac{6000}{V}(V＞0)$
(2) 25 mL
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理情境考查反比例函数的应用，解题核心是先利用图象上的已知点求出函数解析式，再代入对应值求解，贴合实际情境，难度不大。
【难度系数】
0.8