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11.如图,某工程队承接了一项开挖水渠的工程,所需天数y(单位:天)是每天完成的工程量x(单位:m/天)的反比例函数,其图象经过点(20,50).
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)当每天完成25 m时,求该工程队完成工程所需的时间;
(3)若完成工程的天数小于50天,则该工程队每天完成的工程量x的取值范围是
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)当每天完成25 m时,求该工程队完成工程所需的时间;
(3)若完成工程的天数小于50天,则该工程队每天完成的工程量x的取值范围是
$x＞20$
.答案
(1)设 y 与 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x}$.
$\because$ 点$(20,50)$在函数图象上，
$\therefore 50=\dfrac{k}{20}.\therefore k=1\ 000.$
$\therefore y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{1\ 000}{x}(x＞0).$
(2)当 $x=25$ 时,$y=\dfrac{1\ 000}{25}=40.$
故该工程队完成工程所需的时间为 40 天.
(3)$x＞20$
$\because$ 点$(20,50)$在函数图象上，
$\therefore 50=\dfrac{k}{20}.\therefore k=1\ 000.$
$\therefore y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{1\ 000}{x}(x＞0).$
(2)当 $x=25$ 时,$y=\dfrac{1\ 000}{25}=40.$
故该工程队完成工程所需的时间为 40 天.
(3)$x＞20$
解析
【分析】
本题考查反比例函数在工程问题中的应用，解题思路如下：(1)求反比例函数解析式时，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知点(20,50)代入表达式求出k的值，同时结合x的实际意义确定x的取值范围；(2)求每天完成25m时的天数，只需将x=25代入已求出的函数解析式，计算对应y值即可；(3)要求天数小于50天对应的x范围，将y＜50代入解析式，结合x＞0的实际意义解不等式得到最终范围。
【解析】
(1)设y与x的函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$。
$\because$点$(20,50)$在函数图象上，将$x=20,y=50$代入解析式得：
$50=\dfrac{k}{20}$，解得$k=20×50=1000$。
$\because$每天完成的工程量x为正数，$\therefore$y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{1000}{x}(x＞0)$。
(2)当每天完成25m时，即$x=25$，代入解析式得：
$y=\dfrac{1000}{25}=40$。
即该工程队完成工程所需的时间为40天。
(3)若完成工程的天数小于50天，即$y＜50$，代入解析式得：
$\dfrac{1000}{x}＜50$，$\because x＞0$，不等式两边同时乘x得$1000＜50x$，解得$x＞20$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{1000}{x}(x＞0)$
(2)40天
(3)$x＞20$
【知识点】
待定系数法求解析式、反比例函数求值、反比例函数不等式应用
【点评】
本题结合工程问题考查反比例函数的基础应用，解题核心是先准确求出反比例函数解析式，再根据题目要求代入计算或解不等式，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数在工程问题中的应用，解题思路如下：(1)求反比例函数解析式时，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知点(20,50)代入表达式求出k的值，同时结合x的实际意义确定x的取值范围；(2)求每天完成25m时的天数，只需将x=25代入已求出的函数解析式，计算对应y值即可；(3)要求天数小于50天对应的x范围，将y＜50代入解析式，结合x＞0的实际意义解不等式得到最终范围。
【解析】
(1)设y与x的函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$。
$\because$点$(20,50)$在函数图象上，将$x=20,y=50$代入解析式得：
$50=\dfrac{k}{20}$，解得$k=20×50=1000$。
$\because$每天完成的工程量x为正数，$\therefore$y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{1000}{x}(x＞0)$。
(2)当每天完成25m时，即$x=25$，代入解析式得：
$y=\dfrac{1000}{25}=40$。
即该工程队完成工程所需的时间为40天。
(3)若完成工程的天数小于50天，即$y＜50$，代入解析式得：
$\dfrac{1000}{x}＜50$，$\because x＞0$，不等式两边同时乘x得$1000＜50x$，解得$x＞20$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{1000}{x}(x＞0)$
(2)40天
(3)$x＞20$
【知识点】
待定系数法求解析式、反比例函数求值、反比例函数不等式应用
【点评】
本题结合工程问题考查反比例函数的基础应用，解题核心是先准确求出反比例函数解析式，再根据题目要求代入计算或解不等式，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
12.为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾，保护生态文明活动.如图，志愿者团队清理河道所需的天数$y$(单位:天)是每天完成的工程量$x$(单位:m/天)的反比例函数，其图象经过点$(375,8)$.
(1)求这一函数的解析式；
(2)已知该志愿者团队每天能够清理河道$500\ \mathrm{m}$，求清理完这条河道一共需要多少天.
(1)求这一函数的解析式；
(2)已知该志愿者团队每天能够清理河道$500\ \mathrm{m}$，求清理完这条河道一共需要多少天.
答案
(1)设 $y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x}$.
$\because$ 点$(375,8)$在函数图象上，
$\therefore k=375×8=3\ 000.$
$\therefore$ 所求函数的解析式为 $y=\dfrac{3\ 000}{x}(x＞0).$
(2)当 $x=500$ 时,$y=\dfrac{3\ 000}{500}=6.$
故清理完这条河道一共需要 6 天.
$\because$ 点$(375,8)$在函数图象上，
$\therefore k=375×8=3\ 000.$
$\therefore$ 所求函数的解析式为 $y=\dfrac{3\ 000}{x}(x＞0).$
(2)当 $x=500$ 时,$y=\dfrac{3\ 000}{500}=6.$
故清理完这条河道一共需要 6 天.
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题。(1)已知y是x的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，再将已知点$(375,8)$代入解析式求出k值，结合实际意义可知每天的工程量x为正数，补充自变量取值范围即可得到函数解析式；(2)已知每天清理河道的长度即x=500，将其代入(1)中求出的解析式，计算得到的y值就是清理完河道所需的天数。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$。
$\because$ 点$(375,8)$在该反比例函数图象上，
$\therefore$ 将$x=375$，$y=8$代入得$k=375×8=3\,000$，
结合实际意义$x＞0$，因此所求函数的解析式为 $y=\dfrac{3\,000}{x}(x＞0)$。
(2) 当$x=500$时，将其代入函数解析式得：
$y=\dfrac{3\,000}{500}=6$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{3\,000}{x}(x＞0)$；(2) 6天
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，函数值计算
【点评】
本题结合工程问题考查反比例函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时需要注意结合实际问题确定自变量的取值范围，避免漏写。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数的实际应用问题。(1)已知y是x的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，再将已知点$(375,8)$代入解析式求出k值，结合实际意义可知每天的工程量x为正数，补充自变量取值范围即可得到函数解析式；(2)已知每天清理河道的长度即x=500，将其代入(1)中求出的解析式，计算得到的y值就是清理完河道所需的天数。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$。
$\because$ 点$(375,8)$在该反比例函数图象上，
$\therefore$ 将$x=375$，$y=8$代入得$k=375×8=3\,000$，
结合实际意义$x＞0$，因此所求函数的解析式为 $y=\dfrac{3\,000}{x}(x＞0)$。
(2) 当$x=500$时，将其代入函数解析式得：
$y=\dfrac{3\,000}{500}=6$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{3\,000}{x}(x＞0)$；(2) 6天
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，函数值计算
【点评】
本题结合工程问题考查反比例函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时需要注意结合实际问题确定自变量的取值范围，避免漏写。
【难度系数】
0.8
1.为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒.药物燃烧时，每立方米的含药量y（单位：mg）与时间x（单位：min）成正比例；药物燃烧结束后，y与x成反比例.这两个变量之间的关系如图所示.下列说法错误的是(
A.第8 min后，教室内的含药量逐渐减小
B.第12 min时，教室内的含药量为4 mg/m³
C.第50 min时，教室内含药量为0 mg
D.教室内含药量不低于3 mg/m³的持续时间为12 min
C
).A.第8 min后，教室内的含药量逐渐减小
B.第12 min时，教室内的含药量为4 mg/m³
C.第50 min时，教室内含药量为0 mg
D.教室内含药量不低于3 mg/m³的持续时间为12 min
答案
C
解析
【分析】
本题需要先结合函数类型和图像上的已知点，分别求出药物燃烧阶段的正比例函数解析式，以及燃烧结束后的反比例函数解析式，再利用解析式逐一验证每个选项的正误即可。解题步骤为：①求正比例函数解析式；②求反比例函数解析式；③逐个分析选项判断对错。
【解析】
1. 求函数解析式：
（1）当$0≤ x≤8$时，y与x成正比例，设解析式为$y=kx(k≠0)$，将点$(8,6)$代入得：$6=8k$，解得$k=\frac{3}{4}$，即$y=\frac{3}{4}x(0≤ x≤8)$。
（2）当$x≥8$时，y与x成反比例，设解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，将点$(8,6)$代入得：$6=\frac{m}{8}$，解得$m=48$，即$y=\frac{48}{x}(x≥8)$。
2. 逐一判断选项：
A选项：第8min后，函数为反比例函数$y=\frac{48}{x}$，y随x的增大而减小，含药量逐渐减小，说法正确，不符合题意。
B选项：当$x=12$时，代入反比例解析式得$y=\frac{48}{12}=4mg/m^3$，说法正确，不符合题意。
C选项：当$x=50$时，代入反比例解析式得$y=\frac{48}{50}=0.96mg/m^3≠0$，说法错误，符合题意。
D选项：含药量不低于$3mg/m^3$即$y≥3$：
正比例阶段：$\frac{3}{4}x≥3$，解得$x≥4$；
反比例阶段：$\frac{48}{x}≥3$，解得$x≤16$；
持续时间为$16-4=12min$，说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数应用；反比例函数应用；函数实际求解
【点评】
本题结合生活消毒场景考查正反比例函数的综合应用，需要学生熟练掌握函数解析式的求解方法，能结合函数性质和不等式解决实际问题，易错点是容易误认为反比例函数的y值最终会降到0，实际只能无限趋近于0。
【难度系数】
0.7
本题需要先结合函数类型和图像上的已知点，分别求出药物燃烧阶段的正比例函数解析式，以及燃烧结束后的反比例函数解析式，再利用解析式逐一验证每个选项的正误即可。解题步骤为：①求正比例函数解析式；②求反比例函数解析式；③逐个分析选项判断对错。
【解析】
1. 求函数解析式：
（1）当$0≤ x≤8$时，y与x成正比例，设解析式为$y=kx(k≠0)$，将点$(8,6)$代入得：$6=8k$，解得$k=\frac{3}{4}$，即$y=\frac{3}{4}x(0≤ x≤8)$。
（2）当$x≥8$时，y与x成反比例，设解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，将点$(8,6)$代入得：$6=\frac{m}{8}$，解得$m=48$，即$y=\frac{48}{x}(x≥8)$。
2. 逐一判断选项：
A选项：第8min后，函数为反比例函数$y=\frac{48}{x}$，y随x的增大而减小，含药量逐渐减小，说法正确，不符合题意。
B选项：当$x=12$时，代入反比例解析式得$y=\frac{48}{12}=4mg/m^3$，说法正确，不符合题意。
C选项：当$x=50$时，代入反比例解析式得$y=\frac{48}{50}=0.96mg/m^3≠0$，说法错误，符合题意。
D选项：含药量不低于$3mg/m^3$即$y≥3$：
正比例阶段：$\frac{3}{4}x≥3$，解得$x≥4$；
反比例阶段：$\frac{48}{x}≥3$，解得$x≤16$；
持续时间为$16-4=12min$，说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数应用；反比例函数应用；函数实际求解
【点评】
本题结合生活消毒场景考查正反比例函数的综合应用，需要学生熟练掌握函数解析式的求解方法，能结合函数性质和不等式解决实际问题，易错点是容易误认为反比例函数的y值最终会降到0，实际只能无限趋近于0。
【难度系数】
0.7
