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问题 上午9时30分时,钟面上时针与分针的夹角是多少度?
名师指导
(1) 画出草图(如图所示),标出时针与分针的位置(此时分针指在6上,时针应该指在9与10中间).
(2) 再根据钟面上每相邻的两个数之间的夹角是 $30°$(为什么是 $30°$?)来求解.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
名师指导
(1) 画出草图(如图所示),标出时针与分针的位置(此时分针指在6上,时针应该指在9与10中间).
(2) 再根据钟面上每相邻的两个数之间的夹角是 $30°$(为什么是 $30°$?)来求解.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案
解：
钟面一周的角度为$360°$，被平均分成12个大格，因此每相邻两个数字之间的夹角为 $360°÷12=30°$。
上午9时30分，分针指向数字6，时针位于数字9和10的正中间。
从数字6到数字9共有3个大格，对应角度为 $3×30°=90°$。
30分钟时针走过半个大格，对应角度为 $30°÷2=15°$。
此时时针与分针的夹角为 $90°+15°=105°$。
答：上午9时30分时，钟面上时针与分针的夹角是$105°$。
钟面一周的角度为$360°$，被平均分成12个大格，因此每相邻两个数字之间的夹角为 $360°÷12=30°$。
上午9时30分，分针指向数字6，时针位于数字9和10的正中间。
从数字6到数字9共有3个大格，对应角度为 $3×30°=90°$。
30分钟时针走过半个大格，对应角度为 $30°÷2=15°$。
此时时针与分针的夹角为 $90°+15°=105°$。
答：上午9时30分时，钟面上时针与分针的夹角是$105°$。
解析
【分析】
解题时首先明确钟面的角度规律：整个钟面为360°的周角，被平均分为12个大格，因此先计算出每个大格对应的角度。其次确定9时30分两根指针的位置：分针固定指向数字6，时针因走了30分钟，不会停在数字9处，而是在9和10的正中间。最后将两针的夹角拆分为两部分计算：一是数字6到数字9之间3个大格的角度，二是时针从数字9向10移动半格的角度，两部分角度相加即可得到最终夹角。
【解析】
钟面一周的角度为$360°$，被平均分成12个大格，因此每相邻两个数字之间的夹角为 $360°÷12=30°$。
上午9时30分，分针指向数字6，时针位于数字9和10的正中间。
从数字6到数字9共有3个大格，对应角度为 $3×30°=90°$。
30分钟时针走过半个大格，对应角度为 $30°÷2=15°$。
此时时针与分针的夹角为 $90°+15°=105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
钟面角计算、角度运算、角的和差
【点评】
本题是钟面角计算的基础典型题，易错点是容易忽略时针会随分钟走动，误将9时30分的时针认为指向9，错算成90°。解题时只要先明确钟面每大格的角度，再准确判断时针、分针的位置，结合角度和差即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确钟面的角度规律：整个钟面为360°的周角，被平均分为12个大格，因此先计算出每个大格对应的角度。其次确定9时30分两根指针的位置：分针固定指向数字6，时针因走了30分钟，不会停在数字9处，而是在9和10的正中间。最后将两针的夹角拆分为两部分计算：一是数字6到数字9之间3个大格的角度，二是时针从数字9向10移动半格的角度，两部分角度相加即可得到最终夹角。
【解析】
钟面一周的角度为$360°$，被平均分成12个大格，因此每相邻两个数字之间的夹角为 $360°÷12=30°$。
上午9时30分，分针指向数字6，时针位于数字9和10的正中间。
从数字6到数字9共有3个大格，对应角度为 $3×30°=90°$。
30分钟时针走过半个大格，对应角度为 $30°÷2=15°$。
此时时针与分针的夹角为 $90°+15°=105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
钟面角计算、角度运算、角的和差
【点评】
本题是钟面角计算的基础典型题，易错点是容易忽略时针会随分钟走动，误将9时30分的时针认为指向9，错算成90°。解题时只要先明确钟面每大格的角度，再准确判断时针、分针的位置，结合角度和差即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
1. 下列度分秒运算中,正确的是 （
A.$48°39'+67°31'=115°10'$
B.$90°-70°39'=20°21'$
C.$21°17'×5=185°5'$
D.$180°÷7=25°43'$(精确到分)
D
）A.$48°39'+67°31'=115°10'$
B.$90°-70°39'=20°21'$
C.$21°17'×5=185°5'$
D.$180°÷7=25°43'$(精确到分)
答案
1. D.
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握度分秒的60进制运算规则：1°=60'，1'=60''。加法运算时，度与度相加、分与分相加，满60就向高一级进1；减法运算时，不够减就向高一级借1当60再计算；乘法运算时，度和分分别乘乘数，满60向高一级进1；除法运算时，从度开始除，余数转化为分继续除，最后按要求取近似值。我们只需逐个计算选项，判断正误即可。
【解析】
我们逐一验证各选项：
选项A：$48°39'+67°31'=(48°+67°)+(39'+31')=115°+70'=115°+1°10'=116°10'$，与选项给出的$115°10'$不符，A错误。
选项B：$90°-70°39'=89°60'-70°39'=(89°-70°)+(60'-39')=19°21'$，与选项给出的$20°21'$不符，B错误。
选项C：$21°17'×5=(21°×5)+(17'×5)=105°+85'=105°+1°25'=106°25'$，与选项给出的$185°5'$不符，C错误。
选项D：$180°÷7$，先算度：$180÷7=25°\dots\dots5°$，将余数$5°$转化为分：$5°=5×60'=300'$，再算分：$300'÷7≈43'$（精确到分），因此结果为$25°43'$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
度分秒的换算，度分秒的运算，角的度量
【点评】
本题重点考查度分秒的60进制运算规则，做题时要特别注意加减运算中的进位、借位，以及乘除运算中不同单位的转换，细心计算就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是掌握度分秒的60进制运算规则：1°=60'，1'=60''。加法运算时，度与度相加、分与分相加，满60就向高一级进1；减法运算时，不够减就向高一级借1当60再计算；乘法运算时，度和分分别乘乘数，满60向高一级进1；除法运算时，从度开始除，余数转化为分继续除，最后按要求取近似值。我们只需逐个计算选项，判断正误即可。
【解析】
我们逐一验证各选项：
选项A：$48°39'+67°31'=(48°+67°)+(39'+31')=115°+70'=115°+1°10'=116°10'$，与选项给出的$115°10'$不符，A错误。
选项B：$90°-70°39'=89°60'-70°39'=(89°-70°)+(60'-39')=19°21'$，与选项给出的$20°21'$不符，B错误。
选项C：$21°17'×5=(21°×5)+(17'×5)=105°+85'=105°+1°25'=106°25'$，与选项给出的$185°5'$不符，C错误。
选项D：$180°÷7$，先算度：$180÷7=25°\dots\dots5°$，将余数$5°$转化为分：$5°=5×60'=300'$，再算分：$300'÷7≈43'$（精确到分），因此结果为$25°43'$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
度分秒的换算，度分秒的运算，角的度量
【点评】
本题重点考查度分秒的60进制运算规则，做题时要特别注意加减运算中的进位、借位，以及乘除运算中不同单位的转换，细心计算就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
2. 若∠A=20°25′，∠B=20°15′30″，∠C=20.25°，则有 （
A.∠A＞∠B＞∠C
B.∠B＞∠A＞∠C
C.∠A＞∠C＞∠B
D.∠C＞∠A＞∠B
A
）A.∠A＞∠B＞∠C
B.∠B＞∠A＞∠C
C.∠A＞∠C＞∠B
D.∠C＞∠A＞∠B
答案
2. A.
解析
【分析】
要比较三个角的大小，需先统一单位，由于三个角的表示形式不同，因此先利用度、分、秒的换算规则（1°=60′，1′=60″），将三个角换算为相同单位的形式，再依次比较度、分、秒的数值即可得到大小关系。
【解析】
首先进行单位换算：
已知1°=60′，因此∠C=20.25°=20°+0.25×60′=20°15′。
此时三个角的统一度分秒形式为：
∠A=20°25′，∠B=20°15′30″，∠C=20°15′。
比较大小：
1. 三个角的度数值均为20°，数值相同，比较分数值：∠A的分数值为25，大于∠B和∠C的分数值15，因此∠A最大；
2. 比较∠B和∠C：二者分数值均为15，比较秒数值：∠B的秒数值为30，大于∠C的秒数值0，因此∠B＞∠C。
综上，大小关系为∠A＞∠B＞∠C，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
度分秒的换算，角的大小比较
【点评】
本题的核心是掌握度分秒的60进制换算规则，统一单位是比较不同表示形式角大小的前提，解题时注意不要将度分秒的换算进率和十进制混淆。
【难度系数】
0.8
要比较三个角的大小，需先统一单位，由于三个角的表示形式不同，因此先利用度、分、秒的换算规则（1°=60′，1′=60″），将三个角换算为相同单位的形式，再依次比较度、分、秒的数值即可得到大小关系。
【解析】
首先进行单位换算：
已知1°=60′，因此∠C=20.25°=20°+0.25×60′=20°15′。
此时三个角的统一度分秒形式为：
∠A=20°25′，∠B=20°15′30″，∠C=20°15′。
比较大小：
1. 三个角的度数值均为20°，数值相同，比较分数值：∠A的分数值为25，大于∠B和∠C的分数值15，因此∠A最大；
2. 比较∠B和∠C：二者分数值均为15，比较秒数值：∠B的秒数值为30，大于∠C的秒数值0，因此∠B＞∠C。
综上，大小关系为∠A＞∠B＞∠C，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
度分秒的换算，角的大小比较
【点评】
本题的核心是掌握度分秒的60进制换算规则，统一单位是比较不同表示形式角大小的前提，解题时注意不要将度分秒的换算进率和十进制混淆。
【难度系数】
0.8
3. 第一节课是上午7:50上课，8:35下课，这一节课期间时针转过的角度为
$22°30'$
.(用度分秒的形式表示)答案
3. $22°30'$.
解析
【分析】
解题时首先需要计算出这节课的总时长，再明确时针的转动速度：钟表一圈为360°，时针12小时转完整一圈，可先推出时针每分钟转过的角度，再用总时长乘时针每分钟的转动角度得到转过的总度数，最后按照度分秒的换算规则把结果转化为要求的形式即可。
【解析】
第一步：计算课程时长
8时35分 - 7时50分 = 45分钟
第二步：计算时针每分钟转动的角度
时针12小时转动360°，12小时 = 12×60 = 720分钟
因此时针每分钟转动的角度为：$360°÷720 = 0.5°$
第三步：计算45分钟时针转过的角度
$45×0.5° = 22.5°$
第四步：将22.5°换算为度分秒形式
因为$1°=60'$，所以$0.5° = 0.5×60' = 30'$
即$22.5°=22°30'$
【答案】
$22°30'$
【知识点】
钟面角计算；度分秒换算；时间计算
【点评】
本题属于钟面角相关的基础题型，解题核心是牢记时针的转动速度，计算时要先准确求出上课时长，再注意度分秒是60进制的换算规则，易错点是混淆时针和分针的转动速度，或者换算时误用10进制。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要计算出这节课的总时长，再明确时针的转动速度：钟表一圈为360°，时针12小时转完整一圈，可先推出时针每分钟转过的角度，再用总时长乘时针每分钟的转动角度得到转过的总度数，最后按照度分秒的换算规则把结果转化为要求的形式即可。
【解析】
第一步：计算课程时长
8时35分 - 7时50分 = 45分钟
第二步：计算时针每分钟转动的角度
时针12小时转动360°，12小时 = 12×60 = 720分钟
因此时针每分钟转动的角度为：$360°÷720 = 0.5°$
第三步：计算45分钟时针转过的角度
$45×0.5° = 22.5°$
第四步：将22.5°换算为度分秒形式
因为$1°=60'$，所以$0.5° = 0.5×60' = 30'$
即$22.5°=22°30'$
【答案】
$22°30'$
【知识点】
钟面角计算；度分秒换算；时间计算
【点评】
本题属于钟面角相关的基础题型，解题核心是牢记时针的转动速度，计算时要先准确求出上课时长，再注意度分秒是60进制的换算规则，易错点是混淆时针和分针的转动速度，或者换算时误用10进制。
【难度系数】
0.7
4. 计算：
(1) $48°33'28'' + 19°56'42''$；
(2) $90° - 15°43'29''$；
(3) $32°15'29'' × 4$；
(4) $79°40'18'' ÷ 3$。
(1) $48°33'28'' + 19°56'42''$；
(2) $90° - 15°43'29''$；
(3) $32°15'29'' × 4$；
(4) $79°40'18'' ÷ 3$。
答案
4. (1) $68°30'10''$；(2) $74°16'31''$；(3) $129°1'56''$；(4) $26°33'26''$.
解析
【分析】
这道题考查度分秒的四则运算，首先要明确度、分、秒为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，解题思路如下：1.加法运算：度、分、秒分别相加，某一级满60就向上一级进1；2.减法运算：若被减数对应级别的数小于减数，向上一级借1当60后再逐级相减；3.乘法运算：度、分、秒分别乘乘数，从最低级开始每满60向上一级进1；4.除法运算：从度开始逐级除以除数，每一级的余数乘60转为下一级的数，和下一级原数相加后再继续除。
【解析】
(1) 计算$48°33'28'' + 19°56'42''$
度相加：$48°+19°=67°$
分相加：$33'+56'=89'$
秒相加：$28''+42''=70''$
进位处理：$70''=1'10''$，分变为$89'+1'=90'$；$90'=1°30'$，度变为$67°+1°=68°$
合并得结果：$68°30'10''$
(2) 计算$90° - 15°43'29''$
先将$90°$转化为$89°59'60''$（借$1°$为$60'$，再借$1'$为$60''$）
度相减：$89°-15°=74°$
分相减：$59'-43'=16'$
秒相减：$60''-29''=31''$
合并得结果：$74°16'31''$
(3) 计算$32°15'29'' × 4$
分别乘4：$32°×4=128°$，$15'×4=60'$，$29''×4=116''$
进位处理：$116''=1'56''$，分变为$60'+1'=61'$；$61'=1°1'$，度变为$128°+1°=129°$
合并得结果：$129°1'56''$
(4) 计算$79°40'18'' ÷ 3$
先算度：$79°÷3=26°$余$1°$，将$1°$转化为$60'$，与原有$40'$合并得$100'$
再算分：$100'÷3=33'$余$1'$，将$1'$转化为$60''$，与原有$18''$合并得$78''$
最后算秒：$78''÷3=26''$
合并得结果：$26°33'26''$
【答案】
(1) $68°30'10''$；(2) $74°16'31''$；(3) $129°1'56''$；(4) $26°33'26''$
【知识点】
度分秒换算、角度的四则运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心考点是度分秒的60进制规则，只要熟练掌握进位、借位的转换方法，计算过程中认真细心就能顺利得分。
【难度系数】
0.7
这道题考查度分秒的四则运算，首先要明确度、分、秒为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，解题思路如下：1.加法运算：度、分、秒分别相加，某一级满60就向上一级进1；2.减法运算：若被减数对应级别的数小于减数，向上一级借1当60后再逐级相减；3.乘法运算：度、分、秒分别乘乘数，从最低级开始每满60向上一级进1；4.除法运算：从度开始逐级除以除数，每一级的余数乘60转为下一级的数，和下一级原数相加后再继续除。
【解析】
(1) 计算$48°33'28'' + 19°56'42''$
度相加：$48°+19°=67°$
分相加：$33'+56'=89'$
秒相加：$28''+42''=70''$
进位处理：$70''=1'10''$，分变为$89'+1'=90'$；$90'=1°30'$，度变为$67°+1°=68°$
合并得结果：$68°30'10''$
(2) 计算$90° - 15°43'29''$
先将$90°$转化为$89°59'60''$（借$1°$为$60'$，再借$1'$为$60''$）
度相减：$89°-15°=74°$
分相减：$59'-43'=16'$
秒相减：$60''-29''=31''$
合并得结果：$74°16'31''$
(3) 计算$32°15'29'' × 4$
分别乘4：$32°×4=128°$，$15'×4=60'$，$29''×4=116''$
进位处理：$116''=1'56''$，分变为$60'+1'=61'$；$61'=1°1'$，度变为$128°+1°=129°$
合并得结果：$129°1'56''$
(4) 计算$79°40'18'' ÷ 3$
先算度：$79°÷3=26°$余$1°$，将$1°$转化为$60'$，与原有$40'$合并得$100'$
再算分：$100'÷3=33'$余$1'$，将$1'$转化为$60''$，与原有$18''$合并得$78''$
最后算秒：$78''÷3=26''$
合并得结果：$26°33'26''$
【答案】
(1) $68°30'10''$；(2) $74°16'31''$；(3) $129°1'56''$；(4) $26°33'26''$
【知识点】
度分秒换算、角度的四则运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心考点是度分秒的60进制规则，只要熟练掌握进位、借位的转换方法，计算过程中认真细心就能顺利得分。
【难度系数】
0.7
5时时，钟面上时针和分针的夹角是多少度？从5时起，经过多长时间，时针和分针第一次重合？
答案
$150°$；$\frac{300}{11}$分钟.
解析
【分析】
首先解决夹角问题：先明确钟面基本特征，钟面为周角360°，平均分为12个大格，可先算出每个大格对应的角度，5时整时针指向5、分针指向12，数出两者间隔的大格数，乘单个大格的角度即可得到夹角。
再解决重合问题：属于追及类问题，先分别算出分针、时针每分钟转动的角度，5时整两者初始夹角为150°，要重合则分针需要比时针多走150°，根据“角度差=速度差×时间”列一元一次方程求解即可。
【解析】
1. 计算5时整时针和分针的夹角：
钟面一周为360°，共分12个大格，每个大格的度数为：
$360° ÷ 12 = 30°$
5时整，时针和分针间隔5个大格，夹角为：
$5 × 30° = 150°$
2. 计算第一次重合的时间：
分针每分钟转动的角度：$360° ÷ 60 = 6°$
时针每分钟转动的角度：$360° ÷ (12 × 60) = 0.5°$
设经过$x$分钟时针和分针第一次重合，此时分针比时针多走150°，列方程：
$6x - 0.5x = 150$
合并同类项得：$5.5x = 150$
解得：$x = 150 ÷ 5.5 = \frac{300}{11}$
【答案】
$150°$；$\frac{300}{11}$分钟
【知识点】
钟面角计算；一元一次方程的应用；追及问题
【点评】
本题结合生活常见的钟面场景考查角度计算和实际问题的方程建模能力，解题核心是明确时针、分针的转动速度，准确梳理两者的角度差关系，贴近生活实际，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
首先解决夹角问题：先明确钟面基本特征，钟面为周角360°，平均分为12个大格，可先算出每个大格对应的角度，5时整时针指向5、分针指向12，数出两者间隔的大格数，乘单个大格的角度即可得到夹角。
再解决重合问题：属于追及类问题，先分别算出分针、时针每分钟转动的角度，5时整两者初始夹角为150°，要重合则分针需要比时针多走150°，根据“角度差=速度差×时间”列一元一次方程求解即可。
【解析】
1. 计算5时整时针和分针的夹角：
钟面一周为360°，共分12个大格，每个大格的度数为：
$360° ÷ 12 = 30°$
5时整，时针和分针间隔5个大格，夹角为：
$5 × 30° = 150°$
2. 计算第一次重合的时间：
分针每分钟转动的角度：$360° ÷ 60 = 6°$
时针每分钟转动的角度：$360° ÷ (12 × 60) = 0.5°$
设经过$x$分钟时针和分针第一次重合，此时分针比时针多走150°，列方程：
$6x - 0.5x = 150$
合并同类项得：$5.5x = 150$
解得：$x = 150 ÷ 5.5 = \frac{300}{11}$
【答案】
$150°$；$\frac{300}{11}$分钟
【知识点】
钟面角计算；一元一次方程的应用；追及问题
【点评】
本题结合生活常见的钟面场景考查角度计算和实际问题的方程建模能力，解题核心是明确时针、分针的转动速度，准确梳理两者的角度差关系，贴近生活实际，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
