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1.如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点，若$PA=3$，则PB的长为(
A.2
B.3
C.4
D.5
（第1题）
B
).A.2
B.3
C.4
D.5
（第1题）答案
1.B
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，已知PA的长度求PB的长度。解题时优先回忆切线相关的定理，其中切线长定理明确：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长度相等，结合已知PA的长度就能直接得出PB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，P为⊙O外一点
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等
∴$PB=PA$
又
∵$PA=3$
∴$PB=3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查切线长定理的应用，无需复杂推导，熟练掌握定理内容即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先梳理题目已知条件：P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，已知PA的长度求PB的长度。解题时优先回忆切线相关的定理，其中切线长定理明确：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长度相等，结合已知PA的长度就能直接得出PB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，P为⊙O外一点
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等
∴$PB=PA$
又
∵$PA=3$
∴$PB=3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查切线长定理的应用，无需复杂推导，熟练掌握定理内容即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.如图，PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点，OP与$\odot O$相交于点C，下列结论不正确的是（
A.$PA=PB$
B.$∠ APO=∠ BPO$
C.$AB⊥ OP$
D.点C是$△ OAP$的外心
D
）.A.$PA=PB$
B.$∠ APO=∠ BPO$
C.$AB⊥ OP$
D.点C是$△ OAP$的外心
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先回忆切线长定理、等腰三角形性质及三角形外心的定义，逐一分析选项：首先利用切线长定理判断A、B选项正误；再结合等腰三角形三线合一的性质判断C选项；最后根据外心需到三角形三个顶点距离相等的特征判断D选项即可。
【解析】
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B两点，根据切线长定理可得：
$PA=PB$，$∠APO=∠BPO$，故A、B选项结论正确，不符合题意；
∵$PA=PB$，$△ PAB$是等腰三角形，且OP平分$∠APB$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$OP⊥AB$，故C选项结论正确，不符合题意；
三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。若点C是$△ OAP$的外心，则需满足$CO=CA=CP$，仅当$∠APO=30°$时该结论成立，题目未给出此特殊条件，因此一般情况下点C不是$△ OAP$的外心，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，等腰三角形性质，三角形外心定义
【点评】
本题考查圆的切线相关性质与三角形外心的概念，属于基础题，解题的关键是熟练掌握切线长定理的内容，明确三角形外心到三个顶点距离相等的特点，即可快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆切线长定理、等腰三角形性质及三角形外心的定义，逐一分析选项：首先利用切线长定理判断A、B选项正误；再结合等腰三角形三线合一的性质判断C选项；最后根据外心需到三角形三个顶点距离相等的特征判断D选项即可。
【解析】
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B两点，根据切线长定理可得：
$PA=PB$，$∠APO=∠BPO$，故A、B选项结论正确，不符合题意；
∵$PA=PB$，$△ PAB$是等腰三角形，且OP平分$∠APB$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$OP⊥AB$，故C选项结论正确，不符合题意；
三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。若点C是$△ OAP$的外心，则需满足$CO=CA=CP$，仅当$∠APO=30°$时该结论成立，题目未给出此特殊条件，因此一般情况下点C不是$△ OAP$的外心，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，等腰三角形性质，三角形外心定义
【点评】
本题考查圆的切线相关性质与三角形外心的概念，属于基础题，解题的关键是熟练掌握切线长定理的内容，明确三角形外心到三个顶点距离相等的特点，即可快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.8
3.如图，AB，AC，BD是$\odot O$的切线，切点分别为P，C，D，若$AB=4$，$AC=3$，则BD的长是（
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
A
）.A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
答案
3.A
解析
【分析】
遇到圆的多条切线求线段长的问题，首先想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。第一步，先看点A引出的两条切线AC、AP，可得AC=AP，先求出AP的长度；第二步，用AB的总长度减去AP的长度，得到BP的长度；第三步，看点B引出的两条切线BP、BD，可得BD=BP，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AC、AB分别与$\odot O$相切于点C、P，点A是圆外一点，
根据切线长定理，得$AC=AP=3$。
∵$AB=4$，
∴$BP=AB-AP=4-3=1$。
又
∵BD、AB分别与$\odot O$相切于点D、P，点B是圆外一点，
根据切线长定理，得$BD=BP=1$。
因此BD的长为1，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的关键是找准同一点向圆引出的两条切线，对应切线长度相等，结合线段和差关系即可求解。
【难度系数】
0.8
遇到圆的多条切线求线段长的问题，首先想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。第一步，先看点A引出的两条切线AC、AP，可得AC=AP，先求出AP的长度；第二步，用AB的总长度减去AP的长度，得到BP的长度；第三步，看点B引出的两条切线BP、BD，可得BD=BP，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AC、AB分别与$\odot O$相切于点C、P，点A是圆外一点，
根据切线长定理，得$AC=AP=3$。
∵$AB=4$，
∴$BP=AB-AP=4-3=1$。
又
∵BD、AB分别与$\odot O$相切于点D、P，点B是圆外一点，
根据切线长定理，得$BD=BP=1$。
因此BD的长为1，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的关键是找准同一点向圆引出的两条切线，对应切线长度相等，结合线段和差关系即可求解。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数为(
A.18°
B.36°
C.48°
D.72°
B
).A.18°
B.36°
C.48°
D.72°
答案
4.B
解析
【分析】
解决切线相关的角度计算问题，首先连接切点与圆心，利用切线垂直于过切点的半径得到直角，再结合等腰三角形性质、三角形和四边形内角和推导角度。第一步连接OC，由切线性质得OC⊥DE、OB⊥BD，再通过角度和、等腰三角形性质求出圆心角∠BOC的度数，最后在四边形OBDC中计算∠D即可。
【解析】
解：连接OC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴OC⊥DE，OB⊥BD，即$∠ OCD=∠ OBD=90°$。
∵$∠ ACE=18°$，$∠ OCE=90°$，
∴$∠ ACO=∠ OCE-∠ ACE=90°-18°=72°$。
∵OA=OC（均为⊙O的半径），
∴$∠ OAC=∠ ACO=72°$。
在△AOC中，$∠ AOC=180°-∠ OAC-∠ ACO=180°-72°-72°=36°$，
∴$∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-36°=144°$。
在四边形OBDC中，内角和为$360°$，
∴$∠ D=360°-∠ OBD-∠ OCD-∠ BOC=360°-90°-90°-144°=36°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形性质；四边形内角和
【点评】
本题是圆中角度计算的常规题型，解题关键是正确作出连接圆心和切点的辅助线，结合切线性质和三角形、四边形角度关系推导即可。
【难度系数】
0.7
解决切线相关的角度计算问题，首先连接切点与圆心，利用切线垂直于过切点的半径得到直角，再结合等腰三角形性质、三角形和四边形内角和推导角度。第一步连接OC，由切线性质得OC⊥DE、OB⊥BD，再通过角度和、等腰三角形性质求出圆心角∠BOC的度数，最后在四边形OBDC中计算∠D即可。
【解析】
解：连接OC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴OC⊥DE，OB⊥BD，即$∠ OCD=∠ OBD=90°$。
∵$∠ ACE=18°$，$∠ OCE=90°$，
∴$∠ ACO=∠ OCE-∠ ACE=90°-18°=72°$。
∵OA=OC（均为⊙O的半径），
∴$∠ OAC=∠ ACO=72°$。
在△AOC中，$∠ AOC=180°-∠ OAC-∠ ACO=180°-72°-72°=36°$，
∴$∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-36°=144°$。
在四边形OBDC中，内角和为$360°$，
∴$∠ D=360°-∠ OBD-∠ OCD-∠ BOC=360°-90°-90°-144°=36°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形性质；四边形内角和
【点评】
本题是圆中角度计算的常规题型，解题关键是正确作出连接圆心和切点的辅助线，结合切线性质和三角形、四边形角度关系推导即可。
【难度系数】
0.7
5.如图，直线AB，BC，CD分别与$\odot O$相切，点E，F，G为切点，$AB// CD$，则$∠ BOC$的度数为(
A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
D
).A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：AB、BC、CD都是$\odot O$的切线，首先联想到切线长定理，可得OB平分$∠ ABC$、OC平分$∠ BCD$；再结合$AB// CD$的条件，利用平行线同旁内角互补的性质，可求出$∠ OBC$与$∠ OCB$的和，最后根据三角形内角和定理就能算出$∠ BOC$的度数。
【解析】
∵ 直线AB、BC分别与$\odot O$相切于E、F
∴ 根据切线长定理，OB平分$∠ ABC$，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$
同理，直线BC、CD分别与$\odot O$相切于F、G
∴ OC平分$∠ BCD$，即$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ BCD$
∵ $AB// CD$
∴ $∠ ABC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∴ $∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD)=\frac{1}{2}×180°=90°$
在$△ BOC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BOC=180° - (∠ OBC + ∠ OCB)=180° - 90°=90°$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是切线相关的角度计算基础题，将切线的性质、平行线性质和三角形内角和定理结合考查，掌握核心定理就能快速推导求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征：AB、BC、CD都是$\odot O$的切线，首先联想到切线长定理，可得OB平分$∠ ABC$、OC平分$∠ BCD$；再结合$AB// CD$的条件，利用平行线同旁内角互补的性质，可求出$∠ OBC$与$∠ OCB$的和，最后根据三角形内角和定理就能算出$∠ BOC$的度数。
【解析】
∵ 直线AB、BC分别与$\odot O$相切于E、F
∴ 根据切线长定理，OB平分$∠ ABC$，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$
同理，直线BC、CD分别与$\odot O$相切于F、G
∴ OC平分$∠ BCD$，即$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ BCD$
∵ $AB// CD$
∴ $∠ ABC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∴ $∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD)=\frac{1}{2}×180°=90°$
在$△ BOC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BOC=180° - (∠ OBC + ∠ OCB)=180° - 90°=90°$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是切线相关的角度计算基础题，将切线的性质、平行线性质和三角形内角和定理结合考查，掌握核心定理就能快速推导求解。
【难度系数】
0.8
6.如图，PA，PB是$\odot O$的两条切线，A，B为切点，$∠ APB = 60°$，$PO = 4$，则$\odot O$的半径是
2
。答案
6.2
解析
【分析】
解题时首先结合切线的性质，得到过切点的半径与切线垂直，即OA⊥PA，再根据切线长定理可知PO平分∠APB，可求出∠APO的度数，最后在直角三角形OAP中利用含30°角的直角三角形的性质即可求出⊙O的半径。
【解析】
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，PO平分∠APB，
∵∠APB=60°，
∴∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠APO=30°，PO=4，
∴OA=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$×4=2，即⊙O的半径为2。
【答案】
2
【知识点】
切线的性质；切线长定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握切线相关定理，结合特殊直角三角形的性质进行计算，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合切线的性质，得到过切点的半径与切线垂直，即OA⊥PA，再根据切线长定理可知PO平分∠APB，可求出∠APO的度数，最后在直角三角形OAP中利用含30°角的直角三角形的性质即可求出⊙O的半径。
【解析】
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，PO平分∠APB，
∵∠APB=60°，
∴∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠APO=30°，PO=4，
∴OA=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$×4=2，即⊙O的半径为2。
【答案】
2
【知识点】
切线的性质；切线长定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握切线相关定理，结合特殊直角三角形的性质进行计算，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.8
