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7.(2025,黑龙江,16)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是直径,∠BAC=35°,∠P=
70
°.答案
7.70
解析
【分析】
解题时先从切线的性质入手：已知PA是⊙O的切线，AC为直径，根据切线垂直于过切点的半径，可得PA⊥AC，由此可计算出∠PAB的度数；再根据切线长定理，PA、PB都是⊙O的切线，所以PA=PB，即△PAB是等腰三角形，两个底角相等，最后利用三角形内角和定理即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴PA⊥AC，即∠PAC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠PAB=∠PAC - ∠BAC=90°-35°=55°，
又
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=55°，
在△PAB中，∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-55°-55°=70°。
【答案】
70
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题关键是熟练掌握切线相关的性质，结合等腰三角形特征和内角和公式求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从切线的性质入手：已知PA是⊙O的切线，AC为直径，根据切线垂直于过切点的半径，可得PA⊥AC，由此可计算出∠PAB的度数；再根据切线长定理，PA、PB都是⊙O的切线，所以PA=PB，即△PAB是等腰三角形，两个底角相等，最后利用三角形内角和定理即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴PA⊥AC，即∠PAC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠PAB=∠PAC - ∠BAC=90°-35°=55°，
又
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=55°，
在△PAB中，∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-55°-55°=70°。
【答案】
70
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题关键是熟练掌握切线相关的性质，结合等腰三角形特征和内角和公式求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
8.如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点，若$∠ P=60°$，$PA=2$，则AB的长为
2
。答案
8.2
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据PA、PB是圆的切线，回忆切线长定理可得PA=PB，由此可知△PAB是等腰三角形；再结合已知条件∠P=60°，根据等边三角形的判定定理，可推出△PAB是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，根据切线长定理，
∴PA = PB，
∴△PAB为等腰三角形，
又
∵∠P = 60°，
∴△PAB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB = PA，
∵PA = 2，
∴AB = 2。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，结合切线长定理和等边三角形的性质考查，解题关键是先利用切线长定理得到两条切线段长度相等，再判断三角形的形状求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据PA、PB是圆的切线，回忆切线长定理可得PA=PB，由此可知△PAB是等腰三角形；再结合已知条件∠P=60°，根据等边三角形的判定定理，可推出△PAB是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，根据切线长定理，
∴PA = PB，
∴△PAB为等腰三角形，
又
∵∠P = 60°，
∴△PAB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB = PA，
∵PA = 2，
∴AB = 2。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，结合切线长定理和等边三角形的性质考查，解题关键是先利用切线长定理得到两条切线段长度相等，再判断三角形的形状求解。
【难度系数】
0.8
9.为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出$AB=4\ \mathrm{cm}$，则这张光盘的半径是
$4\sqrt{3}$
$\mathrm{cm}.$答案
9.$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合圆的切线相关性质和解直角三角形的知识来推导：首先设圆心为O，连接OB、OA，根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得OB⊥AB，得到直角△OAB；再根据切线长定理，圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，结合已知的60°角，可求出∠OAB的度数；最后在直角三角形中利用三角函数即可求出半径OB的长度。
【解析】
设光盘的圆心为O，连接OA、OB。
1. 由直尺与⊙O相切于点B，根据切线的性质可得：OB⊥AB，即∠OBA=90°。
2. 三角尺的斜边与⊙O也相切，点A是三角尺与直尺的公共点，即A是⊙O外一点，从A引了⊙O的两条切线，根据切线长定理，OA平分两条切线的夹角。
已知三角尺与直尺的夹角为60°，因此两条切线的夹角为$180°-60°=120°$，可得$∠ OAB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
3. 在Rt△OAB中，$AB=4\mathrm{cm}$，由正切的定义：
$\tan∠ OAB=\frac{OB}{AB}$
代入数值：$\tan60°=\frac{OB}{4}$，即$\sqrt{3}=\frac{OB}{4}$
解得$OB=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，也就是光盘的半径。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查圆的切线性质及解直角三角形的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，结合切线长定理得到角的度数，进而利用三角函数计算未知边长。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以结合圆的切线相关性质和解直角三角形的知识来推导：首先设圆心为O，连接OB、OA，根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得OB⊥AB，得到直角△OAB；再根据切线长定理，圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，结合已知的60°角，可求出∠OAB的度数；最后在直角三角形中利用三角函数即可求出半径OB的长度。
【解析】
设光盘的圆心为O，连接OA、OB。
1. 由直尺与⊙O相切于点B，根据切线的性质可得：OB⊥AB，即∠OBA=90°。
2. 三角尺的斜边与⊙O也相切，点A是三角尺与直尺的公共点，即A是⊙O外一点，从A引了⊙O的两条切线，根据切线长定理，OA平分两条切线的夹角。
已知三角尺与直尺的夹角为60°，因此两条切线的夹角为$180°-60°=120°$，可得$∠ OAB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
3. 在Rt△OAB中，$AB=4\mathrm{cm}$，由正切的定义：
$\tan∠ OAB=\frac{OB}{AB}$
代入数值：$\tan60°=\frac{OB}{4}$，即$\sqrt{3}=\frac{OB}{4}$
解得$OB=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，也就是光盘的半径。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查圆的切线性质及解直角三角形的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，结合切线长定理得到角的度数，进而利用三角函数计算未知边长。
【难度系数】
0.6
10.如图，PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点，C是$\overset{\frown}{AB}$上一动点，过点C作$\odot O$的切线交PA于点M，交PB于点N，若$∠ P=56°$，则$∠ MON$的大小为________°。
答案
10.62
解析
【分析】
解题时先结合切线的性质得到OA与PA垂直、OB与PB垂直，借助四边形内角和求出∠AOB的度数；再根据切线长定理可推出OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，进而得出∠MON是∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 连接OA、OB
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B两点
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，已知$∠ P=56°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-56°=124°$
2. 由切线长定理可得：MA、MC是$\odot O$的切线，则$MA=MC$
又
∵$OA=OC$，$OM=OM$
∴$△ OMA≌△ OMC$（SSS）
∴$∠ AOM=∠ COM$，即OM平分$∠ AOC$
同理可证ON平分$∠ BOC$，即$∠ BON=∠ CON$
3.
∴$∠ MON=∠ COM+∠ CON=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$
代入$∠ AOB=124°$，得$∠ MON=\frac{1}{2}×124°=62°$
【答案】
62
【知识点】
切线的性质，切线长定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题型，解题核心是通过切线长定理得到角的平分关系，将所求角转化为已知角的一半即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合切线的性质得到OA与PA垂直、OB与PB垂直，借助四边形内角和求出∠AOB的度数；再根据切线长定理可推出OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，进而得出∠MON是∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 连接OA、OB
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B两点
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，已知$∠ P=56°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-56°=124°$
2. 由切线长定理可得：MA、MC是$\odot O$的切线，则$MA=MC$
又
∵$OA=OC$，$OM=OM$
∴$△ OMA≌△ OMC$（SSS）
∴$∠ AOM=∠ COM$，即OM平分$∠ AOC$
同理可证ON平分$∠ BOC$，即$∠ BON=∠ CON$
3.
∴$∠ MON=∠ COM+∠ CON=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$
代入$∠ AOB=124°$，得$∠ MON=\frac{1}{2}×124°=62°$
【答案】
62
【知识点】
切线的性质，切线长定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题型，解题核心是通过切线长定理得到角的平分关系，将所求角转化为已知角的一半即可求解。
【难度系数】
0.7
11.如图，AB是$\odot O$的直径，PA，PC分别切$\odot O$于A，C两点，$BC=2$，连接PO与AC相交于点D.
(1)求OD的长；
(2)若$PA=AB$，求AB的长.
(1)求OD的长；
(2)若$PA=AB$，求AB的长.
答案
11.【解】(1)
∵PA,PC与$\odot O$相切，
∴$PA=PC,∠APO=∠CPO$.
∴$PO⊥AC,AD=CD$.
又$AO=OB$，
∴OD是$△ABC$的中位线.
∴$OD=\frac{1}{2}CB=1$.
(2)
∵PA与$\odot O$相切，
∴$OA⊥PA$,即$∠OAP=90°$.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB=90°$.
∴$∠PAD+∠CAB=∠CAB+∠ABC=90°$.
∴$∠PAD=∠ABC=90°-∠CAB$.
由(1)知,$PO⊥AC,AD=CD$.
∴$∠ADP=90°$.
又$PA=AB$，
∴$△PAD≌△ABC$.
∴$AD=BC=2$.
∴$AC=AD+DC=4$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$ .
∵PA,PC与$\odot O$相切，
∴$PA=PC,∠APO=∠CPO$.
∴$PO⊥AC,AD=CD$.
又$AO=OB$，
∴OD是$△ABC$的中位线.
∴$OD=\frac{1}{2}CB=1$.
(2)
∵PA与$\odot O$相切，
∴$OA⊥PA$,即$∠OAP=90°$.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB=90°$.
∴$∠PAD+∠CAB=∠CAB+∠ABC=90°$.
∴$∠PAD=∠ABC=90°-∠CAB$.
由(1)知,$PO⊥AC,AD=CD$.
∴$∠ADP=90°$.
又$PA=AB$，
∴$△PAD≌△ABC$.
∴$AD=BC=2$.
∴$AC=AD+DC=4$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$ .
解析
【分析】
(1) 求OD的长时，可先建立OD与已知BC的关联：若能证明OD是△ABC的中位线，即可直接得到OD与BC的数量关系。首先根据切线长定理，PA、PC是⊙O的切线，可得PA=PC，PO平分∠APC，结合等腰三角形三线合一的性质，可推出PO垂直平分AC，即D为AC中点；又AB是⊙O的直径，O是AB中点，因此OD是△ABC的中位线，代入BC的长度即可求出OD。
(2) 求AB的长时，已知PA=AB，可先构造全等三角形转化线段长度：首先根据切线的性质得∠OAP=90°，由AB是直径得∠ACB=90°，通过同角的余角相等可证∠PAD=∠ABC，结合∠ADP=∠ACB=90°、PA=AB，可证△PAD≌△ABC，得到AD=BC=2，因此AC=2AD=4，最后在Rt△ABC中运用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
(1)
∵PA,PC与$\odot O$相切，
∴$PA=PC,∠APO=∠CPO$，
∴$PO⊥AC,AD=CD$，
又$AO=OB$，
∴OD是$△ABC$的中位线，
∴$OD=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×2=1$。
(2)
∵PA与$\odot O$相切，
∴$OA⊥PA$,即$∠OAP=90°$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB=90°$，
∴$∠PAD+∠CAB=∠CAB+∠ABC=90°$，
∴$∠PAD=∠ABC=90°-∠CAB$，
由(1)知,$PO⊥AC,AD=CD$，
∴$∠ADP=90°$，
又$PA=AB$，
∴$△PAD≌△ABC(AAS)$，
∴$AD=BC=2$，
∴$AC=AD+DC=4$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $OD=1$；(2) $AB=2\sqrt{5}$
【知识点】
切线长定理，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题核心是利用切线的相关性质得到线段、角的等量关系，再结合三角形中位线、全等三角形、勾股定理逐步求解，侧重考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求OD的长时，可先建立OD与已知BC的关联：若能证明OD是△ABC的中位线，即可直接得到OD与BC的数量关系。首先根据切线长定理，PA、PC是⊙O的切线，可得PA=PC，PO平分∠APC，结合等腰三角形三线合一的性质，可推出PO垂直平分AC，即D为AC中点；又AB是⊙O的直径，O是AB中点，因此OD是△ABC的中位线，代入BC的长度即可求出OD。
(2) 求AB的长时，已知PA=AB，可先构造全等三角形转化线段长度：首先根据切线的性质得∠OAP=90°，由AB是直径得∠ACB=90°，通过同角的余角相等可证∠PAD=∠ABC，结合∠ADP=∠ACB=90°、PA=AB，可证△PAD≌△ABC，得到AD=BC=2，因此AC=2AD=4，最后在Rt△ABC中运用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
(1)
∵PA,PC与$\odot O$相切，
∴$PA=PC,∠APO=∠CPO$，
∴$PO⊥AC,AD=CD$，
又$AO=OB$，
∴OD是$△ABC$的中位线，
∴$OD=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×2=1$。
(2)
∵PA与$\odot O$相切，
∴$OA⊥PA$,即$∠OAP=90°$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB=90°$，
∴$∠PAD+∠CAB=∠CAB+∠ABC=90°$，
∴$∠PAD=∠ABC=90°-∠CAB$，
由(1)知,$PO⊥AC,AD=CD$，
∴$∠ADP=90°$，
又$PA=AB$，
∴$△PAD≌△ABC(AAS)$，
∴$AD=BC=2$，
∴$AC=AD+DC=4$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $OD=1$；(2) $AB=2\sqrt{5}$
【知识点】
切线长定理，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题核心是利用切线的相关性质得到线段、角的等量关系，再结合三角形中位线、全等三角形、勾股定理逐步求解，侧重考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12.已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点.
(1)如图①，求∠ACB的大小；
(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠EAC的大小.
(1)如图①，求∠ACB的大小；
(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠EAC的大小.
答案
12.【解】(1)如图①,连接OA,OB.
∵PA,PB是$\odot O$的切线，
∴$OA⊥PA,OB⊥PB$，
即$∠OAP=∠OBP=90°$.
∵$∠APB=80°$，
∴在四边形OAPB中,$∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°$.
∵在$\odot O$中,$∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB$，
∴$∠ACB=50°$.
(2)如图②,连接CE.
∵AE为$\odot O$的直径，
∴$∠ACE=90°$.
由(1)知,$∠ACB=50°$，
∴$∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°$.
∴$∠BAE=∠BCE=40°$.
∵在$△ABD$中,$AB=AD$，
∴$∠ABD=∠ADB=\frac{1}{2}(180°-∠BAE)=70°$.
又$∠ADB$是$△ADC$的一个外角,有$∠EAC=∠ADB-∠ACB$，
∴$∠EAC=20°$.
解析
【分析】
(1) 遇到圆的切线，首先根据切线的性质连接过切点的半径OA、OB，得到两个直角。已知∠APB的度数，利用四边形内角和为360°即可求出圆心角∠AOB的度数，再根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，就能求出∠ACB的大小。
(2) 已知AE是直径，根据直径所对圆周角为直角，连接CE得到∠ACE=90°，结合第一问求出的∠ACB算出∠BCE，再由同弧所对圆周角相等得到∠BAE的度数。△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形内角和求出底角∠ADB，最后利用三角形外角的性质，用∠ADB减去∠ACB即可得到∠EAC的度数。
【解析】
(1) 如图①，连接OA，OB。
∵PA，PB是$\odot O$的切线，
∴$OA⊥PA,OB⊥PB$，即$∠OAP=∠OBP=90°$。
∵$∠APB=80°$，
∴在四边形OAPB中，$∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°$。
∵在$\odot O$中，同弧AB所对的圆周角$∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB$，
∴$∠ACB=\frac{1}{2}×100°=50°$。
(2) 如图②，连接CE。
∵AE为$\odot O$的直径，
∴$∠ACE=90°$。
由(1)知，$∠ACB=50°$，
∴$∠BCE=∠ACE-∠ACB=90°-50°=40°$。
∵同弧BE所对的圆周角相等，
∴$∠BAE=∠BCE=40°$。
∵在$△ABD$中，$AB=AD$，
∴$∠ABD=∠ADB=\frac{1}{2}(180°-∠BAE)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$。
又
∵$∠ADB$是$△ADC$的一个外角，根据外角性质，$∠ADB=∠EAC+∠ACB$，
∴$∠EAC=∠ADB-∠ACB=70°-50°=20°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACB=50°}$；
(2) $\boldsymbol{∠EAC=20°}$。
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查的都是圆和三角形的核心基础定理，涉及的辅助线是圆中的常规辅助线，解题时只要理清各个角之间的等量关系，准确对应相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 遇到圆的切线，首先根据切线的性质连接过切点的半径OA、OB，得到两个直角。已知∠APB的度数，利用四边形内角和为360°即可求出圆心角∠AOB的度数，再根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，就能求出∠ACB的大小。
(2) 已知AE是直径，根据直径所对圆周角为直角，连接CE得到∠ACE=90°，结合第一问求出的∠ACB算出∠BCE，再由同弧所对圆周角相等得到∠BAE的度数。△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形内角和求出底角∠ADB，最后利用三角形外角的性质，用∠ADB减去∠ACB即可得到∠EAC的度数。
【解析】
(1) 如图①，连接OA，OB。
∵PA，PB是$\odot O$的切线，
∴$OA⊥PA,OB⊥PB$，即$∠OAP=∠OBP=90°$。
∵$∠APB=80°$，
∴在四边形OAPB中，$∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°$。
∵在$\odot O$中，同弧AB所对的圆周角$∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB$，
∴$∠ACB=\frac{1}{2}×100°=50°$。
(2) 如图②，连接CE。
∵AE为$\odot O$的直径，
∴$∠ACE=90°$。
由(1)知，$∠ACB=50°$，
∴$∠BCE=∠ACE-∠ACB=90°-50°=40°$。
∵同弧BE所对的圆周角相等，
∴$∠BAE=∠BCE=40°$。
∵在$△ABD$中，$AB=AD$，
∴$∠ABD=∠ADB=\frac{1}{2}(180°-∠BAE)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$。
又
∵$∠ADB$是$△ADC$的一个外角，根据外角性质，$∠ADB=∠EAC+∠ACB$，
∴$∠EAC=∠ADB-∠ACB=70°-50°=20°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACB=50°}$；
(2) $\boldsymbol{∠EAC=20°}$。
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查的都是圆和三角形的核心基础定理，涉及的辅助线是圆中的常规辅助线，解题时只要理清各个角之间的等量关系，准确对应相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
