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3.如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，OC⊥OA，OC交AB于点D.若OD=1，BC=3，则半径OA的长为
$\sqrt{7}$
.答案
3.$\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题时先根据切线的性质，连接切点B与圆心O，得到OB⊥BC；再结合OA⊥OC、OA=OB的条件，利用等角的余角相等推导角的等量关系，结合对顶角相等得到∠BDC=∠DBC，从而推出CD=BC，求出OC的长度；最后在Rt△OBC中利用勾股定理即可求出半径OA的长。
【解析】
连接OB，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，即∠OBC=90°，
∴∠OBA + ∠DBC = 90°，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠OAB + ∠ADO = 90°，
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠ADO=∠DBC，
又
∵∠ADO=∠BDC（对顶角相等），
∴∠BDC=∠DBC，
∴CD=BC=3，
∴OC=OD + CD=1 + 3=4，
设⊙O的半径为r，即OA=OB=r，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB² + BC² = OC²，
代入得$r^2 + 3^2 = 4^2$，
解得$r^2=7$，
∵r＞0，
∴$r=\sqrt{7}$，即OA的长为$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题的关键是连接圆心和切点得到垂直关系，通过角的等量转换得到等腰三角形，进而求出直角三角形的边长，再用勾股定理求解，属于圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时先根据切线的性质，连接切点B与圆心O，得到OB⊥BC；再结合OA⊥OC、OA=OB的条件，利用等角的余角相等推导角的等量关系，结合对顶角相等得到∠BDC=∠DBC，从而推出CD=BC，求出OC的长度；最后在Rt△OBC中利用勾股定理即可求出半径OA的长。
【解析】
连接OB，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，即∠OBC=90°，
∴∠OBA + ∠DBC = 90°，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠OAB + ∠ADO = 90°，
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠ADO=∠DBC，
又
∵∠ADO=∠BDC（对顶角相等），
∴∠BDC=∠DBC，
∴CD=BC=3，
∴OC=OD + CD=1 + 3=4，
设⊙O的半径为r，即OA=OB=r，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB² + BC² = OC²，
代入得$r^2 + 3^2 = 4^2$，
解得$r^2=7$，
∵r＞0，
∴$r=\sqrt{7}$，即OA的长为$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题的关键是连接圆心和切点得到垂直关系，通过角的等量转换得到等腰三角形，进而求出直角三角形的边长，再用勾股定理求解，属于圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
4.如图，$\odot M$的圆心为$M(4,0)$，半径为2，$P$是直线$y=x+4$上的一个动点，过点$P$作$\odot M$的切线，切点为$Q$，则$PQ$的最小值为________。
答案
4.$2\sqrt{7}$
解析
【分析】
要找切线长PQ的最小值，首先结合切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得△MQP为直角三角形，其中MQ是⊙M的半径，为定值2。根据勾股定理，PQ=√(PM² - MQ²)，因此要使PQ最小，只需使PM最小即可。而PM是直线上的动点P到定点M的距离，根据“垂线段最短”，PM的最小值就是点M到直线y=x+4的垂线段长度，算出这个最小长度后，代入勾股定理就能求出PQ的最小值。
【解析】
1. 连接MQ、PM，
∵PQ是⊙M的切线，Q为切点，
∴MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，△MQP为直角三角形。
2.
∵⊙M半径为2，
∴MQ=2，在Rt△MQP中，由勾股定理得：$PQ^2 = PM^2 - MQ^2 = PM^2 - 4$，因此当PM取最小值时，PQ的值最小。
3. 求直线$y=x+4$与x轴的交点：令$y=0$，解得$x=-4$，即直线与x轴交于点$A(-4,0)$，则AM的长度为$4 - (-4) = 8$。
4. 直线$y=x+4$与x轴正方向的夹角为45°，即$∠PAM=45°$。过M作$MP_0⊥$直线$y=x+4$，垂足为$P_0$，根据垂线段最短，此时PM的最小值为$MP_0$的长度。
5. 在Rt△$AMP_0$中，$∠PAM=45°$，$AM=8$，
∴$MP_0=AM·\sin45°=8×\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$，即PM的最小值为$4\sqrt{2}$。
6. 将$PM=4\sqrt{2}$代入PQ的表达式，得PQ的最小值为$\sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 2^2} = \sqrt{32 - 4} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
切线的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题考查了切线性质、最短距离求解和勾股定理的综合应用，解题的核心是将切线长的最值问题转化为点到直线的最短距离问题，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要找切线长PQ的最小值，首先结合切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得△MQP为直角三角形，其中MQ是⊙M的半径，为定值2。根据勾股定理，PQ=√(PM² - MQ²)，因此要使PQ最小，只需使PM最小即可。而PM是直线上的动点P到定点M的距离，根据“垂线段最短”，PM的最小值就是点M到直线y=x+4的垂线段长度，算出这个最小长度后，代入勾股定理就能求出PQ的最小值。
【解析】
1. 连接MQ、PM，
∵PQ是⊙M的切线，Q为切点，
∴MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，△MQP为直角三角形。
2.
∵⊙M半径为2，
∴MQ=2，在Rt△MQP中，由勾股定理得：$PQ^2 = PM^2 - MQ^2 = PM^2 - 4$，因此当PM取最小值时，PQ的值最小。
3. 求直线$y=x+4$与x轴的交点：令$y=0$，解得$x=-4$，即直线与x轴交于点$A(-4,0)$，则AM的长度为$4 - (-4) = 8$。
4. 直线$y=x+4$与x轴正方向的夹角为45°，即$∠PAM=45°$。过M作$MP_0⊥$直线$y=x+4$，垂足为$P_0$，根据垂线段最短，此时PM的最小值为$MP_0$的长度。
5. 在Rt△$AMP_0$中，$∠PAM=45°$，$AM=8$，
∴$MP_0=AM·\sin45°=8×\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$，即PM的最小值为$4\sqrt{2}$。
6. 将$PM=4\sqrt{2}$代入PQ的表达式，得PQ的最小值为$\sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 2^2} = \sqrt{32 - 4} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
切线的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题考查了切线性质、最短距离求解和勾股定理的综合应用，解题的核心是将切线长的最值问题转化为点到直线的最短距离问题，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
5.(2024,天津,21)已知△AOB中,∠ABO=30°,AB为⊙O的弦,直线MN与⊙O相切于点C.
(1)如图①,若AB//MN,直径CE与AB相交于点D,求∠AOB和∠BCE的大小;
(2)如图②,若OB//MN,CG⊥AB,垂足为G,CG与OB相交于点F,OA=3,求线段OF的长.
(1)如图①,若AB//MN,直径CE与AB相交于点D,求∠AOB和∠BCE的大小;
(2)如图②,若OB//MN,CG⊥AB,垂足为G,CG与OB相交于点F,OA=3,求线段OF的长.
答案
5.【解】(1)
∵$OA=OB$,
∴$∠A=∠ABO$.
∵$∠A+∠ABO+∠AOB=180°$,$∠ABO=30°$,
∴$∠AOB=180°-2∠ABO=120°$.
∵直线MN与$\odot O$相切于点C,CE为$\odot O$的直径,
∴$∠ECM=90°$.
∵$AB//MN$,
∴$∠CDB=∠ECM=90°$.
∴$∠BOE=90°-∠ABO=60°$.
∵$∠BCE=\frac{1}{2}∠BOE$,
∴$∠BCE=30°$.
(2)如图,连接OC.
同(1),得$∠COB=90°$.
∵$CG⊥AB$,
∴$∠FGB=90°$.
∴$∠OFC+∠OCF=∠GFB+∠ABO=90°$.
∵$∠OFC=∠GFB$,
∴$∠OCF=∠ABO=30°$.
∴$FC=2OF$.
在$Rt△COF$中,$OF^2+OC^2=FC^2$,
∴$OF^2+9=4OF^2$.
∴$OF=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 首先根据圆的半径相等可得OA=OB，△AOB为等腰三角形，已知底角∠ABO=30°，结合三角形内角和即可求出顶角∠AOB；再根据切线的性质，直径CE垂直于切线MN，结合AB//MN可推出CE⊥AB，得到Rt△BDO，求出圆心角∠BOE的度数，最后利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠BCE的大小。
(2) 遇到圆的切线时，通常连接过切点的半径，因此先作辅助线连接OC，由切线性质得OC⊥MN，结合OB//MN可推出OC⊥OB；再由CG⊥AB得到直角，利用对顶角相等和直角三角形两锐角互余，推导得出∠OCF=∠ABO=30°，最后在Rt△COF中，结合30°角所对直角边是斜边的一半的性质和勾股定理列方程，即可求出OF的长度。
【解析】
(1)
∵$OA=OB$,
∴$∠A=∠ABO$.
∵$∠A+∠ABO+∠AOB=180°$,$∠ABO=30°$,
∴$∠AOB=180°-2∠ABO=120°$.
∵直线MN与$\odot O$相切于点C,CE为$\odot O$的直径,
∴$∠ECM=90°$.
∵$AB//MN$,
∴$∠CDB=∠ECM=90°$.
∴$∠BOE=90°-∠ABO=60°$.
∵$∠BCE=\frac{1}{2}∠BOE$,
∴$∠BCE=30°$.
(2) 如图,连接OC.
同(1),得$∠COB=90°$.
∵$CG⊥AB$,
∴$∠FGB=90°$.
∴$∠OFC+∠OCF=∠GFB+∠ABO=90°$.
∵$∠OFC=∠GFB$,
∴$∠OCF=∠ABO=30°$.
∴$FC=2OF$.
在$Rt△COF$中,$OF^2+OC^2=FC^2$,
∴$OF^2+9=4OF^2$.
解得$OF=\sqrt{3}$.
【答案】
(1) $∠ AOB=120°$，$∠ BCE=30°$；
(2) $OF=\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的常规综合解答题，考查了圆的性质与三角形知识的结合应用，解题关键是掌握“过切点连半径”的常用辅助线做法，再结合角的等量转换和直角三角形的相关性质即可求解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据圆的半径相等可得OA=OB，△AOB为等腰三角形，已知底角∠ABO=30°，结合三角形内角和即可求出顶角∠AOB；再根据切线的性质，直径CE垂直于切线MN，结合AB//MN可推出CE⊥AB，得到Rt△BDO，求出圆心角∠BOE的度数，最后利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠BCE的大小。
(2) 遇到圆的切线时，通常连接过切点的半径，因此先作辅助线连接OC，由切线性质得OC⊥MN，结合OB//MN可推出OC⊥OB；再由CG⊥AB得到直角，利用对顶角相等和直角三角形两锐角互余，推导得出∠OCF=∠ABO=30°，最后在Rt△COF中，结合30°角所对直角边是斜边的一半的性质和勾股定理列方程，即可求出OF的长度。
【解析】
(1)
∵$OA=OB$,
∴$∠A=∠ABO$.
∵$∠A+∠ABO+∠AOB=180°$,$∠ABO=30°$,
∴$∠AOB=180°-2∠ABO=120°$.
∵直线MN与$\odot O$相切于点C,CE为$\odot O$的直径,
∴$∠ECM=90°$.
∵$AB//MN$,
∴$∠CDB=∠ECM=90°$.
∴$∠BOE=90°-∠ABO=60°$.
∵$∠BCE=\frac{1}{2}∠BOE$,
∴$∠BCE=30°$.
(2) 如图,连接OC.
同(1),得$∠COB=90°$.
∵$CG⊥AB$,
∴$∠FGB=90°$.
∴$∠OFC+∠OCF=∠GFB+∠ABO=90°$.
∵$∠OFC=∠GFB$,
∴$∠OCF=∠ABO=30°$.
∴$FC=2OF$.
在$Rt△COF$中,$OF^2+OC^2=FC^2$,
∴$OF^2+9=4OF^2$.
解得$OF=\sqrt{3}$.
【答案】
(1) $∠ AOB=120°$，$∠ BCE=30°$；
(2) $OF=\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的常规综合解答题，考查了圆的性质与三角形知识的结合应用，解题关键是掌握“过切点连半径”的常用辅助线做法，再结合角的等量转换和直角三角形的相关性质即可求解。
【难度系数】
0.6
