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12.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.
(1)如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
(2)如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.
(1)如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
(2)如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.
答案
12.(1)【解】
∵AB是$\odot O$的直径,AP是$\odot O$的切线,
∴$∠BAP=90°$.
在$Rt△PAB$中,$AB=2$,$∠P=30°$,
∴$BP=2AB=2×2=4$.
∴在$Rt△ABP$中,$AP=\sqrt{BP^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
(2)【证明】如图,连接OC,AC.
∵AB是$\odot O$的直径,
∴$∠BCA=90°$.
∴$∠ACP=180°-∠BCA=90°$.
∵D为$Rt△APC$斜边AP的中点,
∴$CD=AD=DP=\frac{1}{2}AP$.
∴$∠4=∠3$.
∵$OC=OA$,
∴$∠1=∠2$.
∵$∠PAB=∠2+∠4=90°$,
∴$∠OCD=∠1+∠3=∠2+∠4=90°$,
即$OC⊥CD$.
∴直线CD是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
(1) 首先依据切线的性质，AP是⊙O的切线、A为切点、AB是直径，可推出AB⊥AP，即△ABP为直角三角形。已知∠P=30°、AB=2，先利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BP的长度，再通过勾股定理即可计算出AP的长度。
(2) 要证明CD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明半径OC⊥CD。首先连接OC、AC，利用直径所对圆周角为直角得到∠ACP=90°，再结合直角三角形斜边中线的性质推出CD=AD，得到∠4=∠3，结合OC=OA得到∠1=∠2，通过角的等量代换可证得∠OCD=90°，即可得出结论。
【解析】
(1) 解：
∵AB是$\odot O$的直径，AP是$\odot O$的切线，
∴$∠BAP=90°$。
在$Rt△PAB$中，$AB=2$，$∠P=30°$，
∴$BP=2AB=2×2=4$。
由勾股定理可得：$AP=\sqrt{BP^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
(2) 证明：
如图，连接OC，AC。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠BCA=90°$，
∴$∠ACP=180°-∠BCA=90°$。
∵D为$Rt△APC$斜边AP的中点，
∴$CD=AD=DP=\frac{1}{2}AP$，
∴$∠4=∠3$。
∵$OC=OA$，
∴$∠1=∠2$。
∵$∠PAB=∠2+∠4=90°$，
∴$∠OCD=∠1+∠3=∠2+∠4=90°$，
即$OC⊥CD$。
∴直线CD是$\odot O$的切线。
【答案】
(1) $AP=2\sqrt{3}$；
(2) 证明如上，
【知识点】
切线的性质与判定；直角三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的典型基础题，第一问侧重直角三角形边角关系的计算，第二问考察切线的判定方法，解题时“连半径、证垂直”是证明切线的常用思路，需要熟练结合圆的基本性质和直角三角形的性质完成角的等量代换，对基础运用能力有一定考察。
【难度系数】
0.7
(1) 首先依据切线的性质，AP是⊙O的切线、A为切点、AB是直径，可推出AB⊥AP，即△ABP为直角三角形。已知∠P=30°、AB=2，先利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BP的长度，再通过勾股定理即可计算出AP的长度。
(2) 要证明CD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明半径OC⊥CD。首先连接OC、AC，利用直径所对圆周角为直角得到∠ACP=90°，再结合直角三角形斜边中线的性质推出CD=AD，得到∠4=∠3，结合OC=OA得到∠1=∠2，通过角的等量代换可证得∠OCD=90°，即可得出结论。
【解析】
(1) 解：
∵AB是$\odot O$的直径，AP是$\odot O$的切线，
∴$∠BAP=90°$。
在$Rt△PAB$中，$AB=2$，$∠P=30°$，
∴$BP=2AB=2×2=4$。
由勾股定理可得：$AP=\sqrt{BP^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
(2) 证明：
如图，连接OC，AC。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠BCA=90°$，
∴$∠ACP=180°-∠BCA=90°$。
∵D为$Rt△APC$斜边AP的中点，
∴$CD=AD=DP=\frac{1}{2}AP$，
∴$∠4=∠3$。
∵$OC=OA$，
∴$∠1=∠2$。
∵$∠PAB=∠2+∠4=90°$，
∴$∠OCD=∠1+∠3=∠2+∠4=90°$，
即$OC⊥CD$。
∴直线CD是$\odot O$的切线。
【答案】
(1) $AP=2\sqrt{3}$；
(2) 证明如上，
【知识点】
切线的性质与判定；直角三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的典型基础题，第一问侧重直角三角形边角关系的计算，第二问考察切线的判定方法，解题时“连半径、证垂直”是证明切线的常用思路，需要熟练结合圆的基本性质和直角三角形的性质完成角的等量代换，对基础运用能力有一定考察。
【难度系数】
0.7
1.如图，AB是$\odot O$的直径，BC交$\odot O$于点D，$DE⊥ AC$于点E，要使DE是$\odot O$的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(
A.$DE=DO$
B.$AB=AC$
C.$CD=DB$
D.$AC// OD$
A
).A.$DE=DO$
B.$AB=AC$
C.$CD=DB$
D.$AC// OD$
答案
1.A
解析
【分析】
要证明DE是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明DE垂直于半径OD。已知DE⊥AC，因此只需推出OD//AC，即可得到OD⊥DE，进而判定DE是切线。我们只需逐一分析各选项能否推出OD//AC或直接推出OD⊥DE，即可找到不正确的选项。
【解析】
连接OD：
1. 分析选项B：若AB=AC，则∠B=∠C。
∵ OD=OB（⊙O的半径相等），
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD//AC。
又
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD。
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，B选项条件正确，不符合题意。
2. 分析选项C：若CD=DB，
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC，同理可得DE⊥OD，DE是⊙O的切线，C选项条件正确，不符合题意。
3. 分析选项D：若AC//OD，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，D选项条件正确，不符合题意。
4. 分析选项A：若DE=DO，仅能说明△ODE为等腰三角形，无法推出∠ODE=90°，因此不能证明DE是⊙O的切线，A选项条件不正确，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题核心考查切线的判定思路，解题的关键是将“证明DE为切线”的目标转化为证明OD⊥DE，结合平行线的性质、等腰三角形性质、中位线定理等知识逐一验证选项即可，注意审题是选不正确的条件。
【难度系数】
0.7
要证明DE是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明DE垂直于半径OD。已知DE⊥AC，因此只需推出OD//AC，即可得到OD⊥DE，进而判定DE是切线。我们只需逐一分析各选项能否推出OD//AC或直接推出OD⊥DE，即可找到不正确的选项。
【解析】
连接OD：
1. 分析选项B：若AB=AC，则∠B=∠C。
∵ OD=OB（⊙O的半径相等），
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD//AC。
又
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD。
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，B选项条件正确，不符合题意。
2. 分析选项C：若CD=DB，
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC，同理可得DE⊥OD，DE是⊙O的切线，C选项条件正确，不符合题意。
3. 分析选项D：若AC//OD，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，D选项条件正确，不符合题意。
4. 分析选项A：若DE=DO，仅能说明△ODE为等腰三角形，无法推出∠ODE=90°，因此不能证明DE是⊙O的切线，A选项条件不正确，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题核心考查切线的判定思路，解题的关键是将“证明DE为切线”的目标转化为证明OD⊥DE，结合平行线的性质、等腰三角形性质、中位线定理等知识逐一验证选项即可，注意审题是选不正确的条件。
【难度系数】
0.7
2.如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$∠ ADC=90°$,$DC=BC$,直线EA与$\odot O$相切于点A.若$∠ BCD=128°$,则$∠ DAE$的度数为(
A.$52°$
B.$54°$
C.$64°$
D.$74°$
C
).A.$52°$
B.$54°$
C.$64°$
D.$74°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先由∠ADC=90°，结合圆周角定理的推论可推出AC是⊙O的直径；再根据DC=BC，利用同圆中相等的弦对应相等的弧、相等的弧对应相等的圆周角，可得AC平分∠BAD；接着利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠BAD的度数，进而得到∠DAC的度数；最后根据切线的性质得到EA与AC垂直，用90°减去∠DAC的度数即可求出∠DAE的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，已知$∠ BCD=128°$，因此$∠ BAD=180°-128°=52°$。
2. 因为$∠ ADC=90°$，$∠ ADC$是圆周角，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AC是⊙O的直径。
3. 因为$DC=BC$，同圆中相等的弦所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，根据等弧所对的圆周角相等，得$∠ DAC=∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×52°=26°$。
4. 因为直线EA与⊙O相切于点A，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$EA⊥ AC$，即$∠ EAC=90°$。
5. 因此$∠ DAE=∠ EAC-∠ DAC=90°-26°=64°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，切线的性质
【点评】
本题是圆的性质综合基础题，串联了圆内接四边形、圆周角、切线多个基础知识点，解题时要注意梳理条件之间的关联，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发：首先由∠ADC=90°，结合圆周角定理的推论可推出AC是⊙O的直径；再根据DC=BC，利用同圆中相等的弦对应相等的弧、相等的弧对应相等的圆周角，可得AC平分∠BAD；接着利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠BAD的度数，进而得到∠DAC的度数；最后根据切线的性质得到EA与AC垂直，用90°减去∠DAC的度数即可求出∠DAE的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，已知$∠ BCD=128°$，因此$∠ BAD=180°-128°=52°$。
2. 因为$∠ ADC=90°$，$∠ ADC$是圆周角，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AC是⊙O的直径。
3. 因为$DC=BC$，同圆中相等的弦所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，根据等弧所对的圆周角相等，得$∠ DAC=∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×52°=26°$。
4. 因为直线EA与⊙O相切于点A，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$EA⊥ AC$，即$∠ EAC=90°$。
5. 因此$∠ DAE=∠ EAC-∠ DAC=90°-26°=64°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，切线的性质
【点评】
本题是圆的性质综合基础题，串联了圆内接四边形、圆周角、切线多个基础知识点，解题时要注意梳理条件之间的关联，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
