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6.(2025,安徽,12)如图,AB是$\odot O$的弦,PB与$\odot O$相切于点B,圆心O在线段PA上.已知$∠ P=50°$,则$∠ PAB$的大小为
（第6题）（第7题）（第8题）
20
°.（第6题）（第7题）（第8题）
答案
6.20
解析
【分析】
遇到切线相关的问题，首先考虑连接切点与圆心，利用切线的性质得到垂直关系。本题中先连接OB，先在直角三角形PBO中利用直角三角形两锐角互余求出∠POB的度数，再结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，即可求出∠PAB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵PB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥PB，即∠PBO=90°。
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°。
∵OA=OB（都是⊙O的半径），
∴∠PAB=∠OBA。
又
∵∠POB是△OAB的外角，
∴∠POB=∠PAB+∠OBA=2∠PAB，
∴∠PAB=∠POB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题的关键是掌握切线相关问题的常用辅助线作法，即连接切点和圆心，结合三角形的相关性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
遇到切线相关的问题，首先考虑连接切点与圆心，利用切线的性质得到垂直关系。本题中先连接OB，先在直角三角形PBO中利用直角三角形两锐角互余求出∠POB的度数，再结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，即可求出∠PAB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵PB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥PB，即∠PBO=90°。
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°。
∵OA=OB（都是⊙O的半径），
∴∠PAB=∠OBA。
又
∵∠POB是△OAB的外角，
∴∠POB=∠PAB+∠OBA=2∠PAB，
∴∠PAB=∠POB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题的关键是掌握切线相关问题的常用辅助线作法，即连接切点和圆心，结合三角形的相关性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
7.如图,两圆圆心相同,大圆的弦AB与小圆相切,AB=8,则图中阴影部分的面积是
$16π$
.答案
7.$16π$
解析
【分析】
要求阴影部分（圆环）的面积，需用到圆环面积公式$S=π R^2-π r^2$（$R$为大圆半径，$r$为小圆半径），因此只需算出$R^2-r^2$的值即可求解。已知大圆的弦AB与小圆相切，可结合切线的性质得到圆心到AB的距离等于小圆半径，再利用垂径定理得到AB一半的长度，最后通过勾股定理求出$R^2-r^2$的数值，整体代入公式即可得到结果。
【解析】
过圆心$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，连接$OA$。
∵ 弦$AB$与小圆相切，
∴ $OC$为小圆的半径，设大圆半径为$R$，小圆半径为$r$，则$OA=R$，$OC=r$。
由垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OAC$中，根据勾股定理：$OA^2-OC^2=AC^2$，即$R^2-r^2=4^2=16$。
阴影部分为圆环，其面积为：
$S_{阴影}=π R^2-π r^2=π(R^2-r^2)=π×16=16π$
【答案】
$16π$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题不需要分别求解大小圆的半径，而是通过几何性质得到$R^2-r^2$的整体值，代入面积公式即可求解，很好地考查了整体思想在几何计算中的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分（圆环）的面积，需用到圆环面积公式$S=π R^2-π r^2$（$R$为大圆半径，$r$为小圆半径），因此只需算出$R^2-r^2$的值即可求解。已知大圆的弦AB与小圆相切，可结合切线的性质得到圆心到AB的距离等于小圆半径，再利用垂径定理得到AB一半的长度，最后通过勾股定理求出$R^2-r^2$的数值，整体代入公式即可得到结果。
【解析】
过圆心$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，连接$OA$。
∵ 弦$AB$与小圆相切，
∴ $OC$为小圆的半径，设大圆半径为$R$，小圆半径为$r$，则$OA=R$，$OC=r$。
由垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OAC$中，根据勾股定理：$OA^2-OC^2=AC^2$，即$R^2-r^2=4^2=16$。
阴影部分为圆环，其面积为：
$S_{阴影}=π R^2-π r^2=π(R^2-r^2)=π×16=16π$
【答案】
$16π$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题不需要分别求解大小圆的半径，而是通过几何性质得到$R^2-r^2$的整体值，代入面积公式即可求解，很好地考查了整体思想在几何计算中的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形。
【难度系数】
0.7
8.如图,正方形ABCD的顶点A,B在$\odot O$上,且边CD与$\odot O$相切.若正方形的边长为2,则$\odot O$的半径为
$\frac{5}{4}$
.答案
8.$\frac{5}{4}$
解析
【分析】
解决本题需结合切线、正方形的性质构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解。首先作辅助线：过圆心O作AB的垂线，垂足为E，延长垂线交CD于点F，根据切线性质可得OF⊥CD且OF等于半径，结合正方形对边平行且边长为2，可知EF长度为2，E为AB中点，AE长为1。设半径为r，则OE长为2-r，最后在Rt△OAE中用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，连接OA。
∵CD与$\odot O$相切，
∴OF⊥CD，且OF等于$\odot O$的半径$r$。
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴AB//CD，AB=2，EF的长等于正方形的边长为2，且OE垂直平分AB，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=1$，$OE=EF-OF=2-r$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OA^2=AE^2+OE^2$，
代入得：$r^2=1^2+(2-r)^2$，
展开整理：$r^2=1+4-4r+r^2$，
移项得：$4r=5$，
解得：$r=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
切线的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与正方形结合的典型题型，解题的关键是合理作出辅助线构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，考查了学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题需结合切线、正方形的性质构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解。首先作辅助线：过圆心O作AB的垂线，垂足为E，延长垂线交CD于点F，根据切线性质可得OF⊥CD且OF等于半径，结合正方形对边平行且边长为2，可知EF长度为2，E为AB中点，AE长为1。设半径为r，则OE长为2-r，最后在Rt△OAE中用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，连接OA。
∵CD与$\odot O$相切，
∴OF⊥CD，且OF等于$\odot O$的半径$r$。
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴AB//CD，AB=2，EF的长等于正方形的边长为2，且OE垂直平分AB，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=1$，$OE=EF-OF=2-r$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OA^2=AE^2+OE^2$，
代入得：$r^2=1^2+(2-r)^2$，
展开整理：$r^2=1+4-4r+r^2$，
移项得：$4r=5$，
解得：$r=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
切线的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与正方形结合的典型题型，解题的关键是合理作出辅助线构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，考查了学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
9.(2025,北京,14)如图,$\odot O$是地球的示意图,其中AB表示赤道,CD,EF分别表示北回归线和南回归线,$∠DOB=∠FOB=23.5^{\circ }$.夏至日正午时,太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的太阳高度角$∠IFH$(即平行于GD的光线HF与$\odot O$的切线FI所成的锐角)的大小为
43
°.答案
9.43
解析
【分析】
要求∠IFH的度数，可结合切线性质与平行线性质逐步推导：首先回忆切线的核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径，由此可得FI⊥OF，即∠OFI=90°，接下来只需求出光线HF与半径OF的夹角，用90°减去该夹角即可得到∠IFH的大小；再根据GD与HF平行的条件，结合已知的∠DOB=∠FOB=23.5°，就能算出HF与OF的夹角，最终求解。
【解析】
1. 因为FI是$\odot O$的切线，F为切点，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得$OF⊥ FI$，即$∠ OFI=90°$。
2. 由题意知$GD// HF$，根据两直线平行，同位角相等，可得光线HF与赤道AB的夹角等于$∠ DOB=23.5°$。
3. 已知$∠ FOB=23.5°$，即半径OF与赤道AB的夹角为$23.5°$，因此光线HF与半径OF的夹角为$23.5°+23.5°=47°$。
4. 所以$∠ IFH=∠ OFI - 47°=90°-47°=43°$。
【答案】
43
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合地理常识考查几何性质的应用，将生活场景与数学知识结合，解题关键是熟练运用切线性质和平行线的角度关系，梳理清楚各角之间的数量关系即可顺利求解，体现了跨学科知识融合的考查思路。
【难度系数】
0.6
要求∠IFH的度数，可结合切线性质与平行线性质逐步推导：首先回忆切线的核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径，由此可得FI⊥OF，即∠OFI=90°，接下来只需求出光线HF与半径OF的夹角，用90°减去该夹角即可得到∠IFH的大小；再根据GD与HF平行的条件，结合已知的∠DOB=∠FOB=23.5°，就能算出HF与OF的夹角，最终求解。
【解析】
1. 因为FI是$\odot O$的切线，F为切点，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得$OF⊥ FI$，即$∠ OFI=90°$。
2. 由题意知$GD// HF$，根据两直线平行，同位角相等，可得光线HF与赤道AB的夹角等于$∠ DOB=23.5°$。
3. 已知$∠ FOB=23.5°$，即半径OF与赤道AB的夹角为$23.5°$，因此光线HF与半径OF的夹角为$23.5°+23.5°=47°$。
4. 所以$∠ IFH=∠ OFI - 47°=90°-47°=43°$。
【答案】
43
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合地理常识考查几何性质的应用，将生活场景与数学知识结合，解题关键是熟练运用切线性质和平行线的角度关系，梳理清楚各角之间的数量关系即可顺利求解，体现了跨学科知识融合的考查思路。
【难度系数】
0.6
10.如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，且$∠ CAB=22.5°$，过点C作$\odot O$的切线DE交AB的延长线于点D。若$DE=DA$，$CD=5$，连接OE，则CE的长为
$5\sqrt{2}$
，OE的长为$5\sqrt{3}$
。答案
10.$5\sqrt{2},5\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题首先利用切线的性质得到OC与DE垂直，再结合同圆半径相等的性质，通过三角形外角定理求出∠COD的度数，进而得到△OCD为等腰直角三角形，算出OC、OD的长度；接着根据DE=DA的条件求出DE的长度，作差即可得到CE的长；最后在直角三角形OCE中运用勾股定理就能求出OE的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵DE是$\odot O$的切线，C为切点，
∴$OC⊥ DE$，即$∠ OCD=∠ OCE=90°$。
∵$OA=OC$，$∠ CAB=22.5°$，
∴$∠ OCA=∠ CAB=22.5°$，
∴$∠ COD=∠ CAB+∠ OCA=45°$，
在$Rt△ OCD$中，$∠ D=90°-∠ COD=45°$，即$△ OCD$为等腰直角三角形，
∴$OC=CD=5$，$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=5\sqrt{2}$。
∵$OA=OC=5$，
∴$DA=OD+OA=5\sqrt{2}+5$，
又
∵$DE=DA$，
∴$DE=5\sqrt{2}+5$，
∴$CE=DE-CD=5\sqrt{2}+5-5=5\sqrt{2}$。
在$Rt△ OCE$中，$OC=5$，$CE=5\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2+CE^2}=\sqrt{5^2+(5\sqrt{2})^2}=\sqrt{25+50}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
【答案】
$5\sqrt{2},5\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将圆的性质和三角形的知识点结合考查，解题的突破口是利用切线性质得到直角，再结合角度关系推导特殊三角形，逐步求解线段长度。
【难度系数】
0.6
解题首先利用切线的性质得到OC与DE垂直，再结合同圆半径相等的性质，通过三角形外角定理求出∠COD的度数，进而得到△OCD为等腰直角三角形，算出OC、OD的长度；接着根据DE=DA的条件求出DE的长度，作差即可得到CE的长；最后在直角三角形OCE中运用勾股定理就能求出OE的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵DE是$\odot O$的切线，C为切点，
∴$OC⊥ DE$，即$∠ OCD=∠ OCE=90°$。
∵$OA=OC$，$∠ CAB=22.5°$，
∴$∠ OCA=∠ CAB=22.5°$，
∴$∠ COD=∠ CAB+∠ OCA=45°$，
在$Rt△ OCD$中，$∠ D=90°-∠ COD=45°$，即$△ OCD$为等腰直角三角形，
∴$OC=CD=5$，$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=5\sqrt{2}$。
∵$OA=OC=5$，
∴$DA=OD+OA=5\sqrt{2}+5$，
又
∵$DE=DA$，
∴$DE=5\sqrt{2}+5$，
∴$CE=DE-CD=5\sqrt{2}+5-5=5\sqrt{2}$。
在$Rt△ OCE$中，$OC=5$，$CE=5\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2+CE^2}=\sqrt{5^2+(5\sqrt{2})^2}=\sqrt{25+50}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
【答案】
$5\sqrt{2},5\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将圆的性质和三角形的知识点结合考查，解题的突破口是利用切线性质得到直角，再结合角度关系推导特殊三角形，逐步求解线段长度。
【难度系数】
0.6
11.(2025,天津,21)已知AB与$\odot O$相切于点C,$OA=OB$,$∠ AOB=80°$,OB与$\odot O$相交于点D,E为$\odot O$上一点.
(1)如图①,求$∠ CED$的大小;
(2)如图②,当$EC// OA$时,EC与OB相交于点F,延长BO与$\odot O$相交于点G,若$\odot O$的半径为3,求ED和EG的长.
(1)如图①,求$∠ CED$的大小;
(2)如图②,当$EC// OA$时,EC与OB相交于点F,延长BO与$\odot O$相交于点G,若$\odot O$的半径为3,求ED和EG的长.
答案
11.【解】(1)如图①,连接OC.
∵AB与$\odot O$相切于点C,
∴$OC⊥AB$. 又$OA=OB$.
∴OC平分$∠AOB$,
即$∠COB=\frac{1}{2}∠AOB$.
∵$∠AOB=80°$,
∴$∠COB=40°$.
在$\odot O$中,$∠CED=\frac{1}{2}∠COB$,
∴$∠CED=20°$.
(2)如图②,连接OC.
同(1),得$∠CED=20°$.
∵$EC//OA$,
∴$∠EFG=∠AOB=80°$.
∵$∠EFG$为$△DEF$的一个外角,
∴$∠EDG=∠EFG-∠CED=60°$.
根据题意,DG是$\odot O$的直径,
∴$∠DEG=90°$.
又$\odot O$的半径为3,得$DG=6$.
∴$∠G=90°-∠EDG=30°$.
∴$ED=\frac{1}{2}DG=3$.
∴在$Rt△DEG$中,$EG=\sqrt{DG^2-ED^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.
∴ED的长是3,EG的长是$3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 解决第一问的核心思路：首先根据切线的性质，连接切点C和圆心O，得到OC⊥AB；再结合OA=OB的等腰三角形特征，利用三线合一性质推出OC平分∠AOB，求出圆心角∠COB的度数；最后根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可计算出∠CED的大小。
(2) 解决第二问的核心思路：先利用EC//OA的平行关系得到对应角相等，再通过三角形外角的性质求出∠EDG的度数；结合DG是⊙O的直径，由“直径所对圆周角为直角”可知△DEG是直角三角形；已知圆的半径可求得直径DG的长度，再利用直角三角形30°角的性质求出ED的长，最后通过勾股定理计算得到EG的长度。
【解析】
(1) 如图①，连接OC。
∵AB与$\odot O$相切于点C，
∴$OC⊥AB$。又$OA=OB$，
∴OC平分$∠AOB$，
即$∠COB=\frac{1}{2}∠AOB$。
∵$∠AOB=80°$，
∴$∠COB=40°$。
在$\odot O$中，$∠CED=\frac{1}{2}∠COB$，
∴$∠CED=20°$。
(2) 如图②，连接OC。
同(1)，得$∠CED=20°$。
∵$EC//OA$，
∴$∠EFG=∠AOB=80°$。
∵$∠EFG$为$△DEF$的一个外角，
∴$∠EDG=∠EFG-∠CED=60°$。
根据题意，DG是$\odot O$的直径，
∴$∠DEG=90°$。
又$\odot O$的半径为3，得$DG=6$。
∴$∠G=90°-∠EDG=30°$。
∴$ED=\frac{1}{2}DG=3$。
∴在$Rt△DEG$中，$EG=\sqrt{DG^2-ED^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $∠CED=20°$；
(2) ED的长是3，EG的长是$3\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查圆的常见辅助线做法和基础几何性质的综合运用，解题时需熟练掌握切线、圆周角、等腰三角形、直角三角形的相关性质，逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问的核心思路：首先根据切线的性质，连接切点C和圆心O，得到OC⊥AB；再结合OA=OB的等腰三角形特征，利用三线合一性质推出OC平分∠AOB，求出圆心角∠COB的度数；最后根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可计算出∠CED的大小。
(2) 解决第二问的核心思路：先利用EC//OA的平行关系得到对应角相等，再通过三角形外角的性质求出∠EDG的度数；结合DG是⊙O的直径，由“直径所对圆周角为直角”可知△DEG是直角三角形；已知圆的半径可求得直径DG的长度，再利用直角三角形30°角的性质求出ED的长，最后通过勾股定理计算得到EG的长度。
【解析】
(1) 如图①，连接OC。
∵AB与$\odot O$相切于点C，
∴$OC⊥AB$。又$OA=OB$，
∴OC平分$∠AOB$，
即$∠COB=\frac{1}{2}∠AOB$。
∵$∠AOB=80°$，
∴$∠COB=40°$。
在$\odot O$中，$∠CED=\frac{1}{2}∠COB$，
∴$∠CED=20°$。
(2) 如图②，连接OC。
同(1)，得$∠CED=20°$。
∵$EC//OA$，
∴$∠EFG=∠AOB=80°$。
∵$∠EFG$为$△DEF$的一个外角，
∴$∠EDG=∠EFG-∠CED=60°$。
根据题意，DG是$\odot O$的直径，
∴$∠DEG=90°$。
又$\odot O$的半径为3，得$DG=6$。
∴$∠G=90°-∠EDG=30°$。
∴$ED=\frac{1}{2}DG=3$。
∴在$Rt△DEG$中，$EG=\sqrt{DG^2-ED^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $∠CED=20°$；
(2) ED的长是3，EG的长是$3\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查圆的常见辅助线做法和基础几何性质的综合运用，解题时需熟练掌握切线、圆周角、等腰三角形、直角三角形的相关性质，逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
