1.(2024,湖北,3)$2x · 3x^2$的值是().

A.$5x^2$
B.$5x^3$
C.$6x^2$
D.$6x^3$

1.D

【分析】
这道题考查单项式乘单项式的运算，解题思路遵循单项式乘法的运算法则分步计算：第一步先计算两个单项式系数的乘积，第二步计算同底数幂的乘积，依据同底数幂相乘、底数不变指数相加的规则运算，最后把两部分结果组合得到最终答案，再对应选项选择即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 计算系数的乘积：$2×3=6$；
2. 计算同底数幂的乘积：$x·x^2 = x^{1+2}=x^3$；
3. 组合两部分结果可得：$2x · 3x^2=6x^3$。
对照选项，D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘法的运算规则，熟练掌握系数运算和同底数幂的运算规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2.(2023,陕西,4)计算:$6xy^2 · (-\dfrac{1}{2}x^3y^3)=(\quad)$。

A.$3x^4y^5$
B.$-3x^4y^5$
C.$3x^3y^6$
D.$-3x^3y^6$

2.B

【分析】
本题考查单项式与单项式的乘法运算，解题思路严格遵循单项式乘单项式的运算法则即可：第一步先计算各单项式系数的乘积，注意负号的运算不要出错；第二步将相同字母的幂按照同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）分别计算；最后将系数乘积、各字母幂的运算结果相乘得到最终结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则分步计算：
1. 计算系数的乘积：$6 × (-\dfrac{1}{2}) = -3$
2. 计算$x$的幂的乘积：$x · x^3 = x^{1+3} = x^4$
3. 计算$y$的幂的乘积：$y^2 · y^3 = y^{2+3} = y^5$
4. 合并各部分结果得：$6xy^2 · (-\dfrac{1}{2}x^3y^3) = -3x^4y^5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.单项式乘单项式
2.同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，易错点为忽略系数的负号，或是计算同底数幂时错误将指数相乘，熟练掌握运算法则即可快速准确得分。
【难度系数】
0.8

3.(2023,扬州,2)若()·$2a^2b$=$2a^3b$,则括号内应填的单项式是().

A.a
B.2a
C.ab
D.2ab

3.A

【分析】
这道题已知两个单项式的乘积和其中一个单项式，求另一个单项式，可利用乘法与除法的互逆关系求解，即另一个因式=积÷已知因式，再根据单项式除以单项式的运算法则计算即可。
【解析】
设括号内应填的单项式为$A$，根据题意可得：
$A=2a^3b÷2a^2b$
根据单项式除以单项式的法则，分别计算各部分的商：
1. 系数相除：$2÷2=1$
2. 同底数幂$a$相除：$a^3÷ a^2=a^{3-2}=a$
3. 同底数幂$b$相除：$b÷ b=1$
将各部分结果相乘，得$A=1× a×1=a$，对应A选项。
【答案】
A
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题考查整式乘除的互逆运算，属于基础题，熟练掌握单项式除法的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9

4.计算$-3ab^2 · (-2a^2b^3)$的结果是().

A.$-6a^2b^5$
B.$6a^3b^5$
C.$6a^2b^6$
D.$6a^2b^3$

4.B

【分析】
这是单项式乘单项式的运算题，解题思路分三步：第一步先判定乘积的符号，两个负因数相乘结果为正；第二步计算系数的乘积；第三步按照同底数幂的乘法法则，分别计算a、b的幂的结果，最后将各部分结果合并即可得到最终答案。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 确定符号：两个负数相乘，结果为正；
2. 计算系数的积：$(-3) × (-2) = 6$；
3. 计算同底数幂的积：
$a$的部分：$a · a^2 = a^{1+2} = a^3$；
$b$的部分：$b^2 · b^3 = b^{2+3} = b^5$；
4. 合并各部分结果得：$6a^3b^5$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查单项式乘单项式的运算规则，解题时需注意符号判定和同底数幂指数相加的规则，细心计算即可避免出错。
【难度系数】
0.9

5.已知$(a^{m+1}b^{n+2}) · (a^2b^2)=a^5b^6$，则$m+n$的值为().

A.1
B.2
C.3
D.4

5.D

【分析】
要解决这道题，首先回忆单项式乘单项式的运算规则：单项式与单项式相乘时，同底数幂要分别相乘，同底数幂相乘的法则是底数不变，指数相加。我们先计算出等式左边的乘积，再根据等式两边相同底数的幂的指数相等，分别列方程求出m、n的值，最后计算m+n的结果即可。
【解析】
第一步：化简等式左边的乘积
根据同底数幂的乘法法则$a^x·a^y=a^{x+y}$，可得：
$\begin{aligned}(a^{m+1}b^{n+2})·(a^2b^2)&=a^{(m+1)+2}·b^{(n+2)+2}\\&=a^{m+3}b^{n+4}\end{aligned}$
第二步：根据指数对应相等列方程求解
已知$a^{m+3}b^{n+4}=a^5b^6$，等式两边相同底数的幂的指数相等：
对于底数a：$m+3=5$，解得$m=2$
对于底数b：$n+4=6$，解得$n=2$
第三步：计算$m+n$的值
$m+n=2+2=4$
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；同底数幂的乘法；代数式求值
【点评】本题是整式乘法的基础题型，重点考查单项式乘单项式的运算法则，解题关键是利用“等式两边相同底数的幂的指数相等”建立方程求解，熟练掌握相关运算法则即可快速得出答案。
【难度系数】0.9

6.计算$(3x^{3}y^{4})^{2}· (-2x^{2}y^{3})$的结果为.

6.$-18x^8y^{11}$

【分析】
本题包含乘方、乘法两级运算，需遵循先乘方后乘法的运算顺序求解：第一步先计算积的乘方，依据积的乘方法则，将积内每个因式分别乘方，其中幂的乘方要遵循底数不变、指数相乘的规则；第二步计算单项式乘单项式，将系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘（底数不变、指数相加），计算过程中注意负号的处理。
【解析】
解：先计算乘方部分：
$(3x^3y^4)^2=3^2·(x^3)^2·(y^4)^2=9x^6y^8$
再计算单项式乘法：
$9x^6y^8·(-2x^2y^3)=[9×(-2)]·(x^6· x^2)·(y^8· y^3)=-18x^{6+2}y^{8+3}=-18x^8y^{11}$
【答案】
$-18x^8y^{11}$
【知识点】
积的乘方，单项式乘单项式，幂的乘方
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，主要考查幂的运算法则和单项式乘法的计算，计算时需注意运算顺序，区分幂的乘方、同底数幂乘法的指数运算规则，避免符号、指数计算类失误。
【难度系数】
0.7

7. $(-3x^3y) · (-x^4) · (-y^3) = \underline{\hspace{5cm}}$.

7.$-3x^7y^4$

【分析】
这是一道单项式连乘的计算题，解题思路分三步：第一步先确定积的符号，数清楚负因数的个数，奇数个负因数相乘结果为负，偶数个负因数相乘结果为正；第二步计算系数的乘积；第三步对相同字母运用同底数幂的乘法法则计算，底数不变，指数相加，最后把各部分结果组合即可。
【解析】
解：首先计算系数乘积与符号：
$(-3) × (-1) × (-1) = -3$
再分别计算同底数幂的乘积：
x的幂运算：$x^3 · x^4 = x^{3+4} = x^7$
y的幂运算：$y · y^3 = y^{1+3} = y^4$
将各部分相乘得最终结果：$-3x^7y^4$
【答案】
$-3x^7y^4$
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，主要易错点为符号判断失误，以及计算y的指数时容易忽略单个y的指数为1，熟练掌握运算法则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

8.若$mx^3 · 2x^k = -8x^{18}$，则$m + k =$.

8.11

【分析】
解答本题首先需要运用单项式乘单项式的运算规则化简等式左侧的式子，单项式相乘时，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加；再根据等式两边相等的单项式对应系数相等、相同字母的指数相等，分别列方程求出m和k的值，最后计算m+k的结果即可。
【解析】
先化简等式左侧的式子：
根据单项式乘法法则，$mx^3 · 2x^k = (m×2)·x^{3+k} = 2mx^{3+k}$
已知$2mx^{3+k} = -8x^{18}$，两个单项式相等则对应系数、相同字母的指数分别相等：
1. 系数相等：$2m = -8$，解得$m = -4$
2. x的指数相等：$3 + k = 18$，解得$k = 15$
因此$m + k = -4 + 15 = 11$
【答案】
11
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；代数式求值
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，解题核心是掌握单项式乘法法则和单项式相等的判定条件，熟练掌握基础运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

9.已知单项式$3x^2y^3$与$2xy^2$的积为$mx^3y^n$，则$m-n=$。

9.1

【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘单项式的运算法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变作为积的因式。先计算$3x^2y^3$与$2xy^2$的乘积，再将计算结果与$mx^3y^n$对照，分别确定$m$和$n$的取值，最后代入计算$m-n$的值即可。
【解析】
第一步：根据单项式乘单项式的法则计算乘积：
$\begin{aligned}3x^2y^3 · 2xy^2&=(3×2)· x^{2+1}· y^{3+2}\\&=6x^3y^5\end{aligned}$
第二步：对照乘积为$mx^3y^n$，可得对应系数和相同字母的指数分别相等：
$m=6$，$n=5$
第三步：计算$m-n$的值：
$m-n=6-5=1$
【答案】
1
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心是掌握单项式乘法的运算规则，计算时注意区分系数乘法和同底数幂指数相加的规则，避免出现指数相乘的错误。
【难度系数】
0.9

10.已知单项式$-3x^{2a}y^{3}$与$x^{2}y^{2b-3}$的和是单项式，则它们的积是.

10.$-3x^4y^6$

【分析】
要解决这道题，首先要明确：两个单项式的和仍是单项式，说明这两个单项式是同类项。接下来根据同类项“相同字母的指数相同”的性质，分别列方程求出a、b的值，确定两个单项式的具体形式，最后按照单项式乘单项式的运算法则计算它们的积即可。
【解析】
∵ 单项式$-3x^{2a}y^{3}$与$x^{2}y^{2b-3}$的和是单项式
∴ 这两个单项式是同类项，即相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}2a=2 \\2b-3=3 \end{cases}$
解第一个方程：$2a=2$，得$a=1$
解第二个方程：$2b-3=3$，移项得$2b=6$，得$b=3$
∴ 两个单项式分别为$-3x^{2}y^{3}$和$x^{2}y^{3}$
计算它们的积：
$-3x^{2}y^{3} · x^{2}y^{3} = (-3 × 1) · (x^{2} · x^{2}) · (y^{3} · y^{3}) = -3x^{4}y^{6}$
【答案】
$-3x^4y^6$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式法则；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，解题的核心是先根据“两个单项式的和为单项式”判定二者为同类项，求出未知参数后再进行乘法计算，熟练掌握同类项概念和单项式乘法规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

11.计算：
(1)$(-2x^m y^n) · (-x^3 y^n) · (-5xy^3)$；
(2)$-6x^2 y (a - b)^3 · \frac{1}{3}xy^2 (b - a)^2$。

11.解:(1)原式$=-2×5(x^m · x^3 · x) · (y^n · y^n · y^3)$
$=-10x^{m+4}y^{2n+3}$.
(2)原式$=-6×\frac{1}{3}(x^2 · x) · (y · y^2) · [(a-b)^3 · (b-a)^2]$
$=-2x^3y^3(a-b)^5$.

【分析】
这两道题均为单项式乘单项式的运算，解题思路如下：①先确定积的符号：负因数个数为奇数时积为负，个数为偶数时积为正；②计算系数乘积：将各单项式的系数相乘，作为积的系数；③同底数幂分别相乘：相同字母的幂按照“底数不变，指数相加”的法则计算；④第(2)题中存在底数互为相反数的幂，可利用偶次幂的性质先统一底数，再按同底数幂乘法规则计算。
【解析】
(1) 先判断符号：3个负因数相乘，积为负，再分别计算系数积、同底数幂的积：
原式$=(-2)×(-1)×(-5)·(x^m · x^3 · x) · (y^n · y^n · y^3)$
$=-10x^{m+3+1}y^{n+n+3}$
$=-10x^{m+4}y^{2n+3}$
(2) 由偶次幂性质可得$(b-a)^2=(a-b)^2$，再按单项式乘法法则计算：
原式$=-6×\frac{1}{3}·(x^2 · x) · (y · y^2) · [(a-b)^3 · (a-b)^2]$
$=-2x^{2+1}y^{1+2}(a-b)^{3+2}$
$=-2x^3y^3(a-b)^5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10x^{m+4}y^{2n+3}}$
(2) $\boldsymbol{-2x^3y^3(a-b)^5}$
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；幂的符号性质
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考查单项式乘单项式的运算规则，解题时要格外注意符号的判断，以及底数互为相反数的幂的转化技巧，避免因符号判定错误、指数计算失误失分。
【难度系数】
0.7