12.计算下列各题：
(1)$3^{m+2} · 9^{2m-1} · 27^{m+1}$(结果用底数为3的幂的形式表示)；
(2)$(-xy)^6 - (-3x^2y^2)^3 + 8[-(-xy)^3]^2$。

12.解:(1)原式=$3^{m+2} · (3^2)^{2m-1} · (3^3)^{m+1}$
=$3^{m+2} · 3^{4m-2} · 3^{3m+3} = 3^{8m+3}$.
(2)原式=$x^6y^6 + 27x^6y^6 + 8x^6y^6$
=$36x^6y^6$.

【分析】
本题考查幂的运算相关知识，解题思路如下：
(1) 要将结果表示为底数为3的幂，首先需把原式中9、27都转化为底数为3的幂的形式，再利用幂的乘方法则计算指数，最后根据同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的法则合并指数即可。
(2) 按照运算顺序先计算乘方：利用积的乘方、幂的乘方法则分别计算每一项的乘方，注意负号的奇偶次幂的符号变化，最后合并同类项得到结果即可。
【解析】
(1) 先将9、27转化为底数为3的幂：
原式=$3^{m+2} · (3^2)^{2m-1} · (3^3)^{m+1}$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$计算，得：
=$3^{m+2} · 3^{4m-2} · 3^{3m+3}$
再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$合并指数：
=$3^{(m+2)+(4m-2)+(3m+3)}=3^{8m+3}$
(2) 分别计算各项的乘方：
① $(-xy)^6$：根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，6为偶数，负号消去，得$x^6y^6$；
② $(-3x^2y^2)^3$：按积的乘方计算得$(-3)^3·(x^2)^3·(y^2)^3=-27x^6y^6$，前面带负号，故$-(-27x^6y^6)=+27x^6y^6$；
③ $8[-(-xy)^3]^2$：先算内层$(-xy)^3=-x^3y^3$，加负号得$x^3y^3$，再平方得$(x^3y^3)^2=x^6y^6$，乘8得$8x^6y^6$；
合并同类项：
原式=$x^6y^6 + 27x^6y^6 + 8x^6y^6=36x^6y^6$
【答案】
(1)$3^{8m+3}$；(2)$36x^6y^6$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础典型题，核心是熟练掌握各类幂运算的法则，解题时注意先统一底数、关注运算顺序和符号的处理，避免因指数计算错误或符号判断失误失分。
【难度系数】
0.7

1.若$5^x=125^y$，$3^y=27^z$，则$x:y:z$的结果等于().

A.$5:3:1$
B.$6:2:1$
C.$7:5:3$
D.$9:3:1$

1.D

【分析】
解题时先利用幂的乘方性质，把等式两侧的幂转化为同底数幂，根据“同底数幂相等则对应指数相等”，分别推导x和y、y和z的数量关系，再把三个变量用同一参数表示，最后化简得到三者的比值。
【解析】
1. 推导x与y的关系：
已知$5^x=125^y$，因为$125=5^3$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$125^y=(5^3)^y=5^{3y}$，因此$5^x=5^{3y}$，同底数幂相等则指数相等，即$\boldsymbol{x=3y}$。
2. 推导y与z的关系：
已知$3^y=27^z$，因为$27=3^3$，同理可得$27^z=(3^3)^z=3^{3z}$，因此$3^y=3^{3z}$，可得$\boldsymbol{y=3z}$。
3. 计算比值：
把$y=3z$代入$x=3y$，得$x=3×3z=9z$，因此$x:y:z=9z:3z:z$，$z≠0$时约去z，得$x:y:z=9:3:1$。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的性质、比的化简
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是熟练掌握幂的乘方运算法则，通过统一底数得到指数的等量关系，即可快速求解比值。
【难度系数】
0.8

2.已知$3^{2a}=2^{b},6^{b}=81$,则$2a+b=(\quad)$.

A.4
B.6
C.8
D.-8

2.A

【分析】
解题时先观察已知等式和待求式的关联：已知给出$3^{2a}=2^b$，以及$6^b=81$，我们可以先将6拆为$2×3$，利用积的乘方法则展开$6^b$，再将其中的$2^b$用$3^{2a}$代换，结合同底数幂的乘法法则，就能将$6^b$转化为底数为3、指数含$2a+b$的幂，最后把81改写为3的幂的形式，根据同底数幂相等时指数相等的性质，即可直接求出$2a+b$的值。
【解析】
1. 对$6^b$变形：根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^n· b^n$，可得$6^b=(2×3)^b=2^b·3^b$。
2. 代入已知条件：因为$3^{2a}=2^b$，将上式中的$2^b$替换为$3^{2a}$，得$6^b=3^{2a}·3^b$。
3. 化简指数：根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$，可得$3^{2a}·3^b=3^{2a+b}$，即$6^b=3^{2a+b}$。
4. 利用幂的性质求解：已知$6^b=81$，且$81=3^4$，因此$3^{2a+b}=3^4$。由于底数3不为0且不为1，同底数幂相等则指数相等，故$2a+b=4$。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的乘法、同底数幂的性质
【点评】
本题是幂运算的常规综合题，核心解题思路是通过拆分底数、等量代换，将待求的代数式作为整体放在幂的指数位置，再利用幂的相关性质求解，较好地考查了对幂运算法则的灵活运用能力和整体代换思想。
【难度系数】
0.7

3.已知$2^{x+2} · 3^{x+2} = 36^{x-3}$，则$x=$。

3.8

【分析】
解题时首先观察等式左边的结构，两个幂的指数相同，可逆用积的乘方公式将左边合并为底数为6的幂；再将等式右边的36转化为6²，利用幂的乘方公式也转化为底数为6的幂；当两个同底数幂相等且底数不为0、1时，指数也相等，据此列一元一次方程即可求解x的值。
【解析】
第一步，逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$处理等式左边：
$2^{x+2}·3^{x+2}=(2×3)^{x+2}=6^{x+2}$
第二步，利用幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$处理等式右边：
因为$36=6^2$，所以$36^{x-3}=(6^2)^{x-3}=6^{2(x-3)}$
第三步，原方程可转化为：$6^{x+2}=6^{2(x-3)}$
由于底数$6≠0$且$6≠1$，因此等式两边幂相等则指数相等，可得：
$x+2=2(x-3)$
第四步，解一元一次方程：
$x+2=2x-6$
移项得：$2x-x=2+6$
解得：$x=8$
【答案】
8
【知识点】
积的乘方，幂的乘方，一元一次方程的解法
【点评】
本题是幂运算的典型应用考题，核心是灵活运用幂的运算性质将等式两边转化为同底数幂，通过指数相等建立方程求解，熟练掌握幂的各类运算公式及逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.7

4.我们定义 = $a^b · a^c$，五角星 = $z · (x^m · y^n)$；若 = 4，则。

4.32

【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的两类新定义运算规则，将新运算转化为已学的幂的运算处理：第一步先处理已知条件，把[插图3]按照第一类新定义转化为同底数幂的乘法，利用同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的法则，得到对应幂式的取值为4；第二步将待求的[插图4]按照五角星的新定义展开，结合幂的乘方、同底数幂的运算法则，将其变形为含有已知幂式的代数式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据题中定义：
1. 第一类运算规则为$a^b· a^c=a^{b+c}$，已知[插图3]按该规则运算结果为4，可得$x^{m+n}=4$；
2. 第二类五角星运算规则为$z·(x^m· y^n)$，[插图4]按该规则展开为：
$2·(x^{2m}· x^{2n})$
先计算括号内的同底数幂乘法：
$x^{2m}· x^{2n}=x^{2m+2n}=x^{2(m+n)}=(x^{m+n})^2$
将$x^{m+n}=4$代入，得：
$(x^{m+n})^2=4^2=16$
再乘以外层系数2：
$2×16=32$
【答案】
32
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查幂的运算法则的应用，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，将陌生的新运算转化为熟悉的幂的运算，再代入求值，解题时要注意区分不同幂运算的指数变化规则，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7

5.按要求完成下列各题：
(1)计算：$[(-3b-2a)^2]^n · (2a+3b)^n + [-(2a+3b)^n]^3$；
(2)若$n$为正整数，请你说明：$3^n · 6^{n+1} + 3^{2n+2} · 2^n$能被5整除。

5.解:(1)原式=$(2a+3b)^{2n+n} - (2a+3b)^{3n}=0$.
(2)原式=$3^n × 6^n × 6 + 3^{2n} × 3^2 × 2^n$
=$18^n × 6 + 9^n × 9 × 2^n$
=$18^n × 6 + 18^n × 9 = 18^n × 15$,
所以$3^n · 6^{n+1} + 3^{2n+2} · 2^n$能被5整除.

【分析】
(1) 首先观察底数特征，$-3b-2a=-(2a+3b)$，偶次幂运算后负号消失，可得到与后续式子相同的底数$(2a+3b)$；再依次运用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算前半部分，运用积的乘方法则计算后半部分，最后合并同类项即可得结果。
(2) 要证明式子能被5整除，需将式子变形为含因数5的整数乘积形式。首先逆用同底数幂的乘法拆分高次项，再逆用积的乘方法则合并同指数的幂，提取公因式后验证因式中是否含5的倍数即可完成证明。
【解析】
(1) 先化简底数：$(-3b-2a)^2=(2a+3b)^2$，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(2a+3b)^2]^n · (2a+3b)^n + (-1)^3 · [(2a+3b)^n]^3\\&=(2a+3b)^{2n} · (2a+3b)^n - (2a+3b)^{3n}\\&=(2a+3b)^{3n} - (2a+3b)^{3n}\\&=0\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^n × 6^n × 6 + 3^{2n} × 3^2 × 2^n\\&=(3×6)^n ×6 + (3^2)^n ×9 ×2^n\\&=18^n ×6 + 9^n ×2^n ×9\\&=18^n ×6 + (9×2)^n ×9\\&=18^n ×6 + 18^n ×9\\&=18^n ×(6+9)\\&=18^n ×15\end{aligned}$
因为n为正整数，$18^n$是正整数，15是5的倍数，所以$18^n×15$是5的整数倍，即原式能被5整除。
【答案】
(1) $\boxed{0}$
(2) 原式可变形为$18^n×15$，故能被5整除。
【知识点】
1. 幂的乘方法则
2. 同底数幂乘法
3. 积的乘方逆用
【点评】
本题属于幂运算的综合题型，重点考查幂的运算法则的正用与逆用，第一问需要注意偶次幂下底数的符号转换，第二问需要掌握整除类问题的常规变形思路，即把原式转化为含目标因数的乘积形式。
【难度系数】
0.7