12.先化简,再求值:$(-3a^3x) · (-2a^2x^2)^2 + 7(ax)^3 · (a^2x)^2 - a^7x^5$,其中$x=-2,a=-1$.

12.解:$(-3a^3x) · (-2a^2x^2)^2 + 7(ax)^3 · (a^2x)^2 - a^7x^5$
$=(-3a^3x) · 4a^4x^4 + 7a^3x^3 · a^4x^2 -a^7x^5$
$=-12a^7x^5+7a^7x^5 -a^7x^5$
$=-6a^7x^5$.
当$x=-2,a=-1$时,原式$=-6×(-1)^7×(-2)^5=-6×(-1)×(-32)=-192$.

【分析】
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简、再求值”的原则求解。第一步先处理式子中的乘方项，依据幂的运算规则计算，第二步再按单项式乘单项式的法则计算乘法运算，第三步合并同类项得到最简整式，最后将a、x的取值代入最简式计算结果即可，运算过程中要重点关注符号和幂的指数变化规则。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(-3a^3x) · (-2a^2x^2)^2 + 7(ax)^3 · (a^2x)^2 - a^7x^5\\=&(-3a^3x) · 4a^4x^4 + 7a^3x^3 · a^4x^2 -a^7x^5\\=&-12a^7x^5+7a^7x^5 -a^7x^5\\=&-6a^7x^5\end{aligned}$
再代入求值：当$x=-2,a=-1$时，
$\begin{aligned}原式&=-6×(-1)^7×(-2)^5\\&=-6×(-1)×(-32)\\&=-192\end{aligned}$
【答案】
$-192$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项
【点评】
本题考查整式混合运算的掌握程度，运算时需严格遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序，要注意幂运算的指数规律，以及负数乘方的符号判断，避免因符号、指数计算失误失分。
【难度系数】
0.7

1.计算$(3.75× 10^{4})× (2× 10^{5})^{2}$的结果用科学记数法表示为().

A.$7.5× 10^{9}$
B.$7.5× 10^{14}$
C.$15× 10^{14}$
D.$1.5× 10^{15}$

1.D

【分析】
解题时首先回忆幂的运算规则和科学记数法的要求：第一步先计算乘方运算，利用积的乘方法则将$(2×10^5)^2$展开；第二步按照单项式乘法规则，将系数和同底数幂分别相乘；第三步检查结果是否符合科学记数法的规范（$a×10^n$中$1≤a＜10$），若不符合需要调整系数和指数。
【解析】
解：先计算乘方部分：
$(2×10^5)^2=2^2×(10^5)^2=4×10^{10}$
再计算乘法运算：
$(3.75×10^4)×(4×10^{10})$
$=(3.75×4)×(10^4×10^{10})$
$=15×10^{14}$
最后调整为标准科学记数法：
$15×10^{14}=1.5×10×10^{14}=1.5×10^{15}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方，同底数幂的乘法，科学记数法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的运算法则的应用和科学记数法的规范书写，易错点是计算得到$15×10^{14}$后直接选择C，忽略了科学记数法中a的取值范围是$1≤a＜10$，需特别注意结果的规范性。
【难度系数】
0.7

2.若单项式$-4x^a y$和$\frac{1}{2}x^2 y^b$的积为$-2x^7 y^6$，则$ab$的算术平方根为（）.

A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{15}$
C.$5$
D.$10$

2.C

【分析】
解题思路如下：首先根据单项式乘单项式的运算规则计算两个单项式的乘积，再将计算结果与题目给出的积对比，利用“同底数幂的指数对应相等”列方程求出a、b的值，接着计算ab的结果，最后根据算术平方根的定义求出最终结果即可。
【解析】
先计算两个单项式的乘积：
根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂分别相乘，可得：
$\begin{aligned}(-4x^a y) · \frac{1}{2}x^2 y^b &= (-4 × \frac{1}{2}) · (x^a · x^2) · (y · y^b) \\&= -2x^{a+2}y^{1+b}\end{aligned}$
已知该乘积为$-2x^7 y^6$，因此同底数幂的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}a+2 = 7 \\1+b = 6\end{cases}$
分别解方程：
由$a+2=7$得$a=7-2=5$；
由$1+b=6$得$b=6-1=5$。
则$ab=5 × 5=25$，根据算术平方根的定义，25的算术平方根为$\sqrt{25}=5$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；算术平方根
【点评】
本题综合考察整式乘法运算和算术平方根的定义，解题核心是利用单项式乘法规则得到对应指数的等量关系，进而求出未知参数，计算时注意不要遗漏单项式中次数为1的幂的指数。
【难度系数】
0.8

3.若$a+b+c=0$,则$(a+b)(b+c)(c+a)+abc=\_\_\_\_\_\_$.

3.0

【分析】
解题时首先观察已知条件$a+b+c=0$，可以通过移项将待求式中括号内的$a+b$、$b+c$、$c+a$分别用单个字母的相反数表示，再将得到的表达式整体代入原式，按照整式乘法的运算法则计算后合并同类项，即可求出结果。
【解析】
解：已知$a+b+c=0$，通过移项可得：
$a+b=-c$，$b+c=-a$，$c+a=-b$
将上述三个式子代入待求式：
$\begin{aligned}(a+b)(b+c)(c+a)+abc&=(-c)×(-a)×(-b)+abc\\&=-abc+abc\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
整式的乘法、整体代入求值、等式的基本性质
【点评】
本题是整式乘法与代数式求值结合的基础题型，解题核心是利用已知条件进行整体代换，简化运算过程，熟练掌握整体代换的思路能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8

4.$(-a^{3}-a^{3}-a^{3})^{2}(4a^{4})^{2}=$.

4.$144a^{14}$

【分析】
本题属于整式的混合运算题，解题遵循“先算括号内，再算乘方，最后算乘法”的运算顺序。首先先合并第一个括号内的同类项，再分别计算两个乘方式的结果，最后将两个乘方的结果相乘，计算时注意幂的运算规则和符号处理即可。
【解析】
第一步：合并第一个括号内的同类项
$-a^3 -a^3 -a^3 = (-1-1-1)a^3 = -3a^3$
第二步：分别计算两个乘方式的值
$(-3a^3)^2 = (-3)^2 · (a^3)^2 = 9a^{3×2} = 9a^6$
$(4a^4)^2 = 4^2 · (a^4)^2 = 16a^{4×2} = 16a^8$
第三步：计算两个单项式的乘积
$9a^6 · 16a^8 = (9×16) · (a^6 · a^8) = 144a^{6+8} = 144a^{14}$
【答案】
$144a^{14}$
【知识点】
合并同类项；积的乘方；单项式乘单项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查运算顺序和幂的运算规则，解题时需注意同类项合并的系数计算、乘方运算的符号以及同底数幂相乘时指数的运算，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8

5.已知$-2x^{3m+1}y^{2n}$与$4x^3y^4$的积与$-4x^{10}y^6$是同类项.
(1)求$m,n$的值；
(2)先化简,再求值:$5m^3n·(-3n)^2+(6mn)^2·(-mn)-mn^3·(-4m)^2$.

5.解:(1)$-2x^{3m+1}y^{2n} · 4x^3y^4 = -8x^{3m+4}y^{2n+4}$.
$\because -2x^{3m+1}y^{2n}$与$4x^3y^4$的积与$-4x^{10}y^6$是同类项，
$\therefore -8x^{3m+4}y^{2n+4}$与$-4x^{10}y^6$是同类项，
$\therefore 3m+4=10,2n+4=6$，
$\therefore m=2,n=1$.
(2)$5m^3n · (-3n)^2 + (6mn)^2 · (-mn) - mn^3 · (-4m)^2$
$=5m^3n · 9n^2 + 36m^2n^2 · (-mn) - mn^3 · 16m^2$
$=45m^3n^3 - 36m^3n^3 - 16m^3n^3$
$=-7m^3n^3$.
当$m=2,n=1$时,原式$=-7×2^3×1^3=-56$.

【分析】
(1) 解题思路：首先根据单项式乘单项式的运算法则，计算$-2x^{3m+1}y^{2n}$与$4x^3y^4$的乘积，再结合同类项“相同字母的指数分别相等”的性质，列出关于m、n的一元一次方程，解方程即可求出m、n的值。
(2) 解题思路：按照整式运算的优先级，先计算乘方运算，再计算单项式乘单项式运算，最后合并同类项得到最简结果，再将(1)中求出的m、n的值代入最简式计算即可，运算时注意符号和指数的计算规则。
【解析】
(1) 先计算两个单项式的乘积：
$-2x^{3m+1}y^{2n} · 4x^3y^4 = (-2×4)·x^{3m+1+3}·y^{2n+4} = -8x^{3m+4}y^{2n+4}$
∵该乘积与$-4x^{10}y^6$是同类项，即两个单项式中x、y的指数分别相等
∴可得：$\begin{cases}3m+4=10 \\2n+4=6 \end{cases}$
解$3m+4=10$得$3m=6$，$m=2$；解$2n+4=6$得$2n=2$，$n=1$。
(2) 先化简整式：
$5m^3n · (-3n)^2 + (6mn)^2 · (-mn) - mn^3 · (-4m)^2$
先计算乘方：
$=5m^3n · 9n^2 + 36m^2n^2 · (-mn) - mn^3 · 16m^2$
再计算单项式乘法：
$=45m^3n^3 - 36m^3n^3 - 16m^3n^3$
最后合并同类项：
$=-7m^3n^3$
将$m=2,n=1$代入最简式：
原式$=-7×2^3×1^3=-7×8×1=-56$
【答案】
(1) $m=2$，$n=1$；(2) 化简结果为$-7m^3n^3$，求值结果为$-56$
【知识点】
单项式乘单项式，同类项的定义，整式的化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础综合题，核心考察单项式乘方、乘法的运算法则以及同类项的性质，运算时需注意符号和指数的计算，避免因粗心出错，有助于巩固整式运算的基础。
【难度系数】
0.8