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1.已知一个三角形中的两个内角分别是$20°$和$80°$，则这个三角形一定是(
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.不能确定
C
)。A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.不能确定
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理，已知两个内角的度数，可先求出第三个内角的度数；得到三个内角的度数后，先按角的大小判断三角形类型，排除不符合的选项，再看是否存在相等的内角，结合等腰三角形的判定定理判断剩余选项，最终得到正确答案。
【解析】
首先根据三角形内角和为180°，计算第三个内角的度数：
第三个角 = 180° - 20° - 80° = 80°
可得该三角形三个内角分别为20°、80°、80°：
1. 三个角均小于90°，属于锐角三角形，因此A（钝角三角形）、B（直角三角形）选项错误；
2. 三角形有两个内角相等（均为80°），根据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，可知该三角形是等腰三角形，C选项正确，D（不能确定）错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题核心是先求出未知内角的度数，再结合三角形分类的标准和等腰三角形的判定规则逐一判断选项，只要熟练掌握相关基础知识点就能轻松答对。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和定理，已知两个内角的度数，可先求出第三个内角的度数；得到三个内角的度数后，先按角的大小判断三角形类型，排除不符合的选项，再看是否存在相等的内角，结合等腰三角形的判定定理判断剩余选项，最终得到正确答案。
【解析】
首先根据三角形内角和为180°，计算第三个内角的度数：
第三个角 = 180° - 20° - 80° = 80°
可得该三角形三个内角分别为20°、80°、80°：
1. 三个角均小于90°，属于锐角三角形，因此A（钝角三角形）、B（直角三角形）选项错误；
2. 三角形有两个内角相等（均为80°），根据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，可知该三角形是等腰三角形，C选项正确，D（不能确定）错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题核心是先求出未知内角的度数，再结合三角形分类的标准和等腰三角形的判定规则逐一判断选项，只要熟练掌握相关基础知识点就能轻松答对。
【难度系数】
0.9
2.具备下列条件的三角形为等腰三角形的是(
A.有两个角分别为$20°,120°$
B.有两个角分别为$40°,80°$
C.有两个角分别为$30°,60°$
D.有两个角分别为$50°,80°$
D
).A.有两个角分别为$20°,120°$
B.有两个角分别为$40°,80°$
C.有两个角分别为$30°,60°$
D.有两个角分别为$50°,80°$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断给定条件的三角形是否为等腰三角形，核心依据是“有两个内角相等的三角形是等腰三角形”。我们可以先利用三角形内角和为180°的性质，计算出每个选项中三角形的第三个内角，再检查是否存在两个相等的内角，即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐个分析选项：
A选项：第三个角为$180°-20°-120°=40°$，三个内角分别为$20°、120°、40°$，没有相等的角，不是等腰三角形；
B选项：第三个角为$180°-40°-80°=60°$，三个内角分别为$40°、80°、60°$，没有相等的角，不是等腰三角形；
C选项：第三个角为$180°-30°-60°=90°$，三个内角分别为$30°、60°、90°$，没有相等的角，不是等腰三角形；
D选项：第三个角为$180°-50°-80°=50°$，三个内角分别为$50°、80°、50°$，存在两个相等的内角，是等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础题型，侧重对基础定理和判定方法的考查，只要熟练掌握三角形内角和性质和等腰三角形的判定规则，通过简单计算就能快速得到答案。
【难度系数】
0.85
要判断给定条件的三角形是否为等腰三角形，核心依据是“有两个内角相等的三角形是等腰三角形”。我们可以先利用三角形内角和为180°的性质，计算出每个选项中三角形的第三个内角，再检查是否存在两个相等的内角，即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐个分析选项：
A选项：第三个角为$180°-20°-120°=40°$，三个内角分别为$20°、120°、40°$，没有相等的角，不是等腰三角形；
B选项：第三个角为$180°-40°-80°=60°$，三个内角分别为$40°、80°、60°$，没有相等的角，不是等腰三角形；
C选项：第三个角为$180°-30°-60°=90°$，三个内角分别为$30°、60°、90°$，没有相等的角，不是等腰三角形；
D选项：第三个角为$180°-50°-80°=50°$，三个内角分别为$50°、80°、50°$，存在两个相等的内角，是等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础题型，侧重对基础定理和判定方法的考查，只要熟练掌握三角形内角和性质和等腰三角形的判定规则，通过简单计算就能快速得到答案。
【难度系数】
0.85
3.(2024,内蒙古,9)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ B=30°$,以点A为圆心,适当长为半径作弧分别交AB,AC于点M和点N,再分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D.若$△ ACD$的面积为8,则$△ ABD$的面积是(
A.8
B.16
C.12
D.24
B
).A.8
B.16
C.12
D.24
答案
3.B
解析
【分析】
首先根据尺规作图的特征判断出AD是∠BAC的角平分线，再结合直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，得到角平分线分成的两个角均为30°，进而推出AD=BD；再利用含30°角的直角三角形的性质得到CD与BD的数量关系，最后根据同高的两个三角形面积比等于底边长的比，即可求出△ABD的面积。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
$\therefore∠ BAC=90°-∠ B=60°$，
$\therefore∠ CAD=∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
$\therefore∠ BAD=∠ B=30°$，
$\therefore AD=BD$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AD$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}BD$，即$BD=2CD$。
$\because△ ACD$和$△ ABD$以$CD$、$BD$为底时，高均为点$A$到$BC$的垂线段长度$AC$，
$\therefore S_{△ ACD}:S_{△ ABD}=CD:BD=1:2$。
$\because S_{△ ACD}=8$，
$\therefore S_{△ ABD}=2×8=16$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图；含30°角的直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是先识别出角平分线的作图，再结合角度推导边的数量关系，最后利用同高三角形面积和底的正比关系求解，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先根据尺规作图的特征判断出AD是∠BAC的角平分线，再结合直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，得到角平分线分成的两个角均为30°，进而推出AD=BD；再利用含30°角的直角三角形的性质得到CD与BD的数量关系，最后根据同高的两个三角形面积比等于底边长的比，即可求出△ABD的面积。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
$\therefore∠ BAC=90°-∠ B=60°$，
$\therefore∠ CAD=∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
$\therefore∠ BAD=∠ B=30°$，
$\therefore AD=BD$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AD$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}BD$，即$BD=2CD$。
$\because△ ACD$和$△ ABD$以$CD$、$BD$为底时，高均为点$A$到$BC$的垂线段长度$AC$，
$\therefore S_{△ ACD}:S_{△ ABD}=CD:BD=1:2$。
$\because S_{△ ACD}=8$，
$\therefore S_{△ ABD}=2×8=16$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图；含30°角的直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是先识别出角平分线的作图，再结合角度推导边的数量关系，最后利用同高三角形面积和底的正比关系求解，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
4.如图，DE是AC的垂直平分线，AD平分∠BAC.若∠B=60°,则∠CDE的度数为(
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
B
).A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质得到边相等，进而推出对应角相等；再结合角平分线的定义，得到△ABC中角的等量关系；随后利用三角形内角和定理求出∠C的度数；最后根据垂直平分线的垂直性质，在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠CDE的度数。
【解析】
解：
1.
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，DE⊥AC，即∠DEC=90°，
∴∠DAC=∠C（等边对等角）。
2.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠BAD=∠DAC=∠C。
3. 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，且∠BAC=∠BAD+∠DAC=2∠C，已知∠B=60°，
代入得：$60°+2∠ C+∠ C=180°$，
解得$∠ C=40°$。
4. 在$Rt△ DEC$中，$∠ CDE+∠ C=90°$，
∴$∠ CDE=90°-40°=50°$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，主要考查三角形相关性质的综合应用，解题的关键是通过已知的垂直平分线、角平分线条件推导角的等量关系，结合内角和定理求解，需要熟练掌握基础几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用线段垂直平分线的性质得到边相等，进而推出对应角相等；再结合角平分线的定义，得到△ABC中角的等量关系；随后利用三角形内角和定理求出∠C的度数；最后根据垂直平分线的垂直性质，在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠CDE的度数。
【解析】
解：
1.
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，DE⊥AC，即∠DEC=90°，
∴∠DAC=∠C（等边对等角）。
2.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠BAD=∠DAC=∠C。
3. 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，且∠BAC=∠BAD+∠DAC=2∠C，已知∠B=60°，
代入得：$60°+2∠ C+∠ C=180°$，
解得$∠ C=40°$。
4. 在$Rt△ DEC$中，$∠ CDE+∠ C=90°$，
∴$∠ CDE=90°-40°=50°$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，主要考查三角形相关性质的综合应用，解题的关键是通过已知的垂直平分线、角平分线条件推导角的等量关系，结合内角和定理求解，需要熟练掌握基础几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
5.根据下列条件,不能作出唯一确定的等腰三角形的是(
A.已知顶角和底边
B.已知顶角和一腰
C.已知顶角和底角
D.已知底边和一腰
C
).A.已知顶角和底边
B.已知顶角和一腰
C.已知顶角和底角
D.已知底边和一腰
答案
5.C
解析
【分析】
要判断能否作出唯一确定的等腰三角形，本质是判断给出的条件是否能判定等腰三角形全等（满足全等判定定理的条件即可确定唯一三角形）。解题时先结合等腰三角形两腰相等、两底角相等的性质，逐一分析每个选项的条件是否能同时确定三角形的形状和大小，即可得出结论。
【解析】
我们可以结合三角形全等判定定理和等腰三角形的性质逐一分析选项：
A. 已知顶角和底边：根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可计算出两个底角的度数，此时满足“两角及其夹边对应相等（ASA）”的全等判定条件，可作出唯一的等腰三角形；
B. 已知顶角和一腰：等腰三角形两腰长度相等，因此两腰长度和两腰的夹角（顶角）均已知，满足“两边及其夹角对应相等（SAS）”的全等判定条件，可作出唯一的等腰三角形；
C. 已知顶角和底角：结合三角形内角和可确定三角形三个内角的度数，但未给出任何一条边的长度，只能确定三角形的形状，无法确定三角形的大小，可以画出无数个形状相同、大小不同的等腰三角形，不能作出唯一确定的等腰三角形；
D. 已知底边和一腰：等腰三角形两腰长度相等，因此三角形的三边长均已知，满足“三边对应相等（SSS）”的全等判定条件，可作出唯一的等腰三角形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的确定性
【点评】
这道题核心是考查三角形唯一确定的条件，解题关键是将“能否作出唯一三角形”的问题转化为“是否满足全等判定条件”的问题，易错点是容易忽略仅知道角度、不知道边长时，只能确定三角形形状，无法确定大小，不能得到唯一三角形。
【难度系数】
0.8
要判断能否作出唯一确定的等腰三角形，本质是判断给出的条件是否能判定等腰三角形全等（满足全等判定定理的条件即可确定唯一三角形）。解题时先结合等腰三角形两腰相等、两底角相等的性质，逐一分析每个选项的条件是否能同时确定三角形的形状和大小，即可得出结论。
【解析】
我们可以结合三角形全等判定定理和等腰三角形的性质逐一分析选项：
A. 已知顶角和底边：根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可计算出两个底角的度数，此时满足“两角及其夹边对应相等（ASA）”的全等判定条件，可作出唯一的等腰三角形；
B. 已知顶角和一腰：等腰三角形两腰长度相等，因此两腰长度和两腰的夹角（顶角）均已知，满足“两边及其夹角对应相等（SAS）”的全等判定条件，可作出唯一的等腰三角形；
C. 已知顶角和底角：结合三角形内角和可确定三角形三个内角的度数，但未给出任何一条边的长度，只能确定三角形的形状，无法确定三角形的大小，可以画出无数个形状相同、大小不同的等腰三角形，不能作出唯一确定的等腰三角形；
D. 已知底边和一腰：等腰三角形两腰长度相等，因此三角形的三边长均已知，满足“三边对应相等（SSS）”的全等判定条件，可作出唯一的等腰三角形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的确定性
【点评】
这道题核心是考查三角形唯一确定的条件，解题关键是将“能否作出唯一三角形”的问题转化为“是否满足全等判定条件”的问题，易错点是容易忽略仅知道角度、不知道边长时，只能确定三角形形状，无法确定大小，不能得到唯一三角形。
【难度系数】
0.8
6.在$△ ABC$中,若$∠ A=80°,∠ B=50°,AB=60\ \mathrm{cm}$,则$AC=$
60 cm
.答案
6.60 cm
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，再观察角的相等关系，结合等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得到AC与AB的等量关系，代入AB的长度就能求出AC的长。
【解析】
已知三角形内角和为180°，在△ABC中：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-80°-50°=50°$
可得$∠ B=∠ C=50°$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得$AC=AB$。
已知$AB=60\ \mathrm{cm}$，因此$AC=60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
60 cm
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合三角形内角和定理推导等角关系，再利用等腰三角形的判定得到对应边相等，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
解题时首先利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，再观察角的相等关系，结合等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得到AC与AB的等量关系，代入AB的长度就能求出AC的长。
【解析】
已知三角形内角和为180°，在△ABC中：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-80°-50°=50°$
可得$∠ B=∠ C=50°$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得$AC=AB$。
已知$AB=60\ \mathrm{cm}$，因此$AC=60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
60 cm
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合三角形内角和定理推导等角关系，再利用等腰三角形的判定得到对应边相等，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
7.(2023,长沙,13)如图,已知∠ABC=50°,点D在射线BA上,以点B为圆心,BD长为半径作弧,交射线BC于点E,连接DE,则∠BDE的度数是
65°
。答案
7.65°
解析
【分析】
拿到本题首先结合作图条件分析边的关系：以点B为圆心，BD长为半径作弧得到点E，可知BD、BE都是该圆的半径，因此BD=BE，即可判断△BDE是等腰三角形，其中顶角∠B=∠ABC=50°。接下来结合等腰三角形两底角相等的性质，以及三角形内角和为180°，即可计算底角∠BDE的度数。
【解析】
解：由尺规作图的特征可知，BD=BE，
∴△BDE为等腰三角形，
∴∠BDE=∠BED。
根据三角形内角和定理，△BDE中：
∠ABC + ∠BDE + ∠BED = 180°，
已知∠ABC=50°，代入得：
50° + 2∠BDE = 180°，
解得∠BDE=(180°-50°)÷2=65°。
【答案】
65°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题为基础题，核心考察对尺规作图特征的识别、等腰三角形性质和三角形内角和定理的应用，解题关键是从作图条件中得到BD=BE的边相等关系，进而结合角度计算公式求解。
【难度系数】
0.85
拿到本题首先结合作图条件分析边的关系：以点B为圆心，BD长为半径作弧得到点E，可知BD、BE都是该圆的半径，因此BD=BE，即可判断△BDE是等腰三角形，其中顶角∠B=∠ABC=50°。接下来结合等腰三角形两底角相等的性质，以及三角形内角和为180°，即可计算底角∠BDE的度数。
【解析】
解：由尺规作图的特征可知，BD=BE，
∴△BDE为等腰三角形，
∴∠BDE=∠BED。
根据三角形内角和定理，△BDE中：
∠ABC + ∠BDE + ∠BED = 180°，
已知∠ABC=50°，代入得：
50° + 2∠BDE = 180°，
解得∠BDE=(180°-50°)÷2=65°。
【答案】
65°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题为基础题，核心考察对尺规作图特征的识别、等腰三角形性质和三角形内角和定理的应用，解题关键是从作图条件中得到BD=BE的边相等关系，进而结合角度计算公式求解。
【难度系数】
0.85
