登录
8.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分,则这个三角形的腰长及底边长分别为
10,1
。答案
8.10,1
解析
【分析】
首先，BD是等腰三角形腰AC上的中线，因此AD=DC。我们可以设腰长为2x，将AD、DC用x表示，周长被分成的15和6两部分分别对应“AB+AD”和“BC+CD”两种组合，需要分情况讨论计算，最后一定要用三角形三边关系验证结果是否合理，排除不能构成三角形的情况。
【解析】
设等腰三角形ABC的腰长AB=AC=2x，底边长为BC=y。
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=DC=x。
中线BD将三角形周长分为15和6两部分，分两种情况讨论：
情况1：$\begin{cases}AB+AD=15 \\ BC+CD=6\end{cases}$
代入得$\begin{cases}2x + x =15 \\ y + x =6\end{cases}$
解第一个方程：3x=15，得x=5。
代入第二个方程：y=6-5=1。
此时三角形三边长为AB=AC=10，BC=1，验证三边关系：10+1＞10，10+10＞1，满足三角形构成条件。
情况2：$\begin{cases}AB+AD=6 \\ BC+CD=15\end{cases}$
代入得$\begin{cases}2x + x =6 \\ y + x =15\end{cases}$
解第一个方程：3x=6，得x=2。
代入第二个方程：y=15-2=13。
此时三角形三边长为AB=AC=4，BC=13，验证三边关系：4+4=8＜13，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
综上，三角形的腰长为10，底边长为1。
【答案】
10，1
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，中线定义
【点评】
本题解题的关键是明确中线分周长的两部分对应两种情况，需要分类讨论，最后必须结合三角形三边关系验证结果，排除不符合要求的解，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.6
首先，BD是等腰三角形腰AC上的中线，因此AD=DC。我们可以设腰长为2x，将AD、DC用x表示，周长被分成的15和6两部分分别对应“AB+AD”和“BC+CD”两种组合，需要分情况讨论计算，最后一定要用三角形三边关系验证结果是否合理，排除不能构成三角形的情况。
【解析】
设等腰三角形ABC的腰长AB=AC=2x，底边长为BC=y。
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=DC=x。
中线BD将三角形周长分为15和6两部分，分两种情况讨论：
情况1：$\begin{cases}AB+AD=15 \\ BC+CD=6\end{cases}$
代入得$\begin{cases}2x + x =15 \\ y + x =6\end{cases}$
解第一个方程：3x=15，得x=5。
代入第二个方程：y=6-5=1。
此时三角形三边长为AB=AC=10，BC=1，验证三边关系：10+1＞10，10+10＞1，满足三角形构成条件。
情况2：$\begin{cases}AB+AD=6 \\ BC+CD=15\end{cases}$
代入得$\begin{cases}2x + x =6 \\ y + x =15\end{cases}$
解第一个方程：3x=6，得x=2。
代入第二个方程：y=15-2=13。
此时三角形三边长为AB=AC=4，BC=13，验证三边关系：4+4=8＜13，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
综上，三角形的腰长为10，底边长为1。
【答案】
10，1
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，中线定义
【点评】
本题解题的关键是明确中线分周长的两部分对应两种情况，需要分类讨论，最后必须结合三角形三边关系验证结果，排除不符合要求的解，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.6
9.如图，已知BD为$△ ABC$中$∠ ABC$的平分线，$ED// BC$交AB于点E，$DE=7$，则$BE=$
7
。答案
9.7
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先根据角平分线的定义得到∠EBD=∠DBC；再结合ED平行BC的条件，利用平行线的性质得到内错角∠EDB=∠DBC；通过等量代换可得△EBD中∠EBD=∠EDB，即可判定△EBD为等腰三角形；最后根据等腰三角形“等角对等边”的性质，结合已知DE的长度就能求出BE的长度。
【解析】
解：
∵ BD为△ABC中∠ABC的平分线，
∴ ∠EBD = ∠DBC，
∵ ED//BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EBD = ∠EDB，
∴ △EBD为等腰三角形，
∴ BE = DE，
又
∵ DE = 7，
∴ BE = 7。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，综合考查了角平分线、平行线、等腰三角形的相关知识点，解题核心是通过角的等量转换得到等角，进而推出等边，是等腰三角形相关的常见基础考题。
【难度系数】
0.8
解题时从已知条件逐步推导：首先根据角平分线的定义得到∠EBD=∠DBC；再结合ED平行BC的条件，利用平行线的性质得到内错角∠EDB=∠DBC；通过等量代换可得△EBD中∠EBD=∠EDB，即可判定△EBD为等腰三角形；最后根据等腰三角形“等角对等边”的性质，结合已知DE的长度就能求出BE的长度。
【解析】
解：
∵ BD为△ABC中∠ABC的平分线，
∴ ∠EBD = ∠DBC，
∵ ED//BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EBD = ∠EDB，
∴ △EBD为等腰三角形，
∴ BE = DE，
又
∵ DE = 7，
∴ BE = 7。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，综合考查了角平分线、平行线、等腰三角形的相关知识点，解题核心是通过角的等量转换得到等角，进而推出等边，是等腰三角形相关的常见基础考题。
【难度系数】
0.8
10.(2023,西宁,16)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=100°$，点$D$在$BC$边上，连接$AD$，若$△ ABD$为直角三角形，则$∠ ADB$的度数是
50°或90°
。答案
10.50°或90°
解析
【分析】
首先根据等腰三角形AB=AC、顶角∠BAC=100°，先计算出底角∠B的度数；由于△ABD为直角三角形但未明确直角顶点，需分类讨论：排除∠B为直角的可能（∠B为40°，不可能是直角），仅需讨论∠ADB为直角、∠BAD为直角两种情况，分别计算∠ADB的度数即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴△ABC是等腰三角形，底角∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°。
已知△ABD为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 若∠ADB为直角，即∠ADB=90°，符合题意；
2. 若∠BAD为直角，即∠BAD=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-90°=50°。
∠B=40°，不可能为直角，无需讨论该情况。
综上，∠ADB的度数为50°或90°。
【答案】
50°或90°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质和三角形内角和的综合应用，解题的核心是明确直角三角形未指定直角顶点时，需结合已知角的范围分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰三角形AB=AC、顶角∠BAC=100°，先计算出底角∠B的度数；由于△ABD为直角三角形但未明确直角顶点，需分类讨论：排除∠B为直角的可能（∠B为40°，不可能是直角），仅需讨论∠ADB为直角、∠BAD为直角两种情况，分别计算∠ADB的度数即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴△ABC是等腰三角形，底角∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°。
已知△ABD为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 若∠ADB为直角，即∠ADB=90°，符合题意；
2. 若∠BAD为直角，即∠BAD=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-90°=50°。
∠B=40°，不可能为直角，无需讨论该情况。
综上，∠ADB的度数为50°或90°。
【答案】
50°或90°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质和三角形内角和的综合应用，解题的核心是明确直角三角形未指定直角顶点时，需结合已知角的范围分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11.如图，OB=OC，∠B=∠C.求证AB=AC. 
（第11题）
（第11题）答案
11.证明:如图,连接BC.
∵OB=OC,
∴∠1=∠2.
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠1+∠ABD=∠2+∠ACE,
即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
解析
【分析】
要证明AB=AC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠ABC=∠ACB即可。已知OB=OC，我们可以通过连接BC构造等腰△OBC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠1=∠2，再结合题目给出的∠B=∠C，通过等量相加就能得到∠ABC=∠ACB，进而推出AB=AC。
【解析】
证明：如图，连接BC。
∵OB=OC，
∴∠1=∠2（等边对等角）。
∵∠ABD=∠ACE（已知），
∴∠1+∠ABD=∠2+∠ACE（等式的性质），
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC（等角对等边）。
【答案】
证明:如图,连接BC.
∵OB=OC,
∴∠1=∠2.
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠1+∠ABD=∠2+∠ACE,
即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，等式的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质与判定的综合应用，解题的关键是合理添加辅助线构造等腰三角形，将已知条件转化为待证的角相等，属于基础的几何证明题型，能够帮助学生巩固等腰三角形的相关核心定理。
【难度系数】
0.8
要证明AB=AC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠ABC=∠ACB即可。已知OB=OC，我们可以通过连接BC构造等腰△OBC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠1=∠2，再结合题目给出的∠B=∠C，通过等量相加就能得到∠ABC=∠ACB，进而推出AB=AC。
【解析】
证明：如图，连接BC。
∵OB=OC，
∴∠1=∠2（等边对等角）。
∵∠ABD=∠ACE（已知），
∴∠1+∠ABD=∠2+∠ACE（等式的性质），
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC（等角对等边）。
【答案】
证明:如图,连接BC.
∵OB=OC,
∴∠1=∠2.
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠1+∠ABD=∠2+∠ACE,
即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，等式的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质与判定的综合应用，解题的关键是合理添加辅助线构造等腰三角形，将已知条件转化为待证的角相等，属于基础的几何证明题型，能够帮助学生巩固等腰三角形的相关核心定理。
【难度系数】
0.8
12.如图，$AB=DC$，$∠ A=∠ D$，$AC$与$DB$相交于点$O$.求证$OB=OC$.
答案
12.证明:在△ABO和△DCO中，
$\begin{cases} ∠A=∠D,\\ ∠AOB=∠DOC,\\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS).
∴OB=OC.
$\begin{cases} ∠A=∠D,\\ ∠AOB=∠DOC,\\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS).
∴OB=OC.
解析
【分析】
要证明OB=OC，可先证明两条线段所在的△ABO和△DCO全等。首先梳理已知条件：题目直接给出∠A=∠D、AB=DC，再结合AC与BD相交于点O的隐含条件，可得对顶角∠AOB=∠DOC，三个条件刚好符合AAS的全等判定规则，证明两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到OB=OC。
【解析】
证明:在△ABO和△DCO中，
$\begin{cases} ∠A=∠D,\\ ∠AOB=∠DOC,\\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS).
∴OB=OC.
【答案】
证明:在△ABO和△DCO中，
$\begin{cases} ∠A=∠D,\\ ∠AOB=∠DOC,\\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS).
∴OB=OC.
【知识点】
对顶角的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，解题关键是找准待证边所属的三角形，挖掘隐含的对顶角相等的条件，结合已知证明三角形全等，进而得到对应边相等，是全等证明的常规题型，要求学生熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要证明OB=OC，可先证明两条线段所在的△ABO和△DCO全等。首先梳理已知条件：题目直接给出∠A=∠D、AB=DC，再结合AC与BD相交于点O的隐含条件，可得对顶角∠AOB=∠DOC，三个条件刚好符合AAS的全等判定规则，证明两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到OB=OC。
【解析】
证明:在△ABO和△DCO中，
$\begin{cases} ∠A=∠D,\\ ∠AOB=∠DOC,\\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS).
∴OB=OC.
【答案】
证明:在△ABO和△DCO中，
$\begin{cases} ∠A=∠D,\\ ∠AOB=∠DOC,\\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS).
∴OB=OC.
【知识点】
对顶角的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，解题关键是找准待证边所属的三角形，挖掘隐含的对顶角相等的条件，结合已知证明三角形全等，进而得到对应边相等，是全等证明的常规题型，要求学生熟练掌握。
【难度系数】
0.8
