登录
12.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点F.试写出图中所有全等的三角形,并选其中一对加以证明.
答案
12.解:$△ ABE≌△ ACD$,$△ BCD≌△ CBE$ 和 $△ BFD≌△ CFE$. 以$△ ABE≌△ ACD$为例.
证明:$\because CD⊥ AB$,$BE⊥ AC$,
$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°$.
在$△ ABE$和$△ ACD$中,
$\begin{cases}∠ A=∠ A,\\∠ AEB=∠ ADC,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{AAS})$.
证明:$\because CD⊥ AB$,$BE⊥ AC$,
$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°$.
在$△ ABE$和$△ ACD$中,
$\begin{cases}∠ A=∠ A,\\∠ AEB=∠ ADC,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{AAS})$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①△ABC是等腰三角形，AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，且有公共角∠A；②CD⊥AB、BE⊥AC，可得多组直角相等。接下来按“从大到小”的顺序找全等三角形：首先看含公共角∠A的两个直角三角形，满足两角及一组对边相等，可判定全等；再利用第一组全等的结论得到BD=CE，结合公共边BC或底角相等可判定底边处的两个三角形全等；最后利用前序全等的结论结合对顶角相等，可判定交点处的两个小三角形全等。证明时任选一组，将条件对应全等判定定理书写即可。
【解析】
图中全等的三角形为$△ ABE≌△ ACD$，$△ BCD≌△ CBE$，$△ BFD≌△ CFE$。
选择$△ ABE≌△ ACD$证明如下：
$\because CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ A,\\∠ AEB=∠ ADC,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{AAS})$。
（选择其余两组三角形证明也可，过程合理即可）
【答案】
全等三角形为$△ ABE≌△ ACD$，$△ BCD≌△ CBE$，$△ BFD≌△ CFE$。以$△ ABE≌△ ACD$为例，证明：$\because CD⊥AB$，$BE⊥AC$，$\therefore ∠ADC=∠AEB=90°$。在$△ ABE$和$△ ACD$中，$\begin{cases}∠ A=∠ A,\\∠ AEB=∠ ADC,\\AB=AC,\end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{AAS})$。
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定，垂直的定义
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题关键是结合等腰三角形的性质和垂直的性质，找到全等三角形对应的边、角相等关系，注意找全等三角形时要按顺序排查，避免遗漏。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：①△ABC是等腰三角形，AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，且有公共角∠A；②CD⊥AB、BE⊥AC，可得多组直角相等。接下来按“从大到小”的顺序找全等三角形：首先看含公共角∠A的两个直角三角形，满足两角及一组对边相等，可判定全等；再利用第一组全等的结论得到BD=CE，结合公共边BC或底角相等可判定底边处的两个三角形全等；最后利用前序全等的结论结合对顶角相等，可判定交点处的两个小三角形全等。证明时任选一组，将条件对应全等判定定理书写即可。
【解析】
图中全等的三角形为$△ ABE≌△ ACD$，$△ BCD≌△ CBE$，$△ BFD≌△ CFE$。
选择$△ ABE≌△ ACD$证明如下：
$\because CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ A,\\∠ AEB=∠ ADC,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{AAS})$。
（选择其余两组三角形证明也可，过程合理即可）
【答案】
全等三角形为$△ ABE≌△ ACD$，$△ BCD≌△ CBE$，$△ BFD≌△ CFE$。以$△ ABE≌△ ACD$为例，证明：$\because CD⊥AB$，$BE⊥AC$，$\therefore ∠ADC=∠AEB=90°$。在$△ ABE$和$△ ACD$中，$\begin{cases}∠ A=∠ A,\\∠ AEB=∠ ADC,\\AB=AC,\end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{AAS})$。
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定，垂直的定义
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题关键是结合等腰三角形的性质和垂直的性质，找到全等三角形对应的边、角相等关系，注意找全等三角形时要按顺序排查，避免遗漏。
【难度系数】
0.8
1.(2024,广州,7)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=AC=6$,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,$AE=CF$,则四边形AEDF的面积为(
A.18
B.$9\sqrt{2}$
C.9
D.$6\sqrt{2}$
C
).A.18
B.$9\sqrt{2}$
C.9
D.$6\sqrt{2}$
答案
1.C
解析
【分析】
要计算四边形AEDF的面积，首先观察图形特征：△ABC是等腰直角三角形，D是BC中点，可先连接AD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到AD=CD、∠EAD=∠C=45°，结合已知AE=CF证明△AED和△CFD全等，将△AED的面积转化为△CFD的面积，进而把四边形AEDF的面积转化为△ACD的面积，再计算大三角形面积取一半即可得到结果。
【解析】
解：连接AD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠C=45°，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18$，
∵D是BC的中点，
∴AD=CD，AD平分∠BAC，即∠EAD=45°，
∴∠EAD=∠C，
在△AED和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}AE=CF \\∠EAD=∠C \\AD=CD\end{array} $
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴$S_{△ AED}=S_{△ CFD}$，
∴$S_{四边形AEDF}=S_{△ AED}+S_{△ ADF}=S_{△ CFD}+S_{△ ADF}=S_{△ ACD}$，
又
∵D为BC中点，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 18 = 9$，
即四边形AEDF的面积为9。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题通过构造辅助线结合全等三角形的性质，将不规则四边形的面积转化为规则的三角形面积求解，灵活运用转化思想是解题的关键，同时需要熟练掌握等腰直角三角形斜边中线的相关性质。
【难度系数】
0.7
要计算四边形AEDF的面积，首先观察图形特征：△ABC是等腰直角三角形，D是BC中点，可先连接AD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到AD=CD、∠EAD=∠C=45°，结合已知AE=CF证明△AED和△CFD全等，将△AED的面积转化为△CFD的面积，进而把四边形AEDF的面积转化为△ACD的面积，再计算大三角形面积取一半即可得到结果。
【解析】
解：连接AD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠C=45°，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18$，
∵D是BC的中点，
∴AD=CD，AD平分∠BAC，即∠EAD=45°，
∴∠EAD=∠C，
在△AED和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}AE=CF \\∠EAD=∠C \\AD=CD\end{array} $
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴$S_{△ AED}=S_{△ CFD}$，
∴$S_{四边形AEDF}=S_{△ AED}+S_{△ ADF}=S_{△ CFD}+S_{△ ADF}=S_{△ ACD}$，
又
∵D为BC中点，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 18 = 9$，
即四边形AEDF的面积为9。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题通过构造辅助线结合全等三角形的性质，将不规则四边形的面积转化为规则的三角形面积求解，灵活运用转化思想是解题的关键，同时需要熟练掌握等腰直角三角形斜边中线的相关性质。
【难度系数】
0.7
2.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于(
A.顶角
B.顶角的一半
C.顶角的2倍
D.底角的一半
B
).A.顶角
B.顶角的一半
C.顶角的2倍
D.底角的一半
答案
2.B
解析
【分析】
拿到这道题我们可以先通过作图明确所求角的位置，再结合已学的三角形相关性质推导角的数量关系：第一步先设等腰三角形的顶角度数，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°表示出底角的度数；第二步根据腰上的高与底边构成直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去底角就能得到所求夹角的度数，最后对比该夹角和顶角的关系即可得出结论。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，顶角为$∠ A$，过点$B$作$BD⊥ AC$，垂足为$D$，则$BD$是腰$AC$上的高，所求夹角为$∠ DBC$。
1. 根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为$180°$，可得底角：
$∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=90°-\frac{1}{2}∠ A$
2. 因为$BD⊥ AC$，所以$△ BDC$是直角三角形，$∠ BDC=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ DBC+∠ C=90°$
3. 代入$∠ C$的表达式计算$∠ DBC$：
$∠ DBC=90°-∠ C=90°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)=\frac{1}{2}∠ A$
因此一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题，解题时结合作图能更直观地梳理角之间的关系，通过设未知角推导数量关系的方法也适用于多数三角形角度计算类问题。
【难度系数】
0.8
拿到这道题我们可以先通过作图明确所求角的位置，再结合已学的三角形相关性质推导角的数量关系：第一步先设等腰三角形的顶角度数，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°表示出底角的度数；第二步根据腰上的高与底边构成直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去底角就能得到所求夹角的度数，最后对比该夹角和顶角的关系即可得出结论。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，顶角为$∠ A$，过点$B$作$BD⊥ AC$，垂足为$D$，则$BD$是腰$AC$上的高，所求夹角为$∠ DBC$。
1. 根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为$180°$，可得底角：
$∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=90°-\frac{1}{2}∠ A$
2. 因为$BD⊥ AC$，所以$△ BDC$是直角三角形，$∠ BDC=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ DBC+∠ C=90°$
3. 代入$∠ C$的表达式计算$∠ DBC$：
$∠ DBC=90°-∠ C=90°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)=\frac{1}{2}∠ A$
因此一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题，解题时结合作图能更直观地梳理角之间的关系，通过设未知角推导数量关系的方法也适用于多数三角形角度计算类问题。
【难度系数】
0.8
3.(2022,苏州,12)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为
6
.答案
3.6
解析
【分析】
本题需要结合“倍长三角形”的新定义和等腰三角形的性质求解，解题思路如下：首先明确等腰三角形两腰长度相等，结合“倍长三角形”一边长是另一边长2倍的定义，分两种情况讨论：①腰长是底边长的2倍；②底边长是腰长的2倍。再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，排除不符合要求的情况，即可得到腰长的正确值。
【解析】
已知等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC=3，分两种情况讨论：
1. 若腰长是底边长的2倍，即AB=2BC
代入BC=3，得AB=2×3=6
此时三角形三边长为6、6、3，验证三边关系：
3+6＞6，6+6＞3，满足三角形三边关系，可构成三角形；
2. 若底边长是腰长的2倍，即BC=2AB
代入BC=3，得AB=3÷2=1.5
此时三角形三边长为1.5、1.5、3，验证三边关系：
1.5+1.5=3，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故该情况舍去。
综上，腰AB的长为6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查几何基础知识点的应用，解题的关键是合理分类讨论，同时要注意三角形三边关系的验证，避免忽略构成三角形的前提条件导致错解。
【难度系数】
0.7
本题需要结合“倍长三角形”的新定义和等腰三角形的性质求解，解题思路如下：首先明确等腰三角形两腰长度相等，结合“倍长三角形”一边长是另一边长2倍的定义，分两种情况讨论：①腰长是底边长的2倍；②底边长是腰长的2倍。再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，排除不符合要求的情况，即可得到腰长的正确值。
【解析】
已知等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC=3，分两种情况讨论：
1. 若腰长是底边长的2倍，即AB=2BC
代入BC=3，得AB=2×3=6
此时三角形三边长为6、6、3，验证三边关系：
3+6＞6，6+6＞3，满足三角形三边关系，可构成三角形；
2. 若底边长是腰长的2倍，即BC=2AB
代入BC=3，得AB=3÷2=1.5
此时三角形三边长为1.5、1.5、3，验证三边关系：
1.5+1.5=3，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故该情况舍去。
综上，腰AB的长为6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查几何基础知识点的应用，解题的关键是合理分类讨论，同时要注意三角形三边关系的验证，避免忽略构成三角形的前提条件导致错解。
【难度系数】
0.7
4.如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$BC$上，$AB=AD=DC$，$∠ C=35°$，则$∠ BAD=$
$40°$
。答案
4.$40°$
解析
【分析】
解题时首先从已知的相等线段入手，先看AD=DC，可得△ADC是等腰三角形，利用等边对等角求出∠DAC的度数；再利用三角形外角的性质求出∠ADB的度数；接着由AB=AD可知△ABD是等腰三角形，得到∠B与∠ADB相等；最后在△ABD中利用三角形内角和定理即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C=35°（等腰三角形等边对等角），
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=35°+35°=70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
又
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=70°（等腰三角形等边对等角），
在△ABD中，根据三角形内角和为180°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-70°-70°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题关键是准确识别图中的等腰三角形，理清各角之间的数量关系，熟练运用相关性质和定理即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的相等线段入手，先看AD=DC，可得△ADC是等腰三角形，利用等边对等角求出∠DAC的度数；再利用三角形外角的性质求出∠ADB的度数；接着由AB=AD可知△ABD是等腰三角形，得到∠B与∠ADB相等；最后在△ABD中利用三角形内角和定理即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C=35°（等腰三角形等边对等角），
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=35°+35°=70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
又
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=70°（等腰三角形等边对等角），
在△ABD中，根据三角形内角和为180°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-70°-70°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题关键是准确识别图中的等腰三角形，理清各角之间的数量关系，熟练运用相关性质和定理即可求解。
【难度系数】
0.8
5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.若D为AB的中点,过点D作AB的垂线,与∠BAC的平分线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合,求∠CEF的度数.
答案
5.解:如图,连接$BO$,$CO$.
$\because AB=AC$,$AO$是$∠ BAC$的平分线,
$\therefore AO$是$BC$的垂直平分线.
$\therefore BO=CO$.
$\because AO$是$∠ BAC$的平分线,
且$∠ BAC=50°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OAC=25°$.
$\because$在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=50°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=65°$.
$\because D$为$AB$的中点,$OD⊥ AB$,
$\therefore OA=OB$,
$\therefore ∠ OBA=∠ OAB=25°$.
$\therefore ∠ OBC=65°-25°=40°$.
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=40°$.
$\because$点$C$沿$EF$折叠后与点$O$重合,
$\therefore EO=EC$.
$\therefore ∠ EOC=∠ OCB=40°$.
$\therefore ∠ CEF=∠ OEF=(180°-2×40°)÷2=50°$.
解析
【分析】
解题时可按以下思路逐步推导：1. 先构造辅助线连接BO、CO，整合已知条件：已知等腰△ABC和角平分线AO，可结合等腰三角形三线合一的性质推导AO和BC的位置关系；已知OD垂直平分AB，可结合垂直平分线的性质得到线段相等关系。2. 先计算等腰△ABC的底角度数，再利用等边对等角逐步推导∠OCB的度数。3. 最后利用折叠的轴对称性质，得到△EOC为等腰三角形，且EF平分∠OEC，结合三角形内角和即可求出∠CEF的度数。
【解析】
如图，连接$BO$,$CO$.
$\because AB=AC$,$AO$是$∠ BAC$的平分线,
$\therefore AO$是$BC$的垂直平分线，
$\therefore BO=CO$.
$\because AO$是$∠ BAC$的平分线，且$∠ BAC=50°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OAC=25°$.
$\because$在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=50°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=(180°-50°)÷2=65°$.
$\because D$为$AB$的中点,$OD⊥ AB$,
$\therefore OD$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore OA=OB$,
$\therefore ∠ OBA=∠ OAB=25°$,
$\therefore ∠ OBC=∠ABC - ∠OBA=65°-25°=40°$.
$\because BO=CO$,
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=40°$.
$\because$点$C$沿$EF$折叠后与点$O$重合,
$\therefore EO=EC$，且$EF$平分$∠OEC$,
$\therefore ∠ EOC=∠ OCB=40°$,
$\therefore ∠ CEF=(180°-∠EOC-∠OCE)÷2=(180°-2×40°)÷2=50°$.
【答案】
解:如图,连接$BO$,$CO$.
$\because AB=AC$,$AO$是$∠ BAC$的平分线,
$\therefore AO$是$BC$的垂直平分线.
$\therefore BO=CO$.
$\because AO$是$∠ BAC$的平分线,
且$∠ BAC=50°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OAC=25°$.
$\because$在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=50°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=65°$.
$\because D$为$AB$的中点,$OD⊥ AB$,
$\therefore OA=OB$,
$\therefore ∠ OBA=∠ OAB=25°$.
$\therefore ∠ OBC=65°-25°=40°$.
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=40°$.
$\because$点$C$沿$EF$折叠后与点$O$重合,
$\therefore EO=EC$.
$\therefore ∠ EOC=∠ OCB=40°$.
$\therefore ∠ CEF=∠ OEF=(180°-2×40°)÷2=50°$.
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，折叠的性质
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，需要学生熟练掌握等腰三角形、线段垂直平分线以及折叠的相关性质，能通过构造辅助线建立已知角和未知角的联系，较好地考查了几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路逐步推导：1. 先构造辅助线连接BO、CO，整合已知条件：已知等腰△ABC和角平分线AO，可结合等腰三角形三线合一的性质推导AO和BC的位置关系；已知OD垂直平分AB，可结合垂直平分线的性质得到线段相等关系。2. 先计算等腰△ABC的底角度数，再利用等边对等角逐步推导∠OCB的度数。3. 最后利用折叠的轴对称性质，得到△EOC为等腰三角形，且EF平分∠OEC，结合三角形内角和即可求出∠CEF的度数。
【解析】
如图，连接$BO$,$CO$.
$\because AB=AC$,$AO$是$∠ BAC$的平分线,
$\therefore AO$是$BC$的垂直平分线，
$\therefore BO=CO$.
$\because AO$是$∠ BAC$的平分线，且$∠ BAC=50°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OAC=25°$.
$\because$在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=50°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=(180°-50°)÷2=65°$.
$\because D$为$AB$的中点,$OD⊥ AB$,
$\therefore OD$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore OA=OB$,
$\therefore ∠ OBA=∠ OAB=25°$,
$\therefore ∠ OBC=∠ABC - ∠OBA=65°-25°=40°$.
$\because BO=CO$,
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=40°$.
$\because$点$C$沿$EF$折叠后与点$O$重合,
$\therefore EO=EC$，且$EF$平分$∠OEC$,
$\therefore ∠ EOC=∠ OCB=40°$,
$\therefore ∠ CEF=(180°-∠EOC-∠OCE)÷2=(180°-2×40°)÷2=50°$.
【答案】
解:如图,连接$BO$,$CO$.
$\because AB=AC$,$AO$是$∠ BAC$的平分线,
$\therefore AO$是$BC$的垂直平分线.
$\therefore BO=CO$.
$\because AO$是$∠ BAC$的平分线,
且$∠ BAC=50°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OAC=25°$.
$\because$在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=50°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=65°$.
$\because D$为$AB$的中点,$OD⊥ AB$,
$\therefore OA=OB$,
$\therefore ∠ OBA=∠ OAB=25°$.
$\therefore ∠ OBC=65°-25°=40°$.
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=40°$.
$\because$点$C$沿$EF$折叠后与点$O$重合,
$\therefore EO=EC$.
$\therefore ∠ EOC=∠ OCB=40°$.
$\therefore ∠ CEF=∠ OEF=(180°-2×40°)÷2=50°$.
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，折叠的性质
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，需要学生熟练掌握等腰三角形、线段垂直平分线以及折叠的相关性质，能通过构造辅助线建立已知角和未知角的联系，较好地考查了几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
