登录
4.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C的度数为(
A.65°
B.52°
C.56°
D.62°
B
).A.65°
B.52°
C.56°
D.62°
答案
4.B
解析
【分析】
拿到题目首先观察到图中有两个等腰三角形△ABC和△ABD，先回忆等腰三角形“等边对等角”的性质，可得到多组相等的角：AB=AC可得∠B=∠C，AD=BD可得∠B=∠BAD，因此∠C=∠B=∠BAD。再结合三角形内角和为180°，将△ABC的三个内角都用∠C表示，建立方程即可求解出∠C的度数。
【解析】
设∠C的度数为x，
∵ AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠B=∠C=x，
∵ AD=BD，同理得∠BAD=∠B=x，
∵ ∠BAC=∠BAD + ∠CAD，已知∠CAD=24°，
∴ ∠BAC = x + 24°，
根据三角形内角和定理，△ABC中∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，
代入得：x + x + (x + 24°) = 180°，
化简得3x=156°，解得x=52°，即∠C=52°。
【答案】
B
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，解题关键是利用等边对等角找到相等角的关系，结合内角和定理列方程求解，方程思想在几何角度计算中应用广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先观察到图中有两个等腰三角形△ABC和△ABD，先回忆等腰三角形“等边对等角”的性质，可得到多组相等的角：AB=AC可得∠B=∠C，AD=BD可得∠B=∠BAD，因此∠C=∠B=∠BAD。再结合三角形内角和为180°，将△ABC的三个内角都用∠C表示，建立方程即可求解出∠C的度数。
【解析】
设∠C的度数为x，
∵ AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠B=∠C=x，
∵ AD=BD，同理得∠BAD=∠B=x，
∵ ∠BAC=∠BAD + ∠CAD，已知∠CAD=24°，
∴ ∠BAC = x + 24°，
根据三角形内角和定理，△ABC中∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，
代入得：x + x + (x + 24°) = 180°，
化简得3x=156°，解得x=52°，即∠C=52°。
【答案】
B
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，解题关键是利用等边对等角找到相等角的关系，结合内角和定理列方程求解，方程思想在几何角度计算中应用广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
5.已知等腰三角形的两个内角的比为2:1，则这个等腰三角形的顶角为(
A.90°
B.36°
C.90°或36°
D.50°
C
).A.90°
B.36°
C.90°或36°
D.50°
答案
5.C
解析
【分析】
首先，等腰三角形的两个底角相等，题目仅给出两个内角的度数比为2:1，未明确这两个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①顶角与底角的比为2:1；②底角与顶角的比为2:1。再结合三角形内角和为180°分别计算顶角的度数，最后验证两种情况均符合三角形内角要求即可。
【解析】
设较小的内角度数为x，分两种情况讨论：
情况1：若顶角:底角=2:1，则顶角度数为2x，底角度数为x。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$2x + x + x = 180°$
解得$x=45°$，此时顶角度数为$2x=90°$。
情况2：若底角:顶角=2:1，则底角度数为2x，顶角度数为x。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$2x + 2x + x = 180°$
解得$x=36°$，此时顶角度数为$36°$。
两种情况均符合三角形内角的取值要求，因此这个等腰三角形的顶角为90°或36°。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.三角形内角和定理
3.分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形“等边对等角”的性质，易错点是忽略未明确角的类型时需要分类讨论，避免漏算其中一种情况，计算后可结合三角形内角和验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
首先，等腰三角形的两个底角相等，题目仅给出两个内角的度数比为2:1，未明确这两个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①顶角与底角的比为2:1；②底角与顶角的比为2:1。再结合三角形内角和为180°分别计算顶角的度数，最后验证两种情况均符合三角形内角要求即可。
【解析】
设较小的内角度数为x，分两种情况讨论：
情况1：若顶角:底角=2:1，则顶角度数为2x，底角度数为x。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$2x + x + x = 180°$
解得$x=45°$，此时顶角度数为$2x=90°$。
情况2：若底角:顶角=2:1，则底角度数为2x，顶角度数为x。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$2x + 2x + x = 180°$
解得$x=36°$，此时顶角度数为$36°$。
两种情况均符合三角形内角的取值要求，因此这个等腰三角形的顶角为90°或36°。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.三角形内角和定理
3.分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形“等边对等角”的性质，易错点是忽略未明确角的类型时需要分类讨论，避免漏算其中一种情况，计算后可结合三角形内角和验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
6.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD,这个条件可以是
∠BAD=∠CAD(或BD=CD)
.(写出一个即可)答案
6.$∠BAD=∠CAD$(或$BD=CD$)
解析
【分析】
首先梳理已知条件：△ABC中AB=AC，△ABD和△ACD有公共边AD，因此两个三角形已经有两组边对应相等：AB=AC，AD=AD。结合全等三角形的判定定理，若用“SAS”判定全等，需要添加两组相等边的夹角相等；若用“SSS”判定全等，需要添加第三组对应边相等，任选其一即可满足要求。
【解析】
已知在△ABC中AB=AC，△ABD和△ACD中：
1. 已有相等条件：$AB=AC$（已知），$AD=AD$（公共边）。
2. 若添加$∠ BAD=∠ CAD$，可根据SAS判定定理得到$△ ABD≌△ ACD$。
3. 若添加$BD=CD$，可根据SSS判定定理得到$△ ABD≌△ ACD$。
两个条件任选其一即可。
【答案】
$∠ BAD=∠ CAD$（或$BD=CD$，答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，解题核心是先明确两个三角形已有的对应相等的边，再结合全等判定定理补充缺失的条件，答案不唯一，符合判定规则即可。
【难度系数】
0.9
首先梳理已知条件：△ABC中AB=AC，△ABD和△ACD有公共边AD，因此两个三角形已经有两组边对应相等：AB=AC，AD=AD。结合全等三角形的判定定理，若用“SAS”判定全等，需要添加两组相等边的夹角相等；若用“SSS”判定全等，需要添加第三组对应边相等，任选其一即可满足要求。
【解析】
已知在△ABC中AB=AC，△ABD和△ACD中：
1. 已有相等条件：$AB=AC$（已知），$AD=AD$（公共边）。
2. 若添加$∠ BAD=∠ CAD$，可根据SAS判定定理得到$△ ABD≌△ ACD$。
3. 若添加$BD=CD$，可根据SSS判定定理得到$△ ABD≌△ ACD$。
两个条件任选其一即可。
【答案】
$∠ BAD=∠ CAD$（或$BD=CD$，答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，解题核心是先明确两个三角形已有的对应相等的边，再结合全等判定定理补充缺失的条件，答案不唯一，符合判定规则即可。
【难度系数】
0.9
7.(2022,滨州,14)如图,屋顶钢架外框是等腰三角形,其中$AB=AC$,立柱$AD⊥BC$,且顶角$∠BAC=120°$,则$∠C$的大小为
$30°$
.答案
7.$30°$
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件AB=AC，判断出△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得两个底角∠B=∠C；再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠BAC=120°，代入计算即可求出∠C的大小，题中给出的AD⊥BC为多余条件，本题求解无需使用。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，
∵三角形内角和为180°，∠BAC=120°，
∴∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
【答案】
30°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题，重点考查等腰三角形等边对等角的性质，解题时注意结合三角形内角和定理进行计算，不要被题干中无关条件干扰。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据已知条件AB=AC，判断出△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得两个底角∠B=∠C；再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠BAC=120°，代入计算即可求出∠C的大小，题中给出的AD⊥BC为多余条件，本题求解无需使用。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，
∵三角形内角和为180°，∠BAC=120°，
∴∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
【答案】
30°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题，重点考查等腰三角形等边对等角的性质，解题时注意结合三角形内角和定理进行计算，不要被题干中无关条件干扰。
【难度系数】
0.9
8.等腰直角三角形的一个底角的度数为
$45°$
.答案
8.$45°$
解析
【分析】
解题时首先明确等腰直角三角形的基本特征：它是特殊的等腰三角形，同时有一个内角为直角（90°），且直角为顶角；再结合等腰三角形“两个底角相等”的性质，以及三角形内角和为180°的定理，即可计算出底角的度数。
【解析】
解：
∵ 等腰直角三角形的顶角为90°，且等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为180°
∴ 一个底角的度数 = (180° - 90°) ÷ 2 = 45°
【答案】
45°
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查等腰三角形与直角三角形相关性质的结合运用，熟记基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确等腰直角三角形的基本特征：它是特殊的等腰三角形，同时有一个内角为直角（90°），且直角为顶角；再结合等腰三角形“两个底角相等”的性质，以及三角形内角和为180°的定理，即可计算出底角的度数。
【解析】
解：
∵ 等腰直角三角形的顶角为90°，且等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为180°
∴ 一个底角的度数 = (180° - 90°) ÷ 2 = 45°
【答案】
45°
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查等腰三角形与直角三角形相关性质的结合运用，熟记基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
9.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=72°,则∠ABD的度数为
$54°$
。答案
9.$54°$
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路推导：首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知底角∠ABC的度数，先求出另一个底角∠C的度数，再根据三角形内角和为180°计算出顶角∠A的度数；之后由BD⊥AC可知△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠A的度数即可得到∠ABD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠ABC=72°
∴∠C=∠ABC=72°（等腰三角形等边对等角）
根据三角形内角和定理可得：
∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-72°-72°=36°
∵BD⊥AC
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，直角三角形两锐角互余，因此：
∠ABD=90°-∠A=90°-36°=54°
【答案】
54°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考察等腰三角形和直角三角形相关性质的综合应用，解题关键是先求出顶角∠A的度数，再结合直角三角形的性质推导待求角，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决本题，可按以下思路推导：首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知底角∠ABC的度数，先求出另一个底角∠C的度数，再根据三角形内角和为180°计算出顶角∠A的度数；之后由BD⊥AC可知△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠A的度数即可得到∠ABD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠ABC=72°
∴∠C=∠ABC=72°（等腰三角形等边对等角）
根据三角形内角和定理可得：
∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-72°-72°=36°
∵BD⊥AC
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，直角三角形两锐角互余，因此：
∠ABD=90°-∠A=90°-36°=54°
【答案】
54°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考察等腰三角形和直角三角形相关性质的综合应用，解题关键是先求出顶角∠A的度数，再结合直角三角形的性质推导待求角，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为
$36°$
.答案
10.$36°$
解析
【分析】
首先题目给出多组相等的边，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到多组相等的角，我们可以设∠A的度数为未知数，结合三角形外角的性质表示出其余相关角的度数，最后利用△ABC的内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
解：设∠A = x°，
∵ AD = BD，
∴ ∠ABD = ∠A = x°，
∵ ∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = x° + x° = 2x°，
∵ BD = BC，
∴ ∠C = ∠BDC = 2x°，
又
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 2x°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理有∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
代入角度表达式得：x + 2x + 2x = 180，
解得x = 36，即∠A = 36°。
【答案】
36°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形边角关系计算的典型题型，解题核心是利用“等边对等角”实现边的条件到角的关系的转化，结合方程思想求解角度，熟练掌握几何中等量关系的转化是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
首先题目给出多组相等的边，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到多组相等的角，我们可以设∠A的度数为未知数，结合三角形外角的性质表示出其余相关角的度数，最后利用△ABC的内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
解：设∠A = x°，
∵ AD = BD，
∴ ∠ABD = ∠A = x°，
∵ ∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = x° + x° = 2x°，
∵ BD = BC，
∴ ∠C = ∠BDC = 2x°，
又
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 2x°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理有∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
代入角度表达式得：x + 2x + 2x = 180，
解得x = 36，即∠A = 36°。
【答案】
36°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形边角关系计算的典型题型，解题核心是利用“等边对等角”实现边的条件到角的关系的转化，结合方程思想求解角度，熟练掌握几何中等量关系的转化是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
11.用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗?为什么?
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗?为什么?
答案
11.解:(1)设底边长为$x$ cm,则腰长为$2x$ cm.
由题意得$x+2x+2x=18$,解得$x=3.6$.
故三边长分别为3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm.
(2)能.理由如下:
当4 cm长的边为底边时,设腰长为$y$ cm,
则$4+2y=18$,解得$y=7$.
当4 cm长的边为腰时,设底边长为$y$ cm,
则$4+4+y=18$,解得$y=10$.
$\because 4+4＜10$,不符合三角形两边的和大于第三边,
$\therefore$不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.
综上所述,可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
由题意得$x+2x+2x=18$,解得$x=3.6$.
故三边长分别为3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm.
(2)能.理由如下:
当4 cm长的边为底边时,设腰长为$y$ cm,
则$4+2y=18$,解得$y=7$.
当4 cm长的边为腰时,设底边长为$y$ cm,
则$4+4+y=18$,解得$y=10$.
$\because 4+4＜10$,不符合三角形两边的和大于第三边,
$\therefore$不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.
综上所述,可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
解析
【分析】
（1）本题可根据等腰三角形两腰相等的性质设未知数，结合周长为18cm的等量关系列方程求解。首先设底边长为x cm，由腰长是底边长的2倍可知腰长为2x cm，再根据三边之和等于周长列一元一次方程，解方程得到各边长度即可。
（2）题目中“一边长为4cm”未明确是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①4cm为底边长；②4cm为腰长。分别根据周长列方程求解其余边长，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证所得边长能否构成三角形，最终得出结论。
【解析】
(1) 设底边长为$x$ cm，则腰长为$2x$ cm。
根据三角形周长为18cm，可列方程：
$x+2x+2x=18$
解得$x=3.6$，则腰长为$2×3.6=7.2$ cm。
(2) 能围成符合要求的等腰三角形，理由如下：
① 当4 cm长的边为底边时，设腰长为$y$ cm，根据周长列方程得：$4+2y=18$，解得$y=7$，此时三边长为4cm、7cm、7cm，满足$4+7＞7$，符合三角形三边关系。
② 当4 cm长的边为腰时，设底边长为$y$ cm，根据周长列方程得：$4+4+y=18$，解得$y=10$，此时三边长为4cm、4cm、10cm，由于$4+4＜10$，不符合三角形两边之和大于第三边的要求，因此这种情况不成立。
【答案】
(1) 三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm；
(2) 能围成底边长是4 cm的等腰三角形，不能围成腰长为4 cm的等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；一元一次方程的应用
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础应用题型，解题的关键是掌握分类讨论思想，对未明确类型的边长分情况讨论，同时要注意三角形三边关系的验证，避免忽略隐含条件导致错误。
【难度系数】
0.7
（1）本题可根据等腰三角形两腰相等的性质设未知数，结合周长为18cm的等量关系列方程求解。首先设底边长为x cm，由腰长是底边长的2倍可知腰长为2x cm，再根据三边之和等于周长列一元一次方程，解方程得到各边长度即可。
（2）题目中“一边长为4cm”未明确是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①4cm为底边长；②4cm为腰长。分别根据周长列方程求解其余边长，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证所得边长能否构成三角形，最终得出结论。
【解析】
(1) 设底边长为$x$ cm，则腰长为$2x$ cm。
根据三角形周长为18cm，可列方程：
$x+2x+2x=18$
解得$x=3.6$，则腰长为$2×3.6=7.2$ cm。
(2) 能围成符合要求的等腰三角形，理由如下：
① 当4 cm长的边为底边时，设腰长为$y$ cm，根据周长列方程得：$4+2y=18$，解得$y=7$，此时三边长为4cm、7cm、7cm，满足$4+7＞7$，符合三角形三边关系。
② 当4 cm长的边为腰时，设底边长为$y$ cm，根据周长列方程得：$4+4+y=18$，解得$y=10$，此时三边长为4cm、4cm、10cm，由于$4+4＜10$，不符合三角形两边之和大于第三边的要求，因此这种情况不成立。
【答案】
(1) 三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm；
(2) 能围成底边长是4 cm的等腰三角形，不能围成腰长为4 cm的等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；一元一次方程的应用
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础应用题型，解题的关键是掌握分类讨论思想，对未明确类型的边长分情况讨论，同时要注意三角形三边关系的验证，避免忽略隐含条件导致错误。
【难度系数】
0.7
