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8. 某工厂计划利用车间夹角为$135°$的墙角搭建一个如图5-5-6所示的直角梯形货物存储区(DC侧的墙长9 m，AD侧的墙体足够长，两侧可分别作为直角梯形的两条邻边)，现准备用总长为30 m的金属围栏围出这个梯形存储区。
(1)货物存储区的面积$S$(单位:$\mathrm{m}^2$)是BC的长$x$(单位:m)的函数，求该函数的表达式，并写出自变量$x$的取值范围；
(2)判断存储区的面积能否达到$144\ \mathrm{m}^2$，并说明理由。
(1)货物存储区的面积$S$(单位:$\mathrm{m}^2$)是BC的长$x$(单位:m)的函数，求该函数的表达式，并写出自变量$x$的取值范围；
(2)判断存储区的面积能否达到$144\ \mathrm{m}^2$，并说明理由。
答案
8. 解:(1)由题意知,$BC$的长为$x\ \mathrm{m}$,则$AB$的长为$(30-x)\mathrm{m}$,
如答图5-5-1,过点$D$作$DE⊥ AB$交$AB$于点$E$,
$\therefore∠ AED=90°$。
$\because AB// CD,∠ ADC=135°$,
$\therefore∠ DAE=45°$,
$\therefore∠ ADE=90°-45°=45°$,
$\therefore AE=DE=BC=x\ \mathrm{m}$,
$\therefore BE=AB-AE=30-x-x=(30-2x)\mathrm{m}$,
$\therefore S=x(30-2x)+\frac{1}{2}x^2=-\frac{3}{2}x^2+30x$。
根据题意得$\begin{cases}30-2x＞0,\\30-2x≤9,\end{cases}$
解得$10.5≤ x＜15$。
(2)存储区的面积能达到$144\ \mathrm{m}^2$。理由如下：
由题意可知,$S=-\frac{3}{2}x^2+30x=144$,
解得$x_1=8,x_2=12$。
$\because10.5≤ x＜15$,
$\therefore x=12$。
$\therefore$当$BC$的长为12 m时,存储区的面积为$144\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
解题时我们分两小问逐步思考：
(1) 首先明确AD、DC利用原有墙体，仅需用围栏围AB和BC两段，已知BC长为x m、围栏总长30m，可得AB长为(30-x)m。观察到墙角∠ADC=135°，AB平行CD，可过D作DE⊥AB构造辅助线，此时会得到矩形DEBC和等腰直角三角形ADE：∠A=45°，因此AE=DE=BC=x m，进一步可推出BE=AB-AE=30-2x m，而BE就是DC的长度。结合DC墙长最多9m且长度为正，就能得到x的取值范围。最后存储区面积为矩形面积加等腰直角三角形面积，整理即可得到函数表达式。
(2) 要判断面积能否达到144m²，只需将S=144代入第一问得到的函数表达式，求解对应的一元二次方程，再检验解是否在自变量的取值范围内，若有符合要求的解则说明面积可以达到。
【解析】
(1) 由题意知，BC的长为$x\ \mathrm{m}$，则$AB$的长为$(30-x)\mathrm{m}$，
如答图5-5-1，过点$D$作$DE⊥ AB$交$AB$于点$E$，
$\therefore∠ AED=90°$。
$\because AB// CD,∠ ADC=135°$，
$\therefore∠ DAE=45°$，
$\therefore∠ ADE=90°-45°=45°$，
$\therefore AE=DE=BC=x\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=AB-AE=30-x-x=(30-2x)\mathrm{m}$，
$\therefore S=x(30-2x)+\frac{1}{2}x^2=-\frac{3}{2}x^2+30x$。
根据题意得$\begin{cases}30-2x＞0,\\30-2x≤9,\end{cases}$
解得$10.5≤ x＜15$。
(2) 存储区的面积能达到$144\ \mathrm{m}^2$。理由如下：
由题意可知,$S=-\frac{3}{2}x^2+30x=144$,
解得$x_1=8,x_2=12$。
$\because10.5≤ x＜15$,
$\therefore x=12$。
$\therefore$当$BC$的长为12 m时,存储区的面积为$144\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 函数表达式为$\boldsymbol{S=-\dfrac{3}{2}x^2+30x}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{10.5≤ x＜15}$；
(2) 能达到，当BC的长为12 m时，存储区面积为$144\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
直角梯形性质，二次函数应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际搭建场景，融合了几何性质与代数计算知识，解题核心是通过作辅助线构造特殊三角形和矩形，理清各边的数量关系，同时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，求解后需验证根是否符合实际要求。
【难度系数】
0.6
解题时我们分两小问逐步思考：
(1) 首先明确AD、DC利用原有墙体，仅需用围栏围AB和BC两段，已知BC长为x m、围栏总长30m，可得AB长为(30-x)m。观察到墙角∠ADC=135°，AB平行CD，可过D作DE⊥AB构造辅助线，此时会得到矩形DEBC和等腰直角三角形ADE：∠A=45°，因此AE=DE=BC=x m，进一步可推出BE=AB-AE=30-2x m，而BE就是DC的长度。结合DC墙长最多9m且长度为正，就能得到x的取值范围。最后存储区面积为矩形面积加等腰直角三角形面积，整理即可得到函数表达式。
(2) 要判断面积能否达到144m²，只需将S=144代入第一问得到的函数表达式，求解对应的一元二次方程，再检验解是否在自变量的取值范围内，若有符合要求的解则说明面积可以达到。
【解析】
(1) 由题意知，BC的长为$x\ \mathrm{m}$，则$AB$的长为$(30-x)\mathrm{m}$，
如答图5-5-1，过点$D$作$DE⊥ AB$交$AB$于点$E$，
$\therefore∠ AED=90°$。
$\because AB// CD,∠ ADC=135°$，
$\therefore∠ DAE=45°$，
$\therefore∠ ADE=90°-45°=45°$，
$\therefore AE=DE=BC=x\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=AB-AE=30-x-x=(30-2x)\mathrm{m}$，
$\therefore S=x(30-2x)+\frac{1}{2}x^2=-\frac{3}{2}x^2+30x$。
根据题意得$\begin{cases}30-2x＞0,\\30-2x≤9,\end{cases}$
解得$10.5≤ x＜15$。
(2) 存储区的面积能达到$144\ \mathrm{m}^2$。理由如下：
由题意可知,$S=-\frac{3}{2}x^2+30x=144$,
解得$x_1=8,x_2=12$。
$\because10.5≤ x＜15$,
$\therefore x=12$。
$\therefore$当$BC$的长为12 m时,存储区的面积为$144\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 函数表达式为$\boldsymbol{S=-\dfrac{3}{2}x^2+30x}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{10.5≤ x＜15}$；
(2) 能达到，当BC的长为12 m时，存储区面积为$144\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
直角梯形性质，二次函数应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际搭建场景，融合了几何性质与代数计算知识，解题核心是通过作辅助线构造特殊三角形和矩形，理清各边的数量关系，同时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，求解后需验证根是否符合实际要求。
【难度系数】
0.6
二、拓展性作业
9. 张伯伯想利用 60 m 长的篱笆和房屋的一面外墙(墙足够长)围一个鸭舍,为了让鸭舍面积尽可能大,他想出了围成正方形、矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形 4 种方案(如图5-5-7),最佳方案是方案
9. 张伯伯想利用 60 m 长的篱笆和房屋的一面外墙(墙足够长)围一个鸭舍,为了让鸭舍面积尽可能大,他想出了围成正方形、矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形 4 种方案(如图5-5-7),最佳方案是方案
四
。答案
9. 四
解析
【分析】
要选出最佳方案，只需分别计算4种方案下鸭舍的最大面积，再比较面积大小，面积最大的即为最优方案。计算时先明确60m篱笆对应每个图形的哪部分边长，再结合对应图形的面积公式、二次函数最值等知识分别求解即可。
【解析】
1. 计算方案一（正方形）的面积：
正方形有3条边由篱笆围成，边长为 $60÷3=20\ \mathrm{m}$，
面积 $S_1=20×20=400\ \mathrm{m}^2$。
2. 计算方案二（矩形）的最大面积：
设矩形垂直于墙面的边长为 $x\ \mathrm{m}$，则平行于墙面的边长为 $(60-2x)\ \mathrm{m}$，
矩形面积 $S_2=x(60-2x)=-2x^2+60x$，
这是开口向下的二次函数，当 $x=-\frac{b}{2a}=\frac{60}{4}=15\ \mathrm{m}$ 时，面积取最大值，
最大值为 $S_{2\mathrm{max}}=15×(60-2×15)=450\ \mathrm{m}^2$。
3. 计算方案三（等腰三角形）的最大面积：
等腰三角形底边靠墙，两条腰由篱笆围成，两腰长度之和为60m，即每条腰长30m。
当两条腰的夹角为直角时，三角形面积最大，最大面积为 $S_{3\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×30×30=450\ \mathrm{m}^2$。
4. 计算方案四（半圆形）的面积：
半圆形的直径靠墙，弧长为60m，设半径为 $r$，则 $π r=60$，得 $r=\frac{60}{π}$，
半圆面积 $S_4=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\frac{60}{π})^2=\frac{1800}{π}\approx573\ \mathrm{m}^2$。
比较四个面积：$573＞450＞400$，因此方案四面积最大。
【答案】
四
【知识点】
二次函数最值应用，图形面积计算，圆的相关计算
【点评】
本题结合实际生活场景，考查了不同图形面积的计算和最值求解，解题关键是明确篱笆长度对应图形的边长，再利用对应公式计算比较即可。
【难度系数】
0.65
要选出最佳方案，只需分别计算4种方案下鸭舍的最大面积，再比较面积大小，面积最大的即为最优方案。计算时先明确60m篱笆对应每个图形的哪部分边长，再结合对应图形的面积公式、二次函数最值等知识分别求解即可。
【解析】
1. 计算方案一（正方形）的面积：
正方形有3条边由篱笆围成，边长为 $60÷3=20\ \mathrm{m}$，
面积 $S_1=20×20=400\ \mathrm{m}^2$。
2. 计算方案二（矩形）的最大面积：
设矩形垂直于墙面的边长为 $x\ \mathrm{m}$，则平行于墙面的边长为 $(60-2x)\ \mathrm{m}$，
矩形面积 $S_2=x(60-2x)=-2x^2+60x$，
这是开口向下的二次函数，当 $x=-\frac{b}{2a}=\frac{60}{4}=15\ \mathrm{m}$ 时，面积取最大值，
最大值为 $S_{2\mathrm{max}}=15×(60-2×15)=450\ \mathrm{m}^2$。
3. 计算方案三（等腰三角形）的最大面积：
等腰三角形底边靠墙，两条腰由篱笆围成，两腰长度之和为60m，即每条腰长30m。
当两条腰的夹角为直角时，三角形面积最大，最大面积为 $S_{3\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×30×30=450\ \mathrm{m}^2$。
4. 计算方案四（半圆形）的面积：
半圆形的直径靠墙，弧长为60m，设半径为 $r$，则 $π r=60$，得 $r=\frac{60}{π}$，
半圆面积 $S_4=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\frac{60}{π})^2=\frac{1800}{π}\approx573\ \mathrm{m}^2$。
比较四个面积：$573＞450＞400$，因此方案四面积最大。
【答案】
四
【知识点】
二次函数最值应用，图形面积计算，圆的相关计算
【点评】
本题结合实际生活场景，考查了不同图形面积的计算和最值求解，解题关键是明确篱笆长度对应图形的边长，再利用对应公式计算比较即可。
【难度系数】
0.65
10. 为培养学生解决数学建模、几何应用等实际问题的能力，学校联合本地家具厂开展“直角三角形废木板桌面设计与优化”实践活动，实践报告如表5-5-1：
表5-5-1
| 活动课题 | 家具厂“直角三角形废木板桌面设计与优化”实践活动。 |
| --- | --- |
| 活动工具 | 家具厂提供的
余直角三角形木板、直尺、铅笔、草稿纸、木工测量手册(辅助理解实际加工尺寸要求)。 |
续表
| 活动过程 | 【数据测量】为减少材料浪费，明确木板实际尺寸，为桌面设计提供基础数据，学生测量出木板的两条直角边长度，其中 $ BC = 2 \, \mathrm{m} $，$ AC = 1.5 \, \mathrm{m} $。
【设计图纸】
(一)甲、乙两个小组决定设计正方形桌面，他们的设计图如图一、图二所示；
图一 图二
(二)丙、丁两个小组决定设计矩形桌面，他们的设计图如图三、图四所示。
图三 图四 |
| 成果总结 | 各小组共同整理设计的方案，共同形成《直角三角形废木板桌面设计与优化报告》，提交给家具厂，助力其实现剩余材料的高效利用。 |
请你帮四个小组解决以下问题：
(1)请说明甲、乙两个小组的设计方案中，哪个正方形桌面的面积更大；
(2)请分别求出图三、图四中矩形桌面的面积 $ y $ 与 $ DE $ 的长 $ x $ 之间的关系式，并分别求出面积的最大值。
表5-5-1
| 活动课题 | 家具厂“直角三角形废木板桌面设计与优化”实践活动。 |
| --- | --- |
| 活动工具 | 家具厂提供的
余直角三角形木板、直尺、铅笔、草稿纸、木工测量手册(辅助理解实际加工尺寸要求)。 |续表
| 活动过程 | 【数据测量】为减少材料浪费，明确木板实际尺寸，为桌面设计提供基础数据，学生测量出木板的两条直角边长度，其中 $ BC = 2 \, \mathrm{m} $，$ AC = 1.5 \, \mathrm{m} $。
【设计图纸】
(一)甲、乙两个小组决定设计正方形桌面，他们的设计图如图一、图二所示；
图一 图二
(二)丙、丁两个小组决定设计矩形桌面，他们的设计图如图三、图四所示。
图三 图四 |
| 成果总结 | 各小组共同整理设计的方案，共同形成《直角三角形废木板桌面设计与优化报告》，提交给家具厂，助力其实现剩余材料的高效利用。 |
请你帮四个小组解决以下问题：
(1)请说明甲、乙两个小组的设计方案中，哪个正方形桌面的面积更大；
(2)请分别求出图三、图四中矩形桌面的面积 $ y $ 与 $ DE $ 的长 $ x $ 之间的关系式，并分别求出面积的最大值。
答案
10. 解:(1)设$DE$的长为$x\ \mathrm{m}$。
在题图一中，
$\because$四边形$CDEF$是正方形，
$\therefore DE// CF,∠ ADE=∠ C=90°,DE=CD=x,AD=1.5-x$。
$\because∠ A=∠ A$，
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE∽\mathrm{Rt}△ ACB$，
$\therefore\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{x}{2}=\frac{1.5-x}{1.5}$，
解得$x=\frac{6}{7}$。
在题图二中，
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=2.5$。
$\because$四边形$GDEF$是正方形，
$\therefore DE// GF$，
$\therefore∠ CED=∠ B,∠ EDC=∠ A$，
$\therefore\mathrm{Rt}△ DEC∽\mathrm{Rt}△ ABC$，
$\therefore\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\therefore DC=\frac{3}{5}x$，
$\therefore AD=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x$。
$\because∠ A=∠ A,∠ AGD=∠ C=90°$，
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADG∽\mathrm{Rt}△ ABC$，
$\therefore\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{BA}$，
即$\frac{x}{\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x}=\frac{4}{5}$，
解得$x=\frac{30}{37}$。
$\because\frac{6}{7}＞\frac{30}{37}$，
$\therefore$题图一中的正方形桌面的面积更大。
(2)在题图三中,$\because$四边形$CDEF$是矩形，
$\therefore DE// CF$，
$\therefore∠ ADE=∠ C=90°$。
$\because∠ A=∠ A$，
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE∽\mathrm{Rt}△ ACB$，
$\therefore\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{CB}=\frac{3}{4}$，
$\therefore AD=\frac{3}{4}x$，
$\therefore DC=AC-AD=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}x$，
$\begin{aligned}\therefore y&=DE· DC=x·(\frac{3}{2}-\frac{3}{4}x)\\&=-\frac{3}{4}(x-1)^2+\frac{3}{4},\end{aligned}$
$\because-\frac{3}{4}＜0$，
$\therefore$抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=1\ \mathrm{m}$时,矩形的面积有最大值$\frac{3}{4}\mathrm{m}^2$。
在题图四中,同理得$\mathrm{Rt}△ DEC∽\mathrm{Rt}△ ABC$，
$\therefore\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\therefore DC=\frac{3}{5}x$，
$\therefore AD=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x$。
同理得$\mathrm{Rt}△ ADG∽\mathrm{Rt}△ ABC$，
$\therefore\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{BA}=\frac{4}{5}$，
$\therefore DG=\frac{4}{5}AD=\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x)$，
$\begin{aligned}\therefore y&=DE· DG=x·\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x)\\&=-\frac{12}{25}(x-\frac{5}{4})^2+\frac{3}{4}。\end{aligned}$
$\because-\frac{12}{25}＜0$，
$\therefore$抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=\frac{5}{4}\mathrm{m}$时,矩形的面积有最大值$\frac{3}{4}\mathrm{m}^2$。
在题图一中，
$\because$四边形$CDEF$是正方形，
$\therefore DE// CF,∠ ADE=∠ C=90°,DE=CD=x,AD=1.5-x$。
$\because∠ A=∠ A$，
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE∽\mathrm{Rt}△ ACB$，
$\therefore\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{x}{2}=\frac{1.5-x}{1.5}$，
解得$x=\frac{6}{7}$。
在题图二中，
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=2.5$。
$\because$四边形$GDEF$是正方形，
$\therefore DE// GF$，
$\therefore∠ CED=∠ B,∠ EDC=∠ A$，
$\therefore\mathrm{Rt}△ DEC∽\mathrm{Rt}△ ABC$，
$\therefore\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\therefore DC=\frac{3}{5}x$，
$\therefore AD=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x$。
$\because∠ A=∠ A,∠ AGD=∠ C=90°$，
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADG∽\mathrm{Rt}△ ABC$，
$\therefore\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{BA}$，
即$\frac{x}{\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x}=\frac{4}{5}$，
解得$x=\frac{30}{37}$。
$\because\frac{6}{7}＞\frac{30}{37}$，
$\therefore$题图一中的正方形桌面的面积更大。
(2)在题图三中,$\because$四边形$CDEF$是矩形，
$\therefore DE// CF$，
$\therefore∠ ADE=∠ C=90°$。
$\because∠ A=∠ A$，
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE∽\mathrm{Rt}△ ACB$，
$\therefore\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{CB}=\frac{3}{4}$，
$\therefore AD=\frac{3}{4}x$，
$\therefore DC=AC-AD=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}x$，
$\begin{aligned}\therefore y&=DE· DC=x·(\frac{3}{2}-\frac{3}{4}x)\\&=-\frac{3}{4}(x-1)^2+\frac{3}{4},\end{aligned}$
$\because-\frac{3}{4}＜0$，
$\therefore$抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=1\ \mathrm{m}$时,矩形的面积有最大值$\frac{3}{4}\mathrm{m}^2$。
在题图四中,同理得$\mathrm{Rt}△ DEC∽\mathrm{Rt}△ ABC$，
$\therefore\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\therefore DC=\frac{3}{5}x$，
$\therefore AD=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x$。
同理得$\mathrm{Rt}△ ADG∽\mathrm{Rt}△ ABC$，
$\therefore\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{BA}=\frac{4}{5}$，
$\therefore DG=\frac{4}{5}AD=\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x)$，
$\begin{aligned}\therefore y&=DE· DG=x·\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x)\\&=-\frac{12}{25}(x-\frac{5}{4})^2+\frac{3}{4}。\end{aligned}$
$\because-\frac{12}{25}＜0$，
$\therefore$抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=\frac{5}{4}\mathrm{m}$时,矩形的面积有最大值$\frac{3}{4}\mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 正方形面积由边长决定，要比较两个正方形面积大小，只需比较两者边长即可。两个正方形均内接于直角三角形，可通过平行线找等角，证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质分别求出两个正方形的边长，再比较边长大小即可得出结论。
(2) 要求矩形面积与DE长度的函数关系，需先通过相似三角形的对应边成比例，用x表示出矩形的另一条边长，再根据矩形面积公式列出函数关系式，最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，求出面积的最大值。
【解析】
(1) 设正方形的边长为$x\ \mathrm{m}$。
① 题图一（甲小组方案）中：
∵ 四边形$CDEF$是正方形，
∴ $DE// BC$，$∠ ADE=∠ C=90°$，$DE=CD=x$，则$AD=AC-CD=1.5-x$，
又
∵ $∠ A=∠ A$，
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE ∽ \mathrm{Rt}△ ACB$，
∴ $\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{x}{2}=\frac{1.5-x}{1.5}$，
解得$x=\frac{6}{7}$。
② 题图二（乙小组方案）中：
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形$GDEF$是正方形，
∴ $∠ CED=∠ B$，$∠ EDC=∠ A$，
∴ $\mathrm{Rt}△ DEC ∽ \mathrm{Rt}△ ABC$，
∴ $\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{1.5}{2.5}=\frac{3}{5}$，即$DC=\frac{3}{5}x$，
则$AD=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x$，
又
∵ $∠ A=∠ A$，$∠ AGD=∠ C=90°$，
∴ $\mathrm{Rt}△ ADG ∽ \mathrm{Rt}△ ABC$，
∴ $\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{BA}=\frac{2}{2.5}=\frac{4}{5}$，即$\frac{x}{\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x}=\frac{4}{5}$，
解得$x=\frac{30}{37}$。
∵ $\frac{6}{7}＞\frac{30}{37}$，即甲小组方案的正方形边长更大，
∴ 甲小组（题图一）的正方形桌面面积更大。
(2) ① 题图三中，设$DE=x\ \mathrm{m}$，矩形面积为$y\ \mathrm{m}^2$：
∵ 四边形$CDEF$是矩形，
∴ $DE// BC$，$∠ ADE=∠ C=90°$，
又
∵ $∠ A=∠ A$，
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE ∽ \mathrm{Rt}△ ACB$，
∴ $\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{CB}=\frac{1.5}{2}=\frac{3}{4}$，即$AD=\frac{3}{4}x$，
则$DC=AC-AD=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}x$，
∴ $y=DE· DC=x(\frac{3}{2}-\frac{3}{4}x)=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x$，
配方得$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+\frac{3}{4}$，
∵ $-\frac{3}{4}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$x=1\ \mathrm{m}$时，$y$取最大值，最大值为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$。
② 题图四中，设$DE=x\ \mathrm{m}$，矩形面积为$y\ \mathrm{m}^2$：
∵ $∠ CED=∠ B$，$∠ EDC=∠ A$，
∴ $\mathrm{Rt}△ DEC ∽ \mathrm{Rt}△ ABC$，
∴ $\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，即$DC=\frac{3}{5}x$，
则$AD=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x$，
又
∵ $∠ A=∠ A$，$∠ AGD=∠ C=90°$，
∴ $\mathrm{Rt}△ ADG ∽ \mathrm{Rt}△ ABC$，
∴ $\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{BA}=\frac{4}{5}$，即$DG=\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x)$，
∴ $y=DE· DG=x·\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x)=-\frac{12}{25}x^2+\frac{6}{5}x$，
配方得$y=-\frac{12}{25}(x-\frac{5}{4})^2+\frac{3}{4}$，
∵ $-\frac{12}{25}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$x=\frac{5}{4}\ \mathrm{m}$时，$y$取最大值，最大值为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 甲小组（题图一）的正方形桌面面积更大；
(2) 图三：$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x$，最大面积为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$；
图四：$y=-\frac{12}{25}x^2+\frac{6}{5}x$，最大面积为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，勾股定理
【点评】
本题结合实际生产中的废料利用场景，将几何性质与函数应用融合考查，既需要熟练掌握相似三角形的边长比例关系，也需要灵活运用二次函数求最值的方法，能有效锻炼数学建模和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 正方形面积由边长决定，要比较两个正方形面积大小，只需比较两者边长即可。两个正方形均内接于直角三角形，可通过平行线找等角，证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质分别求出两个正方形的边长，再比较边长大小即可得出结论。
(2) 要求矩形面积与DE长度的函数关系，需先通过相似三角形的对应边成比例，用x表示出矩形的另一条边长，再根据矩形面积公式列出函数关系式，最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，求出面积的最大值。
【解析】
(1) 设正方形的边长为$x\ \mathrm{m}$。
① 题图一（甲小组方案）中：
∵ 四边形$CDEF$是正方形，
∴ $DE// BC$，$∠ ADE=∠ C=90°$，$DE=CD=x$，则$AD=AC-CD=1.5-x$，
又
∵ $∠ A=∠ A$，
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE ∽ \mathrm{Rt}△ ACB$，
∴ $\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{x}{2}=\frac{1.5-x}{1.5}$，
解得$x=\frac{6}{7}$。
② 题图二（乙小组方案）中：
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形$GDEF$是正方形，
∴ $∠ CED=∠ B$，$∠ EDC=∠ A$，
∴ $\mathrm{Rt}△ DEC ∽ \mathrm{Rt}△ ABC$，
∴ $\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{1.5}{2.5}=\frac{3}{5}$，即$DC=\frac{3}{5}x$，
则$AD=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x$，
又
∵ $∠ A=∠ A$，$∠ AGD=∠ C=90°$，
∴ $\mathrm{Rt}△ ADG ∽ \mathrm{Rt}△ ABC$，
∴ $\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{BA}=\frac{2}{2.5}=\frac{4}{5}$，即$\frac{x}{\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x}=\frac{4}{5}$，
解得$x=\frac{30}{37}$。
∵ $\frac{6}{7}＞\frac{30}{37}$，即甲小组方案的正方形边长更大，
∴ 甲小组（题图一）的正方形桌面面积更大。
(2) ① 题图三中，设$DE=x\ \mathrm{m}$，矩形面积为$y\ \mathrm{m}^2$：
∵ 四边形$CDEF$是矩形，
∴ $DE// BC$，$∠ ADE=∠ C=90°$，
又
∵ $∠ A=∠ A$，
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE ∽ \mathrm{Rt}△ ACB$，
∴ $\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{CB}=\frac{1.5}{2}=\frac{3}{4}$，即$AD=\frac{3}{4}x$，
则$DC=AC-AD=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}x$，
∴ $y=DE· DC=x(\frac{3}{2}-\frac{3}{4}x)=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x$，
配方得$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+\frac{3}{4}$，
∵ $-\frac{3}{4}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$x=1\ \mathrm{m}$时，$y$取最大值，最大值为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$。
② 题图四中，设$DE=x\ \mathrm{m}$，矩形面积为$y\ \mathrm{m}^2$：
∵ $∠ CED=∠ B$，$∠ EDC=∠ A$，
∴ $\mathrm{Rt}△ DEC ∽ \mathrm{Rt}△ ABC$，
∴ $\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，即$DC=\frac{3}{5}x$，
则$AD=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x$，
又
∵ $∠ A=∠ A$，$∠ AGD=∠ C=90°$，
∴ $\mathrm{Rt}△ ADG ∽ \mathrm{Rt}△ ABC$，
∴ $\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{BA}=\frac{4}{5}$，即$DG=\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x)$，
∴ $y=DE· DG=x·\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x)=-\frac{12}{25}x^2+\frac{6}{5}x$，
配方得$y=-\frac{12}{25}(x-\frac{5}{4})^2+\frac{3}{4}$，
∵ $-\frac{12}{25}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$x=\frac{5}{4}\ \mathrm{m}$时，$y$取最大值，最大值为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 甲小组（题图一）的正方形桌面面积更大；
(2) 图三：$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x$，最大面积为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$；
图四：$y=-\frac{12}{25}x^2+\frac{6}{5}x$，最大面积为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，勾股定理
【点评】
本题结合实际生产中的废料利用场景，将几何性质与函数应用融合考查，既需要熟练掌握相似三角形的边长比例关系，也需要灵活运用二次函数求最值的方法，能有效锻炼数学建模和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
