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1. 如图5-5-1，矩形ABCD的周长为l，面积为S，AB的长为y，BC的长为x，则下列函数关系中，可以看作是二次函数关系的是(
A.周长l固定，y与x的关系
B.周长l固定，S与x的关系
C.面积S固定，l与x的关系
D.面积S固定，y与x的关系
B
)。A.周长l固定，y与x的关系
B.周长l固定，S与x的关系
C.面积S固定，l与x的关系
D.面积S固定，y与x的关系
答案
1.B
解析
【分析】
解题首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的函数为二次函数，核心特征是自变量最高次数为2且二次项系数不为0。接下来结合矩形的周长公式$l=2(x+y)$、面积公式$S=xy$，分别推导四个选项中两个变量的函数关系式，再逐一对照定义判断即可得到答案。
【解析】
已知矩形周长公式为$ l=2(x+y) $，面积公式为$ S=xy $，逐一分析选项：
A. 周长$l$固定时，变形周长公式得$ y=\frac{l}{2}-x $，是一次函数，不属于二次函数，不符合要求；
B. 周长$l$固定时，$ y=\frac{l}{2}-x $，代入面积公式得$ S=x·(\frac{l}{2}-x)=-x^2+\frac{l}{2}x $，符合二次函数的形式，属于二次函数，符合要求；
C. 面积$S$固定时，$ y=\frac{S}{x} $，代入周长公式得$ l=2(x+\frac{S}{x}) $，自变量$x$在分母位置，不属于二次函数，不符合要求；
D. 面积$S$固定时，$ y=\frac{S}{x} $，是反比例函数，不属于二次函数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；矩形的周长与面积计算；函数类型识别
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是熟练掌握各类常见函数的定义，结合几何图形的周长、面积公式正确推导函数解析式，再对照定义判断即可。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的函数为二次函数，核心特征是自变量最高次数为2且二次项系数不为0。接下来结合矩形的周长公式$l=2(x+y)$、面积公式$S=xy$，分别推导四个选项中两个变量的函数关系式，再逐一对照定义判断即可得到答案。
【解析】
已知矩形周长公式为$ l=2(x+y) $，面积公式为$ S=xy $，逐一分析选项：
A. 周长$l$固定时，变形周长公式得$ y=\frac{l}{2}-x $，是一次函数，不属于二次函数，不符合要求；
B. 周长$l$固定时，$ y=\frac{l}{2}-x $，代入面积公式得$ S=x·(\frac{l}{2}-x)=-x^2+\frac{l}{2}x $，符合二次函数的形式，属于二次函数，符合要求；
C. 面积$S$固定时，$ y=\frac{S}{x} $，代入周长公式得$ l=2(x+\frac{S}{x}) $，自变量$x$在分母位置，不属于二次函数，不符合要求；
D. 面积$S$固定时，$ y=\frac{S}{x} $，是反比例函数，不属于二次函数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；矩形的周长与面积计算；函数类型识别
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是熟练掌握各类常见函数的定义，结合几何图形的周长、面积公式正确推导函数解析式，再对照定义判断即可。
【难度系数】
0.8
2. 小明想用 80 cm 长的彩带绕成一个矩形贺卡边框。这张贺卡的面积不可能是(
A.$360\ \mathrm{cm}^2$
B.$380\ \mathrm{cm}^2$
C.$400\ \mathrm{cm}^2$
D.$420\ \mathrm{cm}^2$
D
)。A.$360\ \mathrm{cm}^2$
B.$380\ \mathrm{cm}^2$
C.$400\ \mathrm{cm}^2$
D.$420\ \mathrm{cm}^2$
答案
2.D
解析
【分析】
首先明确80cm是矩形边框的周长，要判断哪个面积不可能出现，需先求出该矩形的最大面积。我们可以先设矩形的一边长为未知数，根据周长公式表示出另一边长，再写出面积关于边长的表达式，该表达式为开口向下的二次函数，存在最大值，算出最大面积后，大于最大值的选项即为不可能的面积。
【解析】
解：设矩形贺卡的一边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
已知矩形周长为$ 80 \, \mathrm{cm} $，则矩形的另一边长为$ \frac{80}{2}-x=(40-x) \, \mathrm{cm} $，其中$ 0＜x＜40 $。
设矩形面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $，则面积表达式为：
$ S=x(40-x)=-x^2+40x $
该二次函数二次项系数为$-1＜0$，函数图像开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-1)}=20 $，代入得最大面积：
$ S_{\mathrm{max}}=20×(40-20)=400 \, \mathrm{cm}^2 $
即矩形面积最大为$ 400 \, \mathrm{cm}^2 $，不可能超过该值，因此面积不可能为$ 420 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
D
【知识点】
矩形周长与面积计算；二次函数最值应用；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景命题，核心考查二次函数在最值问题中的应用，解题关键是理清矩形周长和边长的关系，正确建立面积的函数模型，属于实际应用类常考题型。
【难度系数】
0.7
首先明确80cm是矩形边框的周长，要判断哪个面积不可能出现，需先求出该矩形的最大面积。我们可以先设矩形的一边长为未知数，根据周长公式表示出另一边长，再写出面积关于边长的表达式，该表达式为开口向下的二次函数，存在最大值，算出最大面积后，大于最大值的选项即为不可能的面积。
【解析】
解：设矩形贺卡的一边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
已知矩形周长为$ 80 \, \mathrm{cm} $，则矩形的另一边长为$ \frac{80}{2}-x=(40-x) \, \mathrm{cm} $，其中$ 0＜x＜40 $。
设矩形面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $，则面积表达式为：
$ S=x(40-x)=-x^2+40x $
该二次函数二次项系数为$-1＜0$，函数图像开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-1)}=20 $，代入得最大面积：
$ S_{\mathrm{max}}=20×(40-20)=400 \, \mathrm{cm}^2 $
即矩形面积最大为$ 400 \, \mathrm{cm}^2 $，不可能超过该值，因此面积不可能为$ 420 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
D
【知识点】
矩形周长与面积计算；二次函数最值应用；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景命题，核心考查二次函数在最值问题中的应用，解题关键是理清矩形周长和边长的关系，正确建立面积的函数模型，属于实际应用类常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图5-5-2，为了节省材料，某工厂利用堤岸MN(堤岸足够长)，用总长为80 m的材料围成一个由三个面积相等的小矩形组成的矩形ABCD区域。若BC=x m，有下列4个结论：
①$AB=(40-\frac{5}{2}x)\mathrm{m}$；
②$BC=2CF$；
③$AE=2BE$；
④矩形ABCD的最大面积为$300\mathrm{m}^2$。
其中正确结论的序号是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
①$AB=(40-\frac{5}{2}x)\mathrm{m}$；
②$BC=2CF$；
③$AE=2BE$；
④矩形ABCD的最大面积为$300\mathrm{m}^2$。
其中正确结论的序号是(
D
)。A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
答案
3.D
解析
【分析】
解题首先从三个小矩形面积相等的条件入手：先利用上方两个小矩形同高、面积相等，得到底边长相等，即$AH=HD=\frac{1}{2}BC$；再结合上方单个小矩形和下方小矩形面积相等，推导出$AE=2BE$，可直接判断结论③。之后结合围栏总长80m（堤岸MN不用修建围栏，仅计算实际围栏的总长度），推导$AB$的表达式，判断结论①。再根据边长关系判断结论②是否恒成立。最后将矩形$ABCD$的面积表示为关于$x$的二次函数，利用二次函数的最值公式计算最大面积，判断结论④即可。
【解析】
解：设$AE=a$，$BE=b$，$BC=x\ \mathrm{m}$。
1. 推导边长关系，判断结论③：
三个小矩形面积相等，上方两个小矩形的高均为$AE$，因此底边长相等，即$AH=HD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}x$。
上方单个小矩形面积为$AH· AE=\frac{1}{2}x· a$，下方小矩形面积为$BC· BE=x· b$，二者面积相等：
$\frac{1}{2}x· a=x· b$，约去$x$得$a=2b$，即$AE=2BE$，故结论③正确。
2. 判断结论①：
堤岸MN无需修建围栏，实际围栏的总长度为80m：
垂直于MN的围栏有$AB$、$CD$、$GH$，长度分别为$a+b$、$a+b$、$a$；
平行于MN的围栏有$EF$、$BC$，长度均为$x$。
因此总长度为：$(a+b)+(a+b)+a +x+x = 3a+2b+2x =80$。
将$a=2b$代入上式：$3×2b+2b+2x=8b+2x=80$，化简得$4b+x=40$，即$b=\frac{40-x}{4}$。
$AB=a+b=2b+b=3b=3×\frac{40-x}{4}=30-\frac{3}{4}x$，与结论①的$AB=40-\frac{5}{2}x$不符，故结论①错误。
3. 判断结论②：
$CF=BE=b=\frac{40-x}{4}$，若$BC=2CF$，则$x=2×\frac{40-x}{4}$，解得$x=\frac{40}{3}$，仅当$x=\frac{40}{3}$时成立，不是恒成立，故结论②错误。
4. 判断结论④：
矩形$ABCD$的面积$S=AB· BC=(30-\frac{3}{4}x)x=-\frac{3}{4}x^2+30x$。
该二次函数开口向下，最大值在$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-\frac{3}{4})}=20$时取得，
代入$x=20$得$S_{\mathrm{max}}=-\frac{3}{4}×20^2+30×20=300\ \mathrm{m}^2$，故结论④正确。
综上，正确结论为③④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用，矩形面积计算，二次函数的最值
【点评】
本题结合实际围栏场景，考查二次函数在面积最值问题中的应用，解题关键是先根据面积相等的条件理清各段边长的关系，再正确列出围栏总长度的表达式，最后利用二次函数的性质求解最值。
【难度系数】
0.6
解题首先从三个小矩形面积相等的条件入手：先利用上方两个小矩形同高、面积相等，得到底边长相等，即$AH=HD=\frac{1}{2}BC$；再结合上方单个小矩形和下方小矩形面积相等，推导出$AE=2BE$，可直接判断结论③。之后结合围栏总长80m（堤岸MN不用修建围栏，仅计算实际围栏的总长度），推导$AB$的表达式，判断结论①。再根据边长关系判断结论②是否恒成立。最后将矩形$ABCD$的面积表示为关于$x$的二次函数，利用二次函数的最值公式计算最大面积，判断结论④即可。
【解析】
解：设$AE=a$，$BE=b$，$BC=x\ \mathrm{m}$。
1. 推导边长关系，判断结论③：
三个小矩形面积相等，上方两个小矩形的高均为$AE$，因此底边长相等，即$AH=HD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}x$。
上方单个小矩形面积为$AH· AE=\frac{1}{2}x· a$，下方小矩形面积为$BC· BE=x· b$，二者面积相等：
$\frac{1}{2}x· a=x· b$，约去$x$得$a=2b$，即$AE=2BE$，故结论③正确。
2. 判断结论①：
堤岸MN无需修建围栏，实际围栏的总长度为80m：
垂直于MN的围栏有$AB$、$CD$、$GH$，长度分别为$a+b$、$a+b$、$a$；
平行于MN的围栏有$EF$、$BC$，长度均为$x$。
因此总长度为：$(a+b)+(a+b)+a +x+x = 3a+2b+2x =80$。
将$a=2b$代入上式：$3×2b+2b+2x=8b+2x=80$，化简得$4b+x=40$，即$b=\frac{40-x}{4}$。
$AB=a+b=2b+b=3b=3×\frac{40-x}{4}=30-\frac{3}{4}x$，与结论①的$AB=40-\frac{5}{2}x$不符，故结论①错误。
3. 判断结论②：
$CF=BE=b=\frac{40-x}{4}$，若$BC=2CF$，则$x=2×\frac{40-x}{4}$，解得$x=\frac{40}{3}$，仅当$x=\frac{40}{3}$时成立，不是恒成立，故结论②错误。
4. 判断结论④：
矩形$ABCD$的面积$S=AB· BC=(30-\frac{3}{4}x)x=-\frac{3}{4}x^2+30x$。
该二次函数开口向下，最大值在$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-\frac{3}{4})}=20$时取得，
代入$x=20$得$S_{\mathrm{max}}=-\frac{3}{4}×20^2+30×20=300\ \mathrm{m}^2$，故结论④正确。
综上，正确结论为③④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用，矩形面积计算，二次函数的最值
【点评】
本题结合实际围栏场景，考查二次函数在面积最值问题中的应用，解题关键是先根据面积相等的条件理清各段边长的关系，再正确列出围栏总长度的表达式，最后利用二次函数的性质求解最值。
【难度系数】
0.6
4. 如图 5-5-3，在菱形 ABCD 中，AC＋BD＝10，则菱形 ABCD 面积的最大值为
12.5
。答案
4.12.5
解析
【分析】
要解决菱形面积最大值的问题，首先回忆菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。已知两条对角线的和为10，我们可以设其中一条对角线的长度为x，另一条对角线长度就为10-x，将面积表示为关于x的二次函数，再利用二次函数的性质即可求出面积的最大值。
【解析】
设对角线AC的长为x，则BD的长为$10 - x$（$0＜x＜10$）。
根据菱形面积公式可得：
$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}x(10 - x)$
整理得：$S=-\frac{1}{2}x^2 + 5x$
该二次函数的二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取最值，代入$a=-\frac{1}{2},b=5$得：
$x=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$
将$x=5$代入面积公式得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×5×(10-5)=\frac{25}{2}=12.5$
【答案】
12.5
【知识点】
菱形面积计算，二次函数的应用，二次函数最值
【点评】
本题是几何性质与代数函数结合的基础题，解题的核心是熟练掌握菱形的面积公式，将面积问题转化为二次函数最值问题求解，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决菱形面积最大值的问题，首先回忆菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。已知两条对角线的和为10，我们可以设其中一条对角线的长度为x，另一条对角线长度就为10-x，将面积表示为关于x的二次函数，再利用二次函数的性质即可求出面积的最大值。
【解析】
设对角线AC的长为x，则BD的长为$10 - x$（$0＜x＜10$）。
根据菱形面积公式可得：
$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}x(10 - x)$
整理得：$S=-\frac{1}{2}x^2 + 5x$
该二次函数的二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取最值，代入$a=-\frac{1}{2},b=5$得：
$x=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$
将$x=5$代入面积公式得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×5×(10-5)=\frac{25}{2}=12.5$
【答案】
12.5
【知识点】
菱形面积计算，二次函数的应用，二次函数最值
【点评】
本题是几何性质与代数函数结合的基础题，解题的核心是熟练掌握菱形的面积公式，将面积问题转化为二次函数最值问题求解，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 深圳某手工工作室要制作一款“文创金属书签”，原材料是周长为26 cm 的矩形黄铜板。制作时需从矩形一端剪去一个等边三角形（等边三角形的一边与矩形的宽完全重合，且剪去的三角形废料不再利用）。矩形的宽应
设计为
设计为
$(8-2\sqrt{3})$
cm 时，最终制成的书签（剩余部分）面积最大。答案
5.$(8-2\sqrt{3})$
解析
【分析】
解题时首先设矩形的宽为未知数，利用矩形周长公式表示出矩形的长；再根据“剩余书签面积=矩形面积-剪去的等边三角形面积”列出面积关于宽的函数关系式，判断该函数为开口向下的二次函数；最后利用二次函数顶点横坐标公式计算取得最大值时的宽，对结果进行分母有理化化简即可。
【解析】
解：设矩形的宽为$x$ cm，剩余书签的面积为$S$ cm²。
∵矩形周长为26 cm，
∴矩形的长为$26÷2 - x=(13 - x)$ cm。
矩形面积为$x(13 - x)$ cm²，
剪去的等边三角形边长等于矩形的宽$x$ cm，其面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$ cm²，
因此剩余面积：
$\begin{aligned}S&=x(13 - x) - \frac{\sqrt{3}}{4}x^2\\&=-(1+\frac{\sqrt{3}}{4})x^2 +13x\end{aligned}$
该函数是开口向下的二次函数（二次项系数$a=-(1+\frac{\sqrt{3}}{4})＜0$），当$x=-\frac{b}{2a}$时$S$取最大值，代入$a$和$b=13$得：
$\begin{aligned}x&=\frac{-13}{2×[-(1+\frac{\sqrt{3}}{4})]}\\&=\frac{26}{4+\sqrt{3}}\\&=\frac{26(4-\sqrt{3})}{(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3})}\\&=8-2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$8-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数最值应用、矩形面积计算、等边三角形面积计算
【点评】
本题结合实际生产场景考察二次函数的应用，解题核心是准确梳理各图形面积的数量关系，正确列出函数表达式后结合二次函数性质求解，同时需熟练掌握二次根式分母有理化的运算规则。
【难度系数】
0.6
解题时首先设矩形的宽为未知数，利用矩形周长公式表示出矩形的长；再根据“剩余书签面积=矩形面积-剪去的等边三角形面积”列出面积关于宽的函数关系式，判断该函数为开口向下的二次函数；最后利用二次函数顶点横坐标公式计算取得最大值时的宽，对结果进行分母有理化化简即可。
【解析】
解：设矩形的宽为$x$ cm，剩余书签的面积为$S$ cm²。
∵矩形周长为26 cm，
∴矩形的长为$26÷2 - x=(13 - x)$ cm。
矩形面积为$x(13 - x)$ cm²，
剪去的等边三角形边长等于矩形的宽$x$ cm，其面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$ cm²，
因此剩余面积：
$\begin{aligned}S&=x(13 - x) - \frac{\sqrt{3}}{4}x^2\\&=-(1+\frac{\sqrt{3}}{4})x^2 +13x\end{aligned}$
该函数是开口向下的二次函数（二次项系数$a=-(1+\frac{\sqrt{3}}{4})＜0$），当$x=-\frac{b}{2a}$时$S$取最大值，代入$a$和$b=13$得：
$\begin{aligned}x&=\frac{-13}{2×[-(1+\frac{\sqrt{3}}{4})]}\\&=\frac{26}{4+\sqrt{3}}\\&=\frac{26(4-\sqrt{3})}{(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3})}\\&=8-2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$8-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数最值应用、矩形面积计算、等边三角形面积计算
【点评】
本题结合实际生产场景考察二次函数的应用，解题核心是准确梳理各图形面积的数量关系，正确列出函数表达式后结合二次函数性质求解，同时需熟练掌握二次根式分母有理化的运算规则。
【难度系数】
0.6
6. 为响应“便民服务进社区”号召，某社区计划利用一段长9 m 的现有围墙，搭配21 m 长的防护栏，围建“社区便民菜储区”，其中包含Ⅰ区“蔬菜零售区”、Ⅱ区“便民储物区”两块相邻的矩形区域（如图5-5-4所示，两区共用一条垂直于围墙的防护栏）。设宽BC为x m，围成的两块矩形区域总面积为S m²。
(1)设DC=y，求y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围。
(2)若要围成面积为30 m²的社区便民菜储区，AB的长是多少米？
(3)能围成面积比30 m²更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
图5-5-4
(1)设DC=y，求y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围。
(2)若要围成面积为30 m²的社区便民菜储区，AB的长是多少米？
(3)能围成面积比30 m²更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
图5-5-4
答案
6. 解:(1)$y=21-3x$。
根据题意得$\begin{cases}21-3x＞0,\\21-3x≤9,\end{cases}$
解得$4≤ x＜7$。
(2)由题意得$S=x(21-3x)=30$，
解得$x_1=5,x_2=2$。
$\because4≤ x＜7$，
$\therefore x$取5，
$\therefore AB=21-3×5=6(\mathrm{m})$。
故$AB$的长是6 m。
(3)$\begin{aligned}S&=x(21-3x)\\&=-3x^2+21x\\&=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4},\end{aligned}$
$\because-3＜0$，
$\therefore$当$x＞\frac{7}{2}$时，$S$的值随着$x$值的增大而减小，
$\therefore$当$x=4$时，$S$取最大值，最大值为36，此时$y=9$。
故当$DC$的长为9 m、$BC$的长为4 m时面积最大，最大面积为$36\ \mathrm{m}^2$。
根据题意得$\begin{cases}21-3x＞0,\\21-3x≤9,\end{cases}$
解得$4≤ x＜7$。
(2)由题意得$S=x(21-3x)=30$，
解得$x_1=5,x_2=2$。
$\because4≤ x＜7$，
$\therefore x$取5，
$\therefore AB=21-3×5=6(\mathrm{m})$。
故$AB$的长是6 m。
(3)$\begin{aligned}S&=x(21-3x)\\&=-3x^2+21x\\&=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4},\end{aligned}$
$\because-3＜0$，
$\therefore$当$x＞\frac{7}{2}$时，$S$的值随着$x$值的增大而减小，
$\therefore$当$x=4$时，$S$取最大值，最大值为36，此时$y=9$。
故当$DC$的长为9 m、$BC$的长为4 m时面积最大，最大面积为$36\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 先分析防护栏的构成：垂直于围墙的防护栏共3段，每段长为x m，平行于围墙的防护栏长为DC=y m，防护栏总长21 m，因此可得3x+y=21，整理即可得到y与x的关系式；自变量x的取值需要满足两个实际条件：一是平行于围墙的边长y＞0，二是y不能超过现有围墙的长度9 m，列不等式组求解即可得到x的范围。
(2) 矩形总面积S=BC×DC=x·y，将y=21-3x代入，令S=30得到一元二次方程，解方程后结合(1)中x的取值范围舍去不符合题意的根，再计算对应的AB长（AB与DC长度相等）即可。
(3) 将S的表达式整理为二次函数的顶点式，根据二次函数的开口方向判断增减性，再结合x的取值范围，找到使S取最大值的x值，计算最大面积即可，注意顶点横坐标若不在自变量取值范围内，需根据函数增减性在区间端点取最值。
【解析】
(1) 由题意可知，防护栏总长度为3段垂直围墙的边长加1段平行围墙的边长，即$3x + y = 21$，整理得：
$y=21-3x$
根据实际意义，平行于围墙的边长需满足大于0且不超过围墙长度9m，因此列不等式组：
$\begin{cases}21-3x＞0\\21-3x≤9\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜7$，解第二个不等式得$x≥4$，因此自变量x的取值范围为$4≤x＜7$。
(2) 两块矩形的总面积$S=xy$，将$y=21-3x$代入得$S=x(21-3x)$，令$S=30$，则：
$x(21-3x)=30$
整理为标准一元二次方程：$x^2-7x+10=0$
因式分解得$(x-2)(x-5)=0$，解得$x_1=5,x_2=2$
结合(1)中x的取值范围$4≤x＜7$，舍去$x=2$，取$x=5$
此时$AB=y=21-3×5=6(m$)。
(3) 能围成更大面积的区域，对S的表达式配方：
$\begin{aligned}S&=x(21-3x)\\&=-3x^2+21x\\&=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4}\end{aligned}$
$\because -3＜0$，二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{7}{2}=3.5$，在$x＞3.5$时，S随x的增大而减小
又$\because x$的取值范围为$4≤x＜7$，该区间在对称轴右侧，S随x增大而减小
$\therefore$当$x=4$时，S取得最大值，最大值为$36$，此时$y=21-3×4=9(m)$
即当DC长为9m、BC长为4m时，总面积最大。
【答案】
(1) $y=21-3x$，自变量x的取值范围是$4≤x＜7$；
(2) AB的长是6 m；
(3) 能，最大面积为$36\ \mathrm{m}^2$，围法为DC长9 m，BC长4 m。
【知识点】
二次函数的应用、一元二次方程的解法、不等式组的应用
【点评】
本题是结合生活实际的代数综合应用题，解题时需注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，求解一元二次方程后要验证根是否符合实际意义；二次函数求最值时不能直接套用顶点值，需结合自变量的取值范围和函数增减性判断最值的取值点。
【难度系数】
0.6
(1) 先分析防护栏的构成：垂直于围墙的防护栏共3段，每段长为x m，平行于围墙的防护栏长为DC=y m，防护栏总长21 m，因此可得3x+y=21，整理即可得到y与x的关系式；自变量x的取值需要满足两个实际条件：一是平行于围墙的边长y＞0，二是y不能超过现有围墙的长度9 m，列不等式组求解即可得到x的范围。
(2) 矩形总面积S=BC×DC=x·y，将y=21-3x代入，令S=30得到一元二次方程，解方程后结合(1)中x的取值范围舍去不符合题意的根，再计算对应的AB长（AB与DC长度相等）即可。
(3) 将S的表达式整理为二次函数的顶点式，根据二次函数的开口方向判断增减性，再结合x的取值范围，找到使S取最大值的x值，计算最大面积即可，注意顶点横坐标若不在自变量取值范围内，需根据函数增减性在区间端点取最值。
【解析】
(1) 由题意可知，防护栏总长度为3段垂直围墙的边长加1段平行围墙的边长，即$3x + y = 21$，整理得：
$y=21-3x$
根据实际意义，平行于围墙的边长需满足大于0且不超过围墙长度9m，因此列不等式组：
$\begin{cases}21-3x＞0\\21-3x≤9\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜7$，解第二个不等式得$x≥4$，因此自变量x的取值范围为$4≤x＜7$。
(2) 两块矩形的总面积$S=xy$，将$y=21-3x$代入得$S=x(21-3x)$，令$S=30$，则：
$x(21-3x)=30$
整理为标准一元二次方程：$x^2-7x+10=0$
因式分解得$(x-2)(x-5)=0$，解得$x_1=5,x_2=2$
结合(1)中x的取值范围$4≤x＜7$，舍去$x=2$，取$x=5$
此时$AB=y=21-3×5=6(m$)。
(3) 能围成更大面积的区域，对S的表达式配方：
$\begin{aligned}S&=x(21-3x)\\&=-3x^2+21x\\&=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4}\end{aligned}$
$\because -3＜0$，二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{7}{2}=3.5$，在$x＞3.5$时，S随x的增大而减小
又$\because x$的取值范围为$4≤x＜7$，该区间在对称轴右侧，S随x增大而减小
$\therefore$当$x=4$时，S取得最大值，最大值为$36$，此时$y=21-3×4=9(m)$
即当DC长为9m、BC长为4m时，总面积最大。
【答案】
(1) $y=21-3x$，自变量x的取值范围是$4≤x＜7$；
(2) AB的长是6 m；
(3) 能，最大面积为$36\ \mathrm{m}^2$，围法为DC长9 m，BC长4 m。
【知识点】
二次函数的应用、一元二次方程的解法、不等式组的应用
【点评】
本题是结合生活实际的代数综合应用题，解题时需注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，求解一元二次方程后要验证根是否符合实际意义；二次函数求最值时不能直接套用顶点值，需结合自变量的取值范围和函数增减性判断最值的取值点。
【难度系数】
0.6
7. 如图5-5-5,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发,沿$AC$向点$C$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,同时点$Q$从点$C$出发,沿$CB$向点$B$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动(当点$Q$运动到点$B$时,点$P$,$Q$同时停止运动)。在运动过程中,四边形$PABQ$的面积最小为多少？
答案
7. 解:设点$P$的运动时间为$x(0≤ x≤2)\mathrm{s}$,四边形$PABQ$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$,则$AP=x\ \mathrm{cm},CQ=2x\ \mathrm{cm}$。
在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AB=5\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,
$\therefore CA=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore CP=(3-x)\mathrm{cm}$,
$\therefore y=\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×2x(3-x)=(x-\frac{3}{2})^2+\frac{15}{4}$,
$\therefore$当$x=\frac{3}{2}$时,$y$有最小值$\frac{15}{4}$。
故四边形$PABQ$的面积最小为$\frac{15}{4}\mathrm{cm}^2$。
在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AB=5\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,
$\therefore CA=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore CP=(3-x)\mathrm{cm}$,
$\therefore y=\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×2x(3-x)=(x-\frac{3}{2})^2+\frac{15}{4}$,
$\therefore$当$x=\frac{3}{2}$时,$y$有最小值$\frac{15}{4}$。
故四边形$PABQ$的面积最小为$\frac{15}{4}\mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要计算四边形PABQ的最小面积，直接求解不规则四边形面积较复杂，可采用割补法：四边形PABQ的面积=Rt△ABC的面积-Rt△PCQ的面积。首先用勾股定理求出AC的长度，再设运动时间为x s，用含x的式子表示出PC、CQ的长度，进而列出面积关于x的函数关系式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质求最小值即可。
【解析】
解：设点P的运动时间为$x(0≤ x≤2)\mathrm{s}$，四边形$PABQ$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，
则$AP=x\ \mathrm{cm},CQ=2x\ \mathrm{cm}$。
在$△ ABC$中，$∠ C=90°,AB=5\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得$CA=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CP=AC-AP=(3-x)\mathrm{cm}$，
$\therefore y=S_{△ ABC}-S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×2x(3-x)$
整理得$y=x^2-3x+6=(x-\frac{3}{2})^2+\frac{15}{4}$，
$\because 0≤\frac{3}{2}≤2$，符合x的取值范围，
$\therefore$当$x=\frac{3}{2}$时，$y$取得最小值$\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；二次函数的最值；割补法求面积
【点评】
本题是典型的动点面积最值问题，核心解题思路是通过割补法把不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意先确定自变量的取值范围，验证最值对应的自变量是否在取值范围内。
【难度系数】
0.7
要计算四边形PABQ的最小面积，直接求解不规则四边形面积较复杂，可采用割补法：四边形PABQ的面积=Rt△ABC的面积-Rt△PCQ的面积。首先用勾股定理求出AC的长度，再设运动时间为x s，用含x的式子表示出PC、CQ的长度，进而列出面积关于x的函数关系式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质求最小值即可。
【解析】
解：设点P的运动时间为$x(0≤ x≤2)\mathrm{s}$，四边形$PABQ$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，
则$AP=x\ \mathrm{cm},CQ=2x\ \mathrm{cm}$。
在$△ ABC$中，$∠ C=90°,AB=5\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得$CA=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CP=AC-AP=(3-x)\mathrm{cm}$，
$\therefore y=S_{△ ABC}-S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×2x(3-x)$
整理得$y=x^2-3x+6=(x-\frac{3}{2})^2+\frac{15}{4}$，
$\because 0≤\frac{3}{2}≤2$，符合x的取值范围，
$\therefore$当$x=\frac{3}{2}$时，$y$取得最小值$\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；二次函数的最值；割补法求面积
【点评】
本题是典型的动点面积最值问题，核心解题思路是通过割补法把不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意先确定自变量的取值范围，验证最值对应的自变量是否在取值范围内。
【难度系数】
0.7
