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7. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的部分对应值如表5-4-3：
表5-4-3
| $ x $ | … | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y $ | … | 3 | 0 |
| 0 | 3 | $ m $ | … |
(1)求二次函数的表达式；
(2)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = m $ 的解为
(3)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 10 $ 的解有
表5-4-3
| $ x $ | … | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y $ | … | 3 | 0 |
| 0 | 3 | $ m $ | … |(1)求二次函数的表达式；
(2)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = m $ 的解为
$x_1=-2,x_2=4$
；(3)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 10 $ 的解有
2
个。答案
7. 解:(1)根据题中表格数据可得,二次函数图象的对称轴是直线 $x=\dfrac{0+2}{2}=1$,$\therefore$顶点坐标为$(1,-1)$。
设二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-1$,
将$(0,0)$代入得,$0=a-1$,解得 $a=1$,
$\therefore$二次函数的表达式为 $y=x^2-2x$。
(2)$x_1=-2,x_2=4$
(3)2
设二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-1$,
将$(0,0)$代入得,$0=a-1$,解得 $a=1$,
$\therefore$二次函数的表达式为 $y=x^2-2x$。
(2)$x_1=-2,x_2=4$
(3)2
解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式：先观察表格数据，发现x=0和x=2时y值均为0，说明这两个点是二次函数与x轴的交点，可得二次函数对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，结合x=1时y=-1，可知顶点坐标为$(1,-1)$，因此选择顶点式设函数表达式，代入已知点即可求出参数，得到解析式。
(2) 求方程$ax^2+bx+c=m$的解：方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$m$时的$x$值，$m$是x=4对应的函数值，可先求出$m$再解一元二次方程，也可利用二次函数对称性，找到与x=4关于对称轴x=1对称的x值，即可得到方程的两个解。
(3) 判断方程$ax^2+bx+c=10$的解的个数：将方程整理为标准一元二次方程形式，计算判别式的正负，判别式大于0时有2个解，等于0时有1个解，小于0时无解。
【解析】
(1) 由表格数据可知，x=0和x=2时y的值都为0，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
设二次函数的表达式为顶点式：$y=a(x-1)^2-1$，
将点$(0,0)$代入表达式得：$0=a(0-1)^2-1$，即$a-1=0$，解得$a=1$，
将$a=1$代入顶点式展开得：$y=(x-1)^2-1=x^2-2x$。
(2) 根据二次函数对称性，方程$ax^2+bx+c=m$的解是函数值为$m$的两个$x$值，已知$x=4$是其中一个解，对称轴为$x=1$，设另一个解为$x$，则$\frac{x+4}{2}=1$，解得$x=-2$，因此方程的解为$x_1=-2,x_2=4$。
(3) 将方程$ax^2+bx+c=10$整理得$x^2-2x-10=0$，
计算判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(-10)=4+40=44＞0$，因此该一元二次方程有2个解。
【答案】
(1) $y=x^2-2x$
(2) $x_1=-2,x_2=4$
(3) 2
【知识点】
1. 二次函数解析式确定
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数的相关性质，解题的关键是通过表格数据提取对称轴、顶点等关键信息，结合二次函数的对称性、一元二次方程的解法和判别式的应用求解，是二次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.75
(1) 求二次函数表达式：先观察表格数据，发现x=0和x=2时y值均为0，说明这两个点是二次函数与x轴的交点，可得二次函数对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，结合x=1时y=-1，可知顶点坐标为$(1,-1)$，因此选择顶点式设函数表达式，代入已知点即可求出参数，得到解析式。
(2) 求方程$ax^2+bx+c=m$的解：方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$m$时的$x$值，$m$是x=4对应的函数值，可先求出$m$再解一元二次方程，也可利用二次函数对称性，找到与x=4关于对称轴x=1对称的x值，即可得到方程的两个解。
(3) 判断方程$ax^2+bx+c=10$的解的个数：将方程整理为标准一元二次方程形式，计算判别式的正负，判别式大于0时有2个解，等于0时有1个解，小于0时无解。
【解析】
(1) 由表格数据可知，x=0和x=2时y的值都为0，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
设二次函数的表达式为顶点式：$y=a(x-1)^2-1$，
将点$(0,0)$代入表达式得：$0=a(0-1)^2-1$，即$a-1=0$，解得$a=1$，
将$a=1$代入顶点式展开得：$y=(x-1)^2-1=x^2-2x$。
(2) 根据二次函数对称性，方程$ax^2+bx+c=m$的解是函数值为$m$的两个$x$值，已知$x=4$是其中一个解，对称轴为$x=1$，设另一个解为$x$，则$\frac{x+4}{2}=1$，解得$x=-2$，因此方程的解为$x_1=-2,x_2=4$。
(3) 将方程$ax^2+bx+c=10$整理得$x^2-2x-10=0$，
计算判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(-10)=4+40=44＞0$，因此该一元二次方程有2个解。
【答案】
(1) $y=x^2-2x$
(2) $x_1=-2,x_2=4$
(3) 2
【知识点】
1. 二次函数解析式确定
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数的相关性质，解题的关键是通过表格数据提取对称轴、顶点等关键信息，结合二次函数的对称性、一元二次方程的解法和判别式的应用求解，是二次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.75
8. 已知二次函数 $ y = x^2 - 2mx + m^2 + 3 $（m是常数）。
（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴都没有公共点；
（2）若把该函数的图象沿y轴向下平移n（$ n＞0 $）个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点，求n的值。
（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴都没有公共点；
（2）若把该函数的图象沿y轴向下平移n（$ n＞0 $）个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点，求n的值。
答案
8.(1)证明:令 $x^2-2mx+m^2+3=0$,
$\because\Delta=(-2m)^2-4×1×(m^2+3)=-12＜0$,
$\therefore$方程 $x^2-2mx+m^2+3=0$ 没有实数根,
$\therefore$不论 $m$ 为何值,该函数图象与 $x$ 轴都没有公共点。
(2)解:$\because y=x^2-2mx+m^2+3=(x-m)^2+3$,
$\therefore$二次函数图象开口向上,且顶点为$(m,3)$,
$\therefore$把函数 $y=(x-m)^2+3$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 3 个单位长度后,得到的函数的图象与 $x$ 轴只有一个公共点,
$\therefore n=3$。
$\because\Delta=(-2m)^2-4×1×(m^2+3)=-12＜0$,
$\therefore$方程 $x^2-2mx+m^2+3=0$ 没有实数根,
$\therefore$不论 $m$ 为何值,该函数图象与 $x$ 轴都没有公共点。
(2)解:$\because y=x^2-2mx+m^2+3=(x-m)^2+3$,
$\therefore$二次函数图象开口向上,且顶点为$(m,3)$,
$\therefore$把函数 $y=(x-m)^2+3$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 3 个单位长度后,得到的函数的图象与 $x$ 轴只有一个公共点,
$\therefore n=3$。
解析
【分析】
（1）要证明二次函数图象与x轴没有公共点，可转化为证明对应的一元二次方程没有实数根，只需计算方程的根的判别式Δ，判断Δ是否恒小于0即可。
（2）先将原二次函数配方为顶点式确定顶点坐标，函数沿y轴向下平移n个单位时，顶点纵坐标相应减少n，平移后图象与x轴只有一个公共点说明平移后的函数顶点恰好落在x轴上，即顶点纵坐标为0，由此即可求出n的值。
【解析】
（1）证明：令 $ y=0 $，得方程 $ x^2 - 2mx + m^2 + 3 = 0 $，
计算根的判别式：$\Delta=(-2m)^2-4×1×(m^2+3)=4m^2-4m^2-12=-12＜0$，
因此方程 $ x^2 - 2mx + m^2 + 3 = 0 $ 没有实数根，
所以不论m为何值，该函数图象与x轴都没有公共点。
（2）解：将原二次函数配方得：
$ y=x^2 - 2mx + m^2 + 3=(x-m)^2+3 $，
可知该二次函数图象开口向上，顶点坐标为$(m,3)$，
将图象沿y轴向下平移n个单位后，得到的新函数解析式为$y=(x-m)^2+3-n$，
因为新函数图象与x轴只有一个公共点，说明顶点在x轴上，即顶点纵坐标为0，
所以 $3-n=0$，解得 $n=3$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$n=3$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.一元二次方程根的判别式
3.二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数基础性质的综合应用，核心解题思路是将函数图象与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，需熟练掌握二次函数顶点式的配方方法和图象平移规律，对基础知识点的巩固有很好的作用。
【难度系数】
0.8
（1）要证明二次函数图象与x轴没有公共点，可转化为证明对应的一元二次方程没有实数根，只需计算方程的根的判别式Δ，判断Δ是否恒小于0即可。
（2）先将原二次函数配方为顶点式确定顶点坐标，函数沿y轴向下平移n个单位时，顶点纵坐标相应减少n，平移后图象与x轴只有一个公共点说明平移后的函数顶点恰好落在x轴上，即顶点纵坐标为0，由此即可求出n的值。
【解析】
（1）证明：令 $ y=0 $，得方程 $ x^2 - 2mx + m^2 + 3 = 0 $，
计算根的判别式：$\Delta=(-2m)^2-4×1×(m^2+3)=4m^2-4m^2-12=-12＜0$，
因此方程 $ x^2 - 2mx + m^2 + 3 = 0 $ 没有实数根，
所以不论m为何值，该函数图象与x轴都没有公共点。
（2）解：将原二次函数配方得：
$ y=x^2 - 2mx + m^2 + 3=(x-m)^2+3 $，
可知该二次函数图象开口向上，顶点坐标为$(m,3)$，
将图象沿y轴向下平移n个单位后，得到的新函数解析式为$y=(x-m)^2+3-n$，
因为新函数图象与x轴只有一个公共点，说明顶点在x轴上，即顶点纵坐标为0，
所以 $3-n=0$，解得 $n=3$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$n=3$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.一元二次方程根的判别式
3.二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数基础性质的综合应用，核心解题思路是将函数图象与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，需熟练掌握二次函数顶点式的配方方法和图象平移规律，对基础知识点的巩固有很好的作用。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 如图5-4-9，二次函数 $y = x^2 + x - m$ 的图象与x轴的一个交点的横坐标为$-2$，则关于x的一元二次方程 $(x + 1)^2 + (x + 1) - m = 0$ 的解是
9. 如图5-4-9，二次函数 $y = x^2 + x - m$ 的图象与x轴的一个交点的横坐标为$-2$，则关于x的一元二次方程 $(x + 1)^2 + (x + 1) - m = 0$ 的解是
$x_1=-3,x_2=0$
。答案
9.$x_1=-3,x_2=0$
解析
【分析】
解题可选择两种思路：①换元法：观察所求方程和已知二次函数的结构，将$(x+1)$看作整体设为$t$，则所求方程转化为$t^2+t-m=0$，该方程的根就是已知二次函数与x轴交点的横坐标；先根据已知交点坐标求出$t^2+t-m=0$的两个根，再反推x的值即可，该方法计算更简便。②代入法：先将已知交点横坐标代入二次函数解析式求出m的值，再代入所求方程直接求解，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
解法1（换元法）：
设$t=x+1$，则一元二次方程$(x+1)^2+(x+1)-m=0$可转化为$t^2 + t - m = 0$。
已知二次函数$y=x^2+x-m$与x轴一个交点的横坐标为$-2$，即方程$x^2+x-m=0$的一个根为$t_1=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$t^2 + t - m = 0$的两根之和为$-\frac{b}{a}=-1$，设另一根为$t_2$，则：
$-2 + t_2 = -1$，解得$t_2=1$。
将$t=x+1$代回得：
$x+1=-2$，解得$x_1=-3$；
$x+1=1$，解得$x_2=0$。
解法2（代入求m法）：
将$x=-2$，$y=0$代入$y=x^2+x-m$得：
$(-2)^2 + (-2) - m = 0$，解得$m=2$。
将$m=2$代入所求方程得：
$(x+1)^2 + (x+1) - 2 = 0$，
令$u=x+1$，方程化为$u^2 + u - 2 = 0$，
因式分解得$(u+2)(u-1)=0$，
解得$u_1=-2$，$u_2=1$，
即$x+1=-2\implies x_1=-3$，$x+1=1\implies x_2=0$。
【答案】
$x_1=-3,x_2=0$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，换元法解方程，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查二次函数与对应一元二次方程的内在联系，既可以通过代入参数求解，也可以通过换元法简化计算，能很好地锻炼学生的观察能力和灵活运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
解题可选择两种思路：①换元法：观察所求方程和已知二次函数的结构，将$(x+1)$看作整体设为$t$，则所求方程转化为$t^2+t-m=0$，该方程的根就是已知二次函数与x轴交点的横坐标；先根据已知交点坐标求出$t^2+t-m=0$的两个根，再反推x的值即可，该方法计算更简便。②代入法：先将已知交点横坐标代入二次函数解析式求出m的值，再代入所求方程直接求解，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
解法1（换元法）：
设$t=x+1$，则一元二次方程$(x+1)^2+(x+1)-m=0$可转化为$t^2 + t - m = 0$。
已知二次函数$y=x^2+x-m$与x轴一个交点的横坐标为$-2$，即方程$x^2+x-m=0$的一个根为$t_1=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$t^2 + t - m = 0$的两根之和为$-\frac{b}{a}=-1$，设另一根为$t_2$，则：
$-2 + t_2 = -1$，解得$t_2=1$。
将$t=x+1$代回得：
$x+1=-2$，解得$x_1=-3$；
$x+1=1$，解得$x_2=0$。
解法2（代入求m法）：
将$x=-2$，$y=0$代入$y=x^2+x-m$得：
$(-2)^2 + (-2) - m = 0$，解得$m=2$。
将$m=2$代入所求方程得：
$(x+1)^2 + (x+1) - 2 = 0$，
令$u=x+1$，方程化为$u^2 + u - 2 = 0$，
因式分解得$(u+2)(u-1)=0$，
解得$u_1=-2$，$u_2=1$，
即$x+1=-2\implies x_1=-3$，$x+1=1\implies x_2=0$。
【答案】
$x_1=-3,x_2=0$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，换元法解方程，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查二次函数与对应一元二次方程的内在联系，既可以通过代入参数求解，也可以通过换元法简化计算，能很好地锻炼学生的观察能力和灵活运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
10. 请阅读下面的解题过程：
解一元二次不等式：$x^2 - 2x - 3 ＜ 0$。
解：令$x^2 - 2x - 3 = 0$，解得$x_1 = -1, x_2 = 3$，则抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
画出二次函数$y = x^2 - 2x - 3$的大致图象（如图5-4-10所示）。
由图象可知，当$-1 ＜ x ＜ 3$时，函数图象位于$x$轴下方，此时$y ＜ 0$，即$x^2 - 2x - 3 ＜ 0$。
所以一元二次不等式$x^2 - 2x - 3 ＜ 0$的解集为$-1 ＜ x ＜ 3$。
通过对上述解题过程的学习，解答下列问题：
(1) 上述解题过程中，主要渗透了下列数学思想中的
①转化思想
②分类讨论思想
③数形结合思想
(2) 一元二次不等式$x^2 - 2x - 3 ＞ 0$的解集为
(3) 用类似的方法解一元二次不等式：$-x^2 + 2x ＜ -8$。
解一元二次不等式：$x^2 - 2x - 3 ＜ 0$。
解：令$x^2 - 2x - 3 = 0$，解得$x_1 = -1, x_2 = 3$，则抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
画出二次函数$y = x^2 - 2x - 3$的大致图象（如图5-4-10所示）。
由图象可知，当$-1 ＜ x ＜ 3$时，函数图象位于$x$轴下方，此时$y ＜ 0$，即$x^2 - 2x - 3 ＜ 0$。
所以一元二次不等式$x^2 - 2x - 3 ＜ 0$的解集为$-1 ＜ x ＜ 3$。
通过对上述解题过程的学习，解答下列问题：
(1) 上述解题过程中，主要渗透了下列数学思想中的
①
和③
；(填序号)①转化思想
②分类讨论思想
③数形结合思想
(2) 一元二次不等式$x^2 - 2x - 3 ＞ 0$的解集为
$x＜-1或x＞3$
；(3) 用类似的方法解一元二次不等式：$-x^2 + 2x ＜ -8$。
答案
10. 解:(1)① ③
(2)$x＜-1$ 或 $x＞3$
(3)令$-x^2+2x=-8$,解得 $x_1=-2,x_2=4$,
则抛物线 $y=-x^2+2x$ 与直线 $y=-8$ 的交点坐标为$(-2,-8)$和$(4,-8)$。
画出二次函数 $y=-x^2+2x$ 的大致图象和直线 $y=-8$,如答图 5-4-3 所示。
由图象可知,当 $x＜-2$ 或 $x＞4$ 时,二次函数图象位于直线 $y=-8$ 的下方,此时 $y＜-8$,即$-x^2+2x＜-8$,
$\therefore$一元二次不等式$-x^2+2x＜-8$的解集为$x＜-2$或$x＞4$。
解析
【分析】
本题借助例题给出的“利用二次函数图像解一元二次不等式”的方法求解3个小问：
(1) 解题时将解不等式的问题转化为研究二次函数图像位置的问题，用到转化思想；同时结合函数图像确定解集，用到数形结合思想，据此可选出对应序号；
(2) 观察二次函数$y=x^2-2x-3$的图像，不等式$x^2-2x-3＞0$对应图像在x轴上方的部分，直接读取对应x的范围即可；
(3) 仿照例题步骤：先令$-x^2+2x=-8$，求解方程得到两个根，确定抛物线$y=-x^2+2x$与直线$y=-8$的交点，再结合开口向下的抛物线图像，找到函数值小于-8时对应的x的范围，即为不等式的解集。
【解析】
(1) 解不等式时，先将一元二次不等式问题转化为二次函数图像与x轴（或水平线）的位置关系问题，体现了①转化思想；再通过观察函数图像确定解集，体现了③数形结合思想，故填①、③。
(2) 抛物线$y=x^2-2x-3$开口向上，与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，当$y＞0$时，图像在x轴上方，对应x的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$，即不等式$x^2-2x-3＞0$的解集为$x＜-1$或$x＞3$。
(3) 第一步：先求对应方程的根，令$-x^2+2x=-8$，整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x+2)(x-4)=0$，解得$x_1=-2,x_2=4$，即抛物线$y=-x^2+2x$与直线$y=-8$的交点坐标为$(-2,-8)$和$(4,-8)$。
第二步：分析图像，抛物线$y=-x^2+2x$开口向下，画出二次函数$y=-x^2+2x$的大致图象和直线$y=-8$，观察图像可得：当$x＜-2$或$x＞4$时，二次函数图象位于直线$y=-8$的下方，此时$y＜-8$，即满足$-x^2+2x＜-8$。
因此不等式$-x^2+2x＜-8$的解集为$x＜-2$或$x＞4$。
【答案】
(1)① ③
(2)$x＜-1$ 或 $x＞3$
(3)令$-x^2+2x=-8$,解得 $x_1=-2,x_2=4$,
则抛物线 $y=-x^2+2x$ 与直线 $y=-8$ 的交点坐标为$(-2,-8)$和$(4,-8)$。
画出二次函数 $y=-x^2+2x$ 的大致图象和直线 $y=-8$,如答图 5-4-3 所示。
由图象可知,当 $x＜-2$ 或 $x＞4$ 时,二次函数图象位于直线 $y=-8$ 的下方,此时 $y＜-8$,即$-x^2+2x＜-8$,
$\therefore$一元二次不等式$-x^2+2x＜-8$的解集为$x＜-2$或$x＞4$。
【知识点】
一元二次不等式解法，二次函数与不等式，数形结合思想
【点评】
本题属于材料阅读类题目，通过给出的解题方法引导学生迁移应用解决新的不等式问题，重点考查对转化、数形结合数学思想的理解与应用，帮助学生建立函数与不等式之间的关联，解题核心是准确求解对应方程的根，结合二次函数开口方向观察图像得到解集。
【难度系数】
0.7
本题借助例题给出的“利用二次函数图像解一元二次不等式”的方法求解3个小问：
(1) 解题时将解不等式的问题转化为研究二次函数图像位置的问题，用到转化思想；同时结合函数图像确定解集，用到数形结合思想，据此可选出对应序号；
(2) 观察二次函数$y=x^2-2x-3$的图像，不等式$x^2-2x-3＞0$对应图像在x轴上方的部分，直接读取对应x的范围即可；
(3) 仿照例题步骤：先令$-x^2+2x=-8$，求解方程得到两个根，确定抛物线$y=-x^2+2x$与直线$y=-8$的交点，再结合开口向下的抛物线图像，找到函数值小于-8时对应的x的范围，即为不等式的解集。
【解析】
(1) 解不等式时，先将一元二次不等式问题转化为二次函数图像与x轴（或水平线）的位置关系问题，体现了①转化思想；再通过观察函数图像确定解集，体现了③数形结合思想，故填①、③。
(2) 抛物线$y=x^2-2x-3$开口向上，与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，当$y＞0$时，图像在x轴上方，对应x的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$，即不等式$x^2-2x-3＞0$的解集为$x＜-1$或$x＞3$。
(3) 第一步：先求对应方程的根，令$-x^2+2x=-8$，整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x+2)(x-4)=0$，解得$x_1=-2,x_2=4$，即抛物线$y=-x^2+2x$与直线$y=-8$的交点坐标为$(-2,-8)$和$(4,-8)$。
第二步：分析图像，抛物线$y=-x^2+2x$开口向下，画出二次函数$y=-x^2+2x$的大致图象和直线$y=-8$，观察图像可得：当$x＜-2$或$x＞4$时，二次函数图象位于直线$y=-8$的下方，此时$y＜-8$，即满足$-x^2+2x＜-8$。
因此不等式$-x^2+2x＜-8$的解集为$x＜-2$或$x＞4$。
【答案】
(1)① ③
(2)$x＜-1$ 或 $x＞3$
(3)令$-x^2+2x=-8$,解得 $x_1=-2,x_2=4$,
则抛物线 $y=-x^2+2x$ 与直线 $y=-8$ 的交点坐标为$(-2,-8)$和$(4,-8)$。
画出二次函数 $y=-x^2+2x$ 的大致图象和直线 $y=-8$,如答图 5-4-3 所示。
由图象可知,当 $x＜-2$ 或 $x＞4$ 时,二次函数图象位于直线 $y=-8$ 的下方,此时 $y＜-8$,即$-x^2+2x＜-8$,
$\therefore$一元二次不等式$-x^2+2x＜-8$的解集为$x＜-2$或$x＞4$。
【知识点】
一元二次不等式解法，二次函数与不等式，数形结合思想
【点评】
本题属于材料阅读类题目，通过给出的解题方法引导学生迁移应用解决新的不等式问题，重点考查对转化、数形结合数学思想的理解与应用，帮助学生建立函数与不等式之间的关联，解题核心是准确求解对应方程的根，结合二次函数开口方向观察图像得到解集。
【难度系数】
0.7
