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1. 已知抛物线 $ y=x^2 -bx +c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(1,0),B(-3,0) $，则关于 $ x $ 的方程 $ x^2 -bx +c=0 $ 的解是(
A.$ x_1=-1,x_2=-3 $
B.$ x_1=-1,x_2=3 $
C.$ x_1=1,x_2=-3 $
D.$ x_1=1,x_2=3 $
C
)。A.$ x_1=-1,x_2=-3 $
B.$ x_1=-1,x_2=3 $
C.$ x_1=1,x_2=-3 $
D.$ x_1=1,x_2=3 $
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题思路如下：首先明确核心知识点：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根（因为交点处$y=0$，恰好满足方程的形式）。题目已经直接给出抛物线$y=x^2 -bx +c$与x轴的两个交点坐标$A(1,0)$、$B(-3,0)$，我们只需要提取两个交点的横坐标，就是所求方程的解，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解。
已知抛物线$y=x^2 -bx +c$与x轴交于点$A(1,0)$、$B(-3,0)$，因此方程$x^2 -bx +c=0$的两个解为$x_1=1$，$x_2=-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.函数图象与坐标轴交点的含义
【点评】
本题是基础概念类题目，只要掌握抛物线与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程的根的对应关系，就能快速解题，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题思路如下：首先明确核心知识点：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根（因为交点处$y=0$，恰好满足方程的形式）。题目已经直接给出抛物线$y=x^2 -bx +c$与x轴的两个交点坐标$A(1,0)$、$B(-3,0)$，我们只需要提取两个交点的横坐标，就是所求方程的解，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解。
已知抛物线$y=x^2 -bx +c$与x轴交于点$A(1,0)$、$B(-3,0)$，因此方程$x^2 -bx +c=0$的两个解为$x_1=1$，$x_2=-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.函数图象与坐标轴交点的含义
【点评】
本题是基础概念类题目，只要掌握抛物线与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程的根的对应关系，就能快速解题，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数$y=x^2+2x-4$的部分对应值如表5-4-1所示：
表5-4-1
那么方程$x^2+2x-4=0$的一个近似根是（结果只取到十分位）（
A.1.1
B.1.2
C.1.3
D.1.4
表5-4-1
那么方程$x^2+2x-4=0$的一个近似根是（结果只取到十分位）（
B
）。A.1.1
B.1.2
C.1.3
D.1.4
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程的根和对应二次函数的关系：方程$x^2+2x-4=0$的根就是二次函数$y=x^2+2x-4$中函数值$y=0$时对应的自变量$x$的取值。接下来观察表格中的函数值，找到$y$值由负变正的区间，即可确定根的所在范围，再比较区间两端点对应的$y$值哪个更接近0，就能得到更精确的近似根。
【解析】
方程$x^2+2x-4=0$的根是二次函数$y=x^2+2x-4$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=1.2$时，$y=-0.16＜0$；当$x=1.3$时，$y=0.29＞0$，因此方程的一个根在$1.2$和$1.3$之间。
再比较两个$y$值与0的距离：$|-0.16|=0.16$，$|0.29|=0.29$，因为$0.16＜0.29$，说明$x=1.2$时的函数值更接近0，因此方程的这个近似根取十分位为$1.2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，估算方程近似根
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值判断对应一元二次方程近似根的方法，解题关键是理解方程的根与函数值为0时自变量取值的对应关系，通过函数值正负确定根的区间，再结合函数值与0的接近程度确定近似值，属于二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程的根和对应二次函数的关系：方程$x^2+2x-4=0$的根就是二次函数$y=x^2+2x-4$中函数值$y=0$时对应的自变量$x$的取值。接下来观察表格中的函数值，找到$y$值由负变正的区间，即可确定根的所在范围，再比较区间两端点对应的$y$值哪个更接近0，就能得到更精确的近似根。
【解析】
方程$x^2+2x-4=0$的根是二次函数$y=x^2+2x-4$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=1.2$时，$y=-0.16＜0$；当$x=1.3$时，$y=0.29＞0$，因此方程的一个根在$1.2$和$1.3$之间。
再比较两个$y$值与0的距离：$|-0.16|=0.16$，$|0.29|=0.29$，因为$0.16＜0.29$，说明$x=1.2$时的函数值更接近0，因此方程的这个近似根取十分位为$1.2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，估算方程近似根
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值判断对应一元二次方程近似根的方法，解题关键是理解方程的根与函数值为0时自变量取值的对应关系，通过函数值正负确定根的区间，再结合函数值与0的接近程度确定近似值，属于二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图5-4-6，以$(2,5)$为顶点的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴负半轴交于$A$点，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是(
A.$2＜x＜3$
B.$1＜x＜2$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
D
)。A.$2＜x＜3$
B.$1＜x＜2$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
答案
3.D
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解范围，首先明确该方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。已知二次函数顶点为$(2,5)$，可得函数对称轴为直线$x=2$，二次函数图像关于对称轴对称，左右两个交点到对称轴的距离相等。首先观察图像得到左侧交点的横坐标范围，再利用对称性即可推导右侧正根的范围。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,5)$，
∴ 函数的对称轴为直线$x=2$。
由图像可知，函数与x轴负半轴的交点A的横坐标满足：$-2 ＜ x_A ＜ -1$。
设函数与x轴正半轴交点的横坐标为$x_2$，根据二次函数的对称性，对称轴是两个交点横坐标的中点，即$\frac{x_A + x_2}{2} = 2$，变形得$x_2 = 4 - x_A$。
对$x_A$的范围进行变形：
当$x_A ＞ -2$时，$-x_A ＜ 2$，则$x_2 = 4 - x_A ＜ 4 + 2 = 6$；
当$x_A ＜ -1$时，$-x_A ＞ 1$，则$x_2 = 4 - x_A ＞ 4 + 1 = 5$。
因此正根$x_2$的范围是$5 ＜ x ＜ 6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题无需计算函数解析式，只需利用二次函数的轴对称性，结合左侧交点的横坐标范围即可推导右侧交点范围，是二次函数图像性质的基础应用。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解范围，首先明确该方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。已知二次函数顶点为$(2,5)$，可得函数对称轴为直线$x=2$，二次函数图像关于对称轴对称，左右两个交点到对称轴的距离相等。首先观察图像得到左侧交点的横坐标范围，再利用对称性即可推导右侧正根的范围。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,5)$，
∴ 函数的对称轴为直线$x=2$。
由图像可知，函数与x轴负半轴的交点A的横坐标满足：$-2 ＜ x_A ＜ -1$。
设函数与x轴正半轴交点的横坐标为$x_2$，根据二次函数的对称性，对称轴是两个交点横坐标的中点，即$\frac{x_A + x_2}{2} = 2$，变形得$x_2 = 4 - x_A$。
对$x_A$的范围进行变形：
当$x_A ＞ -2$时，$-x_A ＜ 2$，则$x_2 = 4 - x_A ＜ 4 + 2 = 6$；
当$x_A ＜ -1$时，$-x_A ＞ 1$，则$x_2 = 4 - x_A ＞ 4 + 1 = 5$。
因此正根$x_2$的范围是$5 ＜ x ＜ 6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题无需计算函数解析式，只需利用二次函数的轴对称性，结合左侧交点的横坐标范围即可推导右侧交点范围，是二次函数图像性质的基础应用。
【难度系数】
0.7
4. 关于x的二次函数$y=x^2 -3x +k$的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是
$k＜\dfrac{9}{4}$
。答案
4.$k＜\dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
遇到二次函数图象与x轴交点个数的问题，首先要想到它和对应一元二次方程根的个数是一一对应的：图象与x轴有2个不同交点，等价于对应一元二次方程有2个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0。接下来只需确定对应方程的各项系数，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到k的取值范围，本题二次项系数为1≠0，无需额外考虑二次项系数为0的情况。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=x^2 -3x +k$的图象与x轴有两个不同的交点
∴ 对应的一元二次方程$x^2 -3x +k = 0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=-3$，$c=k$，代入得：
$(-3)^2 - 4× 1× k ＞ 0$
$9 - 4k ＞ 0$
移项得：$4k ＜ 9$
解得：$k ＜ \dfrac{9}{4}$
【答案】
$k ＜ \dfrac{9}{4}$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础考点题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应转化关系，解题的关键是熟练掌握交点个数与判别式符号的对应规律，计算时注意判别式中各项系数的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
遇到二次函数图象与x轴交点个数的问题，首先要想到它和对应一元二次方程根的个数是一一对应的：图象与x轴有2个不同交点，等价于对应一元二次方程有2个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0。接下来只需确定对应方程的各项系数，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到k的取值范围，本题二次项系数为1≠0，无需额外考虑二次项系数为0的情况。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=x^2 -3x +k$的图象与x轴有两个不同的交点
∴ 对应的一元二次方程$x^2 -3x +k = 0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=-3$，$c=k$，代入得：
$(-3)^2 - 4× 1× k ＞ 0$
$9 - 4k ＞ 0$
移项得：$4k ＜ 9$
解得：$k ＜ \dfrac{9}{4}$
【答案】
$k ＜ \dfrac{9}{4}$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础考点题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应转化关系，解题的关键是熟练掌握交点个数与判别式符号的对应规律，计算时注意判别式中各项系数的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
5. 图5-4-7是抛物线$y_1=ax^2+bx+c$的一部分和直线$y_2=mx+n(m≠0)$。抛物线的顶点为A(1,3)，与x轴的一个交点为B(4,0)，直线
图5-4-7
$y_2=mx+n$经过A，B两点。小荷给出了以下结论：①$abc＜0$；②方程$ax^2+bx+c-3=0$有两个相等的实数根；③当$1＜x＜4$时，$y_1≤y_2$；④抛物线与x轴的另一个交点是$(-2,0)$。其中正确的是
图5-4-7
$y_2=mx+n$经过A，B两点。小荷给出了以下结论：①$abc＜0$；②方程$ax^2+bx+c-3=0$有两个相等的实数根；③当$1＜x＜4$时，$y_1≤y_2$；④抛物线与x轴的另一个交点是$(-2,0)$。其中正确的是
①②④
。（填序号）答案
5.①②④
解析
【分析】
解题时先结合抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴，推导a、b、c的符号判断结论①；再根据抛物线的最值特点，判断方程$ax^2+bx+c-3=0$的根的情况验证结论②；接着观察$1＜x＜4$区间内两个函数图像的上下位置，判断结论③；最后利用抛物线的对称性求与x轴的另一个交点，验证结论④，最终筛选出正确结论。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 判断结论①：
抛物线开口向下，故$a＜0$；
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，结合$a＜0$，可得$b＞0$；
抛物线与y轴交点在y轴正半轴，故$c＞0$；
因此$abc=a× b× c＜0$，结论①正确。
2. 判断结论②：
方程$ax^2+bx+c-3=0$等价于$y_1=3$，已知抛物线顶点为$A(1,3)$，即抛物线的最大值为3，仅当$x=1$时$y_1=3$，因此该方程有两个相等的实数根，结论②正确。
3. 判断结论③：
观察图像可得，当$1＜x＜4$时，抛物线$y_1$的图像始终在直线$y_2$的上方，即$y_1＞y_2$，故结论③错误。
4. 判断结论④：
抛物线关于对称轴$x=1$对称，因此抛物线与x轴的两个交点也关于$x=1$对称，已知一个交点为$B(4,0)$，设另一个交点坐标为$(x,0)$，则$\frac{x+4}{2}=1$，解得$x=-2$，即另一个交点是$(-2,0)$，结论④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程；一次函数的图像
【点评】
本题结合数形结合思想，综合考查了二次函数、一次函数的图像性质，以及二次函数与方程的联系，解题的关键是熟练掌握抛物线的开口、对称轴、对称性、最值等核心性质，结合图像信息逐一推导判断。
【难度系数】
0.6
解题时先结合抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴，推导a、b、c的符号判断结论①；再根据抛物线的最值特点，判断方程$ax^2+bx+c-3=0$的根的情况验证结论②；接着观察$1＜x＜4$区间内两个函数图像的上下位置，判断结论③；最后利用抛物线的对称性求与x轴的另一个交点，验证结论④，最终筛选出正确结论。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 判断结论①：
抛物线开口向下，故$a＜0$；
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，结合$a＜0$，可得$b＞0$；
抛物线与y轴交点在y轴正半轴，故$c＞0$；
因此$abc=a× b× c＜0$，结论①正确。
2. 判断结论②：
方程$ax^2+bx+c-3=0$等价于$y_1=3$，已知抛物线顶点为$A(1,3)$，即抛物线的最大值为3，仅当$x=1$时$y_1=3$，因此该方程有两个相等的实数根，结论②正确。
3. 判断结论③：
观察图像可得，当$1＜x＜4$时，抛物线$y_1$的图像始终在直线$y_2$的上方，即$y_1＞y_2$，故结论③错误。
4. 判断结论④：
抛物线关于对称轴$x=1$对称，因此抛物线与x轴的两个交点也关于$x=1$对称，已知一个交点为$B(4,0)$，设另一个交点坐标为$(x,0)$，则$\frac{x+4}{2}=1$，解得$x=-2$，即另一个交点是$(-2,0)$，结论④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程；一次函数的图像
【点评】
本题结合数形结合思想，综合考查了二次函数、一次函数的图像性质，以及二次函数与方程的联系，解题的关键是熟练掌握抛物线的开口、对称轴、对称性、最值等核心性质，结合图像信息逐一推导判断。
【难度系数】
0.6
6. 已知二次函数 $ y = -x^2 -2x +2 $。
(1)填写表5-4-2，并在给出的平面直角坐标系(如图5-4-8)中画出这个二次函数的图象；
表5-4-2
| $ x $ | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y $ | … |
|
(2)结合函数图象，直接给出方程 $ -x^2 -2x +2 =0 $ 的近似解在哪两个连续整数之间。
图5-4-8
(1)填写表5-4-2，并在给出的平面直角坐标系(如图5-4-8)中画出这个二次函数的图象；
表5-4-2
| $ x $ | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y $ | … |
-6
| -1
| | 3
| 2
| -1
| -6
| … |(2)结合函数图象，直接给出方程 $ -x^2 -2x +2 =0 $ 的近似解在哪两个连续整数之间。
图5-4-8
答案
6. 解:(1)如答表5-4-1：
答表5-4-1
| $x$ | … | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $-6$ | $-1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $-1$ | $-6$ | … |
所画图象如答图5-4-2。
(2)由图象可知,方程$-x^2-2x+2=0$的两个近似解分别在$-3,-2$之间和$0,1$之间。
解析
【分析】
(1) 要得到表格中对应x的y值，只需将每个x的取值依次代入二次函数解析式$y=-x^2-2x+2$，按照运算规则计算即可得到对应的函数值；之后在坐标系中描出表格对应的点，用平滑曲线顺次连接各点就能得到二次函数的图象。
(2) 一元二次方程$-x^2-2x+2=0$的解，本质是二次函数$y=-x^2-2x+2$的图象与x轴交点的横坐标，因此观察画出的函数图象，找到图象与x轴交点所在的连续整数区间，就是方程近似解所在的区间。
【解析】
(1) 将各x值代入解析式计算：
当$x=-4$时，$y=-(-4)^2-2×(-4)+2=-16+8+2=-6$；
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2-2×(-3)+2=-9+6+2=-1$；
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+2=-4+4+2=2$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2-2×(-1)+2=-1+2+2=3$；
当$x=0$时，$y=-0^2-2×0+2=2$；
当$x=1$时，$y=-1^2-2×1+2=-1-2+2=-1$；
当$x=2$时，$y=-2^2-2×2+2=-4-4+2=-6$；
将上述结果填入表格，再在平面直角坐标系中描出各点，用平滑曲线连接得到二次函数图象。
(2) 观察图象可知，二次函数图象与x轴有两个交点，一个交点横坐标在$-3$和$-2$之间，另一个交点横坐标在$0$和$1$之间，对应就是方程解的范围。
【答案】
(1) 表格中y值依次为$\boldsymbol{-6}$、$\boldsymbol{-1}$、$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{-1}$、$\boldsymbol{-6}$；所画图象如下：
(2) 方程$-x^2-2x+2=0$的两个近似解分别在$-3,-2$之间和$0,1$之间。
【知识点】
二次函数值计算；二次函数图象画法；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数基础题型，既考查了函数值计算、图象绘制的基本技能，也考查了数形结合思想的应用，通过函数图象判断对应方程解的范围，是二次函数与一元二次方程关联的典型考法。
【难度系数】
0.8
(1) 要得到表格中对应x的y值，只需将每个x的取值依次代入二次函数解析式$y=-x^2-2x+2$，按照运算规则计算即可得到对应的函数值；之后在坐标系中描出表格对应的点，用平滑曲线顺次连接各点就能得到二次函数的图象。
(2) 一元二次方程$-x^2-2x+2=0$的解，本质是二次函数$y=-x^2-2x+2$的图象与x轴交点的横坐标，因此观察画出的函数图象，找到图象与x轴交点所在的连续整数区间，就是方程近似解所在的区间。
【解析】
(1) 将各x值代入解析式计算：
当$x=-4$时，$y=-(-4)^2-2×(-4)+2=-16+8+2=-6$；
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2-2×(-3)+2=-9+6+2=-1$；
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+2=-4+4+2=2$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2-2×(-1)+2=-1+2+2=3$；
当$x=0$时，$y=-0^2-2×0+2=2$；
当$x=1$时，$y=-1^2-2×1+2=-1-2+2=-1$；
当$x=2$时，$y=-2^2-2×2+2=-4-4+2=-6$；
将上述结果填入表格，再在平面直角坐标系中描出各点，用平滑曲线连接得到二次函数图象。
(2) 观察图象可知，二次函数图象与x轴有两个交点，一个交点横坐标在$-3$和$-2$之间，另一个交点横坐标在$0$和$1$之间，对应就是方程解的范围。
【答案】
(1) 表格中y值依次为$\boldsymbol{-6}$、$\boldsymbol{-1}$、$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{-1}$、$\boldsymbol{-6}$；所画图象如下：
(2) 方程$-x^2-2x+2=0$的两个近似解分别在$-3,-2$之间和$0,1$之间。
【知识点】
二次函数值计算；二次函数图象画法；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数基础题型，既考查了函数值计算、图象绘制的基本技能，也考查了数形结合思想的应用，通过函数图象判断对应方程解的范围，是二次函数与一元二次方程关联的典型考法。
【难度系数】
0.8
