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8. 在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=x^2+bx+c$经过点$A(0,2),B(3,-1)$。
(1)求该抛物线的表达式。
(2)过点$(0,t)$且与$y$轴垂直的直线$l$与抛物线交于点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$,其中$x_1＜x_2$,与直线$AB$交于点$N(x_3,y_3)$。若$x_1＜x_3＜x_2$,直接写出$t$的取值范围。
(1)求该抛物线的表达式。
(2)过点$(0,t)$且与$y$轴垂直的直线$l$与抛物线交于点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$,其中$x_1＜x_2$,与直线$AB$交于点$N(x_3,y_3)$。若$x_1＜x_3＜x_2$,直接写出$t$的取值范围。
答案
(1)将点 A 和点 B 的坐标代入抛物线表达式得，
$\begin{cases} c=2,\\ 9+3b+c=-1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} b=-4,\\ c=2。 \end{cases}$
∴抛物线的表达式为 $y=x^2-4x+2$。
(2)二次函数的大致图象如答图5-4-1所示，
∵当直线 $y=t$ 在点 A 和点 B 之间时，满足 $x_1＜x_3＜x_2$，
∴$t$ 的取值范围是 $-1＜t＜2$。
解析
【分析】
(1) 要求抛物线的表达式，已知抛物线的一般式为$y=x^2+bx+c$，仅含$b、c$两个未知系数，且已知抛物线经过$A、B$两个定点，将两点坐标代入一般式即可得到关于$b、c$的二元一次方程组，解方程组求出系数后就能得到抛物线表达式。
(2) 直线$l$为$y=t$，与抛物线的两个交点$P、Q$的横坐标对应方程$x^2-4x+2=t$的两个实根，与直线$AB$的交点$N$的横坐标$x_3$是直线$AB$上$y=t$时对应的$x$值。要满足$x_1＜x_3＜x_2$，结合图象分析：当直线$y=t$位于点$A$（纵坐标为2）和点$B$（纵坐标为-1）之间时，$N$点恰好落在$P、Q$两点之间，排除不符合条件的端点即可得到$t$的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(0,2)$、$B(3,-1)$代入抛物线表达式$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases} c=2\\ 9+3b+c=-1 \end{cases}$
把$c=2$代入第二个方程，得$9+3b+2=-1$，解得$b=-4$。
因此$\begin{cases} b=-4\\ c=2 \end{cases}$，即可得到抛物线的表达式。
(2) 观察图象可知：直线$AB$过$A(0,2)$、$B(3,-1)$两点，抛物线开口向上。当直线$y=t$在$A、B$两点的纵坐标之间时，直线$y=t$与$AB$的交点$N$恰好落在抛物线与直线$y=t$的两个交点$P、Q$之间，满足$x_1＜x_3＜x_2$。
当$t=2$时，交点$N$与$A$重合，此时$x_1=x_3=0$，不满足$x_1＜x_3$；当$t=-1$时，交点$N$与$B$重合，此时$x_3=x_2=3$，不满足$x_3＜x_2$，因此取$-1＜t＜2$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为 $y=x^2-4x+2$。
(2) 二次函数的大致图象如答图5-4-1所示，
$t$ 的取值范围是 $-1＜t＜2$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象性质，一次函数图象应用
【点评】
本题第一问为基础题型，考查待定系数法求函数解析式的常规应用；第二问需要结合函数图象分析交点的位置关系，体现了数形结合思想的应用，解题时要注意验证端点值是否符合题意。
【难度系数】
0.7
(1) 要求抛物线的表达式，已知抛物线的一般式为$y=x^2+bx+c$，仅含$b、c$两个未知系数，且已知抛物线经过$A、B$两个定点，将两点坐标代入一般式即可得到关于$b、c$的二元一次方程组，解方程组求出系数后就能得到抛物线表达式。
(2) 直线$l$为$y=t$，与抛物线的两个交点$P、Q$的横坐标对应方程$x^2-4x+2=t$的两个实根，与直线$AB$的交点$N$的横坐标$x_3$是直线$AB$上$y=t$时对应的$x$值。要满足$x_1＜x_3＜x_2$，结合图象分析：当直线$y=t$位于点$A$（纵坐标为2）和点$B$（纵坐标为-1）之间时，$N$点恰好落在$P、Q$两点之间，排除不符合条件的端点即可得到$t$的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(0,2)$、$B(3,-1)$代入抛物线表达式$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases} c=2\\ 9+3b+c=-1 \end{cases}$
把$c=2$代入第二个方程，得$9+3b+2=-1$，解得$b=-4$。
因此$\begin{cases} b=-4\\ c=2 \end{cases}$，即可得到抛物线的表达式。
(2) 观察图象可知：直线$AB$过$A(0,2)$、$B(3,-1)$两点，抛物线开口向上。当直线$y=t$在$A、B$两点的纵坐标之间时，直线$y=t$与$AB$的交点$N$恰好落在抛物线与直线$y=t$的两个交点$P、Q$之间，满足$x_1＜x_3＜x_2$。
当$t=2$时，交点$N$与$A$重合，此时$x_1=x_3=0$，不满足$x_1＜x_3$；当$t=-1$时，交点$N$与$B$重合，此时$x_3=x_2=3$，不满足$x_3＜x_2$，因此取$-1＜t＜2$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为 $y=x^2-4x+2$。
(2) 二次函数的大致图象如答图5-4-1所示，
$t$ 的取值范围是 $-1＜t＜2$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象性质，一次函数图象应用
【点评】
本题第一问为基础题型，考查待定系数法求函数解析式的常规应用；第二问需要结合函数图象分析交点的位置关系，体现了数形结合思想的应用，解题时要注意验证端点值是否符合题意。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 已知抛物线$C:y=ax^2+bx+c$经过$(-5,0),(0,\dfrac{5}{2}),(1,6)$三点，直线$l$的表达式为$y=2x-3$。
(1)求抛物线$C$的表达式；
(2)判断抛物线$C$与直线$l$有无交点；
(3)若与直线$l$平行的直线$y=2x+m$与抛物线$C$只有一个公共点$P$，求点$P$的坐标。
9. 已知抛物线$C:y=ax^2+bx+c$经过$(-5,0),(0,\dfrac{5}{2}),(1,6)$三点，直线$l$的表达式为$y=2x-3$。
(1)求抛物线$C$的表达式；
(2)判断抛物线$C$与直线$l$有无交点；
(3)若与直线$l$平行的直线$y=2x+m$与抛物线$C$只有一个公共点$P$，求点$P$的坐标。
答案
(1)
∵抛物线 C 经过$(-5,0),(0,\dfrac{5}{2}),(1,6)$三点，
∴$\begin{cases} 0=25a-5b+c,\\ \dfrac{5}{2}=c,\\ 6=a+b+c, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{2},\\ b=3,\\ c=\dfrac{5}{2}, \end{cases}$
∴抛物线 C 的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$。
(2)由(1)得抛物线 C 的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，
∴把 $y=2x-3$ 代入上式得 $2x-3=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，
整理得 $\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{11}{2}=0$，
∵$\Delta_1=1^2-4×\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{2}=-10＜0$，
∴方程无实数根，即抛物线 C 与直线 l 无交点。
(3)把 $y=2x+m$ 代入 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，得
$\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2}-m=0$①。
∵抛物线 C 与直线 $y=2x+m$ 只有一个公共点 P，
∴$\Delta_2=1^2-4×\dfrac{1}{2}×(\dfrac{5}{2}-m)=0$，
解得 $m=2$。
把 $m=2$ 代入方程①得，$\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2}-2=0$，解得 $x=-1$；
把 $x=-1$ 代入 $y=2x+2$，得 $y=0$。
∴$P(-1,0)$。
∵抛物线 C 经过$(-5,0),(0,\dfrac{5}{2}),(1,6)$三点，
∴$\begin{cases} 0=25a-5b+c,\\ \dfrac{5}{2}=c,\\ 6=a+b+c, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{2},\\ b=3,\\ c=\dfrac{5}{2}, \end{cases}$
∴抛物线 C 的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$。
(2)由(1)得抛物线 C 的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，
∴把 $y=2x-3$ 代入上式得 $2x-3=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，
整理得 $\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{11}{2}=0$，
∵$\Delta_1=1^2-4×\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{2}=-10＜0$，
∴方程无实数根，即抛物线 C 与直线 l 无交点。
(3)把 $y=2x+m$ 代入 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，得
$\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2}-m=0$①。
∵抛物线 C 与直线 $y=2x+m$ 只有一个公共点 P，
∴$\Delta_2=1^2-4×\dfrac{1}{2}×(\dfrac{5}{2}-m)=0$，
解得 $m=2$。
把 $m=2$ 代入方程①得，$\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2}-2=0$，解得 $x=-1$；
把 $x=-1$ 代入 $y=2x+2$，得 $y=0$。
∴$P(-1,0)$。
解析
【分析】
(1) 题目给出了抛物线的一般式以及经过的三个定点坐标，我们只需将三个点的坐标分别代入一般式，就能得到关于a、b、c的三元一次方程组，解出三个系数的值即可确定抛物线的表达式。
(2) 判断抛物线与直线有无交点的常规思路是联立两个函数的表达式，消去y后得到关于x的一元二次方程，通过计算方程的判别式Δ判断根的情况：Δ＜0时方程无实根，对应两个函数无交点；Δ≥0时有实根，对应有交点。
(3) 与直线l平行的直线斜率相同，题目已给出直线表达式为y=2x+m，直线与抛物线只有一个公共点，说明联立后得到的一元二次方程有两个相等的实数根，即Δ=0，先求出m的值，再回代方程求出x的值，最后代入直线表达式求出对应y值，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)
∵抛物线 C 经过$(-5,0),(0,\dfrac{5}{2}),(1,6)$三点，
∴$\begin{cases} 0=25a-5b+c,\\ \dfrac{5}{2}=c,\\ 6=a+b+c, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{2},\\ b=3,\\ c=\dfrac{5}{2}, \end{cases}$
∴抛物线 C 的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$。
(2) 由(1)得抛物线 C 的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，
把 $y=2x-3$ 代入上式得 $2x-3=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，
整理得 $\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{11}{2}=0$，
∵$\Delta_1=1^2-4×\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{2}=-10＜0$，
∴方程无实数根，即抛物线 C 与直线 l 无交点。
(3) 把 $y=2x+m$ 代入 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，得
$\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2}-m=0$①。
∵抛物线 C 与直线 $y=2x+m$ 只有一个公共点 P，
∴$\Delta_2=1^2-4×\dfrac{1}{2}×(\dfrac{5}{2}-m)=0$，
解得 $m=2$。
把 $m=2$ 代入方程①得，$\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2}-2=0$，解得 $x=-1$；
把 $x=-1$ 代入 $y=2x+2$，得 $y=0$。
∴$P(-1,0)$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$
(2) 抛物线C与直线l无交点
(3) $P(-1,0)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 函数交点与一元二次方程的关系
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，核心考察二次函数与一次函数交点问题的常规解法，掌握联立函数式转化为一元二次方程，利用判别式判断交点个数的思路即可顺利解题，计算时注意系数符号避免出错。
【难度系数】
0.7
(1) 题目给出了抛物线的一般式以及经过的三个定点坐标，我们只需将三个点的坐标分别代入一般式，就能得到关于a、b、c的三元一次方程组，解出三个系数的值即可确定抛物线的表达式。
(2) 判断抛物线与直线有无交点的常规思路是联立两个函数的表达式，消去y后得到关于x的一元二次方程，通过计算方程的判别式Δ判断根的情况：Δ＜0时方程无实根，对应两个函数无交点；Δ≥0时有实根，对应有交点。
(3) 与直线l平行的直线斜率相同，题目已给出直线表达式为y=2x+m，直线与抛物线只有一个公共点，说明联立后得到的一元二次方程有两个相等的实数根，即Δ=0，先求出m的值，再回代方程求出x的值，最后代入直线表达式求出对应y值，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)
∵抛物线 C 经过$(-5,0),(0,\dfrac{5}{2}),(1,6)$三点，
∴$\begin{cases} 0=25a-5b+c,\\ \dfrac{5}{2}=c,\\ 6=a+b+c, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{2},\\ b=3,\\ c=\dfrac{5}{2}, \end{cases}$
∴抛物线 C 的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$。
(2) 由(1)得抛物线 C 的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，
把 $y=2x-3$ 代入上式得 $2x-3=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，
整理得 $\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{11}{2}=0$，
∵$\Delta_1=1^2-4×\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{2}=-10＜0$，
∴方程无实数根，即抛物线 C 与直线 l 无交点。
(3) 把 $y=2x+m$ 代入 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$，得
$\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2}-m=0$①。
∵抛物线 C 与直线 $y=2x+m$ 只有一个公共点 P，
∴$\Delta_2=1^2-4×\dfrac{1}{2}×(\dfrac{5}{2}-m)=0$，
解得 $m=2$。
把 $m=2$ 代入方程①得，$\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2}-2=0$，解得 $x=-1$；
把 $x=-1$ 代入 $y=2x+2$，得 $y=0$。
∴$P(-1,0)$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{5}{2}$
(2) 抛物线C与直线l无交点
(3) $P(-1,0)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 函数交点与一元二次方程的关系
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，核心考察二次函数与一次函数交点问题的常规解法，掌握联立函数式转化为一元二次方程，利用判别式判断交点个数的思路即可顺利解题，计算时注意系数符号避免出错。
【难度系数】
0.7
10. 已知二次函数 $y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$，$a$ 为常数。
(1)求证:该二次函数的图象不经过原点；
(2)若该二次函数的图象与 $x$ 轴有交点，求 $a$ 的值；
(3)若该二次函数的图象与直线 $y=2a^2$ 有两个交点，求 $a$ 的取值范围。
(1)求证:该二次函数的图象不经过原点；
(2)若该二次函数的图象与 $x$ 轴有交点，求 $a$ 的值；
(3)若该二次函数的图象与直线 $y=2a^2$ 有两个交点，求 $a$ 的取值范围。
答案
(1)证明:
∵ 当 $x=0$ 时，$y = 3a^2 - 2a + 3 = 3(a-\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{8}{3}＞0$，
∴该二次函数的图象不经过原点。
(2)解:
∵该二次函数的图象与 $x$ 轴有交点，
∴$\Delta=4(a+1)^2-4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2≥0$，
∴$8(a-1)^2≤0$。
又
∵$8(a-1)^2≥0$，
∴$8(a-1)^2=0$，
解得 $a=1$。
(3)解:
∵二次函数 $y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$ 中，二次项系数 $1＞0$，
∴二次函数的图象开口向上。
∵二次函数的图象与直线 $y=2a^2$ 有两个交点，
∴该函数的最小值小于 $2a^2$，
则$\dfrac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2＜2a^2$，
解得 $a＞\dfrac{1}{2}$。
∵ 当 $x=0$ 时，$y = 3a^2 - 2a + 3 = 3(a-\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{8}{3}＞0$，
∴该二次函数的图象不经过原点。
(2)解:
∵该二次函数的图象与 $x$ 轴有交点，
∴$\Delta=4(a+1)^2-4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2≥0$，
∴$8(a-1)^2≤0$。
又
∵$8(a-1)^2≥0$，
∴$8(a-1)^2=0$，
解得 $a=1$。
(3)解:
∵二次函数 $y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$ 中，二次项系数 $1＞0$，
∴二次函数的图象开口向上。
∵二次函数的图象与直线 $y=2a^2$ 有两个交点，
∴该函数的最小值小于 $2a^2$，
则$\dfrac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2＜2a^2$，
解得 $a＞\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1)要证明二次函数图象不经过原点，可代入原点坐标(0,0)验证：若x=0时y的值恒不为0，则图象不过原点，可通过配方法判断y的取值范围。
(2)二次函数图象与x轴有交点，等价于对应一元二次方程有实数根，即判别式Δ≥0，计算Δ后结合平方的非负性即可求解a的值。
(3)二次函数图象与直线有两个交点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程有两个不等实根，对于开口向上的二次函数，也可转化为函数最小值小于直线的y值，列不等式求解即可。
【解析】
(1)证明：
∵ 当$x=0$时，代入二次函数解析式得 $y = 3a^2 - 2a + 3 = 3(a-\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{8}{3}$，
∵ $3(a-\dfrac{1}{3})^2≥0$，
∴ $3(a-\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{8}{3}≥\dfrac{8}{3}＞0$，
即x=0时y恒大于0，不可能为0，
∴该二次函数的图象不经过原点。
(2)解：
∵二次函数图象与x轴有交点，即方程$x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3=0$有实数根，
∴判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，
代入系数得：
$\Delta=4(a+1)^2-4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2≥0$，
∴$8(a-1)^2≤0$，
又
∵平方具有非负性，$8(a-1)^2≥0$，
∴$8(a-1)^2=0$，
解得 $a=1$。
(3)解：
∵二次函数$y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$的二次项系数$1＞0$，
∴二次函数图象开口向上，
若图象与直线$y=2a^2$有两个交点，则二次函数的最小值小于$2a^2$，
二次函数最小值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，代入得：
$\dfrac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2$，
列不等式：$2a^2-4a+2＜2a^2$，
化简得：$-4a+2＜0$，
解得 $a＞\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$a=1$；
(3)$a＞\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次函数图象性质，根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考察二次函数与方程的转化逻辑，结合了配方法、平方非负性、不等式求解等内容，核心是掌握函数交点问题和方程根的情况的转化方法，侧重基础方法的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明二次函数图象不经过原点，可代入原点坐标(0,0)验证：若x=0时y的值恒不为0，则图象不过原点，可通过配方法判断y的取值范围。
(2)二次函数图象与x轴有交点，等价于对应一元二次方程有实数根，即判别式Δ≥0，计算Δ后结合平方的非负性即可求解a的值。
(3)二次函数图象与直线有两个交点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程有两个不等实根，对于开口向上的二次函数，也可转化为函数最小值小于直线的y值，列不等式求解即可。
【解析】
(1)证明：
∵ 当$x=0$时，代入二次函数解析式得 $y = 3a^2 - 2a + 3 = 3(a-\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{8}{3}$，
∵ $3(a-\dfrac{1}{3})^2≥0$，
∴ $3(a-\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{8}{3}≥\dfrac{8}{3}＞0$，
即x=0时y恒大于0，不可能为0，
∴该二次函数的图象不经过原点。
(2)解：
∵二次函数图象与x轴有交点，即方程$x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3=0$有实数根，
∴判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，
代入系数得：
$\Delta=4(a+1)^2-4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2≥0$，
∴$8(a-1)^2≤0$，
又
∵平方具有非负性，$8(a-1)^2≥0$，
∴$8(a-1)^2=0$，
解得 $a=1$。
(3)解：
∵二次函数$y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$的二次项系数$1＞0$，
∴二次函数图象开口向上，
若图象与直线$y=2a^2$有两个交点，则二次函数的最小值小于$2a^2$，
二次函数最小值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，代入得：
$\dfrac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2$，
列不等式：$2a^2-4a+2＜2a^2$，
化简得：$-4a+2＜0$，
解得 $a＞\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$a=1$；
(3)$a＞\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次函数图象性质，根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考察二次函数与方程的转化逻辑，结合了配方法、平方非负性、不等式求解等内容，核心是掌握函数交点问题和方程根的情况的转化方法，侧重基础方法的灵活运用。
【难度系数】
0.7
