登录
1. 二次函数 $y=-(x+4)^2 -5$ 图象的顶点所在的象限是（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）。A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点式的性质：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。解题分两步走，第一步先从给定的函数解析式中提取顶点的横、纵坐标，注意不要搞反横坐标的符号；第二步结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断顶点所在的象限即可。
【解析】
解：已知二次函数解析式为顶点式$y=-(x+4)^2 -5$，
将其转化为标准顶点式：$y=-[x-(-4)]^2 + (-5)$，
根据顶点式的性质，可得该函数的顶点坐标为$(-4,-5)$。
平面直角坐标系中第三象限的点坐标特征为：横坐标$＜0$，纵坐标$＜0$，
由于$-4＜0$，$-5＜0$，因此该顶点在第三象限。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式的基本应用，解题易错点是容易混淆顶点横坐标的符号，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点式的性质：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。解题分两步走，第一步先从给定的函数解析式中提取顶点的横、纵坐标，注意不要搞反横坐标的符号；第二步结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断顶点所在的象限即可。
【解析】
解：已知二次函数解析式为顶点式$y=-(x+4)^2 -5$，
将其转化为标准顶点式：$y=-[x-(-4)]^2 + (-5)$，
根据顶点式的性质，可得该函数的顶点坐标为$(-4,-5)$。
平面直角坐标系中第三象限的点坐标特征为：横坐标$＜0$，纵坐标$＜0$，
由于$-4＜0$，$-5＜0$，因此该顶点在第三象限。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式的基本应用，解题易错点是容易混淆顶点横坐标的符号，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 将二次函数 $y = 2x^2 -8x +5$ 逐步化为顶点式 $y=a(x-h)^2 +k$，以下四步计算过程中，最开始出错的步骤是(
A.第一步:提取二次项系数,得 $y=2(x^2 -4x)+5$
B.第二步:配方,得 $y=2(x^2 -4x +4 -4)+5$
C.第三步:整理完全平方式,得 $y=2(x -2)^2 -4 +5$
D.第四步:计算常数项,得 $y=2(x -2)^2 +1$
C
)。A.第一步:提取二次项系数,得 $y=2(x^2 -4x)+5$
B.第二步:配方,得 $y=2(x^2 -4x +4 -4)+5$
C.第三步:整理完全平方式,得 $y=2(x -2)^2 -4 +5$
D.第四步:计算常数项,得 $y=2(x -2)^2 +1$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查二次函数一般式化为顶点式的配方法操作，解题思路是按照配方法的标准步骤逐一核对四个选项的操作是否正确：首先提取二次项系数，再对括号内的多项式配方（加一次项系数一半的平方，同时减相同的数保证代数式的值不变），整理完全平方式时需注意括号外的系数要与括号内减去的常数相乘，最后合并常数项即可，通过逐步骤校验就能找到最先出错的步骤。
【解析】
我们按照配方法的标准步骤推导，再和选项对比：
1. 第一步提取二次项系数：将二次项系数2提出，可得$y=2(x^2 -4x)+5$，选项A的步骤正确。
2. 第二步配方：括号内一次项系数为-4，其一半的平方为4，因此在括号内加4再减4保证值不变，可得$y=2(x^2 -4x +4 -4)+5$，选项B的步骤正确。
3. 第三步整理完全平方式：先将$x^2-4x+4$整理为$(x-2)^2$，接下来需将括号外的系数2乘到括号内的-4上，正确结果应为$y=2(x-2)^2 - 8 +5$，但选项C中没有将2与-4相乘，直接写为$-4 +5$，因此第三步操作错误。
由于第三步已经出错，后续第四步的结果也必然错误，因此最开始出错的步骤是第三步。
【答案】
C
【知识点】
配方法，二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题属于配方法的基础易错题型，核心易错点是配方后括号内的负常数项容易漏乘之前提取的二次项系数，熟练掌握配方法的完整操作步骤就能规避此类错误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数一般式化为顶点式的配方法操作，解题思路是按照配方法的标准步骤逐一核对四个选项的操作是否正确：首先提取二次项系数，再对括号内的多项式配方（加一次项系数一半的平方，同时减相同的数保证代数式的值不变），整理完全平方式时需注意括号外的系数要与括号内减去的常数相乘，最后合并常数项即可，通过逐步骤校验就能找到最先出错的步骤。
【解析】
我们按照配方法的标准步骤推导，再和选项对比：
1. 第一步提取二次项系数：将二次项系数2提出，可得$y=2(x^2 -4x)+5$，选项A的步骤正确。
2. 第二步配方：括号内一次项系数为-4，其一半的平方为4，因此在括号内加4再减4保证值不变，可得$y=2(x^2 -4x +4 -4)+5$，选项B的步骤正确。
3. 第三步整理完全平方式：先将$x^2-4x+4$整理为$(x-2)^2$，接下来需将括号外的系数2乘到括号内的-4上，正确结果应为$y=2(x-2)^2 - 8 +5$，但选项C中没有将2与-4相乘，直接写为$-4 +5$，因此第三步操作错误。
由于第三步已经出错，后续第四步的结果也必然错误，因此最开始出错的步骤是第三步。
【答案】
C
【知识点】
配方法，二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题属于配方法的基础易错题型，核心易错点是配方后括号内的负常数项容易漏乘之前提取的二次项系数，熟练掌握配方法的完整操作步骤就能规避此类错误。
【难度系数】
0.7
3. 数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为 400 m 的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图。要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大。下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是(
B
)。答案
3.B
解析
【分析】
我们首先明确跑道的构成：两端两个半圆形合起来是一个整圆，中间是两条长度相等的直道。要让中间矩形面积最大，我们可以先设圆的半径为r，直道长度为x，先根据周长为400m得到r和x的关系式，再把矩形面积表示为关于r的二次函数，利用二次函数求最值的方法算出面积最大时r和x的数值，再和四个选项对比即可。
【解析】
设跑道两端半圆的半径为$ r $，中间直跑道的长度为$ x $。
1. 列周长关系式：
跑道总周长=圆的周长+2条直道长度，即：
$ 2π r + 2x = 400 $
整理得：$ x = 200 - π r $
2. 列矩形面积关系式：
矩形的一边长为直道长度$ x $，另一边长为圆的直径$ 2r $，因此面积$ S $为：
$ S = 2r · x $
把$ x = 200 - π r $代入得：
$ S = 2r(200 - π r) = -2π r^2 + 400r $
3. 求面积最大值对应的参数：
上式是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，二次函数$ ax^2+bx+c $的顶点横坐标为$ -\frac{b}{2a} $，这里$ a=-2π $，$ b=400 $，因此：
$ r = -\frac{400}{2×(-2π)} = \frac{100}{π} \approx 31.8\mathrm{m} $
此时圆的直径$ 2r \approx 63.7\mathrm{m} $，直道长度$ x = 200 - π × \frac{100}{π} = 100\mathrm{m} $，对应选项B的示意图。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值，周长面积计算，函数实际应用
【点评】
本题结合跑道设计的实际场景，将几何面积最值问题转化为二次函数求最值问题，解题的核心是正确梳理变量之间的数量关系，建立正确的函数表达式。
【难度系数】
0.6
我们首先明确跑道的构成：两端两个半圆形合起来是一个整圆，中间是两条长度相等的直道。要让中间矩形面积最大，我们可以先设圆的半径为r，直道长度为x，先根据周长为400m得到r和x的关系式，再把矩形面积表示为关于r的二次函数，利用二次函数求最值的方法算出面积最大时r和x的数值，再和四个选项对比即可。
【解析】
设跑道两端半圆的半径为$ r $，中间直跑道的长度为$ x $。
1. 列周长关系式：
跑道总周长=圆的周长+2条直道长度，即：
$ 2π r + 2x = 400 $
整理得：$ x = 200 - π r $
2. 列矩形面积关系式：
矩形的一边长为直道长度$ x $，另一边长为圆的直径$ 2r $，因此面积$ S $为：
$ S = 2r · x $
把$ x = 200 - π r $代入得：
$ S = 2r(200 - π r) = -2π r^2 + 400r $
3. 求面积最大值对应的参数：
上式是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，二次函数$ ax^2+bx+c $的顶点横坐标为$ -\frac{b}{2a} $，这里$ a=-2π $，$ b=400 $，因此：
$ r = -\frac{400}{2×(-2π)} = \frac{100}{π} \approx 31.8\mathrm{m} $
此时圆的直径$ 2r \approx 63.7\mathrm{m} $，直道长度$ x = 200 - π × \frac{100}{π} = 100\mathrm{m} $，对应选项B的示意图。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值，周长面积计算，函数实际应用
【点评】
本题结合跑道设计的实际场景，将几何面积最值问题转化为二次函数求最值问题，解题的核心是正确梳理变量之间的数量关系，建立正确的函数表达式。
【难度系数】
0.6
4. 若把抛物线 $ y = x^2 - 2x + 1 $ 向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的表达式为
$y=(x+2)^2+4$
。答案
4. $y=(x+2)^2+4$
解析
【分析】
解决二次函数图象平移问题，首先要将原抛物线解析式化为顶点式，方便应用平移规则计算。平移遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”的规律，先计算左右平移后的解析式，再计算上下平移后的解析式即可。
【解析】
首先将原抛物线解析式化为顶点式：
$y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$
第一步，向左平移3个单位长度，根据“左加右减”规则，将x替换为$x+3$，得：
$y=(x-1+3)^2=(x+2)^2$
第二步，向上平移4个单位长度，根据“上加下减”规则，在解析式整体后加4，得：
$y=(x+2)^2 + 4$
【答案】
$y=(x+2)^2+4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式化简
【点评】
本题考查二次函数的平移变换，核心是牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，需注意左右平移仅对自变量x进行加减运算，不要与常数项的运算混淆。
【难度系数】
0.8
解决二次函数图象平移问题，首先要将原抛物线解析式化为顶点式，方便应用平移规则计算。平移遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”的规律，先计算左右平移后的解析式，再计算上下平移后的解析式即可。
【解析】
首先将原抛物线解析式化为顶点式：
$y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$
第一步，向左平移3个单位长度，根据“左加右减”规则，将x替换为$x+3$，得：
$y=(x-1+3)^2=(x+2)^2$
第二步，向上平移4个单位长度，根据“上加下减”规则，在解析式整体后加4，得：
$y=(x+2)^2 + 4$
【答案】
$y=(x+2)^2+4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式化简
【点评】
本题考查二次函数的平移变换，核心是牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，需注意左右平移仅对自变量x进行加减运算，不要与常数项的运算混淆。
【难度系数】
0.8
5. 图5-1是抛物线$y_1=ax^2+bx+c$的一部分和直线$y_2=mx+n(m≠0)$。抛物线的顶点为A(1,3)，与x轴的一个交点为B(4,0)。直线$y_2=mx+n$经过A，B两点。观察得出下面五条信息：① $2a + b = 0$；②$abc＞0$；③方程$ax^2 + bx + c=3$有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是$(-1,0)$；⑤当$1＜x＜4$时，$y_2＜y_1$。你认为其中正确的是
①③⑤
。(填序号)答案
5. ①③⑤
解析
【分析】
解题时先根据抛物线顶点坐标得到对称轴，再结合二次函数的图象性质、二次函数与一元二次方程的关系、函数图象的对称性、同横坐标下函数值大小与图象位置的关系，对5条结论逐一验证即可。首先利用对称轴公式判断①；其次根据抛物线开口、对称轴、与y轴交点判断a、b、c的符号，验证②；再将方程解的问题转化为函数交点问题判断③；利用抛物线对称性求与x轴的另一个交点判断④；最后观察1＜x＜4区间内两个函数的图象位置判断⑤。
【解析】
我们逐条分析结论：
1. 验证①：已知抛物线顶点为A(1,3)，则抛物线对称轴为直线$x=1$，由二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a+b=0$，故①正确。
2. 验证②：抛物线开口向下，得$a＜0$；由$2a+b=0$得$b=-2a＞0$；抛物线与y轴交点在正半轴，得$c＞0$，因此$abc=a× b× c＜0$，故②错误。
3. 验证③：方程$ax^2+bx+c=3$的解等价于抛物线$y_1=ax^2+bx+c$与直线$y=3$的交点横坐标，因为抛物线顶点为$(1,3)$，即抛物线与直线$y=3$只有1个交点，所以方程有两个相等的实数根，故③正确。
4. 验证④：抛物线关于对称轴$x=1$对称，已知与x轴一个交点为$B(4,0)$，设另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{x+4}{2}=1$，解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，不是$(-1,0)$，故④错误。
5. 验证⑤：观察图象，当$1＜x＜4$时，抛物线$y_1$的图象始终在直线$y_2$的上方，因此此时$y_2＜y_1$，故⑤正确。
综上，正确的结论为①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；函数图象比较大小
【点评】
本题是函数综合类典型题型，解题时需灵活运用数形结合思想，结合图象信息和二次函数的相关性质逐一判断，能有效考查对函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时先根据抛物线顶点坐标得到对称轴，再结合二次函数的图象性质、二次函数与一元二次方程的关系、函数图象的对称性、同横坐标下函数值大小与图象位置的关系，对5条结论逐一验证即可。首先利用对称轴公式判断①；其次根据抛物线开口、对称轴、与y轴交点判断a、b、c的符号，验证②；再将方程解的问题转化为函数交点问题判断③；利用抛物线对称性求与x轴的另一个交点判断④；最后观察1＜x＜4区间内两个函数的图象位置判断⑤。
【解析】
我们逐条分析结论：
1. 验证①：已知抛物线顶点为A(1,3)，则抛物线对称轴为直线$x=1$，由二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a+b=0$，故①正确。
2. 验证②：抛物线开口向下，得$a＜0$；由$2a+b=0$得$b=-2a＞0$；抛物线与y轴交点在正半轴，得$c＞0$，因此$abc=a× b× c＜0$，故②错误。
3. 验证③：方程$ax^2+bx+c=3$的解等价于抛物线$y_1=ax^2+bx+c$与直线$y=3$的交点横坐标，因为抛物线顶点为$(1,3)$，即抛物线与直线$y=3$只有1个交点，所以方程有两个相等的实数根，故③正确。
4. 验证④：抛物线关于对称轴$x=1$对称，已知与x轴一个交点为$B(4,0)$，设另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{x+4}{2}=1$，解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，不是$(-1,0)$，故④错误。
5. 验证⑤：观察图象，当$1＜x＜4$时，抛物线$y_1$的图象始终在直线$y_2$的上方，因此此时$y_2＜y_1$，故⑤正确。
综上，正确的结论为①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；函数图象比较大小
【点评】
本题是函数综合类典型题型，解题时需灵活运用数形结合思想，结合图象信息和二次函数的相关性质逐一判断，能有效考查对函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
6. 已知二次函数 $y=x^2+mx+m^2-3$（$m$ 为常数，$m＞0$）的图象经过点 $P(2,4)$。
(1)求 $m$ 的值；
(2)判断二次函数 $y=x^2+mx+m^2-3$ 的图象与 $x$ 轴交点的个数，并说明理由。
(1)求 $m$ 的值；
(2)判断二次函数 $y=x^2+mx+m^2-3$ 的图象与 $x$ 轴交点的个数，并说明理由。
答案
6. 解:(1)
∵ 函数 $y = x^2 + mx + m^2 - 3$ 的图象经过点 $P(2,4)$，
∴4=4+2m+m²−3，
即 $m^2 + 2m - 3=0$，
解得 $m_1=1,m_2=-3$。
又
∵m＞0，
∴m=1。
(2)交点的个数为 2。理由如下：
由(1)知 $y=x^2+x-2$，
∵Δ=b²−4ac=1²+8=9＞0，
∴二次函数 $y=x^2+x-2$ 的图象与 x 轴的交点个数为 2。
∵ 函数 $y = x^2 + mx + m^2 - 3$ 的图象经过点 $P(2,4)$，
∴4=4+2m+m²−3，
即 $m^2 + 2m - 3=0$，
解得 $m_1=1,m_2=-3$。
又
∵m＞0，
∴m=1。
(2)交点的个数为 2。理由如下：
由(1)知 $y=x^2+x-2$，
∵Δ=b²−4ac=1²+8=9＞0，
∴二次函数 $y=x^2+x-2$ 的图象与 x 轴的交点个数为 2。
解析
【分析】
（1）第一问解题思路：若函数图象经过某点，则该点坐标满足函数解析式，因此将点P(2,4)的横、纵坐标代入二次函数表达式，即可得到关于m的一元二次方程，求解后结合题目给出的m＞0的限制条件，筛选出符合要求的m值即可。
（2）第二问解题思路：二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程的根的个数一致，可通过根的判别式Δ判断：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时无交点。因此先将第一问求出的m值代入原函数得到具体解析式，再计算Δ的正负即可判断交点个数。
【解析】
(1)
∵ 二次函数 $y = x^2 + mx + m^2 - 3$ 的图象经过点 $P(2,4)$，
∴ 将$x=2$，$y=4$代入解析式得：
$4=2^2 + 2m + m^2 - 3$
整理得 $m^2 + 2m - 3=0$，
解得 $m_1=1$，$m_2=-3$。
又
∵ $m＞0$，
∴ $m=1$。
(2) 二次函数图象与x轴交点的个数为2，理由如下：
由(1)得$m=1$，代入原函数得 $y=x^2 + x + 1^2 - 3 =x^2 + x - 2$，
对于对应一元二次方程$x^2 +x -2=0$，其中$a=1$，$b=1$，$c=-2$，
根的判别式$\Delta =b^2-4ac=1^2 -4×1×(-2)=9＞0$，
∴ 方程$x^2 +x -2=0$有两个不相等的实数根，即二次函数$y=x^2+x-2$的图象与x轴有2个交点。
【答案】
(1) $m=1$；(2) 2个
【知识点】
二次函数点坐标特征；根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础题型，第一问代入点坐标求参数是二次函数章节的常规考法，第二问利用判别式判断函数与x轴交点个数是核心基础考点，整体逻辑清晰，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）第一问解题思路：若函数图象经过某点，则该点坐标满足函数解析式，因此将点P(2,4)的横、纵坐标代入二次函数表达式，即可得到关于m的一元二次方程，求解后结合题目给出的m＞0的限制条件，筛选出符合要求的m值即可。
（2）第二问解题思路：二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程的根的个数一致，可通过根的判别式Δ判断：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时无交点。因此先将第一问求出的m值代入原函数得到具体解析式，再计算Δ的正负即可判断交点个数。
【解析】
(1)
∵ 二次函数 $y = x^2 + mx + m^2 - 3$ 的图象经过点 $P(2,4)$，
∴ 将$x=2$，$y=4$代入解析式得：
$4=2^2 + 2m + m^2 - 3$
整理得 $m^2 + 2m - 3=0$，
解得 $m_1=1$，$m_2=-3$。
又
∵ $m＞0$，
∴ $m=1$。
(2) 二次函数图象与x轴交点的个数为2，理由如下：
由(1)得$m=1$，代入原函数得 $y=x^2 + x + 1^2 - 3 =x^2 + x - 2$，
对于对应一元二次方程$x^2 +x -2=0$，其中$a=1$，$b=1$，$c=-2$，
根的判别式$\Delta =b^2-4ac=1^2 -4×1×(-2)=9＞0$，
∴ 方程$x^2 +x -2=0$有两个不相等的实数根，即二次函数$y=x^2+x-2$的图象与x轴有2个交点。
【答案】
(1) $m=1$；(2) 2个
【知识点】
二次函数点坐标特征；根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础题型，第一问代入点坐标求参数是二次函数章节的常规考法，第二问利用判别式判断函数与x轴交点个数是核心基础考点，整体逻辑清晰，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
