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7. 端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y(袋)与售价x(元/袋)满足如图5-2所示的一次函数关系。
(1)求y与x之间的关系式。
(2)每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？
图5-2
(1)求y与x之间的关系式。
(2)每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？
图5-2
答案
7. 解:(1)设一次函数的表达式为 $y=kx+b$。
将(10,280),(14,120)代入得
$\begin{cases}280=10k+b,\\120=14k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-40,\\b=680。\end{cases}$
∴y与 x 之间的关系式为 $y=-40x+680$。
(2)设日销售利润为 w 元，
由题意得 $w=(x-8)y=(x-8)(-40x+680)$
$=-40x^2+1 000x-5 440$
$=-40(x-12.5)^2+810$，
∴当 x=12.5 时,w 有最大值,最大值为 810。
故每袋粽子的售价定为 12.5 元时,所获日销售利润最大，最大日销售利润是 810 元。
将(10,280),(14,120)代入得
$\begin{cases}280=10k+b,\\120=14k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-40,\\b=680。\end{cases}$
∴y与 x 之间的关系式为 $y=-40x+680$。
(2)设日销售利润为 w 元，
由题意得 $w=(x-8)y=(x-8)(-40x+680)$
$=-40x^2+1 000x-5 440$
$=-40(x-12.5)^2+810$，
∴当 x=12.5 时,w 有最大值,最大值为 810。
故每袋粽子的售价定为 12.5 元时,所获日销售利润最大，最大日销售利润是 810 元。
解析
【分析】
(1) 要确定y与x的一次函数关系式，已知函数图像过(10,280)和(14,120)两个点，使用待定系数法求解即可：先设函数解析式为$y=kx+b$，将两个点的坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值就能得到函数关系式。
(2) 日销售利润=每袋利润×日销量，其中每袋利润为$(x-8)$元，日销量y已在第一问求出，据此可构建利润w关于售价x的二次函数；由于二次项系数为负，函数图像开口向下，顶点位置对应函数最大值，将二次函数整理为顶点式即可求出最大利润和对应的售价。
【解析】
(1) 设y与x的一次函数表达式为 $y=kx+b$，
将点$(10,280)$、$(14,120)$代入表达式得：
$\begin{cases}280=10k+b\\120=14k+b\end{cases}$
两式相减得$160=-4k$，解得$k=-40$，
将$k=-40$代入$280=10k+b$，得$280=-400+b$，解得$b=680$，
∴y与x之间的关系式为 $y=-40x+680$。
(2) 设日销售利润为w元，根据总利润公式可得：
$w=(x-8)y$
将$y=-40x+680$代入得：
$w=(x-8)(-40x+680)$
展开并整理得：$w=-40x^2+1000x-5440$
配方为顶点式：$w=-40(x-12.5)^2+810$
∵$-40＜0$，
∴当$x=12.5$时，w取得最大值，最大值为810。
【答案】
(1) $y=-40x+680$；
(2) 每袋粽子的售价定为12.5元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是810元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的销售场景，考查一次函数与二次函数的综合应用，解题核心是先利用待定系数法求出销量的函数表达式，再根据利润公式构建二次函数模型，结合二次函数的性质求解最值，是函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定y与x的一次函数关系式，已知函数图像过(10,280)和(14,120)两个点，使用待定系数法求解即可：先设函数解析式为$y=kx+b$，将两个点的坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值就能得到函数关系式。
(2) 日销售利润=每袋利润×日销量，其中每袋利润为$(x-8)$元，日销量y已在第一问求出，据此可构建利润w关于售价x的二次函数；由于二次项系数为负，函数图像开口向下，顶点位置对应函数最大值，将二次函数整理为顶点式即可求出最大利润和对应的售价。
【解析】
(1) 设y与x的一次函数表达式为 $y=kx+b$，
将点$(10,280)$、$(14,120)$代入表达式得：
$\begin{cases}280=10k+b\\120=14k+b\end{cases}$
两式相减得$160=-4k$，解得$k=-40$，
将$k=-40$代入$280=10k+b$，得$280=-400+b$，解得$b=680$，
∴y与x之间的关系式为 $y=-40x+680$。
(2) 设日销售利润为w元，根据总利润公式可得：
$w=(x-8)y$
将$y=-40x+680$代入得：
$w=(x-8)(-40x+680)$
展开并整理得：$w=-40x^2+1000x-5440$
配方为顶点式：$w=-40(x-12.5)^2+810$
∵$-40＜0$，
∴当$x=12.5$时，w取得最大值，最大值为810。
【答案】
(1) $y=-40x+680$；
(2) 每袋粽子的售价定为12.5元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是810元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的销售场景，考查一次函数与二次函数的综合应用，解题核心是先利用待定系数法求出销量的函数表达式，再根据利润公式构建二次函数模型，结合二次函数的性质求解最值，是函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图5-3，抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点，与y轴交于点C，顶点为D。
(1)求该抛物线的表达式；
(2)连接BC,CD,BD,P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是
(1)求该抛物线的表达式；
(2)连接BC,CD,BD,P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是
$\sqrt{5}$
。答案
8. 解:(1)将(-1,0),(3,0)代入 $y=-x^2+bx+c$ 得
$\begin{cases}-1-b+c=0,\\-9+3b+c=0,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3。\end{cases}$
故该抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$。
(2)$\sqrt{5}$
$\begin{cases}-1-b+c=0,\\-9+3b+c=0,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3。\end{cases}$
故该抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$。
(2)$\sqrt{5}$
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线过A(-1,0)、B(3,0)两点，将两点坐标代入给定的抛物线一般式，可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，进而得到抛物线的表达式。
(2) 求线段CP的长，需先确定C、P两点的坐标：首先令x=0求出抛物线与y轴交点C的坐标，再通过配方法求出顶点D的坐标；接着利用中点坐标公式求出BD中点P的坐标，最后运用两点间距离公式即可计算出CP的长度。
【解析】
(1) 将点A(-1,0)、B(3,0)代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 - b + c = 0 \\ -9 + 3b + c = 0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$-8 + 4b = 0$，解得$b=2$。
将$b=2$代入$-1 - b + c = 0$，得$-1-2 + c=0$，解得$c=3$。
因此抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) ① 求点C的坐标：令$x=0$，代入抛物线表达式得$y=3$，故$C(0,3)$。
② 求顶点D的坐标：对抛物线解析式配方，$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，故顶点$D(1,4)$。
③ 求中点P的坐标：已知$B(3,0)$，P是BD的中点，根据中点坐标公式，P的横坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，纵坐标为$\frac{4+0}{2}=2$，即$P(2,2)$。
④ 计算CP的长：根据两点间距离公式，$CP=\sqrt{(2-0)^2+(2-3)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$；(2) $\sqrt{5}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，两点间距离公式
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，侧重考查基础公式的运用，解题的关键是熟练掌握二次函数相关性质以及坐标运算的相关公式，计算时注意细心即可得分。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线过A(-1,0)、B(3,0)两点，将两点坐标代入给定的抛物线一般式，可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，进而得到抛物线的表达式。
(2) 求线段CP的长，需先确定C、P两点的坐标：首先令x=0求出抛物线与y轴交点C的坐标，再通过配方法求出顶点D的坐标；接着利用中点坐标公式求出BD中点P的坐标，最后运用两点间距离公式即可计算出CP的长度。
【解析】
(1) 将点A(-1,0)、B(3,0)代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 - b + c = 0 \\ -9 + 3b + c = 0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$-8 + 4b = 0$，解得$b=2$。
将$b=2$代入$-1 - b + c = 0$，得$-1-2 + c=0$，解得$c=3$。
因此抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) ① 求点C的坐标：令$x=0$，代入抛物线表达式得$y=3$，故$C(0,3)$。
② 求顶点D的坐标：对抛物线解析式配方，$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，故顶点$D(1,4)$。
③ 求中点P的坐标：已知$B(3,0)$，P是BD的中点，根据中点坐标公式，P的横坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，纵坐标为$\frac{4+0}{2}=2$，即$P(2,2)$。
④ 计算CP的长：根据两点间距离公式，$CP=\sqrt{(2-0)^2+(2-3)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$；(2) $\sqrt{5}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，两点间距离公式
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，侧重考查基础公式的运用，解题的关键是熟练掌握二次函数相关性质以及坐标运算的相关公式，计算时注意细心即可得分。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 为研究抛物线 $ L_1: y = ax^2 + bx + c $ 与 $ L_2: y = -ax^2 + bx - c $ 在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数 $ a,b,c $ 的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ 的位置特征。
(1)你的发现是：______。
(2)我们知道由观察得到的特征，其可靠性需要加以论证才能成为结论，请你就所发现的特征，简述理由：______。
(3)拓展延伸：若抛物线 $ L_1 $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ P $，$ L_2 $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ Q $，且线段 $ PQ $ 的长度为 6，则 $ c = \_\_\_\_\_\_ $。
9. 为研究抛物线 $ L_1: y = ax^2 + bx + c $ 与 $ L_2: y = -ax^2 + bx - c $ 在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数 $ a,b,c $ 的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ 的位置特征。
(1)你的发现是：______。
(2)我们知道由观察得到的特征，其可靠性需要加以论证才能成为结论，请你就所发现的特征，简述理由：______。
(3)拓展延伸：若抛物线 $ L_1 $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ P $，$ L_2 $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ Q $，且线段 $ PQ $ 的长度为 6，则 $ c = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
9. (1)顶点关于原点对称(答案不唯一)
(2)顶点的横、纵坐标都互为相反数(答案不唯一)
(3)±3
(2)顶点的横、纵坐标都互为相反数(答案不唯一)
(3)±3
解析
【分析】
第(1)问可通过计算两条抛物线的顶点坐标，对比坐标特征得出位置关系，也可代入特殊值绘制草图观察规律。第(2)问针对第(1)问的发现，用二次函数顶点坐标公式分别推导两条抛物线的顶点坐标，验证坐标关联即可完成论证。第(3)问先求出两条抛物线与y轴的交点坐标，再结合y轴上两点的距离公式列方程求解即可。
【解析】
(1) 根据二次函数顶点坐标公式，抛物线$y=Ax^2+Bx+C$的顶点坐标为$(-\frac{B}{2A},\frac{4AC-B^2}{4A})$：
抛物线$L_1:y=ax^2+bx+c$的顶点为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；
抛物线$L_2:y=-ax^2+bx-c$的顶点为$(\frac{b}{2a},\frac{b^2-4ac}{4a})$。
对比两个顶点坐标，可知横、纵坐标均互为相反数，因此可得出位置特征：顶点关于原点对称（答案合理即可）。
(2) 理由：由顶点坐标计算结果可知，$L_1$的顶点坐标为$(x,y)$时，$L_2$的顶点坐标为$(-x,-y)$，横、纵坐标均互为相反数的两点关于原点对称，因此两条抛物线的顶点关于原点对称（理由对应(1)的结论即可）。
(3) 求抛物线与y轴交点时，令$x=0$：
代入$L_1$得$y=c$，即交点$P(0,c)$；
代入$L_2$得$y=-c$，即交点$Q(0,-c)$。
P、Q均在y轴上，线段长度为纵坐标差的绝对值，即$PQ=|c-(-c)|=|2c|$。已知$PQ=6$，因此$|2c|=6$，解得$c=\pm3$。
【答案】
(1)顶点关于原点对称（答案不唯一，合理即可）
(2)顶点的横、纵坐标都互为相反数（答案不唯一，对应(1)的结论即可）
(3)$\pm3$
【知识点】
二次函数的顶点坐标，关于原点对称的点的坐标特征，二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题以二次函数图象特征探究为载体，考查从特殊到一般的数学思维，结合二次函数基本性质进行推导计算，侧重对代数推理能力和探究能力的考查。
【难度系数】
0.7
第(1)问可通过计算两条抛物线的顶点坐标，对比坐标特征得出位置关系，也可代入特殊值绘制草图观察规律。第(2)问针对第(1)问的发现，用二次函数顶点坐标公式分别推导两条抛物线的顶点坐标，验证坐标关联即可完成论证。第(3)问先求出两条抛物线与y轴的交点坐标，再结合y轴上两点的距离公式列方程求解即可。
【解析】
(1) 根据二次函数顶点坐标公式，抛物线$y=Ax^2+Bx+C$的顶点坐标为$(-\frac{B}{2A},\frac{4AC-B^2}{4A})$：
抛物线$L_1:y=ax^2+bx+c$的顶点为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；
抛物线$L_2:y=-ax^2+bx-c$的顶点为$(\frac{b}{2a},\frac{b^2-4ac}{4a})$。
对比两个顶点坐标，可知横、纵坐标均互为相反数，因此可得出位置特征：顶点关于原点对称（答案合理即可）。
(2) 理由：由顶点坐标计算结果可知，$L_1$的顶点坐标为$(x,y)$时，$L_2$的顶点坐标为$(-x,-y)$，横、纵坐标均互为相反数的两点关于原点对称，因此两条抛物线的顶点关于原点对称（理由对应(1)的结论即可）。
(3) 求抛物线与y轴交点时，令$x=0$：
代入$L_1$得$y=c$，即交点$P(0,c)$；
代入$L_2$得$y=-c$，即交点$Q(0,-c)$。
P、Q均在y轴上，线段长度为纵坐标差的绝对值，即$PQ=|c-(-c)|=|2c|$。已知$PQ=6$，因此$|2c|=6$，解得$c=\pm3$。
【答案】
(1)顶点关于原点对称（答案不唯一，合理即可）
(2)顶点的横、纵坐标都互为相反数（答案不唯一，对应(1)的结论即可）
(3)$\pm3$
【知识点】
二次函数的顶点坐标，关于原点对称的点的坐标特征，二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题以二次函数图象特征探究为载体，考查从特殊到一般的数学思维，结合二次函数基本性质进行推导计算，侧重对代数推理能力和探究能力的考查。
【难度系数】
0.7
10. 无人机进行低空航拍时，若发现下方有障碍物，需紧急悬停，总安全距离$y$（m）由“响应距离”$d_1$（m）和“制动距离”$d_2$（m）组成，即$y = d_1 + d_2$。其中，响应距离$d_1$是无人机从识别障碍到启动悬停指令的时间内匀速飞行的距离，与飞行速度$x$（m/s）成正比；制动距离$d_2$是无人机启动悬停指令后，从匀速飞行减速到静止的距离，与飞行速度$x$的平方成正比。已知当飞行速度为6 m/s时，响应距离为3 m，制动距离为3.6 m。
(1)求$y$关于$x$的函数表达式；
(2)当制动距离为5 m时，总安全距离为多少？（精确到0.1 m）（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sqrt{5} \approx 2.24$）
(1)求$y$关于$x$的函数表达式；
(2)当制动距离为5 m时，总安全距离为多少？（精确到0.1 m）（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sqrt{5} \approx 2.24$）
答案
10. 解:(1)
∵$d_1$ 与飞行速度成正比,$d_2$ 与飞行速度的平方成正比，
∴设 $d_1=k_1x,d_2=k_2x^2$。
∵当飞行速度为 6 m/s 时,响应距离为 3 m，
∴$6k_1=3$,解得 $k_1=0.5$，
∴$d_1=0.5x$。
∵当飞行速度为 6 m/s 时,制动距离为 3.6 m，
∴$36k_2=3.6$,解得 $k_2=0.1$，
∴$d_2=0.1x^2$。
∴y 关于 x 的函数表达式为 $y=0.1x^2+0.5x$。
(2)当制动距离为 5 m 时,$5=0.1x^2$，
解得 $x_1=5\sqrt{2},x_2=-5\sqrt{2}$(舍去)，
∴$y=5+0.5×5\sqrt{2}≈8.5$，
∴总安全距离约为 8.5 m。
∵$d_1$ 与飞行速度成正比,$d_2$ 与飞行速度的平方成正比，
∴设 $d_1=k_1x,d_2=k_2x^2$。
∵当飞行速度为 6 m/s 时,响应距离为 3 m，
∴$6k_1=3$,解得 $k_1=0.5$，
∴$d_1=0.5x$。
∵当飞行速度为 6 m/s 时,制动距离为 3.6 m，
∴$36k_2=3.6$,解得 $k_2=0.1$，
∴$d_2=0.1x^2$。
∴y 关于 x 的函数表达式为 $y=0.1x^2+0.5x$。
(2)当制动距离为 5 m 时,$5=0.1x^2$，
解得 $x_1=5\sqrt{2},x_2=-5\sqrt{2}$(舍去)，
∴$y=5+0.5×5\sqrt{2}≈8.5$，
∴总安全距离约为 8.5 m。
解析
【分析】
（1）第一问的解题思路是先根据正比例的定义设出d₁、d₂的表达式：题目明确d₁与x成正比、d₂与x的平方成正比，因此可设d₁=k₁x、d₂=k₂x²，再将x=6时对应的d₁=3m、d₂=3.6m分别代入两个式子，求出系数k₁、k₂，最后根据总安全距离y=d₁+d₂即可得到y关于x的函数表达式。
（2）第二问先将制动距离d₂=5m代入已求出的d₂的表达式，解一元二次方程得到x的值，注意飞行速度为正数，舍去不符合实际的负根，再将x代入总安全距离的表达式，结合给出的√2的近似值计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵响应距离d₁与飞行速度x成正比，制动距离d₂与飞行速度x的平方成正比，
∴设$d_1=k_1x$（$k_1≠0$），$d_2=k_2x^2$（$k_2≠0$）。
将$x=6$，$d_1=3$代入$d_1=k_1x$，得$6k_1=3$，解得$k_1=0.5$，因此$d_1=0.5x$。
将$x=6$，$d_2=3.6$代入$d_2=k_2x^2$，得$36k_2=3.6$，解得$k_2=0.1$，因此$d_2=0.1x^2$。
∵$y=d_1+d_2$，
∴y关于x的函数表达式为$y=0.1x^2+0.5x$（$x≥0$）。
(2) 当制动距离为5m时，将$d_2=5$代入$d_2=0.1x^2$，得：
$0.1x^2=5$，
解得$x_1=5\sqrt{2}$，$x_2=-5\sqrt{2}$（飞行速度不能为负，舍去）。
将$x=5\sqrt{2}$代入总安全距离公式得：
$y=0.1×(5\sqrt{2})^2 + 0.5×5\sqrt{2}=5+2.5\sqrt{2}≈5+2.5×1.41≈8.5$（m）。
【答案】
(1) $y=0.1x^2+0.5x$；(2) 约8.5 m
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合无人机航拍的真实应用场景考查函数知识的应用，解题核心是根据正比关系正确设出函数表达式，同时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，计算近似值时需正确使用题目给出的参考数据。
【难度系数】
0.7
（1）第一问的解题思路是先根据正比例的定义设出d₁、d₂的表达式：题目明确d₁与x成正比、d₂与x的平方成正比，因此可设d₁=k₁x、d₂=k₂x²，再将x=6时对应的d₁=3m、d₂=3.6m分别代入两个式子，求出系数k₁、k₂，最后根据总安全距离y=d₁+d₂即可得到y关于x的函数表达式。
（2）第二问先将制动距离d₂=5m代入已求出的d₂的表达式，解一元二次方程得到x的值，注意飞行速度为正数，舍去不符合实际的负根，再将x代入总安全距离的表达式，结合给出的√2的近似值计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵响应距离d₁与飞行速度x成正比，制动距离d₂与飞行速度x的平方成正比，
∴设$d_1=k_1x$（$k_1≠0$），$d_2=k_2x^2$（$k_2≠0$）。
将$x=6$，$d_1=3$代入$d_1=k_1x$，得$6k_1=3$，解得$k_1=0.5$，因此$d_1=0.5x$。
将$x=6$，$d_2=3.6$代入$d_2=k_2x^2$，得$36k_2=3.6$，解得$k_2=0.1$，因此$d_2=0.1x^2$。
∵$y=d_1+d_2$，
∴y关于x的函数表达式为$y=0.1x^2+0.5x$（$x≥0$）。
(2) 当制动距离为5m时，将$d_2=5$代入$d_2=0.1x^2$，得：
$0.1x^2=5$，
解得$x_1=5\sqrt{2}$，$x_2=-5\sqrt{2}$（飞行速度不能为负，舍去）。
将$x=5\sqrt{2}$代入总安全距离公式得：
$y=0.1×(5\sqrt{2})^2 + 0.5×5\sqrt{2}=5+2.5\sqrt{2}≈5+2.5×1.41≈8.5$（m）。
【答案】
(1) $y=0.1x^2+0.5x$；(2) 约8.5 m
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合无人机航拍的真实应用场景考查函数知识的应用，解题核心是根据正比关系正确设出函数表达式，同时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，计算近似值时需正确使用题目给出的参考数据。
【难度系数】
0.7
