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一、基础性作业
1. 连续掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币出现“一正一反”的概率为（$\quad\quad$）。
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
1. 连续掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币出现“一正一反”的概率为（$\quad\quad$）。
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：第一步，先列举出连续掷两枚质地均匀的硬币所有可能出现的等可能结果；第二步，统计其中符合“一正一反”要求的结果数量；第三步，根据概率的计算公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数，即可求出对应概率。需要注意的是，两枚硬币的结果是独立的，“第一枚正、第二枚反”和“第一枚反、第二枚正”是两种不同的结果，不要漏记。
【解析】
连续掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中满足“一正一反”的结果有2种，分别是（正，反）和（反，正）。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得两枚硬币出现“一正一反”的概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是准确枚举所有等可能的结果，避免混淆结果的独立性，漏算“一正一反”包含的两种情况。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：第一步，先列举出连续掷两枚质地均匀的硬币所有可能出现的等可能结果；第二步，统计其中符合“一正一反”要求的结果数量；第三步，根据概率的计算公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数，即可求出对应概率。需要注意的是，两枚硬币的结果是独立的，“第一枚正、第二枚反”和“第一枚反、第二枚正”是两种不同的结果，不要漏记。
【解析】
连续掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中满足“一正一反”的结果有2种，分别是（正，反）和（反，正）。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得两枚硬币出现“一正一反”的概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是准确枚举所有等可能的结果，避免混淆结果的独立性，漏算“一正一反”包含的两种情况。
【难度系数】
0.9
2. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生。多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览活动，确定了A，B，C三个主题。若小红和小明从中随机选择一个主题，则他们恰好选中同一个主题的概率是（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）。A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道两步试验的等可能事件概率计算问题，解题思路清晰：首先梳理出两人选择主题的所有等可能结果，再从中筛选出两人选中同一主题的结果，最后代入概率公式计算即可。可以用枚举、列表或画树状图的方法梳理所有情况，避免计数时出现遗漏或重复。
【解析】
第一步：计算所有等可能的结果总数
小红从A、B、C三个主题中随机选1个，有3种选择；小明同样有3种选择，因此总共有$3×3=9$种等可能的选择结果。
第二步：找出符合条件的结果数
两人恰好选中同一个主题的情况为：都选A、都选B、都选C，共3种结果。
第三步：代入概率公式计算
概率$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；概率公式
【点评】
本题是概率基础题，重点考查等可能事件的概率计算，用列举法就能直观梳理所有情况，细心计数即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这是一道两步试验的等可能事件概率计算问题，解题思路清晰：首先梳理出两人选择主题的所有等可能结果，再从中筛选出两人选中同一主题的结果，最后代入概率公式计算即可。可以用枚举、列表或画树状图的方法梳理所有情况，避免计数时出现遗漏或重复。
【解析】
第一步：计算所有等可能的结果总数
小红从A、B、C三个主题中随机选1个，有3种选择；小明同样有3种选择，因此总共有$3×3=9$种等可能的选择结果。
第二步：找出符合条件的结果数
两人恰好选中同一个主题的情况为：都选A、都选B、都选C，共3种结果。
第三步：代入概率公式计算
概率$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；概率公式
【点评】
本题是概率基础题，重点考查等可能事件的概率计算，用列举法就能直观梳理所有情况，细心计数即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 甲、乙、丙3人随机站成一排，甲站在中间的概率为
$\dfrac{1}{3}$
。答案
3.$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
要计算甲站在中间的概率，需遵循概率的基本求解思路：首先找出3人随机站成一排的所有等可能的总排列情况数，再筛选出其中甲站在中间的符合条件的情况数，最后根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”的公式计算即可。我们可以通过列举法罗列出所有排列情况，保证不重复不遗漏。
【解析】
我们先列举出甲、乙、丙3人随机站成一排的所有等可能排列结果：
共有6种情况，分别是：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，每种结果出现的可能性相同。
其中甲站在中间的情况有：乙甲丙、丙甲乙，共2种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{甲站在中间})=\dfrac{\mathrm{甲站在中间的情况数}}{\mathrm{总排列情况数}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率；概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是熟练掌握用列举法找出所有等可能结果，再匹配符合条件的结果代入公式计算，考查对基础概率求解方法的应用能力。
【难度系数】
0.8
要计算甲站在中间的概率，需遵循概率的基本求解思路：首先找出3人随机站成一排的所有等可能的总排列情况数，再筛选出其中甲站在中间的符合条件的情况数，最后根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”的公式计算即可。我们可以通过列举法罗列出所有排列情况，保证不重复不遗漏。
【解析】
我们先列举出甲、乙、丙3人随机站成一排的所有等可能排列结果：
共有6种情况，分别是：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，每种结果出现的可能性相同。
其中甲站在中间的情况有：乙甲丙、丙甲乙，共2种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{甲站在中间})=\dfrac{\mathrm{甲站在中间的情况数}}{\mathrm{总排列情况数}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率；概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是熟练掌握用列举法找出所有等可能结果，再匹配符合条件的结果代入公式计算，考查对基础概率求解方法的应用能力。
【难度系数】
0.8
4. 阿尔法狗可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策。工程师用人类围棋对弈分别训练了三只阿尔法狗，简记为甲、乙、丙。测试阶段让某围棋手与甲、乙、丙中的两只阿尔法狗各比赛一局，则该围棋手会与甲比赛的概率为
$\dfrac{2}{3}$
。答案
4.$\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率求解题目，解题思路清晰可分三步：第一步，先列举出从甲、乙、丙三只阿尔法狗中任选两只的所有等可能结果；第二步，统计所有结果中包含甲的结果数量；第三步，代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到最终答案。
【解析】
从甲、乙、丙三只阿尔法狗中任选两只，所有等可能的情况如下：
①选择甲和乙；②选择甲和丙；③选择乙和丙，共3种等可能结果。
其中包含甲的情况有选择甲和乙、选择甲和丙，共2种符合条件的结果。
根据概率计算公式可得，该围棋手会与甲比赛的概率为 $\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础考查题，核心考察列举法的应用，解题时只要做到不重复、不遗漏地列举出所有等可能的情况，结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能事件的概率求解题目，解题思路清晰可分三步：第一步，先列举出从甲、乙、丙三只阿尔法狗中任选两只的所有等可能结果；第二步，统计所有结果中包含甲的结果数量；第三步，代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到最终答案。
【解析】
从甲、乙、丙三只阿尔法狗中任选两只，所有等可能的情况如下：
①选择甲和乙；②选择甲和丙；③选择乙和丙，共3种等可能结果。
其中包含甲的情况有选择甲和乙、选择甲和丙，共2种符合条件的结果。
根据概率计算公式可得，该围棋手会与甲比赛的概率为 $\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础考查题，核心考察列举法的应用，解题时只要做到不重复、不遗漏地列举出所有等可能的情况，结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图6-1-1，有五张点数分别为2,3,7,8,9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为
$\dfrac{7}{10}$
。答案
5.$\dfrac{7}{10}$
解析
【分析】
要计算任意抽取两张牌点数之积为偶数的概率，首先需明确概率的计算方法：概率等于符合条件的事件数除以所有等可能的总事件数。首先观察五张牌的点数：偶数点有2、8共2张，奇数点有3、7、9共3张。根据乘法的奇偶性规律：两数相乘，只要有一个乘数是偶数，积就是偶数；只有两个乘数都是奇数时，积才是奇数。因此我们可以先计算“两张点数之积为奇数”的概率，再用1减去该概率，就能快速得到所求概率，避免逐一列举符合条件的情况，简化计算过程。
【解析】
首先计算从5张牌中任意抽取2张的总等可能结果数：
通过枚举法可列出所有组合：(2,3)、(2,7)、(2,8)、(2,9)、(3,7)、(3,8)、(3,9)、(7,8)、(7,9)、(8,9)，共10种等可能的结果。
其中“点数之积为奇数”的情况，即两张都为奇数点，有：(3,7)、(3,9)、(7,9)，共3种结果。
因此“点数之积为偶数”的结果数为：$10-3=7$种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{点数之积是偶数})=\frac{7}{10}$。
【答案】
$\dfrac{7}{10}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 乘法奇偶性判定
3. 概率计算公式
【点评】
本题属于概率基础题型，解题时巧用对立事件可以降低计算量，需要注意抽取扑克牌不考虑顺序，枚举时避免重复计数，准确判断事件的所有等可能情况是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算任意抽取两张牌点数之积为偶数的概率，首先需明确概率的计算方法：概率等于符合条件的事件数除以所有等可能的总事件数。首先观察五张牌的点数：偶数点有2、8共2张，奇数点有3、7、9共3张。根据乘法的奇偶性规律：两数相乘，只要有一个乘数是偶数，积就是偶数；只有两个乘数都是奇数时，积才是奇数。因此我们可以先计算“两张点数之积为奇数”的概率，再用1减去该概率，就能快速得到所求概率，避免逐一列举符合条件的情况，简化计算过程。
【解析】
首先计算从5张牌中任意抽取2张的总等可能结果数：
通过枚举法可列出所有组合：(2,3)、(2,7)、(2,8)、(2,9)、(3,7)、(3,8)、(3,9)、(7,8)、(7,9)、(8,9)，共10种等可能的结果。
其中“点数之积为奇数”的情况，即两张都为奇数点，有：(3,7)、(3,9)、(7,9)，共3种结果。
因此“点数之积为偶数”的结果数为：$10-3=7$种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{点数之积是偶数})=\frac{7}{10}$。
【答案】
$\dfrac{7}{10}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 乘法奇偶性判定
3. 概率计算公式
【点评】
本题属于概率基础题型，解题时巧用对立事件可以降低计算量，需要注意抽取扑克牌不考虑顺序，枚举时避免重复计数，准确判断事件的所有等可能情况是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 在一个不透明的口袋中有一个红球和两个白球，它们除颜色外都相同。任意摸出一个球，记下球的颜色，放回袋中；搅匀后再任意摸出一个球，记下球的颜色。为了研究两次摸球出现某种情况的概率，画出如图6-1-2所示的树状图。
(1)请把树状图补全；
(2)根据树状图可知，摸到一红一白两球的概率是
(1)请把树状图补全；
(2)根据树状图可知，摸到一红一白两球的概率是
$\dfrac{4}{9}$
。答案
6. 解:(1)补全树状图，如答图6-1-1所示
。(2)$\dfrac{4}{9}$
解析
【分析】
(1)补全树状图思路：本题属于放回型摸球试验，每次摸球时袋中都固定有1个红球、2个白球，因此无论第一次摸出的球是什么颜色，第二次摸球的可能结果都和第一次一致，即红、白、白3种，参照前两个分支的第二次摸球结果，补全最右侧分支即可。
(2)求概率思路：先通过树状图统计所有等可能的总结果数，再统计“摸到一红一白两球”的符合条件的结果数，最后利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
(1) 因为是放回摸球，每次摸球的可选结果均为1个红球、2个白球，所以第一次摸出白球后，第二次摸球的分支和前两个分支的第二次部分一致，依次填入红、白、白即可完成补全。
(2) 由树状图可得，两次摸球总共有$3× 3=9$种等可能的结果；
其中摸到一红一白两球的情况共两类：
①第一次摸到红球、第二次摸到白球，共2种结果；
②第一次摸到白球、第二次摸到红球，共2种结果；
符合条件的结果合计$2+2=4$种。
根据概率公式计算得，摸到一红一白两球的概率为$\dfrac{4}{9}$。
【答案】
(1)补全树状图，如答图6-1-1所示。
(2)$\dfrac{4}{9}$
【知识点】
树状图求概率，概率公式，放回型试验
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对放回试验特征的理解和树状图的应用，解题时要注意按规律计数，避免出现结果重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
(1)补全树状图思路：本题属于放回型摸球试验，每次摸球时袋中都固定有1个红球、2个白球，因此无论第一次摸出的球是什么颜色，第二次摸球的可能结果都和第一次一致，即红、白、白3种，参照前两个分支的第二次摸球结果，补全最右侧分支即可。
(2)求概率思路：先通过树状图统计所有等可能的总结果数，再统计“摸到一红一白两球”的符合条件的结果数，最后利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
(1) 因为是放回摸球，每次摸球的可选结果均为1个红球、2个白球，所以第一次摸出白球后，第二次摸球的分支和前两个分支的第二次部分一致，依次填入红、白、白即可完成补全。
(2) 由树状图可得，两次摸球总共有$3× 3=9$种等可能的结果；
其中摸到一红一白两球的情况共两类：
①第一次摸到红球、第二次摸到白球，共2种结果；
②第一次摸到白球、第二次摸到红球，共2种结果；
符合条件的结果合计$2+2=4$种。
根据概率公式计算得，摸到一红一白两球的概率为$\dfrac{4}{9}$。
【答案】
(1)补全树状图，如答图6-1-1所示
。(2)$\dfrac{4}{9}$
【知识点】
树状图求概率，概率公式，放回型试验
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对放回试验特征的理解和树状图的应用，解题时要注意按规律计数，避免出现结果重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
7. 小华和小智计划在寒假里各自前往景洪市、绿春县、绥江县三个地区里的一个地区进行社会实践调查。记景洪市为A、绿春县为B、绥江县为C。假设小华和小智选择去哪个地区不受任何因素影响，且每个地区被选到的可能性相等。记小华的选择为$ x $，小智的选择为$ y $。
(1)请用列表法或画树状图法求$(x,y)$所有可能出现的结果总数；
(2)求小华和小智选择到同一地区的概率。
(1)请用列表法或画树状图法求$(x,y)$所有可能出现的结果总数；
(2)求小华和小智选择到同一地区的概率。
答案
7. 解:(1)由题意列答表6-1-1：
答表6-1-1
| $x$$y$ | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
故$(x,y)$所有可能出现的结果总数为9。
(2)由(1)知，小华和小智选择到同一地区的结果有3种，即(A,A),(B,B),(C,C)。
$\therefore$小华和小智选择到同一地区的概率为$\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$。
答表6-1-1
| $x$$y$ | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
故$(x,y)$所有可能出现的结果总数为9。
(2)由(1)知，小华和小智选择到同一地区的结果有3种，即(A,A),(B,B),(C,C)。
$\therefore$小华和小智选择到同一地区的概率为$\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$。
解析
【分析】
(1) 第一问需要枚举两人选择地区的所有组合，小华和小智的选择相互独立，各有3种可选，可通过列表法清晰呈现所有结果：将小华的3种选择作为行，小智的3种选择作为列，交叉单元格就是对应的(x,y)组合，数出所有组合的数量即可得到结果总数。
(2) 第二问是等可能事件的概率计算，先从第一问的结果中筛选出两人选择同一地区的结果数，再根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式代入计算即可。
【解析】
(1) 列表如下：
| $x$$y$ | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，$(x,y)$所有可能出现的结果总数为9，且每种结果出现的可能性相等。
(2) 从上述表格中可得出，小华和小智选择到同一地区的结果有$(A,A)$、$(B,B)$、$(C,C)$共3种，
根据概率公式可得，所求概率$P=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
列表法求等可能结果，古典概型概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，核心是通过列表法不重不漏地列举出所有等可能的事件结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，掌握列表或树状图这类枚举方法就能顺利解决该类问题。
【难度系数】
0.85
(1) 第一问需要枚举两人选择地区的所有组合，小华和小智的选择相互独立，各有3种可选，可通过列表法清晰呈现所有结果：将小华的3种选择作为行，小智的3种选择作为列，交叉单元格就是对应的(x,y)组合，数出所有组合的数量即可得到结果总数。
(2) 第二问是等可能事件的概率计算，先从第一问的结果中筛选出两人选择同一地区的结果数，再根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式代入计算即可。
【解析】
(1) 列表如下：
| $x$$y$ | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，$(x,y)$所有可能出现的结果总数为9，且每种结果出现的可能性相等。
(2) 从上述表格中可得出，小华和小智选择到同一地区的结果有$(A,A)$、$(B,B)$、$(C,C)$共3种，
根据概率公式可得，所求概率$P=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
列表法求等可能结果，古典概型概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，核心是通过列表法不重不漏地列举出所有等可能的事件结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，掌握列表或树状图这类枚举方法就能顺利解决该类问题。
【难度系数】
0.85
