登录
8. 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式。一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A. 高锰酸钾制取氧气；B. 电解水；C. 木炭还原氧化铜；D. 一氧化碳还原氧化铜；E. 铁的冶炼，要求每名学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如图6-1-3所示的不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）。
请结合统计图，回答下列问题：
(1)a=
(2)请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有
(3)某堂化学课上，小明学到了下面的知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊。已知本次调查的五个实验中，C，D，E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率。
请结合统计图，回答下列问题：
(1)a=
50
，E所对应的扇形圆心角是72
°。(2)请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有
120
人最喜欢的实验是“D. 一氧化碳还原氧化铜”。(3)某堂化学课上，小明学到了下面的知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊。已知本次调查的五个实验中，C，D，E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率。
答案
8. 解:(1)50 72 (2)120
(3)列答表6-1-2：
答表6-1-2
| | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) | (A,E) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) | (B,E) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) | (C,E) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | | (D,E) |
| E | (E,A) | (E,B) | (E,C) | (E,D) | |
由表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
$\therefore P$(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)$=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$。
(3)列答表6-1-2：
答表6-1-2
| | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) | (A,E) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) | (B,E) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) | (C,E) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | | (D,E) |
| E | (E,A) | (E,B) | (E,C) | (E,D) | |
由表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
$\therefore P$(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)$=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$。
解析
【分析】
(1) 先结合条形图和扇形图的已知信息：B类人数为60人，对应扇形占比30%，可先计算出本次抽查的总人数，再用总人数减去A、B、D、E四类的人数即可得到a的值；E对应的扇形圆心角用E的人数占总人数的比例乘360°即可求解。
(2) 先计算抽查样本中最喜欢D实验的人数占比，再用九年级总人数乘该占比，即可估算出对应人数。
(3) 首先明确能产生二氧化碳（可使澄清石灰水变浑浊）的实验为C、D、E三个，用列表法列出从5个实验中任选2个的所有等可能结果，再找出两个实验都属于C、D、E的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 本次抽查的总人数：$60÷30\%=200$（人）
$a=200-20-60-30-40=50$
E所对应的扇形圆心角：$\dfrac{40}{200}×360°=72°$
(2) 样本中最喜欢D实验的人数占比为$\dfrac{30}{200}×100\%=15\%$
估计该校九年级800名学生中最喜欢D实验的人数：$800×15\%=120$（人）
(3) 列表如下：
| | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) | (A,E) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) | (B,E) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) | (C,E) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | | (D,E) |
| E | (E,A) | (E,B) | (E,C) | (E,D) | |
由表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
$\therefore P$(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)$=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$
【答案】
(1) $50$；$72$
(2) $120$
(3) $\dfrac{3}{10}$
【知识点】
统计图表的应用、用样本估计总体、列表法求概率
【点评】
本题是统计与概率结合的常见题型，解题的核心是先从两类统计图中获取有效信息求出抽查总人数，再结合概率公式求解，难度适中，侧重考查对基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先结合条形图和扇形图的已知信息：B类人数为60人，对应扇形占比30%，可先计算出本次抽查的总人数，再用总人数减去A、B、D、E四类的人数即可得到a的值；E对应的扇形圆心角用E的人数占总人数的比例乘360°即可求解。
(2) 先计算抽查样本中最喜欢D实验的人数占比，再用九年级总人数乘该占比，即可估算出对应人数。
(3) 首先明确能产生二氧化碳（可使澄清石灰水变浑浊）的实验为C、D、E三个，用列表法列出从5个实验中任选2个的所有等可能结果，再找出两个实验都属于C、D、E的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 本次抽查的总人数：$60÷30\%=200$（人）
$a=200-20-60-30-40=50$
E所对应的扇形圆心角：$\dfrac{40}{200}×360°=72°$
(2) 样本中最喜欢D实验的人数占比为$\dfrac{30}{200}×100\%=15\%$
估计该校九年级800名学生中最喜欢D实验的人数：$800×15\%=120$（人）
(3) 列表如下：
| | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) | (A,E) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) | (B,E) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) | (C,E) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | | (D,E) |
| E | (E,A) | (E,B) | (E,C) | (E,D) | |
由表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
$\therefore P$(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)$=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$
【答案】
(1) $50$；$72$
(2) $120$
(3) $\dfrac{3}{10}$
【知识点】
统计图表的应用、用样本估计总体、列表法求概率
【点评】
本题是统计与概率结合的常见题型，解题的核心是先从两类统计图中获取有效信息求出抽查总人数，再结合概率公式求解，难度适中，侧重考查对基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数-2，-1，1，2。把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数$m$；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数$n$，则直线$y=mx+n$不经过第三象限的概率为
9. 有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数-2，-1，1，2。把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数$m$；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数$n$，则直线$y=mx+n$不经过第三象限的概率为
$\dfrac{1}{4}$
。答案
9.$\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
本题是有放回抽取的概率与一次函数结合的综合题，解题思路如下：第一步，先明确有放回的两次抽取，总共有4×4=16种等可能的结果；第二步，回忆一次函数图象的性质，推导直线y=mx+n不经过第三象限的条件：m＜0且n＞0（若m＞0，直线必然经过第三象限，只有当斜率为负、截距为正时，直线仅经过一、二、四象限，不经过第三象限）；第三步，统计满足m＜0、n＞0的结果数量，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：因为是有放回抽取，第一次抽取m有4种可能，第二次抽取n也有4种可能，所以总共有$4 × 4 = 16$种等可能的$(m,n)$组合。
2. 明确直线不经过第三象限的条件：根据一次函数$y=kx+b$的图象性质，图象不经过第三象限需满足斜率$k＜0$，截距$b＞0$，即本题中$m＜0$且$n＞0$。
3. 统计符合条件的结果数：满足$m＜0$的m值有-2、-1，共2种；满足$n＞0$的n值有1、2，共2种，因此符合条件的组合共有$2 × 2 = 4$种。
4. 计算概率：$P(\mathrm{直线不经过第三象限}) = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
用列表法求概率；一次函数图象性质
【点评】
本题将概率计算和一次函数的图象性质相结合，既考查了有放回事件概率的求解方法，也要求学生熟练掌握一次函数斜率、截距对图象位置的影响，是典型的跨知识点基础应用题。
【难度系数】
0.6
本题是有放回抽取的概率与一次函数结合的综合题，解题思路如下：第一步，先明确有放回的两次抽取，总共有4×4=16种等可能的结果；第二步，回忆一次函数图象的性质，推导直线y=mx+n不经过第三象限的条件：m＜0且n＞0（若m＞0，直线必然经过第三象限，只有当斜率为负、截距为正时，直线仅经过一、二、四象限，不经过第三象限）；第三步，统计满足m＜0、n＞0的结果数量，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：因为是有放回抽取，第一次抽取m有4种可能，第二次抽取n也有4种可能，所以总共有$4 × 4 = 16$种等可能的$(m,n)$组合。
2. 明确直线不经过第三象限的条件：根据一次函数$y=kx+b$的图象性质，图象不经过第三象限需满足斜率$k＜0$，截距$b＞0$，即本题中$m＜0$且$n＞0$。
3. 统计符合条件的结果数：满足$m＜0$的m值有-2、-1，共2种；满足$n＞0$的n值有1、2，共2种，因此符合条件的组合共有$2 × 2 = 4$种。
4. 计算概率：$P(\mathrm{直线不经过第三象限}) = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
用列表法求概率；一次函数图象性质
【点评】
本题将概率计算和一次函数的图象性质相结合，既考查了有放回事件概率的求解方法，也要求学生熟练掌握一次函数斜率、截距对图象位置的影响，是典型的跨知识点基础应用题。
【难度系数】
0.6
10.“十一”期间，老张在某商场购物后，参加了出口处的抽奖活动。抽奖规则如下：每张发票可摸球一次，每次从装有大小、形状都相同的1个白球和2个红球的盒子中，随机摸出一个球，若摸出的是白球，则获得一份奖品；若摸出的是红球，则不获奖。
(1)求每次摸球中奖的概率。
(2)老张想：“我手中有两张发票，那么中奖的概率就翻了一倍。”你认为老张的想法正确吗？用列表法或画树状图法分析说明。
(1)求每次摸球中奖的概率。
(2)老张想：“我手中有两张发票，那么中奖的概率就翻了一倍。”你认为老张的想法正确吗？用列表法或画树状图法分析说明。
答案
10. 解:(1)$\because$每次摸球共有3种等可能的结果，其中摸到白球的只有1种，
$\therefore P$(每次摸球中奖)$=\dfrac{1}{3}$。
(2)老张的想法是错误的。
列答表6-1-3分析如下：
答表6-1-3
| 第一次\第二次 | 白 | 红 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | (白,白) | (白,红) | (白,红) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,红) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,红) |
由答表6-1-3可知，抽奖的等可能结果共有9种，其中摸到白球的有5种，$\therefore P$(中奖)$=\dfrac{5}{9}$。
$\because \dfrac{5}{9}≠ \dfrac{1}{3}×2$，$\therefore$老张的想法是错误的。
$\therefore P$(每次摸球中奖)$=\dfrac{1}{3}$。
(2)老张的想法是错误的。
列答表6-1-3分析如下：
答表6-1-3
| 第一次\第二次 | 白 | 红 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | (白,白) | (白,红) | (白,红) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,红) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,红) |
由答表6-1-3可知，抽奖的等可能结果共有9种，其中摸到白球的有5种，$\therefore P$(中奖)$=\dfrac{5}{9}$。
$\because \dfrac{5}{9}≠ \dfrac{1}{3}×2$，$\therefore$老张的想法是错误的。
解析
【分析】
第(1)问属于单次摸球的概率计算问题，可利用古典概型的概率公式求解：先找出所有等可能的摸球结果数，再找出中奖（摸到白球）的结果数，二者的比值即为单次摸球中奖的概率。第(2)问要判断老张的想法是否正确，需先计算两次摸球的中奖概率：两次摸球为独立的有放回试验，可通过列表法罗列出所有等可能的结果，再统计出至少有一次摸到白球的结果数，算出对应概率后与2倍的单次中奖概率对比，即可得出结论。
【解析】
(1) 每次摸球时，盒子里共有3个大小形状相同的球，共有3种等可能的结果，其中摸到白球的结果只有1种，因此：
$P(\mathrm{每次摸球中奖})=\dfrac{\mathrm{摸到白球的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\dfrac{1}{3}$。
(2) 老张的想法不正确，分析如下：
两次摸球为有放回的独立试验，列表分析所有等可能的结果：
| 第一次\第二次 | 白 | 红 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | (白,白) | (白,红) | (白,红) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,红) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,红) |
由上表可知，两次摸球共有9种等可能的结果，其中至少有一次摸到白球（即中奖）的结果有5种，因此：
$P(\mathrm{两张发票抽奖中奖})=\dfrac{5}{9}$。
因为$\dfrac{5}{9}≠ \dfrac{1}{3}×2=\dfrac{2}{3}$，所以老张的想法是错误的。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) 老张的想法不正确，两张发票抽奖的中奖概率为$\dfrac{5}{9}$。
【知识点】
1. 简单概率计算 2. 列表法求概率
【点评】
本题结合生活中的抽奖场景考查概率的应用，既考察了单次试验概率的基本求法，也要求学生掌握用列表法分析多次试验概率的方法，易错点是容易错误认为多次试验的概率是单次概率的简单倍数叠加，解题时需通过枚举所有等可能结果准确计算概率。
【难度系数】
0.7
第(1)问属于单次摸球的概率计算问题，可利用古典概型的概率公式求解：先找出所有等可能的摸球结果数，再找出中奖（摸到白球）的结果数，二者的比值即为单次摸球中奖的概率。第(2)问要判断老张的想法是否正确，需先计算两次摸球的中奖概率：两次摸球为独立的有放回试验，可通过列表法罗列出所有等可能的结果，再统计出至少有一次摸到白球的结果数，算出对应概率后与2倍的单次中奖概率对比，即可得出结论。
【解析】
(1) 每次摸球时，盒子里共有3个大小形状相同的球，共有3种等可能的结果，其中摸到白球的结果只有1种，因此：
$P(\mathrm{每次摸球中奖})=\dfrac{\mathrm{摸到白球的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\dfrac{1}{3}$。
(2) 老张的想法不正确，分析如下：
两次摸球为有放回的独立试验，列表分析所有等可能的结果：
| 第一次\第二次 | 白 | 红 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | (白,白) | (白,红) | (白,红) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,红) |
| 红 | (红,白) | (红,红) | (红,红) |
由上表可知，两次摸球共有9种等可能的结果，其中至少有一次摸到白球（即中奖）的结果有5种，因此：
$P(\mathrm{两张发票抽奖中奖})=\dfrac{5}{9}$。
因为$\dfrac{5}{9}≠ \dfrac{1}{3}×2=\dfrac{2}{3}$，所以老张的想法是错误的。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) 老张的想法不正确，两张发票抽奖的中奖概率为$\dfrac{5}{9}$。
【知识点】
1. 简单概率计算 2. 列表法求概率
【点评】
本题结合生活中的抽奖场景考查概率的应用，既考察了单次试验概率的基本求法，也要求学生掌握用列表法分析多次试验概率的方法，易错点是容易错误认为多次试验的概率是单次概率的简单倍数叠加，解题时需通过枚举所有等可能结果准确计算概率。
【难度系数】
0.7
