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7. 五边形ABCDE如图3-5-6所示。
(1)以点A为位似中心，在五边形ABCDE的右边作出它的位似图形五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$，使五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$与五边形ABCDE的相似比为2；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若五边形ABCDE的周长为14 cm，则五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$的周长为
图3-5-6
(1)以点A为位似中心，在五边形ABCDE的右边作出它的位似图形五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$，使五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$与五边形ABCDE的相似比为2；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若五边形ABCDE的周长为14 cm，则五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$的周长为
28 cm
。图3-5-6
答案
7. 解:(1)如答图 3-5-2,五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$为所求作的图形。
(2)28 cm
解析
【分析】
本题分为位似作图和性质应用两部分：
(1) 作图思路：位似中心为点A，相似比为2，即新图形各对应顶点到位似中心A的距离是原图形对应顶点到A距离的2倍。首先找到原五边形除A外的各顶点B、C、D、E，分别作过A和这几个点的射线，在射线上依次截取B₁、C₁、D₁、E₁，使各对应线段长度为原线段的2倍，最后顺次连接各点即可得到所求位似图形。
(2) 计算思路：位似图形属于相似图形，相似图形的周长比等于相似比，已知相似比为2，原五边形周长为14cm，直接用原周长乘相似比就能得到新图形的周长。
【解析】
(1) 按照位似作图方法，以A为位似中心，延长AB、AC、AD、AE，分别在延长线上取AB₁=2AB、AC₁=2AC、AD₁=2AD、AE₁=2AE，顺次连接A、B₁、C₁、D₁、E₁，得到的五边形即为所求。
(2)
∵ 五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$与五边形ABCDE位似，相似比为2
∴ 两个五边形为相似图形，周长比等于相似比2
∵ 五边形ABCDE的周长为14 cm
∴ 五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$的周长 = 14×2 = 28 cm
【答案】
(1)如答图 3-5-2,五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$为所求作的图形。
(2)28 cm
【知识点】
位似图形画法，相似周长性质，位似的性质
【点评】
本题考查位似图形的作图和性质应用，作图时需明确位似中心、相似比和位似方向，计算部分直接利用相似图形周长比等于相似比的性质即可求解，是位似相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
本题分为位似作图和性质应用两部分：
(1) 作图思路：位似中心为点A，相似比为2，即新图形各对应顶点到位似中心A的距离是原图形对应顶点到A距离的2倍。首先找到原五边形除A外的各顶点B、C、D、E，分别作过A和这几个点的射线，在射线上依次截取B₁、C₁、D₁、E₁，使各对应线段长度为原线段的2倍，最后顺次连接各点即可得到所求位似图形。
(2) 计算思路：位似图形属于相似图形，相似图形的周长比等于相似比，已知相似比为2，原五边形周长为14cm，直接用原周长乘相似比就能得到新图形的周长。
【解析】
(1) 按照位似作图方法，以A为位似中心，延长AB、AC、AD、AE，分别在延长线上取AB₁=2AB、AC₁=2AC、AD₁=2AD、AE₁=2AE，顺次连接A、B₁、C₁、D₁、E₁，得到的五边形即为所求。
(2)
∵ 五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$与五边形ABCDE位似，相似比为2
∴ 两个五边形为相似图形，周长比等于相似比2
∵ 五边形ABCDE的周长为14 cm
∴ 五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$的周长 = 14×2 = 28 cm
【答案】
(1)如答图 3-5-2,五边形$AB_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$为所求作的图形。
(2)28 cm
【知识点】
位似图形画法，相似周长性质，位似的性质
【点评】
本题考查位似图形的作图和性质应用，作图时需明确位似中心、相似比和位似方向，计算部分直接利用相似图形周长比等于相似比的性质即可求解，是位似相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
8. 如图 3-5-7, 矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 位似,已知矩形 $ABCD$ 的周长为 $12,AD=2,A'D'=4$。
(1)画出两个矩形的位似中心 $P$；
(2)求矩形 $A'B'C'D'$ 的面积。
图 3-5-7
(1)画出两个矩形的位似中心 $P$；
(2)求矩形 $A'B'C'D'$ 的面积。
图 3-5-7
答案
8. 解:(1)如答图 3-5-3,点 P 为所求。
(2)
∵矩形 ABCD 的周长为 12,且 $AD=2$,
∴$AB=4$。
∵矩形 ABCD 与矩形 $A'B'C'D'$ 位似,$\frac{AD}{A'D'}=\frac{1}{2}$,
∴$S_{矩形ABCD}:S_{矩形A'B'C'D'}=(\frac{AD}{A'D'})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
∵$S_{矩形ABCD}=2×4=8$,
∴$S_{矩形A'B'C'D'}=8×4=32$。
解析
【分析】
(1) 位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，要确定两个矩形的位似中心，只需作出两组对应顶点的连线，延长后的交点就是所求的位似中心P，本题可选择连接对应顶点A与A'、D与D'，两条连线延长后的交点即为P。
(2) 要求矩形$A'B'C'D'$的面积，首先需要求出矩形ABCD的边长和面积，再根据位似图形的相似比等于对应边的比、面积比等于相似比的平方的性质计算大矩形面积：第一步先利用矩形ABCD的周长和已知的AD边长求出AB的长度；第二步计算两个矩形的相似比，得到二者的面积比；第三步先算出小矩形面积，再根据面积比求出大矩形的面积。
【解析】
(1) 位似图形的对应顶点连线都经过位似中心，连接$A'A$、$D'D$并延长，两条延长线的交点即为位似中心P。
(2) 已知矩形ABCD的周长为12，$AD=2$，根据矩形周长公式$周长=2×(长+宽)$，可得：
$AB=\frac{12}{2}-AD=6-2=4$
因为矩形ABCD和矩形$A'B'C'D'$位似，对应边的比即相似比为$\frac{AD}{A'D'}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
根据位似图形的性质，面积比等于相似比的平方，因此：
$\frac{S_{矩形ABCD}}{S_{矩形A'B'C'D'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
先计算矩形ABCD的面积：$S_{矩形ABCD}=AB×AD=4×2=8$
因此$S_{矩形A'B'C'D'}=4×S_{矩形ABCD}=4×8=32$
【答案】
(1) 如答图 3-5-3,点 P 为所求。
(2) 矩形$A'B'C'D'$的面积为32。
【知识点】
位似图形性质、矩形周长与面积计算、相似图形面积比
【点评】
本题是位似章节的基础典型题，第一问考查位似中心的作图，掌握位似中心的定义即可完成；第二问结合矩形的周长公式、位似的相似比与面积比的关系求解，难度较低，侧重对基础概念和性质的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，要确定两个矩形的位似中心，只需作出两组对应顶点的连线，延长后的交点就是所求的位似中心P，本题可选择连接对应顶点A与A'、D与D'，两条连线延长后的交点即为P。
(2) 要求矩形$A'B'C'D'$的面积，首先需要求出矩形ABCD的边长和面积，再根据位似图形的相似比等于对应边的比、面积比等于相似比的平方的性质计算大矩形面积：第一步先利用矩形ABCD的周长和已知的AD边长求出AB的长度；第二步计算两个矩形的相似比，得到二者的面积比；第三步先算出小矩形面积，再根据面积比求出大矩形的面积。
【解析】
(1) 位似图形的对应顶点连线都经过位似中心，连接$A'A$、$D'D$并延长，两条延长线的交点即为位似中心P。
(2) 已知矩形ABCD的周长为12，$AD=2$，根据矩形周长公式$周长=2×(长+宽)$，可得：
$AB=\frac{12}{2}-AD=6-2=4$
因为矩形ABCD和矩形$A'B'C'D'$位似，对应边的比即相似比为$\frac{AD}{A'D'}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
根据位似图形的性质，面积比等于相似比的平方，因此：
$\frac{S_{矩形ABCD}}{S_{矩形A'B'C'D'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
先计算矩形ABCD的面积：$S_{矩形ABCD}=AB×AD=4×2=8$
因此$S_{矩形A'B'C'D'}=4×S_{矩形ABCD}=4×8=32$
【答案】
(1) 如答图 3-5-3,点 P 为所求。
(2) 矩形$A'B'C'D'$的面积为32。
【知识点】
位似图形性质、矩形周长与面积计算、相似图形面积比
【点评】
本题是位似章节的基础典型题，第一问考查位似中心的作图，掌握位似中心的定义即可完成；第二问结合矩形的周长公式、位似的相似比与面积比的关系求解，难度较低，侧重对基础概念和性质的考查。
【难度系数】
0.7
9. 已知$△ ABC$和$△ ADE$位似，位似中心是点A，点B与点D是对应顶点，相似比是$\frac{1}{2}$。若AB=6，则BD=
6或18
。答案
9. 6或18
解析
【分析】
本题考查位似图形的性质应用，解题思路如下：首先根据位似图形的性质，对应顶点的连线经过位似中心，且对应边的比等于相似比，先求出对应边AD的长度；其次要注意位似图形相对于位似中心存在两种位置关系：在位似中心同侧或异侧，需分两种情况分别计算BD的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵△ABC和△ADE位似，位似中心为点A，点B与点D是对应顶点，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{1}{2}$，
又
∵AB=6，
∴AD=2AB=12。
分两种情况讨论：
① 当△ABC和△ADE在位似中心A的同侧时，点D在AB的延长线上，
此时BD=AD-AB=12-6=6；
② 当△ABC和△ADE在位似中心A的异侧时，点D在BA的延长线上，
此时BD=AB+AD=6+12=18。
综上，BD的长为6或18。
【答案】
6或18
【知识点】
1. 位似的性质
2. 相似比的应用
【点评】
本题是易错题，解题的关键是明确位似图形相对于位似中心有同侧和异侧两种位置关系，需要分类讨论，避免因漏算一种情况导致失分。
【难度系数】
0.6
本题考查位似图形的性质应用，解题思路如下：首先根据位似图形的性质，对应顶点的连线经过位似中心，且对应边的比等于相似比，先求出对应边AD的长度；其次要注意位似图形相对于位似中心存在两种位置关系：在位似中心同侧或异侧，需分两种情况分别计算BD的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵△ABC和△ADE位似，位似中心为点A，点B与点D是对应顶点，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{1}{2}$，
又
∵AB=6，
∴AD=2AB=12。
分两种情况讨论：
① 当△ABC和△ADE在位似中心A的同侧时，点D在AB的延长线上，
此时BD=AD-AB=12-6=6；
② 当△ABC和△ADE在位似中心A的异侧时，点D在BA的延长线上，
此时BD=AB+AD=6+12=18。
综上，BD的长为6或18。
【答案】
6或18
【知识点】
1. 位似的性质
2. 相似比的应用
【点评】
本题是易错题，解题的关键是明确位似图形相对于位似中心有同侧和异侧两种位置关系，需要分类讨论，避免因漏算一种情况导致失分。
【难度系数】
0.6
10. 图3-5-8是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形ABCD及格点O。
(1)画出将正方形ABCD向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的正方形$A_1B_1C_1D_1$。
(2)以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形$A_1B_1C_1D_1$的位似图形$A'B'C'D'$，使它与正方形$A_1B_1C_1D_1$的相似比为2。
(3)除了点O外，正方形$A'B'C'D'$和正方形$A_1B_1C_1D_1$还有一个位似中心，请找出来。
图3-5-8
(1)画出将正方形ABCD向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的正方形$A_1B_1C_1D_1$。
(2)以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形$A_1B_1C_1D_1$的位似图形$A'B'C'D'$，使它与正方形$A_1B_1C_1D_1$的相似比为2。
(3)除了点O外，正方形$A'B'C'D'$和正方形$A_1B_1C_1D_1$还有一个位似中心，请找出来。
图3-5-8
答案
10. 解:(1)如答图 3-5-4,正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 为所作。
(2)如答图 3-5-4,正方形 $A'B'C'D'$ 为所作。
(3)如答图 3-5-4,点 $P$ 也为位似中心。
解析
【分析】
(1) 平移作图的核心是图形上每个点都按相同的平移规则移动，所以我们只需要把正方形ABCD的四个顶点分别向左平移2个单位、向上平移2个单位，得到对应顶点后顺次连接即可。
(2) 位似作图要利用位似的性质：位似图形对应点的连线都经过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于相似比。本题要求在O的同侧作相似比为2的位似图形，所以连接O与正方形$A_1B_1C_1D_1$的各顶点，沿射线方向延长到原距离的2倍位置得到对应顶点，顺次连接即可。
(3) 位似中心是所有对应点连线的公共交点，要找另一个位似中心，只需连接两组不同的对应顶点，它们除O外的交点就是所求的位似中心。
【解析】
(1) 确定正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D，将每个点向左平移2个单位、向上平移2个单位，得到平移后的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$、$D_1$，顺次连接四个点，得到正方形$A_1B_1C_1D_1$。
(2) 分别连接$OA_1$、$OB_1$、$OC_1$、$OD_1$，在O与$A_1B_1C_1D_1$的同侧沿射线方向延长，使$OA'=2OA_1$，$OB'=2OB_1$，$OC'=2OC_1$，$OD'=2OD_1$，顺次连接$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，得到位似图形$A'B'C'D'$。
(3) 分别连接$A'A_1$、$B'B_1$、$C'C_1$、$D'D_1$，可发现四条线段除了交于点O外，还交于另一个公共点P，该点即为正方形$A'B'C'D'$和$A_1B_1C_1D_1$的另一个位似中心。
【答案】
(1) 如答图 3-5-4,正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 为所作。
(2) 如答图 3-5-4,正方形 $A'B'C'D'$ 为所作。
(3) 如答图 3-5-4,点 $P$ 也为位似中心。
【知识点】
平移作图，位似图形作图，位似中心判定
【点评】
本题综合考查了平移变换、位似变换的作图方法以及位似中心的识别，解题的关键是熟练掌握平移和位似的性质，作图时注意平移的方向与距离、位似的方向和相似比，位似中心可通过两组对应点连线的交点确定。
【难度系数】
0.7
(1) 平移作图的核心是图形上每个点都按相同的平移规则移动，所以我们只需要把正方形ABCD的四个顶点分别向左平移2个单位、向上平移2个单位，得到对应顶点后顺次连接即可。
(2) 位似作图要利用位似的性质：位似图形对应点的连线都经过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于相似比。本题要求在O的同侧作相似比为2的位似图形，所以连接O与正方形$A_1B_1C_1D_1$的各顶点，沿射线方向延长到原距离的2倍位置得到对应顶点，顺次连接即可。
(3) 位似中心是所有对应点连线的公共交点，要找另一个位似中心，只需连接两组不同的对应顶点，它们除O外的交点就是所求的位似中心。
【解析】
(1) 确定正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D，将每个点向左平移2个单位、向上平移2个单位，得到平移后的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$、$D_1$，顺次连接四个点，得到正方形$A_1B_1C_1D_1$。
(2) 分别连接$OA_1$、$OB_1$、$OC_1$、$OD_1$，在O与$A_1B_1C_1D_1$的同侧沿射线方向延长，使$OA'=2OA_1$，$OB'=2OB_1$，$OC'=2OC_1$，$OD'=2OD_1$，顺次连接$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，得到位似图形$A'B'C'D'$。
(3) 分别连接$A'A_1$、$B'B_1$、$C'C_1$、$D'D_1$，可发现四条线段除了交于点O外，还交于另一个公共点P，该点即为正方形$A'B'C'D'$和$A_1B_1C_1D_1$的另一个位似中心。
【答案】
(1) 如答图 3-5-4,正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 为所作。
(2) 如答图 3-5-4,正方形 $A'B'C'D'$ 为所作。
(3) 如答图 3-5-4,点 $P$ 也为位似中心。
【知识点】
平移作图，位似图形作图，位似中心判定
【点评】
本题综合考查了平移变换、位似变换的作图方法以及位似中心的识别，解题的关键是熟练掌握平移和位似的性质，作图时注意平移的方向与距离、位似的方向和相似比，位似中心可通过两组对应点连线的交点确定。
【难度系数】
0.7
