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1. 下列图形不是位似图形的是(
D
)。答案
1.D
解析
【分析】
要判断是否为位似图形，需结合位似图形的3个判定条件分析：①两个图形是相似图形；②两个图形所有对应顶点的连线交于同一点（即位似中心）；③对应边互相平行或共线。我们逐一验证四个选项即可得出结论。
【解析】
依据位似图形的定义：两个相似图形，若对应顶点连线交于同一点、对应边互相平行（或共线），则为位似图形。
选项A：两个同心圆是相似图形，所有对应点的连线都经过圆心，符合位似图形特征，是位似图形；
选项B：两个三角形相似，对应顶点连线交于左侧同一点，且对应边互相平行，是位似图形；
选项C：两个组合图形相似，对应顶点连线交于中间同一点，对应边互相平行，是位似图形；
选项D：两个三角形对应边不平行，且对应顶点连线无法交于同一点，不符合位似图形定义，不是位似图形。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的判定
【点评】
本题是基础的位似图形识别题，解题核心是牢记位似图形的判定条件，尤其注意不要遗漏“对应边平行或共线”这一特征。
【难度系数】
0.7
要判断是否为位似图形，需结合位似图形的3个判定条件分析：①两个图形是相似图形；②两个图形所有对应顶点的连线交于同一点（即位似中心）；③对应边互相平行或共线。我们逐一验证四个选项即可得出结论。
【解析】
依据位似图形的定义：两个相似图形，若对应顶点连线交于同一点、对应边互相平行（或共线），则为位似图形。
选项A：两个同心圆是相似图形，所有对应点的连线都经过圆心，符合位似图形特征，是位似图形；
选项B：两个三角形相似，对应顶点连线交于左侧同一点，且对应边互相平行，是位似图形；
选项C：两个组合图形相似，对应顶点连线交于中间同一点，对应边互相平行，是位似图形；
选项D：两个三角形对应边不平行，且对应顶点连线无法交于同一点，不符合位似图形定义，不是位似图形。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的判定
【点评】
本题是基础的位似图形识别题，解题核心是牢记位似图形的判定条件，尤其注意不要遗漏“对应边平行或共线”这一特征。
【难度系数】
0.7
2. 如图 3-5-1，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O，且$\frac{OE}{OA}=\frac{1}{2}$，则四边形 EFGH 与四边形 ABCD 的周长之比是（
A.1
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$
C
）。A.1
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的两个四边形是位似图形，回忆位似的相关性质：位似图形是特殊的相似图形，其相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比；再结合相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比。先根据已知的对应点到位似中心的线段比求出两个四边形的相似比，即可推导得到周长比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，
∴四边形EFGH∽四边形ABCD，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即相似比$k=\frac{OE}{OA}$。
已知$\frac{OE}{OA}=\frac{1}{2}$，因此两个四边形的相似比为$\frac{1}{2}$。
根据相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比，
可得四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比为$\frac{1}{2}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；相似多边形的性质
【点评】
本题是位似和相似性质的基础应用题，只要掌握位似图形与相似图形的关系，以及相似图形周长比和相似比的对应规律，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的两个四边形是位似图形，回忆位似的相关性质：位似图形是特殊的相似图形，其相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比；再结合相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比。先根据已知的对应点到位似中心的线段比求出两个四边形的相似比，即可推导得到周长比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，
∴四边形EFGH∽四边形ABCD，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即相似比$k=\frac{OE}{OA}$。
已知$\frac{OE}{OA}=\frac{1}{2}$，因此两个四边形的相似比为$\frac{1}{2}$。
根据相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比，
可得四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比为$\frac{1}{2}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；相似多边形的性质
【点评】
本题是位似和相似性质的基础应用题，只要掌握位似图形与相似图形的关系，以及相似图形周长比和相似比的对应规律，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 茗茗在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题。如图3-5-2，若$OB=30\ \mathrm{cm}$，$OB'=20\ \mathrm{cm}$，蜡烛火焰倒立像$A'B'=6\ \mathrm{cm}$，则下列说法错误的是（
图3-5-2
A.蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A'B'可以看成是位似图形
B.$△ ABO ∽ △ A'B'O$
C.蜡烛火焰AB长9 cm
D.线段AB的中点与线段A'B'的中点的连线不一定经过点O
D
）。图3-5-2
A.蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A'B'可以看成是位似图形
B.$△ ABO ∽ △ A'B'O$
C.蜡烛火焰AB长9 cm
D.线段AB的中点与线段A'B'的中点的连线不一定经过点O
答案
3.D
解析
【分析】
本题结合小孔成像的实际场景，考查位似图形的定义、性质以及相似三角形的判定与性质。解题时首先根据小孔成像“光沿直线传播”的特点，得到对应点连线过点O、AB与A'B'平行的关系，再依次对每个选项进行判断：先判断两个三角形是否相似，再判断是否为位似图形，结合相似比计算AB的长度，最后根据位似的性质判断对应中点连线是否过O即可。
【解析】
根据小孔成像的特点可知：点A、O、A'三点共线，点B、O、B'三点共线，且AB//A'B'。
对选项A：
∵△ABO∽△A'B'O，且对应顶点的连线都交于点O，对应边AB//A'B'，
∴蜡烛火焰AB和像A'B'是位似图形，A说法正确，不符合题意。
对选项B：
∵AB//A'B'，
∴∠OAB=∠OA'B'，∠OBA=∠OB'A'，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABO∽△A'B'O，B说法正确，不符合题意。
对选项C：
∵△ABO∽△A'B'O，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{OB}{OB'}$，代入OB=30cm，OB'=20cm，A'B'=6cm，得$AB=\frac{OB×A'B'}{OB'}=\frac{30×6}{20}=9\mathrm{cm}$，C说法正确，不符合题意。
对选项D：位似图形的所有对应点的连线都经过位似中心O，线段AB的中点与线段A'B'的中点是一对对应点，因此二者的连线一定经过点O，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题将物理中的小孔成像现象与数学的位似、相似知识结合，考查跨学科知识的应用能力，解题的关键是把实际场景转化为几何模型，熟练运用相似和位似的性质判断选项、计算长度。
【难度系数】
0.7
本题结合小孔成像的实际场景，考查位似图形的定义、性质以及相似三角形的判定与性质。解题时首先根据小孔成像“光沿直线传播”的特点，得到对应点连线过点O、AB与A'B'平行的关系，再依次对每个选项进行判断：先判断两个三角形是否相似，再判断是否为位似图形，结合相似比计算AB的长度，最后根据位似的性质判断对应中点连线是否过O即可。
【解析】
根据小孔成像的特点可知：点A、O、A'三点共线，点B、O、B'三点共线，且AB//A'B'。
对选项A：
∵△ABO∽△A'B'O，且对应顶点的连线都交于点O，对应边AB//A'B'，
∴蜡烛火焰AB和像A'B'是位似图形，A说法正确，不符合题意。
对选项B：
∵AB//A'B'，
∴∠OAB=∠OA'B'，∠OBA=∠OB'A'，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABO∽△A'B'O，B说法正确，不符合题意。
对选项C：
∵△ABO∽△A'B'O，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{OB}{OB'}$，代入OB=30cm，OB'=20cm，A'B'=6cm，得$AB=\frac{OB×A'B'}{OB'}=\frac{30×6}{20}=9\mathrm{cm}$，C说法正确，不符合题意。
对选项D：位似图形的所有对应点的连线都经过位似中心O，线段AB的中点与线段A'B'的中点是一对对应点，因此二者的连线一定经过点O，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题将物理中的小孔成像现象与数学的位似、相似知识结合，考查跨学科知识的应用能力，解题的关键是把实际场景转化为几何模型，熟练运用相似和位似的性质判断选项、计算长度。
【难度系数】
0.7
4. 如图 3-5-3，$△ ABC$ 和 $△ A'B'C'$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，点 $A$ 在线段 $OA'$ 上。若 $OA:AA'=1:2$，$△ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 的面积之比为
$\frac{1}{9}$
。答案
4.$\frac{1}{9}$
解析
【分析】
解题时首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比。已知OA:AA'=1:2，我们可以先求出OA与OA'的比值，也就是两个三角形的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积之比。
【解析】
∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△A'B'C'，且相似比$k=\frac{OA}{OA'}$
∵$OA:AA'=1:2$，即$AA'=2OA$
∴$OA'=OA+AA'=OA+2OA=3OA$
∴相似比$k=\frac{OA}{OA'}=\frac{OA}{3OA}=\frac{1}{3}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方
∴$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积比规律
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是明确位似图形的相似比为对应点到位似中心的距离之比，易错点是容易误将OA:AA'直接当作相似比计算，做题时需先理清线段的和差关系求出正确的相似比，再结合相似性质计算面积比。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比。已知OA:AA'=1:2，我们可以先求出OA与OA'的比值，也就是两个三角形的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积之比。
【解析】
∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△A'B'C'，且相似比$k=\frac{OA}{OA'}$
∵$OA:AA'=1:2$，即$AA'=2OA$
∴$OA'=OA+AA'=OA+2OA=3OA$
∴相似比$k=\frac{OA}{OA'}=\frac{OA}{3OA}=\frac{1}{3}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方
∴$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积比规律
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是明确位似图形的相似比为对应点到位似中心的距离之比，易错点是容易误将OA:AA'直接当作相似比计算，做题时需先理清线段的和差关系求出正确的相似比，再结合相似性质计算面积比。
【难度系数】
0.7
5. 如图3-5-4，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'。若A'B':AB=2:1，则正方形A'B'C'D'的外接圆的周长为
$2\sqrt{2}π$
。答案
5.$2\sqrt{2}π$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发：①先根据正方形ABCD的周长求出原正方形的边长；②再利用位似图形对应边成比例的性质，结合给出的位似比求出位似后正方形A'B'C'D'的边长；③明确正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，用勾股定理算出新正方形的对角线长度即外接圆的直径；④最后代入圆的周长公式即可求出结果。
【解析】
步骤1：求原正方形ABCD的边长
已知正方形ABCD周长为4，正方形周长=4×边长，因此边长$AB=4÷4=1$。
步骤2：求位似后正方形A'B'C'D'的边长
因为位似图形对应边的比等于位似比，已知$A'B':AB=2:1$，所以$A'B'=2×AB=2×1=2$。
步骤3：求正方形A'B'C'D'的外接圆直径
正方形的外接圆直径等于正方形的对角线长度，由勾股定理可得，正方形A'B'C'D'的对角线长为：$\sqrt{A'B'^2 + B'C'^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$，即外接圆的直径$d=2\sqrt{2}$。
步骤4：计算外接圆的周长
圆的周长公式为$C=π d$，代入$d=2\sqrt{2}$得：$C=π×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}π$。
【答案】
$2\sqrt{2}π$
【知识点】
位似图形的性质、正方形的性质、圆的周长计算
【点评】
本题是基础综合题，将位似、正方形、圆的知识点结合考查，解题的核心是找准正方形与其外接圆的数量关系，只要熟练掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件出发：①先根据正方形ABCD的周长求出原正方形的边长；②再利用位似图形对应边成比例的性质，结合给出的位似比求出位似后正方形A'B'C'D'的边长；③明确正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，用勾股定理算出新正方形的对角线长度即外接圆的直径；④最后代入圆的周长公式即可求出结果。
【解析】
步骤1：求原正方形ABCD的边长
已知正方形ABCD周长为4，正方形周长=4×边长，因此边长$AB=4÷4=1$。
步骤2：求位似后正方形A'B'C'D'的边长
因为位似图形对应边的比等于位似比，已知$A'B':AB=2:1$，所以$A'B'=2×AB=2×1=2$。
步骤3：求正方形A'B'C'D'的外接圆直径
正方形的外接圆直径等于正方形的对角线长度，由勾股定理可得，正方形A'B'C'D'的对角线长为：$\sqrt{A'B'^2 + B'C'^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$，即外接圆的直径$d=2\sqrt{2}$。
步骤4：计算外接圆的周长
圆的周长公式为$C=π d$，代入$d=2\sqrt{2}$得：$C=π×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}π$。
【答案】
$2\sqrt{2}π$
【知识点】
位似图形的性质、正方形的性质、圆的周长计算
【点评】
本题是基础综合题，将位似、正方形、圆的知识点结合考查，解题的核心是找准正方形与其外接圆的数量关系，只要熟练掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
6. 如图3-5-5,在网格图中,每个小正方形的边长均为1,点O和△ABC的顶点均在小正方形的格点上。
(1)以O为位似中心,在网格图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且相似比为$\frac{1}{2}$;
(2)用线段依次连接点A,C,B,B',C',A',A,得到封闭图形,试求出该图形的面积。
(1)以O为位似中心,在网格图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且相似比为$\frac{1}{2}$;
(2)用线段依次连接点A,C,B,B',C',A',A,得到封闭图形,试求出该图形的面积。
答案
6. 解:(1)如答图 3-5-1,$△A'B'C'$为所求。
(2)图形的面积：
$S_{△ABC}-S_{△A'B'C'}=(4-1)×\frac{1}{2}×2×3=9$。
解析
【分析】
(1) 位似作图首先要明确位似中心和相似比，本题位似中心为O，相似比为$\frac{1}{2}$，根据位似的性质：位似图形对应点的连线过位似中心，且对应点到位似中心的距离比等于相似比。我们只需连接OA、OB、OC，分别在三条线段上取点A'、B'、C'，使得对应点到O的距离之比为1:2，再顺次连接三个点即可得到所求△A'B'C'。
(2) 观察所得封闭图形，可发现其面积等于大三角形△ABC的面积减去小位似三角形△A'B'C'的面积。先计算△ABC的面积，再结合位似图形面积比等于相似比的平方求出△A'B'C'的面积，二者作差即可得到封闭图形的面积。
【解析】
(1) ① 分别连接OA、OB、OC；
② 在OA上取A'，使$OA'=\frac{1}{2}OA$，在OB上取B'，使$OB'=\frac{1}{2}OB$，在OC上取C'，使$OC'=\frac{1}{2}OC$；
③ 顺次连接A'、B'、C'，得到的△A'B'C'即为所求。
(2) 计算△ABC的面积：△ABC的底AB长为6，AB边上的高为4，因此$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×4=12$；
因为△A'B'C'与△ABC的相似比为$\frac{1}{2}$，所以面积比为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，则$S_{△A'B'C'}=12×\frac{1}{4}=3$；
因此封闭图形的面积为$S_{△ABC}-S_{△A'B'C'}=12-3=9$。
【答案】
(1)
(2) 9
【知识点】
位似图形作图，位似的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是位似知识的基础应用题，作图时要注意对应点的位置满足相似比要求，面积计算可结合位似的面积比性质简化运算，能帮助学生巩固位似的核心知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 位似作图首先要明确位似中心和相似比，本题位似中心为O，相似比为$\frac{1}{2}$，根据位似的性质：位似图形对应点的连线过位似中心，且对应点到位似中心的距离比等于相似比。我们只需连接OA、OB、OC，分别在三条线段上取点A'、B'、C'，使得对应点到O的距离之比为1:2，再顺次连接三个点即可得到所求△A'B'C'。
(2) 观察所得封闭图形，可发现其面积等于大三角形△ABC的面积减去小位似三角形△A'B'C'的面积。先计算△ABC的面积，再结合位似图形面积比等于相似比的平方求出△A'B'C'的面积，二者作差即可得到封闭图形的面积。
【解析】
(1) ① 分别连接OA、OB、OC；
② 在OA上取A'，使$OA'=\frac{1}{2}OA$，在OB上取B'，使$OB'=\frac{1}{2}OB$，在OC上取C'，使$OC'=\frac{1}{2}OC$；
③ 顺次连接A'、B'、C'，得到的△A'B'C'即为所求。
(2) 计算△ABC的面积：△ABC的底AB长为6，AB边上的高为4，因此$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×4=12$；
因为△A'B'C'与△ABC的相似比为$\frac{1}{2}$，所以面积比为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，则$S_{△A'B'C'}=12×\frac{1}{4}=3$；
因此封闭图形的面积为$S_{△ABC}-S_{△A'B'C'}=12-3=9$。
【答案】
(1)
(2) 9
【知识点】
位似图形作图，位似的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是位似知识的基础应用题，作图时要注意对应点的位置满足相似比要求，面积计算可结合位似的面积比性质简化运算，能帮助学生巩固位似的核心知识点。
【难度系数】
0.7
