1. $△ ABC$与$△ DEF$关于原点$O$位似，点$A$与点$D$是对应点，已知点$A$的坐标为$(1,2)$，则点$D$的坐标不可能为()。

A.$(2,4)$
B.$(-3,-6)$
C.$(\sqrt{3},2\sqrt{3})$
D.$(π,-2π)$

1. D

【分析】
解题的核心是掌握平面直角坐标系中关于原点位似的点的坐标规律：若两个图形以原点为位似中心，相似比为k（k＞0），则对应点的坐标为原坐标乘k或乘-k，即对应点的横、纵坐标比值相等，且符号完全相同（同正或同负）。已知点A坐标为(1,2)，其对应点D的纵坐标一定是横坐标的2倍，且横纵坐标符号一致，逐一验证选项即可找出不可能的坐标。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF关于原点O位似，点A(1,2)和点D是对应点
∴根据关于原点位似的坐标变换性质，点D的坐标可表示为$(k,2k)$或$(-k,-2k)$，其中$k＞0$为位似比，即点D的纵坐标是横坐标的2倍，且横、纵坐标符号相同：
选项A：$(2,4)$，$4=2×2$，横纵坐标均为正，符合规律，可能是点D的坐标；
选项B：$(-3,-6)$，$-6=2×(-3)$，横纵坐标均为负，符合规律，可能是点D的坐标；
选项C：$(\sqrt{3},2\sqrt{3})$，$2\sqrt{3}=2×\sqrt{3}$，横纵坐标均为正，符合规律，可能是点D的坐标；
选项D：$(π,-2π)$，$-2π=-2×π$，纵坐标是横坐标的-2倍，且横纵坐标符号相反，不符合规律，不可能是点D的坐标。
【答案】
D
【知识点】
原点位似的坐标特征
【点评】
本题考查位似变换的坐标规律，解题时需注意位似图形的对应点可位于位似中心的同侧或异侧，两种情况都要考虑到，避免因漏考虑情况判断失误。
【难度系数】
0.7

2. 如图 3-5-9,在平面直角坐标系中,大鱼与小鱼是关于原点 O 的位似图形,则下列说法错误的是()。


A.小鱼与大鱼的周长之比是$1:2$
B.小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是$1:2$
C.大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的$2$倍
D.若小鱼上一点的坐标是$(a,b)$,则大鱼上的对应点的坐标是$(-2a,-2b)$

2. C

【分析】
首先确定两个位似图形的相似比：观察图形可得，小鱼上右端点坐标为$(-1,0)$，大鱼对应的左端点坐标为$(2,0)$，二者关于原点$O$位似，因此小鱼与大鱼的相似比（位似比）为$1:2$。接下来结合位似图形的性质逐一判断选项：位似图形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应点到位似中心的距离比等于相似比；关于原点位似的两个图形，若位似比为$k$，则一个图形上坐标为$(x,y)$的点，对应另一个图形上的点坐标为$(kx,ky)$或$(-kx,-ky)$，结合本题位似方向确定符号即可判断选项正误。
【解析】
解：由图可知，小鱼与大鱼关于原点$O$位似，小鱼与大鱼的相似比为$1:2$。
选项A：相似图形的周长比等于相似比，因此小鱼与大鱼的周长之比是$1:2$，该选项说法正确；
选项B：位似图形的对应点到位似中心的距离比等于相似比，因此距离比为$1:2$，该选项说法正确；
选项C：相似图形的面积比等于相似比的平方，因此小鱼与大鱼的面积比为$1:4$，即大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的$4$倍，该选项说法错误；
选项D：关于原点位似的两个图形，位似比为$-2$（方向相反），因此小鱼上一点$(a,b)$对应大鱼上的点坐标为$(-2a,-2b)$，该选项说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，相似图形的周长与面积比，关于原点位似的点的坐标特征
【点评】
本题主要考查位似图形的相关性质，解题的关键是先确定两个图形的相似比，再结合相似比和周长、面积的关系，以及位似点的坐标变换规律逐一判断选项，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

3. 如图3-5-10,在平面直角坐标系$xOy$中,点$O$是坐标原点,点$C$在$AO$的延长线上,$△ AOB$与$△ COD$关于点$O$位似。若$AC=3AO$,点$B$的坐标为$(1,3)$,则点$D$的坐标为。


图3-5-10
图3-5-11

3. $(-2,-6)$

【分析】
本题需要结合位似图形的性质求解对应点坐标，解题思路如下：第一步，先明确两个三角形的位似中心是原点O，再根据AC=3AO的线段关系求出两个三角形的位似比；第二步，判断两个图形位于原点两侧，因此对应点的坐标需乘负的位似比；第三步，代入点B的坐标即可计算得到点D的坐标。
【解析】
∵△AOB与△COD关于点O位似，
∴位似中心为原点O，A、O、C三点共线，AO与CO是对应边，两组图形的位似比为$\frac{AO}{CO}$。
∵点C在AO的延长线上，
∴$AC=AO+OC$，
又
∵$AC=3AO$，
∴$3AO=AO+OC$，解得$OC=2AO$，即位似比为$\frac{AO}{OC}=\frac{1}{2}$。
由于两个位似图形分别位于原点两侧，因此对应点的坐标需乘以位似比的相反数$-2$。
已知点B的坐标为$(1,3)$，则点D的坐标为$(1×(-2),3×(-2))=(-2,-6)$。
【答案】
$(-2,-6)$
【知识点】
位似的性质；位似比计算；坐标与图形变化
【点评】
本题是位似的基础常考题，解题核心是先根据线段关系准确求出位似比，再结合位似中心为原点的坐标变化规律计算对应点坐标，易错点是容易忽略图形位于位似中心异侧，遗漏位似比的负号。
【难度系数】
0.7

4. 如图3-5-11，在平面直角坐标系$xOy$中，把$△ AOB$放大后得到$△ COD$。其中$B$，$D$两点的坐标分别为$(4,0)$，$(6,0)$，则$\frac{CD}{AB}$的值等于。

4. $\frac{3}{2}$

【分析】
首先由“把△AOB放大后得到△COD”可判断△AOB与△COD是位似图形，位似中心为坐标原点O。根据位似图形的性质，两个图形相似，且相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比，而相似三角形对应边的比等于相似比，因此我们只需要先求出OB、OD的长度，计算二者的比值，即可得到$\frac{CD}{AB}$的值。
【解析】
解：
∵ 把△AOB放大得到△COD，
∴ △AOB与△COD是位似图形，位似中心为原点O，且△AOB∽△COD，
∵ 点B坐标为$(4,0)$，点D坐标为$(6,0)$，
∴ $OB=4$，$OD=6$，
∴ 两个三角形的相似比为$\frac{OD}{OB}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{CD}{AB}=\frac{OD}{OB}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题考查位似与相似的结合应用，解题的关键是明确位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，整体考查基础，容易得分。
【难度系数】
0.8

5. 如图3-5-12，正方形OABC和正方形DEFG是位似图形，点B的坐标为(-1,1)，点F的坐标为(4,2)，且这两个图形在位似中心的同侧，则位似中心的坐标为。

5. $(-4,0)$

【分析】
求解本题首先要明确位似图形的核心性质：位似中心是所有对应顶点连线的公共交点。解题时第一步先根据已知点坐标推导两个正方形全部顶点的坐标；第二步结合图形特征发现两个正方形的底边都在x轴上，可先判断位似中心在x轴上，再选取一组非x轴上的对应顶点，求过这组对应点的直线解析式，直线与x轴的交点就是位似中心，也可以通过两组对应点连线求交点得到结果，最后可以再选一组对应点验证结果正确性。
【解析】
1. 求两个正方形的顶点坐标：
正方形OABC中，点B坐标为$(-1,1)$，可知其边长为1，因此各顶点坐标为：$A(-1,0)$，$B(-1,1)$，$C(0,1)$，$O(0,0)$。
正方形DEFG中，点F坐标为$(4,2)$，可知其边长为2，因此各顶点坐标为：$D(2,0)$，$E(4,0)$，$F(4,2)$，$G(2,2)$。
2. 求对应点连线的解析式：
因为两个正方形的底边都在x轴上，对应点$O$、$E$都在x轴上，因此位似中心在x轴上，设其坐标为$(m,0)$。
选取对应点$C(0,1)$和$F(4,2)$，设过两点的直线解析式为$y=kx+b$：
将$C(0,1)$代入得$b=1$；将$F(4,2)$代入得$2=4k+1$，解得$k=\frac{1}{4}$，因此直线CF的解析式为$y=\frac{1}{4}x+1$。
3. 求位似中心坐标：
令直线CF解析式中$y=0$，得$0=\frac{1}{4}x+1$，解得$x=-4$，即位似中心坐标为$(-4,0)$。
（验证：选取另一组对应点$B(-1,1)$和$G(2,2)$，求直线解析式后代入$y=0$，同样得到$x=-4$，结果正确。）
【答案】
$(-4,0)$
【知识点】
位似图形的性质，一次函数的应用，坐标与图形性质
【点评】
本题解题关键是熟练掌握位似图形的性质，利用对应点连线交于位似中心的特点求解，解题时结合图形在坐标轴上的特征可以简化计算，要注意题目中“两个图形在位似中心同侧”的限制条件，避免出现多余的错误解。
【难度系数】
0.65

6. 如图3-5-13，已知点O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为(3，-1)，(2，1)。
(1) 以点O为位似中心在y轴的左侧将△OAB放大到原来的2倍，画出对应的△OA'B'，并写出点A的对应点A'的坐标；
(2) 若△AOB内一点坐标为P(a，b)，则△A'OB'中对应点P'的坐标为。

6. 解:(1)如答图 3-5-5,$△ OA'B'$为所求。点 A 的对应点$A'$的坐标为$(-6,2)$。
(2)$(-2a,-2b)$

【分析】
解决本题需先掌握以原点为位似中心的位似变换坐标规律：若位似比为k，当对应点与原点在原图形同侧时，对应点坐标为原坐标乘k；异侧时对应点坐标为原坐标乘-k。
对于(1)问，题目要求在y轴左侧放大2倍，原图形在y轴右侧，因此变换后图形和原图形在原点异侧，位似比取-2，将A、B坐标分别乘-2得到对应点坐标，描点连线即可画出图形。
对于(2)问，将(1)的坐标变化规律推广到任意点P，直接代入计算即可得到对应点坐标。
【解析】
(1) 已知位似中心为坐标原点O，要求在y轴左侧将△OAB放大为原来的2倍，因此位似比$k=-2$。
已知点A坐标为$(3,-1)$，根据位似变换坐标规律，点A的对应点$A'$的坐标为：$3×(-2)=-6$，$-1×(-2)=2$，即$A'(-6,2)$。
同理可得点B$(2,1)$的对应点$B'$坐标为$(-4,-2)$，在坐标系中描出$A'$、$B'$，依次连接$O、A'、B'$，所得$△ OA'B'$即为所求。
(2) 若$△ AOB$内一点$P(a,b)$，根据上述位似变换的坐标规律，对应点$P'$的横纵坐标为P点横纵坐标乘位似比$-2$，因此$P'$的坐标为$(-2a,-2b)$。
【答案】
(1) $△ OA'B'$为所求，点A的对应点$A'$的坐标为$\boldsymbol{(-6,2)}$；
(2) $\boldsymbol{(-2a,-2b)}$
【知识点】
1. 位似变换的坐标规律
2. 图形的位似变换
【点评】
本题考查以原点为位似中心的位似变换应用，解题核心是根据变换的位置要求确定位似比的符号，熟练掌握位似坐标变化规则即可快速求解，是位似相关的基础题型。
【难度系数】
0.8

7. 如图3-5-14，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(-2,-8)，B(-2,-2)，C(-8,0)。
(1)以原点O为位似中心，在第一象限画出△A₁B₁C₁，使它与△ABC位似，且相似比为$\frac{1}{2}$，并写出点A的对应点A₁的坐标。
(2)在(1)的条件下，若点P(m,n)在边AB上，则其对应点P₁的坐标为。

7. 解:(1)如答图 3-5-6,$△ A_1B_1C_1$ 为所求。点 A 的对应点 $A_1$ 的坐标为$(1,4)$。
(2)$(1,-\frac{n}{2})$

【分析】
解题时先回忆以原点为位似中心的位似图形坐标变化规律：若相似比为$k$，当位似图形与原图形分别在原点两侧时，对应点的坐标为原坐标乘以$-k$。
对于(1)，要求在第一象限作位似图形，相似比为$\frac{1}{2}$，因此将△ABC三个顶点的横、纵坐标都乘以$-\frac{1}{2}$，即可得到对应点的坐标，描点连线即可得到所求图形，同时得到$A_1$的坐标。
对于(2)，先明确边AB上所有点的横坐标均为-2，即$m=-2$，再结合上述位似坐标变化规律，即可求出P的对应点$P_1$的坐标。
【解析】
(1) 根据以原点为位似中心的位似变换坐标规则，相似比为$\frac{1}{2}$，且所求图形在第一象限，与原图形位于原点两侧，因此各对应点坐标为原坐标乘$-\frac{1}{2}$：
点$A(-2,-8)$的对应点$A_1$的坐标：$(-2×(-\frac{1}{2}), -8×(-\frac{1}{2}))=(1,4)$，
点$B(-2,-2)$的对应点$B_1$的坐标：$(-2×(-\frac{1}{2}), -2×(-\frac{1}{2}))=(1,1)$，
点$C(-8,0)$的对应点$C_1$的坐标：$(-8×(-\frac{1}{2}), 0×(-\frac{1}{2}))=(4,0)$，
在坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$，顺次连接得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 观察边AB可知，AB上所有点的横坐标均为-2，即点$P(m,n)$中$m=-2$，结合位似坐标变换规则，P的对应点$P_1$的坐标为$(m×(-\frac{1}{2}), n×(-\frac{1}{2}))$，代入$m=-2$得：$P_1(1, -\frac{n}{2})$。
【答案】
(1)，$A_1$的坐标为$(1,4)$；(2)$\boldsymbol{(1,-\frac{n}{2})}$
【知识点】
位似图形的性质，坐标系中的位似变换，坐标与图形性质
【点评】
本题考查位似变换的作图及坐标变化规律，解题的核心是掌握以原点为位似中心时，对应点坐标与相似比的关系，同时要注意位似图形所在的象限决定坐标的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7