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8. 在平面直角坐标系中，$△ DEF$是$△ ABC$经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点F，点C与点E分别是对应点(如图3-5-15)。观察每对对应点坐标之间的关系，解答下列问题：
(1)分别写出点A与点D，点B与点F，点C与点E的坐标。
(2)若点$P(a+9,4-b)$与点$Q(2a,2b-3)$也是通过上述变换得到的对应点，求$a,b$的值。
图3-5-15
(1)分别写出点A与点D，点B与点F，点C与点E的坐标。
(2)若点$P(a+9,4-b)$与点$Q(2a,2b-3)$也是通过上述变换得到的对应点，求$a,b$的值。
图3-5-15
答案
8. 解:(1)点 A 的坐标为$(2,3)$,点 D 的坐标为$(-2,-3)$,点 B 的坐标为$(4,2)$,点 F 的坐标为$(-4,-2)$,点 C 的坐标为$(1,1)$,点 E 的坐标为$(-1,-1)$。
(2)由对应点的坐标可知,每对对应点的横、纵坐标均互为相反数,$\therefore a+9+2a=0,4-b+2b-3=0$。
解得 $a=-3,b=-1$。
(2)由对应点的坐标可知,每对对应点的横、纵坐标均互为相反数,$\therefore a+9+2a=0,4-b+2b-3=0$。
解得 $a=-3,b=-1$。
解析
【分析】
(1)求解点的坐标时，根据平面直角坐标系内点的坐标读取规则：点的横坐标为该点向x轴作垂线对应x轴的数值，纵坐标为该点向y轴作垂线对应y轴的数值，依次读取三组对应点的坐标即可。
(2)先观察(1)中得到的三组对应点的坐标特征，可发现每对对应点的横、纵坐标均互为相反数，说明该变换为关于原点的中心对称变换。根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横坐标之和为0，纵坐标之和为0，据此列关于a、b的一元一次方程，解方程即可求得a、b的值。
【解析】
(1)观察坐标系可得：
点A的坐标为$\boldsymbol{(2,3)}$，点D的坐标为$\boldsymbol{(-2,-3)}$；
点B的坐标为$\boldsymbol{(4,2)}$，点F的坐标为$\boldsymbol{(-4,-2)}$；
点C的坐标为$\boldsymbol{(1,1)}$，点E的坐标为$\boldsymbol{(-1,-1)}$。
(2)由(1)中对应点的坐标规律可知，该变换下对应点的横、纵坐标均互为相反数，因此点P和点Q的横坐标之和为0，纵坐标之和为0，可列方程：
$a+9+2a=0$，$4-b+2b-3=0$
解第一个方程：$3a+9=0$，移项得$3a=-9$，解得$a=-3$；
解第二个方程：$b+1=0$，解得$b=-1$。
【答案】
(1)$A(2,3)$，$D(-2,-3)$；$B(4,2)$，$F(-4,-2)$；$C(1,1)$，$E(-1,-1)$
(2)$a=-3$，$b=-1$
【知识点】
点的坐标读取；关于原点对称的点的坐标性质；解一元一次方程
【点评】
本题结合平面直角坐标系考察坐标规律探究和参数求解，解题关键是准确读取坐标并归纳出对应点的坐标特征，整体计算量小，注重基础能力的考察，做题时细心观察即可避免出错。
【难度系数】
0.8
(1)求解点的坐标时，根据平面直角坐标系内点的坐标读取规则：点的横坐标为该点向x轴作垂线对应x轴的数值，纵坐标为该点向y轴作垂线对应y轴的数值，依次读取三组对应点的坐标即可。
(2)先观察(1)中得到的三组对应点的坐标特征，可发现每对对应点的横、纵坐标均互为相反数，说明该变换为关于原点的中心对称变换。根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横坐标之和为0，纵坐标之和为0，据此列关于a、b的一元一次方程，解方程即可求得a、b的值。
【解析】
(1)观察坐标系可得：
点A的坐标为$\boldsymbol{(2,3)}$，点D的坐标为$\boldsymbol{(-2,-3)}$；
点B的坐标为$\boldsymbol{(4,2)}$，点F的坐标为$\boldsymbol{(-4,-2)}$；
点C的坐标为$\boldsymbol{(1,1)}$，点E的坐标为$\boldsymbol{(-1,-1)}$。
(2)由(1)中对应点的坐标规律可知，该变换下对应点的横、纵坐标均互为相反数，因此点P和点Q的横坐标之和为0，纵坐标之和为0，可列方程：
$a+9+2a=0$，$4-b+2b-3=0$
解第一个方程：$3a+9=0$，移项得$3a=-9$，解得$a=-3$；
解第二个方程：$b+1=0$，解得$b=-1$。
【答案】
(1)$A(2,3)$，$D(-2,-3)$；$B(4,2)$，$F(-4,-2)$；$C(1,1)$，$E(-1,-1)$
(2)$a=-3$，$b=-1$
【知识点】
点的坐标读取；关于原点对称的点的坐标性质；解一元一次方程
【点评】
本题结合平面直角坐标系考察坐标规律探究和参数求解，解题关键是准确读取坐标并归纳出对应点的坐标特征，整体计算量小，注重基础能力的考察，做题时细心观察即可避免出错。
【难度系数】
0.8
9. 如图 3-5-16，$△ ABC$ 和 $△ DEC$ 是以点 $C$ 为位似中心，分别位于点 $C$ 两侧的两个位似三角形，相似比为$\frac{1}{2}$，其中点 $C$ 的坐标为$(-1,1)$，点 $A$ 的坐标为$(a,b)$，则点 $D$ 的坐标为
$(-2a-3,3-2b)$
。答案
9. $(-2a-3,3-2b)$
解析
【分析】
要计算位似变换后点D的坐标，首先注意位似中心是点$C(-1,1)$而非坐标原点，所以需先计算点A相对于位似中心C的相对坐标；再结合两个三角形的相似比为$\frac{1}{2}$、且位于点C两侧的条件，得到点D相对于点C的相对坐标；最后将相对坐标还原为原坐标系下的坐标即可。
【解析】
设点D的坐标为$(x,y)$：
1. 求点A相对于位似中心$C(-1,1)$的坐标：
横坐标差为$a - (-1) = a+1$，纵坐标差为$b - 1$，即点A在以C为原点的新坐标系下坐标为$(a+1, b-1)$。
2. 因为$△ ABC$和$△ DEC$的相似比为$\frac{1}{2}$，且在点C两侧，所以位似比为$-2$（负号表示方向相反，2表示放大为原来的2倍），则点D在以C为原点的新坐标系下坐标为$-2×(a+1, b-1)$。
3. 还原到原坐标系计算：
横坐标：$x - (-1) = -2(a+1)$，解得$x = -2a -2 -1 = -2a -3$；
纵坐标：$y - 1 = -2(b - 1)$，解得$y = -2b +2 +1 = 3 - 2b$。
【答案】
$(-2a-3,3-2b)$
【知识点】
位似变换坐标性质，坐标平移，相似比应用
【点评】
本题核心考查非原点位似中心下的位似坐标计算，易错点是忽略位似中心不是原点直接按原点位似计算，或忽略两个图形在位似中心两侧导致位似比符号错误。
【难度系数】
0.6
要计算位似变换后点D的坐标，首先注意位似中心是点$C(-1,1)$而非坐标原点，所以需先计算点A相对于位似中心C的相对坐标；再结合两个三角形的相似比为$\frac{1}{2}$、且位于点C两侧的条件，得到点D相对于点C的相对坐标；最后将相对坐标还原为原坐标系下的坐标即可。
【解析】
设点D的坐标为$(x,y)$：
1. 求点A相对于位似中心$C(-1,1)$的坐标：
横坐标差为$a - (-1) = a+1$，纵坐标差为$b - 1$，即点A在以C为原点的新坐标系下坐标为$(a+1, b-1)$。
2. 因为$△ ABC$和$△ DEC$的相似比为$\frac{1}{2}$，且在点C两侧，所以位似比为$-2$（负号表示方向相反，2表示放大为原来的2倍），则点D在以C为原点的新坐标系下坐标为$-2×(a+1, b-1)$。
3. 还原到原坐标系计算：
横坐标：$x - (-1) = -2(a+1)$，解得$x = -2a -2 -1 = -2a -3$；
纵坐标：$y - 1 = -2(b - 1)$，解得$y = -2b +2 +1 = 3 - 2b$。
【答案】
$(-2a-3,3-2b)$
【知识点】
位似变换坐标性质，坐标平移，相似比应用
【点评】
本题核心考查非原点位似中心下的位似坐标计算，易错点是忽略位似中心不是原点直接按原点位似计算，或忽略两个图形在位似中心两侧导致位似比符号错误。
【难度系数】
0.6
10. 如图 3-5-17,在平面直角坐标系中,点 A,B,E,D,F 的坐标分别是 A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0),△DEF 是由△AOB 经过位似变换得到的,求位似中心的坐标。
答案
10. 解:如答图 3-5-7,
连接 $DA$,并延长交 $x$ 轴于点 $P$。$\because A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0),△ DEF$是由$△ AOB$ 经过位似变换得到的，
$\therefore$ 相似比为 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{PB}{PF}=\frac{1}{2}$,即$\frac{PO+4}{PO+13}=\frac{1}{2}$。
解得 $PO=5$。
故位似中心的坐标为 $P(-5,0)$。
解析
【分析】
首先回忆位似图形的性质：位似图形的对应顶点连线交于一点，该点就是位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比。观察两个三角形的坐标特征，它们的底边都在x轴上，因此位似中心必然在x轴上，只需连接对应顶点A、D并延长，与x轴的交点就是位似中心P。接下来先通过对应点的纵坐标求出位似比为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，再根据对应点到位似中心的距离比等于位似比列方程，求解即可得到位似中心的坐标。
【解析】
解：如答图3-5-7,连接$DA$，并延长交$x$轴于点$P$，该点即为位似中心。
已知$A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0)$，$△ DEF$是由$△ AOB$经过位似变换得到的，
$\therefore$ 两个三角形的位似比为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
根据位似的性质，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，可得$\frac{PB}{PF}=\frac{1}{2}$。
设$PO$的长度为$x$（$P$位于$x$轴负半轴），则$PB=x+4$，$PF=x+13$，代入比例式得：
$\frac{x+4}{x+13}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得$2(x+4)=x+13$，解得$x=5$。
因此位似中心$P$的坐标为$(-5,0)$。
【答案】
如答图3-5-7,位似中心的坐标为$\boldsymbol{(-5,0)}$
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 坐标与图形性质
3. 相似比的应用
【点评】
本题核心考查位似中心的确定方法和位似性质的应用，解题的关键是找准对应顶点连线确定位似中心的位置，再结合位似比列方程计算，解题时要注意位似中心可位于两个图形的外侧，避免因思维定式出错。
【难度系数】
0.6
首先回忆位似图形的性质：位似图形的对应顶点连线交于一点，该点就是位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比。观察两个三角形的坐标特征，它们的底边都在x轴上，因此位似中心必然在x轴上，只需连接对应顶点A、D并延长，与x轴的交点就是位似中心P。接下来先通过对应点的纵坐标求出位似比为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，再根据对应点到位似中心的距离比等于位似比列方程，求解即可得到位似中心的坐标。
【解析】
解：如答图3-5-7,
连接$DA$，并延长交$x$轴于点$P$，该点即为位似中心。已知$A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0)$，$△ DEF$是由$△ AOB$经过位似变换得到的，
$\therefore$ 两个三角形的位似比为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
根据位似的性质，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，可得$\frac{PB}{PF}=\frac{1}{2}$。
设$PO$的长度为$x$（$P$位于$x$轴负半轴），则$PB=x+4$，$PF=x+13$，代入比例式得：
$\frac{x+4}{x+13}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得$2(x+4)=x+13$，解得$x=5$。
因此位似中心$P$的坐标为$(-5,0)$。
【答案】
如答图3-5-7,
位似中心的坐标为$\boldsymbol{(-5,0)}$【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 坐标与图形性质
3. 相似比的应用
【点评】
本题核心考查位似中心的确定方法和位似性质的应用，解题的关键是找准对应顶点连线确定位似中心的位置，再结合位似比列方程计算，解题时要注意位似中心可位于两个图形的外侧，避免因思维定式出错。
【难度系数】
0.6
