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1. 已知，在△EOF中，∠O=78°,OE=4,OF=6,下列阴影部分的三角形与△EOF不相似的是(
B
)。答案
1.B
解析
【分析】
要判断阴影三角形与△EOF是否相似，我们可以结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等），结合已知条件逐一分析选项：首先明确△EOF的已知量：∠O=78°，OE=4，OF=6。对于每个选项，先找是否存在公共角，再验证是否有另一组等角，或夹公共角的两边是否对应成比例，即可判断是否相似。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：阴影三角形与△EOF有公共角∠F，且阴影三角形中78°角与∠O相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
2. 选项B：阴影三角形夹∠E的两边长为2和3，△EOF中夹∠E的两边为OE=4和EF，无法证明两组边对应成比例，也不满足其他相似判定条件，故两三角形不相似，符合题意。
3. 选项C：阴影三角形与△EOF有公共角∠F，且阴影三角形中78°角与∠O相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
4. 选项D：阴影三角形夹公共角∠O的两边长分别为：OE上的边长=4-1=3，OF上的边长=6-4=2。可得$\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、比例线段计算、公共角的应用
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的应用，解题时需注意对应角、对应边的匹配，结合已知条件逐一验证即可，避免因对应边混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断阴影三角形与△EOF是否相似，我们可以结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等），结合已知条件逐一分析选项：首先明确△EOF的已知量：∠O=78°，OE=4，OF=6。对于每个选项，先找是否存在公共角，再验证是否有另一组等角，或夹公共角的两边是否对应成比例，即可判断是否相似。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：阴影三角形与△EOF有公共角∠F，且阴影三角形中78°角与∠O相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
2. 选项B：阴影三角形夹∠E的两边长为2和3，△EOF中夹∠E的两边为OE=4和EF，无法证明两组边对应成比例，也不满足其他相似判定条件，故两三角形不相似，符合题意。
3. 选项C：阴影三角形与△EOF有公共角∠F，且阴影三角形中78°角与∠O相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
4. 选项D：阴影三角形夹公共角∠O的两边长分别为：OE上的边长=4-1=3，OF上的边长=6-4=2。可得$\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、比例线段计算、公共角的应用
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的应用，解题时需注意对应角、对应边的匹配，结合已知条件逐一验证即可，避免因对应边混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.7
2. 如图3-2-9，$△ ABC$的两条中线$BE$，$CD$交于点$O$，则下列结论不正确的是（
A.$\frac{ED}{BC}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
C.$△ ADE ∽ △ ABC$
D.$S_{△ DOE}:S_{△ BOC}=1:2$
图3-2-9
D
）。A.$\frac{ED}{BC}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
C.$△ ADE ∽ △ ABC$
D.$S_{△ DOE}:S_{△ BOC}=1:2$
图3-2-9
答案
2.D
解析
【分析】
首先从题目已知条件出发：BE、CD是△ABC的中线，可得D、E分别是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线。接下来结合三角形中位线性质、相似三角形的判定规则、相似三角形的性质，逐一判断4个选项的正误即可。注意相似三角形的面积比是相似比的平方，不要和边长比混淆。
【解析】
解：
∵BE、CD是△ABC的两条中线，
∴D为AB中点，E为AC中点，DE是△ABC的中位线。
对选项A：根据中位线性质，$DE// BC$且$DE=\frac{1}{2}BC$，因此$\frac{ED}{BC}=\frac{1}{2}$，结论正确，不符合题意。
对选项B：
∵D、E分别是AB、AC中点，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，结论正确，不符合题意。
对选项C：在△ADE和△ABC中，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，且∠A为公共角，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ADE∽△ABC$，结论正确，不符合题意。
对选项D：
∵$DE// BC$，
∴$△DOE∽△COB$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$S_{△ DOE}:S_{△ BOC}=(\frac{1}{2})^2=1:4$，不是$1:2$，结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，将三角形中线、中位线和相似三角形的知识点结合考查，解题的关键点是牢记相似三角形的面积比为相似比的平方，避免和边长比混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.7
首先从题目已知条件出发：BE、CD是△ABC的中线，可得D、E分别是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线。接下来结合三角形中位线性质、相似三角形的判定规则、相似三角形的性质，逐一判断4个选项的正误即可。注意相似三角形的面积比是相似比的平方，不要和边长比混淆。
【解析】
解：
∵BE、CD是△ABC的两条中线，
∴D为AB中点，E为AC中点，DE是△ABC的中位线。
对选项A：根据中位线性质，$DE// BC$且$DE=\frac{1}{2}BC$，因此$\frac{ED}{BC}=\frac{1}{2}$，结论正确，不符合题意。
对选项B：
∵D、E分别是AB、AC中点，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，结论正确，不符合题意。
对选项C：在△ADE和△ABC中，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，且∠A为公共角，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ADE∽△ABC$，结论正确，不符合题意。
对选项D：
∵$DE// BC$，
∴$△DOE∽△COB$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$S_{△ DOE}:S_{△ BOC}=(\frac{1}{2})^2=1:4$，不是$1:2$，结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，将三角形中线、中位线和相似三角形的知识点结合考查，解题的关键点是牢记相似三角形的面积比为相似比的平方，避免和边长比混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3. 如图3-2-10，$AB=8$，$∠ A=50°$，$A'B'=4$，$A'C'=3$。当$AC=$
6
，$∠ A'=$$50°$
时，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。答案
3.6 $50°$
解析
【分析】
要使△ABC∽△A'B'C'，首先根据相似三角形的顶点书写顺序，明确A与A'、B与B'、C与C'是对应顶点，因此满足对应角相等、对应边成比例的性质。第一步先找对应角：∠A和∠A'是对应角，可直接得到∠A'的度数；第二步计算相似比，用已知的对应边AB和A'B'求出相似比，再结合A'C'的长度，利用对应边成比例即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△A'B'C'，顶点对应关系为A→A'，B→B'，C→C'，
∴∠A'=∠A，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$。
已知∠A=50°，因此∠A'=50°。
将AB=8，A'B'=4，A'C'=3代入比例式得：
$\frac{8}{4}=\frac{AC}{3}$，
解得AC=6。
【答案】
6；$50°$
【知识点】
相似三角形对应角相等；相似三角形对应边成比例
【点评】
本题考查相似三角形性质的基础应用，解题的核心是根据相似三角形的顶点书写顺序准确判断对应角和对应边，避免因对应关系找错导致计算错误，熟记相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要使△ABC∽△A'B'C'，首先根据相似三角形的顶点书写顺序，明确A与A'、B与B'、C与C'是对应顶点，因此满足对应角相等、对应边成比例的性质。第一步先找对应角：∠A和∠A'是对应角，可直接得到∠A'的度数；第二步计算相似比，用已知的对应边AB和A'B'求出相似比，再结合A'C'的长度，利用对应边成比例即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△A'B'C'，顶点对应关系为A→A'，B→B'，C→C'，
∴∠A'=∠A，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$。
已知∠A=50°，因此∠A'=50°。
将AB=8，A'B'=4，A'C'=3代入比例式得：
$\frac{8}{4}=\frac{AC}{3}$，
解得AC=6。
【答案】
6；$50°$
【知识点】
相似三角形对应角相等；相似三角形对应边成比例
【点评】
本题考查相似三角形性质的基础应用，解题的核心是根据相似三角形的顶点书写顺序准确判断对应角和对应边，避免因对应关系找错导致计算错误，熟记相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 如图 3-2-11，$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，若$AD=3$，$AC=6$，$DE=4$，则 $BC=$
8
。答案
4.8
5. 如图3-2-12，D是△ABC的边AB上一点，请添加一个条件：
$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$(答案不唯一)
，使△ACD∽△ABC，并说明理由。答案
5. 解:$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$(答案不唯一),理由略。
解析
【分析】
要判定△ACD∽△ABC，首先观察图形可得两个三角形有公共角∠A，已经满足“一组角相等”的条件。结合相似三角形的判定定理，有两种添加条件的思路：1. 再添加一组角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”判定；2. 添加夹∠A的两组对应边成比例，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，由此可写出符合要求的条件。
【解析】
我们以添加边成比例的条件为例：
添加条件：$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$
理由如下：
在△ACD和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A\quad (\mathrm{公共角})\\\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}\end{array} $
∴△ACD∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
（注：也可添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，利用两角相等判定相似，答案不唯一。）
【答案】
$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定、比例线段
【点评】
本题是开放型基础题，解题的关键是先找到图形中隐含的公共角条件，再结合相似三角形的判定定理添加对应条件即可，答案不唯一，只要符合相似判定要求都正确。
【难度系数】
0.7
要判定△ACD∽△ABC，首先观察图形可得两个三角形有公共角∠A，已经满足“一组角相等”的条件。结合相似三角形的判定定理，有两种添加条件的思路：1. 再添加一组角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”判定；2. 添加夹∠A的两组对应边成比例，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，由此可写出符合要求的条件。
【解析】
我们以添加边成比例的条件为例：
添加条件：$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$
理由如下：
在△ACD和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A\quad (\mathrm{公共角})\\\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}\end{array} $
∴△ACD∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
（注：也可添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，利用两角相等判定相似，答案不唯一。）
【答案】
$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定、比例线段
【点评】
本题是开放型基础题，解题的关键是先找到图形中隐含的公共角条件，再结合相似三角形的判定定理添加对应条件即可，答案不唯一，只要符合相似判定要求都正确。
【难度系数】
0.7
6. 如图3-2-13，在四边形ABDC中，AB // CD，∠A=∠C=90°，AC=CD，AB=$\frac{1}{4}$CD，E是AC的中点，求证：△ABE∽△CED。
答案
6. 证明:$\because AC=CD$,E 是 AC 的中点,$\therefore AE=EC=\frac{1}{2}CD$。
$\because AB=\frac{1}{4}CD,\therefore \frac{AB}{EC}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$。
又$\because ∠A=∠C,\therefore △ABE∽△CED$。
$\because AB=\frac{1}{4}CD,\therefore \frac{AB}{EC}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$。
又$\because ∠A=∠C,\therefore △ABE∽△CED$。
解析
【分析】
要证明△ABE∽△CED，已知∠A=∠C=90°，已有一组对应角相等，根据相似三角形的判定定理，只需证明这组等角的两组夹边对应成比例即可。首先结合E是AC中点、AC=CD的条件，推导得出AE、EC与CD的数量关系，再结合AB=$\frac{1}{4}$CD的条件，分别计算$\frac{AB}{EC}$和$\frac{AE}{CD}$的比值，验证比值相等后，即可利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明。
【解析】
1. 推导边的数量关系：
∵ E是AC的中点，根据线段中点的定义，得$AE=EC=\frac{1}{2}AC$，
又
∵ $AC=CD$，
∴ $AE=EC=\frac{1}{2}CD$。
2. 计算对应边的比值：
已知$AB=\frac{1}{4}CD$，
∴ $\frac{AB}{EC}=\frac{\frac{1}{4}CD}{\frac{1}{2}CD}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{CD}=\frac{\frac{1}{2}CD}{CD}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$。
3. 判定三角形相似：
∵ ∠A和∠C是两组对应边的夹角，且∠A=∠C=90°，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABE∽△CED。
【答案】
证明:$\because AC=CD$,E 是 AC 的中点,$\therefore AE=EC=\frac{1}{2}CD$。
$\because AB=\frac{1}{4}CD,\therefore \frac{AB}{EC}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$。
又$\because ∠A=∠C,\therefore △ABE∽△CED$。
【知识点】
相似三角形判定，线段中点性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题，主要考查两边及夹角型的相似判定方法，解题关键是结合已知的边的等量关系推导对应边的比例，注意不要混淆对应边的对应关系，熟练掌握相似判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明△ABE∽△CED，已知∠A=∠C=90°，已有一组对应角相等，根据相似三角形的判定定理，只需证明这组等角的两组夹边对应成比例即可。首先结合E是AC中点、AC=CD的条件，推导得出AE、EC与CD的数量关系，再结合AB=$\frac{1}{4}$CD的条件，分别计算$\frac{AB}{EC}$和$\frac{AE}{CD}$的比值，验证比值相等后，即可利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明。
【解析】
1. 推导边的数量关系：
∵ E是AC的中点，根据线段中点的定义，得$AE=EC=\frac{1}{2}AC$，
又
∵ $AC=CD$，
∴ $AE=EC=\frac{1}{2}CD$。
2. 计算对应边的比值：
已知$AB=\frac{1}{4}CD$，
∴ $\frac{AB}{EC}=\frac{\frac{1}{4}CD}{\frac{1}{2}CD}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{CD}=\frac{\frac{1}{2}CD}{CD}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$。
3. 判定三角形相似：
∵ ∠A和∠C是两组对应边的夹角，且∠A=∠C=90°，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABE∽△CED。
【答案】
证明:$\because AC=CD$,E 是 AC 的中点,$\therefore AE=EC=\frac{1}{2}CD$。
$\because AB=\frac{1}{4}CD,\therefore \frac{AB}{EC}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$。
又$\because ∠A=∠C,\therefore △ABE∽△CED$。
【知识点】
相似三角形判定，线段中点性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题，主要考查两边及夹角型的相似判定方法，解题关键是结合已知的边的等量关系推导对应边的比例，注意不要混淆对应边的对应关系，熟练掌握相似判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 图3-2-14是用12个相似的直角三角形组成的图案。若OA=1，求OG的长。
答案
7. 解:因为题图中 12 个直角三角形都相似，
所以 $360°÷12=30°$,即直角三角形中较小的锐角为 $30°$。
在 $Rt△OAB$ 中,因为$∠AOB=30°$,所以易得$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
同理可得,$\frac{OB}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{OC}{OD}=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{OD}{OE}=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{OE}{OF}=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{OF}{OG}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$\frac{OA}{OG}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^6=\frac{27}{64}$。
又因为 $OA=1$,所以 $OG=\frac{64}{27}$。
所以 $360°÷12=30°$,即直角三角形中较小的锐角为 $30°$。
在 $Rt△OAB$ 中,因为$∠AOB=30°$,所以易得$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
同理可得,$\frac{OB}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{OC}{OD}=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{OD}{OE}=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{OE}{OF}=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{OF}{OG}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$\frac{OA}{OG}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^6=\frac{27}{64}$。
又因为 $OA=1$,所以 $OG=\frac{64}{27}$。
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据12个相似直角三角形围绕点O拼接，计算每个三角形在点O处的锐角度数，可得每个锐角为360°÷12=30°；第二步，利用含30°角的直角三角形的边角关系，得到相邻两条从O出发的线段的比值为固定值$\frac{\sqrt{3}}{2}$；第三步，数出从OA到OG共经过6次这样的比例传递，可得OA与OG的比值为$(\frac{\sqrt{3}}{2})^6$；第四步，代入OA=1即可求出OG的长度。
【解析】
解：
∵ 题图中12个直角三角形都相似，
∴ 点O处的12个锐角大小相等，每个锐角的度数为$360°÷12=30°$，即直角三角形中较小的锐角为$30°$。
在$Rt△ OAB$中，$∠ AOB=30°$，根据三角函数的定义可得：$\frac{OA}{OB}=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理可得：$\frac{OB}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{OC}{OD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{OD}{OE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{OE}{OF}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{OF}{OG}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
将以上6个等式左右两边分别相乘，可得：$\frac{OA}{OG}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^6=\frac{27}{64}$，
又
∵ $OA=1$，
∴ $OG=\frac{64}{27}$。
【答案】
$\frac{64}{27}$
【知识点】
相似三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；乘方运算
【点评】
本题将相似三角形与特殊直角三角形的性质相结合，解题的关键是找到相邻线段的固定比例，同时准确数出比例传递的次数，较好地考查了学生的图形观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，先根据12个相似直角三角形围绕点O拼接，计算每个三角形在点O处的锐角度数，可得每个锐角为360°÷12=30°；第二步，利用含30°角的直角三角形的边角关系，得到相邻两条从O出发的线段的比值为固定值$\frac{\sqrt{3}}{2}$；第三步，数出从OA到OG共经过6次这样的比例传递，可得OA与OG的比值为$(\frac{\sqrt{3}}{2})^6$；第四步，代入OA=1即可求出OG的长度。
【解析】
解：
∵ 题图中12个直角三角形都相似，
∴ 点O处的12个锐角大小相等，每个锐角的度数为$360°÷12=30°$，即直角三角形中较小的锐角为$30°$。
在$Rt△ OAB$中，$∠ AOB=30°$，根据三角函数的定义可得：$\frac{OA}{OB}=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理可得：$\frac{OB}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{OC}{OD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{OD}{OE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{OE}{OF}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{OF}{OG}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
将以上6个等式左右两边分别相乘，可得：$\frac{OA}{OG}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^6=\frac{27}{64}$，
又
∵ $OA=1$，
∴ $OG=\frac{64}{27}$。
【答案】
$\frac{64}{27}$
【知识点】
相似三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；乘方运算
【点评】
本题将相似三角形与特殊直角三角形的性质相结合，解题的关键是找到相邻线段的固定比例，同时准确数出比例传递的次数，较好地考查了学生的图形观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
