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8. 如图 3-2-6,在△ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为点 D,E,AD 与 BE 交于点F。请你在图中找出4对相似三角形,并选出一对写出证明过程。
答案
8. 解:$△ BDF ∽ △ BEC$,$△ AEF ∽ △ ADC$,$△ BDF ∽ △ AEF$,$△ BEC∽△ ADC$。证明过程如下:
$\because AD⊥ BC,\therefore BE⊥ AC,\therefore ∠BDF=∠BEC=90°$。
又$\because ∠DBF=∠EBC,\therefore △ BDF∽△ BEC$。
(答案不唯一)
$\because AD⊥ BC,\therefore BE⊥ AC,\therefore ∠BDF=∠BEC=90°$。
又$\because ∠DBF=∠EBC,\therefore △ BDF∽△ BEC$。
(答案不唯一)
解析
【分析】
要找出图中的相似三角形，首先回忆相似三角形的判定定理，本题存在多组垂直关系，可得到多个90°的相等角，只需再寻找一组对应相等的角（公共角、对顶角等），即可用“两角分别相等的两个三角形相似”完成判定。解题时可先列出所有含直角的三角形，逐一比对内角，筛选出符合条件的相似三角形即可。
【解析】
可找出的4对相似三角形：$△ BDF ∽ △ BEC$，$△ AEF ∽ △ ADC$，$△ BDF ∽ △ AEF$，$△ BEC ∽ △ ADC$（答案不唯一）。
选$△ BDF ∽ △ BEC$证明如下：
$\because AD⊥ BC,BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ BDF=∠ BEC=90°$，
又$\because ∠ DBF=∠ EBC$（公共角），
$\therefore △ BDF ∽ △ BEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
4对相似三角形为$△ BDF ∽ △ BEC$、$△ AEF ∽ △ ADC$、$△ BDF ∽ △ AEF$、$△ BEC ∽ △ ADC$（答案不唯一）；证明示例：$\because AD⊥ BC,BE⊥ AC,\therefore ∠ BDF=∠ BEC=90°$。又$\because ∠ DBF=∠ EBC,\therefore △ BDF ∽ △ BEC$。
【知识点】
相似三角形的判定；垂直的性质；公共角与对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查利用两角相等判定三角形相似，解题时先从已知垂直关系得到相等的直角，再结合公共角、对顶角等隐含的等角条件，即可快速找出相似三角形，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.8
要找出图中的相似三角形，首先回忆相似三角形的判定定理，本题存在多组垂直关系，可得到多个90°的相等角，只需再寻找一组对应相等的角（公共角、对顶角等），即可用“两角分别相等的两个三角形相似”完成判定。解题时可先列出所有含直角的三角形，逐一比对内角，筛选出符合条件的相似三角形即可。
【解析】
可找出的4对相似三角形：$△ BDF ∽ △ BEC$，$△ AEF ∽ △ ADC$，$△ BDF ∽ △ AEF$，$△ BEC ∽ △ ADC$（答案不唯一）。
选$△ BDF ∽ △ BEC$证明如下：
$\because AD⊥ BC,BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ BDF=∠ BEC=90°$，
又$\because ∠ DBF=∠ EBC$（公共角），
$\therefore △ BDF ∽ △ BEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
4对相似三角形为$△ BDF ∽ △ BEC$、$△ AEF ∽ △ ADC$、$△ BDF ∽ △ AEF$、$△ BEC ∽ △ ADC$（答案不唯一）；证明示例：$\because AD⊥ BC,BE⊥ AC,\therefore ∠ BDF=∠ BEC=90°$。又$\because ∠ DBF=∠ EBC,\therefore △ BDF ∽ △ BEC$。
【知识点】
相似三角形的判定；垂直的性质；公共角与对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查利用两角相等判定三角形相似，解题时先从已知垂直关系得到相等的直角，再结合公共角、对顶角等隐含的等角条件，即可快速找出相似三角形，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 如图 3-2-7,M 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上异于 B,C 的一定点,过点 M 作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,这样的直线共有
9. 如图 3-2-7,M 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上异于 B,C 的一定点,过点 M 作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,这样的直线共有
3
条。答案
9.3
解析
【分析】
本题需要结合相似三角形的判定定理求解，已知原三角形是∠A为直角的直角三角形，要使截得的三角形与原三角形相似，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，截得的三角形需为直角三角形，且与原三角形有公共锐角，我们分三类讨论所有可行的作图情况即可：①作AB的垂线；②作AC的垂线；③作BC的垂线，逐一验证是否满足相似条件。
【解析】
已知Rt△ABC中∠A=90°，根据相似三角形的判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”，过M作直线截得的三角形只要同时满足有一个直角、与原三角形有一个公共锐角，就与△ABC相似：
1. 过点M作AB的垂线，截得的三角形含公共角∠B，且有一个直角等于∠A，与△ABC相似；
2. 过点M作AC的垂线，截得的三角形含公共角∠C，且有一个直角等于∠A，与△ABC相似；
3. 过点M作BC的垂线，截得的三角形含公共角∠B（或∠C），且有一个直角等于∠A，与△ABC相似。
综上，满足条件的直线共有3条。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型应用题型，解题时要注意分类讨论所有可能的作图情况，避免遗漏过点M作BC垂线的情况，导致少算条数。
【难度系数】
0.6
本题需要结合相似三角形的判定定理求解，已知原三角形是∠A为直角的直角三角形，要使截得的三角形与原三角形相似，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，截得的三角形需为直角三角形，且与原三角形有公共锐角，我们分三类讨论所有可行的作图情况即可：①作AB的垂线；②作AC的垂线；③作BC的垂线，逐一验证是否满足相似条件。
【解析】
已知Rt△ABC中∠A=90°，根据相似三角形的判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”，过M作直线截得的三角形只要同时满足有一个直角、与原三角形有一个公共锐角，就与△ABC相似：
1. 过点M作AB的垂线，截得的三角形含公共角∠B，且有一个直角等于∠A，与△ABC相似；
2. 过点M作AC的垂线，截得的三角形含公共角∠C，且有一个直角等于∠A，与△ABC相似；
3. 过点M作BC的垂线，截得的三角形含公共角∠B（或∠C），且有一个直角等于∠A，与△ABC相似。
综上，满足条件的直线共有3条。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型应用题型，解题时要注意分类讨论所有可能的作图情况，避免遗漏过点M作BC垂线的情况，导致少算条数。
【难度系数】
0.6
10. 如图3-2-8，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，CD上，连接EF。
（1）作GH，使点G和H分别在边BC和AD上（均不与顶点重合），且GH垂直于EF。用无刻度的直尺和圆规作图，并保留作图痕迹。
（2）连接EH，FH，若EH⊥HF，求证：$△ AEH ∽ △ DHF$。
图3-2-8
（1）作GH，使点G和H分别在边BC和AD上（均不与顶点重合），且GH垂直于EF。用无刻度的直尺和圆规作图，并保留作图痕迹。
（2）连接EH，FH，若EH⊥HF，求证：$△ AEH ∽ △ DHF$。
图3-2-8
答案
10.(1)解:如答图 3-2-2,GH 为所作。
(2)证明:$\because$ 四边形 ABCD 为正方形,
$\therefore ∠A=∠D=90°$。
$\because EH⊥ HF,\therefore ∠EHF=90°$。
$\because ∠AEH+∠AHE=90°,$
$∠AHE+∠DHF=90°,$
$\therefore ∠AEH=∠DHF$。
又$\because ∠A=∠D,\therefore △ AEH∽△ DHF$。
解析
【分析】
（1）作图题要求作GH⊥EF，且G在BC上、H在AD上，可利用尺规作已知直线垂线的方法操作：先作出EF的垂线，该垂线与AD、BC的交点即为H、G，即可满足GH⊥EF的要求。
（2）要证明△AEH∽△DHF，可依据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理推导：首先由正方形的性质可得∠A、∠D均为直角，再结合EH⊥HF的条件，利用同角的余角相等可推出另一组对应角相等，即可完成相似证明。
【解析】
（1）作图步骤：
① 分别以点E、F为圆心，取大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧在EF的两侧各交于1个点；
② 过上述两个交点作直线，该直线与AD边交于点H，与BC边交于点G，线段GH即为所求。
（2）证明过程：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠A=∠D=90°，在Rt△AEH中可得∠AEH + ∠AHE = 90°。
∵ EH⊥HF，
∴ ∠EHF=90°，则∠AHE + ∠DHF = 180°-90°=90°。
根据同角的余角相等，可得∠AEH=∠DHF。
又
∵ ∠A=∠D，
∴ △AEH∽△DHF。
【答案】
10.(1)解:如答图 3-2-2,GH 为所作。
(2)证明:$\because$ 四边形 ABCD 为正方形,
$\therefore ∠A=∠D=90°$。
$\because EH⊥ HF,\therefore ∠EHF=90°$。
$\because ∠AEH+∠AHE=90°,$
$∠AHE+∠DHF=90°,$
$\therefore ∠AEH=∠DHF$。
又$\because ∠A=∠D,\therefore △ AEH∽△ DHF$。
【知识点】
尺规作垂线，正方形的性质，相似三角形的判定
【点评】
本题综合考查基础作图能力和几何推理能力，作图题考查作已知直线垂线的基本操作，证明题核心是利用角度互余关系推导对应角相等，进而判定三角形相似，侧重对基础知识和基础逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）作图题要求作GH⊥EF，且G在BC上、H在AD上，可利用尺规作已知直线垂线的方法操作：先作出EF的垂线，该垂线与AD、BC的交点即为H、G，即可满足GH⊥EF的要求。
（2）要证明△AEH∽△DHF，可依据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理推导：首先由正方形的性质可得∠A、∠D均为直角，再结合EH⊥HF的条件，利用同角的余角相等可推出另一组对应角相等，即可完成相似证明。
【解析】
（1）作图步骤：
① 分别以点E、F为圆心，取大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧在EF的两侧各交于1个点；
② 过上述两个交点作直线，该直线与AD边交于点H，与BC边交于点G，线段GH即为所求。
（2）证明过程：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠A=∠D=90°，在Rt△AEH中可得∠AEH + ∠AHE = 90°。
∵ EH⊥HF，
∴ ∠EHF=90°，则∠AHE + ∠DHF = 180°-90°=90°。
根据同角的余角相等，可得∠AEH=∠DHF。
又
∵ ∠A=∠D，
∴ △AEH∽△DHF。
【答案】
10.(1)解:如答图 3-2-2,GH 为所作。
(2)证明:$\because$ 四边形 ABCD 为正方形,
$\therefore ∠A=∠D=90°$。
$\because EH⊥ HF,\therefore ∠EHF=90°$。
$\because ∠AEH+∠AHE=90°,$
$∠AHE+∠DHF=90°,$
$\therefore ∠AEH=∠DHF$。
又$\because ∠A=∠D,\therefore △ AEH∽△ DHF$。
【知识点】
尺规作垂线，正方形的性质，相似三角形的判定
【点评】
本题综合考查基础作图能力和几何推理能力，作图题考查作已知直线垂线的基本操作，证明题核心是利用角度互余关系推导对应角相等，进而判定三角形相似，侧重对基础知识和基础逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
