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1. 在$△ ABC$与$△ A'B'C'$中，$∠ B=∠ B'=90°$，$∠ A=30°$，则以下条件，不能说明$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似的是（
A.$∠ A'=30°$
B.$∠ C'=60°$
C.$∠ C=60°$
D.$∠ C'=2∠ A'$
C
）。A.$∠ A'=30°$
B.$∠ C'=60°$
C.$∠ C=60°$
D.$∠ C'=2∠ A'$
答案
1.C
解析
【分析】
首先明确已知条件：△ABC和△A'B'C'都是直角三角形，已有一组直角∠B=∠B'=90°对应相等，根据直角三角形相似的判定规则，只要再找到一组锐角对应相等，即可判定两个三角形相似。首先先算出△ABC的另外两个角：∠A=30°，所以∠C=180°-90°-30°=60°。接下来逐一分析每个选项，判断能否推出△A'B'C'的某一个锐角等于30°或60°，若不能推出则该选项即为符合要求的答案。
【解析】
第一步：先计算△ABC的内角度数
∵在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°
∴∠C=180°-∠B-∠A=180°-90°-30°=60°
第二步：结合直角三角形相似的判定（一组锐角对应相等的两个直角三角形相似）逐一分析选项：
选项A：若∠A'=30°，则∠A=∠A'=30°，又∠B=∠B'=90°，可判定△ABC∽△A'B'C'，不符合题意；
选项B：若∠C'=60°，则∠C=∠C'=60°，又∠B=∠B'=90°，可判定△ABC∽△A'B'C'，不符合题意；
选项C：∠C=60°是△ABC本身的内角度数，无法由此得到△A'B'C'的内角度数，不能判定两个三角形相似，符合题意；
选项D：若∠C'=2∠A'，在△A'B'C'中∠B'=90°，故∠A'+∠C'=90°，代入得∠A'+2∠A'=90°，解得∠A'=30°，即∠A=∠A'=30°，可判定△ABC∽△A'B'C'，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形相似的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题时要注意结合已知条件逐一验证选项，尤其要注意题目要求选出的是“不能证明相似”的条件，避免因审题粗心错选。
【难度系数】
0.75
首先明确已知条件：△ABC和△A'B'C'都是直角三角形，已有一组直角∠B=∠B'=90°对应相等，根据直角三角形相似的判定规则，只要再找到一组锐角对应相等，即可判定两个三角形相似。首先先算出△ABC的另外两个角：∠A=30°，所以∠C=180°-90°-30°=60°。接下来逐一分析每个选项，判断能否推出△A'B'C'的某一个锐角等于30°或60°，若不能推出则该选项即为符合要求的答案。
【解析】
第一步：先计算△ABC的内角度数
∵在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°
∴∠C=180°-∠B-∠A=180°-90°-30°=60°
第二步：结合直角三角形相似的判定（一组锐角对应相等的两个直角三角形相似）逐一分析选项：
选项A：若∠A'=30°，则∠A=∠A'=30°，又∠B=∠B'=90°，可判定△ABC∽△A'B'C'，不符合题意；
选项B：若∠C'=60°，则∠C=∠C'=60°，又∠B=∠B'=90°，可判定△ABC∽△A'B'C'，不符合题意；
选项C：∠C=60°是△ABC本身的内角度数，无法由此得到△A'B'C'的内角度数，不能判定两个三角形相似，符合题意；
选项D：若∠C'=2∠A'，在△A'B'C'中∠B'=90°，故∠A'+∠C'=90°，代入得∠A'+2∠A'=90°，解得∠A'=30°，即∠A=∠A'=30°，可判定△ABC∽△A'B'C'，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形相似的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题时要注意结合已知条件逐一验证选项，尤其要注意题目要求选出的是“不能证明相似”的条件，避免因审题粗心错选。
【难度系数】
0.75
2. 如图 3-2-1，$∠ ABD = ∠ BDC = 90°$，$∠ A = ∠ CBD$，$AB = 3$，$BD = 2$，则 $CD$ 的长为（
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.2
D.3
B
）。A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.2
D.3
答案
2.B
解析
【分析】
首先观察已知条件，题目给出两组相等的角：∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，符合相似三角形“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，可先证明△ABD与△BDC相似。再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ ∠ABD = ∠BDC = 90°，∠A = ∠CBD
∴ △ABD ∽ △BDC（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{CD}$
将AB=3，BD=2代入上式：
$\frac{3}{2} = \frac{2}{CD}$
解得：$CD = \frac{4}{3}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的核心是通过已知的等角条件判定三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解未知边长，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，题目给出两组相等的角：∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，符合相似三角形“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，可先证明△ABD与△BDC相似。再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ ∠ABD = ∠BDC = 90°，∠A = ∠CBD
∴ △ABD ∽ △BDC（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{CD}$
将AB=3，BD=2代入上式：
$\frac{3}{2} = \frac{2}{CD}$
解得：$CD = \frac{4}{3}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的核心是通过已知的等角条件判定三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解未知边长，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 若∠A=58°，∠B=60°，∠A'=58°，当∠C'=
62°
时，△ABC∽△A'B'C'。答案
3.$62°$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确相似三角形的对应关系：用相似符号“∽”表示两个三角形相似时，对应顶点的字母是按顺序书写的，因此∠A与∠A'、∠B与∠B'、∠C与∠C'分别为对应角，对应角相等。其次结合三角形内角和为180°的定理，已知两个角的度数即可求出第三个角的度数。具体步骤为：先确认对应角相等关系，再用三角形内角和公式计算∠C'的度数。
【解析】
解：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴对应角相等，即∠B'=∠B=60°，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠C'=180°-∠A'-∠B'=180°-58°-60°=62°。
【答案】
62°
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题解题关键是能根据相似符号准确判断对应角的关系，结合基础的三角形内角和定理即可求出结果，属于对基础概念的考察。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先明确相似三角形的对应关系：用相似符号“∽”表示两个三角形相似时，对应顶点的字母是按顺序书写的，因此∠A与∠A'、∠B与∠B'、∠C与∠C'分别为对应角，对应角相等。其次结合三角形内角和为180°的定理，已知两个角的度数即可求出第三个角的度数。具体步骤为：先确认对应角相等关系，再用三角形内角和公式计算∠C'的度数。
【解析】
解：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴对应角相等，即∠B'=∠B=60°，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠C'=180°-∠A'-∠B'=180°-58°-60°=62°。
【答案】
62°
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题解题关键是能根据相似符号准确判断对应角的关系，结合基础的三角形内角和定理即可求出结果，属于对基础概念的考察。
【难度系数】
0.85
4. 如图3-2-2，AE，BD交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D。若AC=4，AB=3，CD=2，则CE=
$\frac{5}{2}$
。答案
4.$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题思路：首先根据已知的垂直关系得到两个直角相等，结合对顶角相等，可判定两个三角形相似；再利用勾股定理先求出Rt△ABC的斜边BC的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CE的长。
【解析】
解：
∵BA⊥AE，ED⊥BD，
∴∠A=∠D=90°，
又
∵∠ACB与∠DCE是对顶角，
∴∠ACB=∠DCE，
∴△CAB∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似）。
在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CE}$，
代入AC=4，CD=2，BC=5得：
$\frac{4}{2}=\frac{5}{CE}$，
解得$CE=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；勾股定理；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的关键是通过两组等角判定三角形相似，结合勾股定理求出相关边长后利用相似性质列比例式求解，考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据已知的垂直关系得到两个直角相等，结合对顶角相等，可判定两个三角形相似；再利用勾股定理先求出Rt△ABC的斜边BC的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CE的长。
【解析】
解：
∵BA⊥AE，ED⊥BD，
∴∠A=∠D=90°，
又
∵∠ACB与∠DCE是对顶角，
∴∠ACB=∠DCE，
∴△CAB∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似）。
在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CE}$，
代入AC=4，CD=2，BC=5得：
$\frac{4}{2}=\frac{5}{CE}$，
解得$CE=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；勾股定理；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的关键是通过两组等角判定三角形相似，结合勾股定理求出相关边长后利用相似性质列比例式求解，考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图 3-2-3,在$△ ABC$中,点 D,E 分别是边AB,AC 上的点,$∠ BDE + ∠ C = 180°$。求证:$△ ADE ∽ △ ACB$。
图 3-2-3
图 3-2-3
答案
5. 证明:$\because ∠BDE+∠C=180°,∠ADE+∠BDE=180°,$
$\therefore ∠ADE=∠C$。
又$\because ∠A$ 为公共角,$\therefore △ADE∽△ACB$。
$\therefore ∠ADE=∠C$。
又$\because ∠A$ 为公共角,$\therefore △ADE∽△ACB$。
解析
【分析】
要证明两个三角形相似，可优先考虑“两角分别相等的两个三角形”这一相似判定定理。首先结合已知条件：∠BDE与∠C互补，同时∠ADE和∠BDE是邻补角，二者也满足互补关系，根据同角的补角相等可推出∠ADE=∠C；再观察到△ADE和△ACB有公共角∠A，即可得到两组对应角相等，进而完成相似证明。
【解析】
证明：
$\because ∠BDE+∠C=180°,∠ADE+∠BDE=180°,$
$\therefore ∠ADE=∠C$（同角的补角相等）。
又$\because ∠A$是$△ ADE$和$△ ACB$的公共角，即$∠A=∠A$，
$\therefore △ADE∽△ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:$\because ∠BDE+∠C=180°,∠ADE+∠BDE=180°,$
$\therefore ∠ADE=∠C$。
又$\because ∠A$ 为公共角,$\therefore △ADE∽△ACB$。
【知识点】
补角的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题核心是通过补角的性质得到一组对应角相等，结合公共角即可完成证明，重点考察基础定理的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明两个三角形相似，可优先考虑“两角分别相等的两个三角形”这一相似判定定理。首先结合已知条件：∠BDE与∠C互补，同时∠ADE和∠BDE是邻补角，二者也满足互补关系，根据同角的补角相等可推出∠ADE=∠C；再观察到△ADE和△ACB有公共角∠A，即可得到两组对应角相等，进而完成相似证明。
【解析】
证明：
$\because ∠BDE+∠C=180°,∠ADE+∠BDE=180°,$
$\therefore ∠ADE=∠C$（同角的补角相等）。
又$\because ∠A$是$△ ADE$和$△ ACB$的公共角，即$∠A=∠A$，
$\therefore △ADE∽△ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:$\because ∠BDE+∠C=180°,∠ADE+∠BDE=180°,$
$\therefore ∠ADE=∠C$。
又$\because ∠A$ 为公共角,$\therefore △ADE∽△ACB$。
【知识点】
补角的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题核心是通过补角的性质得到一组对应角相等，结合公共角即可完成证明，重点考察基础定理的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
6. 如图 3-2-4，D 是△ABC 边 BC 上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC 的平分线交边 AC 于点 E，交 AD 于点 F，则与△BDF 相似的是哪个三角形？请说明理由。
答案
6. 解:与$△ BDF$ 相似的是$△ BAE$。理由如下:
$\because ∠BAD=∠C,∠ABD=∠ABC,$
$\therefore ∠ADB=∠BAC$。
$\because BE$ 平分$∠ABC,\therefore ∠ABE=∠CBE$。
由$∠ABE=∠BDF,∠BAE=∠BDF$,可判定$△ BAE$ 和$△ BDF$ 相似。
$\because ∠BAD=∠C,∠ABD=∠ABC,$
$\therefore ∠ADB=∠BAC$。
$\because BE$ 平分$∠ABC,\therefore ∠ABE=∠CBE$。
由$∠ABE=∠BDF,∠BAE=∠BDF$,可判定$△ BAE$ 和$△ BDF$ 相似。
解析
【分析】
要判断与△BDF相似的三角形，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先从已知条件入手：BE是∠ABC的平分线，可直接得到一组相等的角；再结合已知∠BAD=∠C，利用三角形内角和定理推出另一组对应角相等，满足相似判定条件即可得到结论。
【解析】
与△BDF相似的三角形是△BAE，理由如下：
∵ ∠BAD=∠C，∠ABD=∠ABC（公共角），
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD，∠BAC=180°-∠ABC-∠C，
∴ ∠ADB=∠BAC，即∠BDF=∠BAE。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠CBE，即∠ABE=∠DBF。
在△BAE和△BDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABE=∠ DBF\\ ∠ BAE=∠ BDF\end{array} $
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BAE∽△BDF。
【答案】
与△BDF相似的是△BAE。
【知识点】
相似三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题核心是利用已知条件推导出两组对应角相等，熟练掌握相似三角形的判定定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要判断与△BDF相似的三角形，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先从已知条件入手：BE是∠ABC的平分线，可直接得到一组相等的角；再结合已知∠BAD=∠C，利用三角形内角和定理推出另一组对应角相等，满足相似判定条件即可得到结论。
【解析】
与△BDF相似的三角形是△BAE，理由如下：
∵ ∠BAD=∠C，∠ABD=∠ABC（公共角），
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD，∠BAC=180°-∠ABC-∠C，
∴ ∠ADB=∠BAC，即∠BDF=∠BAE。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠CBE，即∠ABE=∠DBF。
在△BAE和△BDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABE=∠ DBF\\ ∠ BAE=∠ BDF\end{array} $
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BAE∽△BDF。
【答案】
与△BDF相似的是△BAE。
【知识点】
相似三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题核心是利用已知条件推导出两组对应角相等，熟练掌握相似三角形的判定定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
7. 如图 3-2-5,在△ABC 中,∠B=2∠C,利用尺规作图法在 AC 上求作一点 D,连接 BD,使得△ABD∽△ACB,并证明。
图 3-2-5
图 3-2-5答案
7. 解:如答图 3-2-1,作$∠ABC$ 的平分线交 AC 于点 D,点 D 为所求。证明如下:
$\because ∠ABC=2∠ABD,∠ABC=2∠C,$
$\therefore ∠ABD=∠C$。
又$\because ∠A=∠A,$
$\therefore △ ABD∽△ ACB$。
故点 D 为所求。
解析
【分析】
要使△ABD∽△ACB，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形“两角分别相等则两三角形相似”的判定定理，只需再构造一组对应角相等即可。结合已知条件∠ABC=2∠C，因此考虑作∠ABC的角平分线，即可得到∠ABD=∠C，满足相似的判定条件，该角平分线与AC的交点即为所求点D。
【解析】
作图步骤：
1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交BA、BC于两个交点；
2. 分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于一点；
3. 过点B和上述交点作射线，交AC于点D，点D即为所求。
证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABC=2∠ABD，
又
∵ 已知∠ABC=2∠C，
∴ ∠ABD=∠C，
又
∵ ∠A是△ABD和△ACB的公共角，即∠A=∠A，
∴ △ABD∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
如答图 3-2-1,作$∠ABC$ 的平分线交 AC 于点 D,点 D 为所求。证明如下:
$\because ∠ABC=2∠ABD,∠ABC=2∠C,$
$\therefore ∠ABD=∠C$。
又$\because ∠A=∠A,$
$\therefore △ ABD∽△ ACB$。
故点 D 为所求。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 角平分线尺规作图
【点评】
本题将尺规作图与相似三角形判定结合考查，解题的关键是结合已知角的倍数关系，利用角平分线构造相等的对应角，进而满足相似的判定条件，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要使△ABD∽△ACB，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形“两角分别相等则两三角形相似”的判定定理，只需再构造一组对应角相等即可。结合已知条件∠ABC=2∠C，因此考虑作∠ABC的角平分线，即可得到∠ABD=∠C，满足相似的判定条件，该角平分线与AC的交点即为所求点D。
【解析】
作图步骤：
1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交BA、BC于两个交点；
2. 分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于一点；
3. 过点B和上述交点作射线，交AC于点D，点D即为所求。
证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABC=2∠ABD，
又
∵ 已知∠ABC=2∠C，
∴ ∠ABD=∠C，
又
∵ ∠A是△ABD和△ACB的公共角，即∠A=∠A，
∴ △ABD∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
如答图 3-2-1,作$∠ABC$ 的平分线交 AC 于点 D,点 D 为所求。证明如下:
$\because ∠ABC=2∠ABD,∠ABC=2∠C,$
$\therefore ∠ABD=∠C$。
又$\because ∠A=∠A,$
$\therefore △ ABD∽△ ACB$。
故点 D 为所求。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 角平分线尺规作图
【点评】
本题将尺规作图与相似三角形判定结合考查，解题的关键是结合已知角的倍数关系，利用角平分线构造相等的对应角，进而满足相似的判定条件，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
