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8.(1)请你任意写5个正的真分数：，，，，。将每个分数的分子、分母同时加上同一个正数得到5个新分数：，，，，。
(2)比较原来的每个分数与对应新分数的大小，可以得到下面的结论：
一个真分数$\frac{a}{b}$(a，b均为正数)，将其分子、分母同时加上一个正数m，得$\frac{a+m}{b+m}$，则两个分数的大小关系是：$\frac{a+m}{b+m}\_\_\_\_\_\_\frac{a}{b}$。
(2)比较原来的每个分数与对应新分数的大小，可以得到下面的结论：
一个真分数$\frac{a}{b}$(a，b均为正数)，将其分子、分母同时加上一个正数m，得$\frac{a+m}{b+m}$，则两个分数的大小关系是：$\frac{a+m}{b+m}\_\_\_\_\_\_\frac{a}{b}$。
答案
8.(1)$\frac{1}{2}\ \ \frac{1}{3}\ \ \frac{1}{4}\ \ \frac{1}{5}\ \ \frac{1}{6}\ \ \frac{2}{3}\ \ \frac{1}{2}\ \ \frac{2}{5}\ \ \frac{1}{3}\ \ \frac{2}{7}$(答案不唯一,符合要求即可)
(2)$＞$
(2)$＞$
解析
【分析】
(1) 首先明确正的真分数的定义：分子、分母均为正数，且分子小于分母的分数，据此任选5个符合要求的分数即可；再给每个分数的分子、分母同时加上同一个正数（例如加1，计算简便），即可得到对应的新分数，本小问答案不唯一，符合要求即可。
(2) 比较两个分式的大小可采用作差法：将两个分式相减，通分化简后结合已知条件判断差的正负，若差为正则被减数更大，若差为负则减数更大。已知$\frac{a}{b}$是正的真分数，故$b＞a＞0$，$m$为正数，据此可判断化简后差的符号，得到大小关系。
【解析】
(1) 按照真分数的要求，可选取5个正的真分数为：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$；给每个分数的分子分母同时加正数1，得到的新分数依次为：$\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$，$\frac{1+1}{3+1}=\frac{1}{2}$，$\frac{1+1}{4+1}=\frac{2}{5}$，$\frac{1+1}{5+1}=\frac{1}{3}$，$\frac{1+1}{6+1}=\frac{2}{7}$。
(2) 用作差法比较大小：
$\begin{aligned}\frac{a+m}{b+m} - \frac{a}{b}&=\frac{b(a+m) - a(b+m)}{b(b+m)}\\&=\frac{ab + bm - ab - am}{b(b+m)}\\&=\frac{m(b - a)}{b(b+m)}\end{aligned}$
∵$\frac{a}{b}$是正的真分数，$a、b$均为正数，
∴$b＞a＞0$，即$b - a＞0$；
又
∵$m$是正数，
∴$m＞0$，$b＞0$，$b+m＞0$，
∴$\frac{m(b - a)}{b(b+m)}＞0$，即$\frac{a+m}{b+m} - \frac{a}{b}＞0$，
∴$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$；$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{7}$（答案不唯一）
(2) $＞$
【知识点】
1. 真分数的概念
2. 作差法比较大小
3. 分式的通分运算
【点评】
本题从举例探究出发，引导学生推导分式大小比较的通用结论，既考查了基础概念的掌握，也锻炼了从特殊到一般的逻辑推理能力，所得结论可作为规律灵活运用到后续分数、分式大小比较的题目中。
【难度系数】
0.9
(1) 首先明确正的真分数的定义：分子、分母均为正数，且分子小于分母的分数，据此任选5个符合要求的分数即可；再给每个分数的分子、分母同时加上同一个正数（例如加1，计算简便），即可得到对应的新分数，本小问答案不唯一，符合要求即可。
(2) 比较两个分式的大小可采用作差法：将两个分式相减，通分化简后结合已知条件判断差的正负，若差为正则被减数更大，若差为负则减数更大。已知$\frac{a}{b}$是正的真分数，故$b＞a＞0$，$m$为正数，据此可判断化简后差的符号，得到大小关系。
【解析】
(1) 按照真分数的要求，可选取5个正的真分数为：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$；给每个分数的分子分母同时加正数1，得到的新分数依次为：$\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$，$\frac{1+1}{3+1}=\frac{1}{2}$，$\frac{1+1}{4+1}=\frac{2}{5}$，$\frac{1+1}{5+1}=\frac{1}{3}$，$\frac{1+1}{6+1}=\frac{2}{7}$。
(2) 用作差法比较大小：
$\begin{aligned}\frac{a+m}{b+m} - \frac{a}{b}&=\frac{b(a+m) - a(b+m)}{b(b+m)}\\&=\frac{ab + bm - ab - am}{b(b+m)}\\&=\frac{m(b - a)}{b(b+m)}\end{aligned}$
∵$\frac{a}{b}$是正的真分数，$a、b$均为正数，
∴$b＞a＞0$，即$b - a＞0$；
又
∵$m$是正数，
∴$m＞0$，$b＞0$，$b+m＞0$，
∴$\frac{m(b - a)}{b(b+m)}＞0$，即$\frac{a+m}{b+m} - \frac{a}{b}＞0$，
∴$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$；$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{7}$（答案不唯一）
(2) $＞$
【知识点】
1. 真分数的概念
2. 作差法比较大小
3. 分式的通分运算
【点评】
本题从举例探究出发，引导学生推导分式大小比较的通用结论，既考查了基础概念的掌握，也锻炼了从特殊到一般的逻辑推理能力，所得结论可作为规律灵活运用到后续分数、分式大小比较的题目中。
【难度系数】
0.9
二、拓展性作业
9. 书画装裱,是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏,是我国具有民族传统的一门特殊技艺。如图3-1-11,一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m。装裱后,上、下、左、右边衬的宽度分别是a m,b m,c m,d m。若装裱后AB与AD的比是16:10,且a=b,c=d,c=2a,求四周边衬的宽度。
图3-1-11
9. 书画装裱,是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏,是我国具有民族传统的一门特殊技艺。如图3-1-11,一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m。装裱后,上、下、左、右边衬的宽度分别是a m,b m,c m,d m。若装裱后AB与AD的比是16:10,且a=b,c=d,c=2a,求四周边衬的宽度。
图3-1-11
答案
9. 解:由题意得,$AB=(1.2+c+d)\mathrm{m},AD=(0.8+a+b)\mathrm{m}$,
$\because a=b,c=d,c=2a$,
$\therefore AB=(1.2+4a)\mathrm{m},AD=(0.8+2a)\mathrm{m}$。
$\because AB$与$AD$的比是$16:10$,
$\therefore (1.2+4a):(0.8+2a)=16:10$,
$\therefore a=0.1,\therefore b=0.1,c=d=0.2$。
故上、下、左、右边衬的宽度分别是$0.1\ \mathrm{m},0.1\ \mathrm{m},0.2\ \mathrm{m},0.2\ \mathrm{m}$。
$\because a=b,c=d,c=2a$,
$\therefore AB=(1.2+4a)\mathrm{m},AD=(0.8+2a)\mathrm{m}$。
$\because AB$与$AD$的比是$16:10$,
$\therefore (1.2+4a):(0.8+2a)=16:10$,
$\therefore a=0.1,\therefore b=0.1,c=d=0.2$。
故上、下、左、右边衬的宽度分别是$0.1\ \mathrm{m},0.1\ \mathrm{m},0.2\ \mathrm{m},0.2\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确装裱后矩形的长AB和宽AD的构成：AB是装裱前的水平长度1.2m加上左、右边衬的宽度c和d，AD是装裱前的竖直长度0.8m加上上、下边衬的宽度a和b。结合题目给出的a=b、c=d、c=2a的等量关系，可将AB、AD都用同一个未知数a表示，再根据AB与AD的比为16:10列出比例方程，求解出a的值后，就能依次算出其他边衬的宽度。
【解析】
解：由题意可知，装裱后：
$AB=(1.2+c+d)\mathrm{m}$，$AD=(0.8+a+b)\mathrm{m}$
$\because a=b$，$c=d$，$c=2a$
$\therefore d=c=2a$，$b=a$
代入AB、AD的表达式得：
$AB=1.2 + 2a + 2a=(1.2+4a)\mathrm{m}$
$AD=0.8 + a + a=(0.8+2a)\mathrm{m}$
又$\because AB:AD=16:10$
$\therefore (1.2+4a):(0.8+2a)=16:10$
根据比例的基本性质（内项积等于外项积）可得：
$10×(1.2+4a)=16×(0.8+2a)$
展开计算：$12 + 40a = 12.8 + 32a$
移项合并同类项：$8a=0.8$
解得：$a=0.1$
$\therefore b=a=0.1\mathrm{m}$，$c=d=2a=0.2\mathrm{m}$
【答案】
上、下、左、右边衬的宽度分别是$0.1\ \mathrm{m},0.1\ \mathrm{m},0.2\ \mathrm{m},0.2\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式，比例的性质，一元一次方程应用
【点评】
本题结合书画装裱的传统技艺场景命题，贴近生活，主要考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题的核心是准确表示出装裱后矩形的长宽，结合已知比例建立方程求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确装裱后矩形的长AB和宽AD的构成：AB是装裱前的水平长度1.2m加上左、右边衬的宽度c和d，AD是装裱前的竖直长度0.8m加上上、下边衬的宽度a和b。结合题目给出的a=b、c=d、c=2a的等量关系，可将AB、AD都用同一个未知数a表示，再根据AB与AD的比为16:10列出比例方程，求解出a的值后，就能依次算出其他边衬的宽度。
【解析】
解：由题意可知，装裱后：
$AB=(1.2+c+d)\mathrm{m}$，$AD=(0.8+a+b)\mathrm{m}$
$\because a=b$，$c=d$，$c=2a$
$\therefore d=c=2a$，$b=a$
代入AB、AD的表达式得：
$AB=1.2 + 2a + 2a=(1.2+4a)\mathrm{m}$
$AD=0.8 + a + a=(0.8+2a)\mathrm{m}$
又$\because AB:AD=16:10$
$\therefore (1.2+4a):(0.8+2a)=16:10$
根据比例的基本性质（内项积等于外项积）可得：
$10×(1.2+4a)=16×(0.8+2a)$
展开计算：$12 + 40a = 12.8 + 32a$
移项合并同类项：$8a=0.8$
解得：$a=0.1$
$\therefore b=a=0.1\mathrm{m}$，$c=d=2a=0.2\mathrm{m}$
【答案】
上、下、左、右边衬的宽度分别是$0.1\ \mathrm{m},0.1\ \mathrm{m},0.2\ \mathrm{m},0.2\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式，比例的性质，一元一次方程应用
【点评】
本题结合书画装裱的传统技艺场景命题，贴近生活，主要考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题的核心是准确表示出装裱后矩形的长宽，结合已知比例建立方程求解。
【难度系数】
0.7
10. 如图3-1-12，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等。
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为$m°$和$n°$，将菱形的“接近度”定义为$|m - n|$，于是$|m - n|$越小，菱形越接近正方形。
①若菱形的一个内角为$70°$，则该菱形的“接近度”等于
②当菱形的“接近度”等于
(2)设矩形相邻两条边长分别是$a$和$b(a ≤ b)$，将矩形的“接近度”定义为$|a - b|$，于是$|a - b|$越小，矩形越接近正方形。
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义。
图3-1-12
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为$m°$和$n°$，将菱形的“接近度”定义为$|m - n|$，于是$|m - n|$越小，菱形越接近正方形。
①若菱形的一个内角为$70°$，则该菱形的“接近度”等于
40
；②当菱形的“接近度”等于
0
时，菱形是正方形。(2)设矩形相邻两条边长分别是$a$和$b(a ≤ b)$，将矩形的“接近度”定义为$|a - b|$，于是$|a - b|$越小，矩形越接近正方形。
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义。
图3-1-12
答案
10. 解:(1)①40 ②0
(2)不合理。例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但$|a-b|$却不相等。合理定义不唯一。如定义为$\frac{b}{a}$,$\frac{b}{a}$越接近1,矩形越接近正方形;$\frac{b}{a}$越大,矩形与正方形的形状差异越大;当$\frac{b}{a}=1$时,矩形就变成了正方形。即只有矩形的$\frac{b}{a}$越接近1,矩形才越接近正方形。
(2)不合理。例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但$|a-b|$却不相等。合理定义不唯一。如定义为$\frac{b}{a}$,$\frac{b}{a}$越接近1,矩形越接近正方形;$\frac{b}{a}$越大,矩形与正方形的形状差异越大;当$\frac{b}{a}=1$时,矩形就变成了正方形。即只有矩形的$\frac{b}{a}$越接近1,矩形才越接近正方形。
解析
【分析】
(1)求解菱形的接近度时，首先利用菱形邻角互补的性质，已知一个内角即可求出相邻的另一个内角，代入$|m-n|$即可计算出接近度；正方形的四个内角均为$90°$，相邻内角度数差为0，据此可得到菱形为正方形时的接近度。
(2)判断矩形接近度的定义是否合理，需紧扣题干“相似图形的接近度相等”的前提：若用$|a-b|$作为接近度，两个相似的矩形接近正方形的程度相同，但边长差的绝对值不同，不符合要求，因此需采用比值类的定义，保证相似图形的接近度一致，比值越接近1，矩形越接近正方形。
【解析】
(1)①$\because$菱形相邻内角互补，即$m+n=180$，若一个内角为$70°$，则其邻角为$180°-70°=110°$，
$\therefore$该菱形的“接近度”为$|70-110|=40$。
②正方形的四个内角均为$90°$，此时菱形相邻内角相等，即$m=n=90$，
$\therefore|m-n|=0$，即当接近度为0时，菱形是正方形。
(2)这种说法不合理。
理由：例如两个相似的矩形，边长分别为1、2和2、4（$a\le b$），它们接近正方形的程度相同，但$|1-2|=1$，$|2-4|=2$，两者的接近度不相等，不符合题干要求。
合理定义示例：可定义矩形的“接近度”为$\frac{b}{a}$，$\frac{b}{a}$越接近1，矩形越接近正方形；当$\frac{b}{a}=1$时，矩形为正方形（定义不唯一，满足相似图形接近度相等即可）。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{40}$；②$\boldsymbol{0}$
(2)不合理。合理定义示例：定义为$\frac{b}{a}$，$\frac{b}{a}$越接近1，矩形越接近正方形（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
菱形的性质；正方形的性质；相似图形的特征
【点评】
本题属于新定义类创新题，将特殊四边形的性质与新概念结合考查，解题的关键是紧扣题干给出的定义前提，结合菱形、矩形、正方形的性质和相似图形的特点分析，能够锻炼对新概念的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)求解菱形的接近度时，首先利用菱形邻角互补的性质，已知一个内角即可求出相邻的另一个内角，代入$|m-n|$即可计算出接近度；正方形的四个内角均为$90°$，相邻内角度数差为0，据此可得到菱形为正方形时的接近度。
(2)判断矩形接近度的定义是否合理，需紧扣题干“相似图形的接近度相等”的前提：若用$|a-b|$作为接近度，两个相似的矩形接近正方形的程度相同，但边长差的绝对值不同，不符合要求，因此需采用比值类的定义，保证相似图形的接近度一致，比值越接近1，矩形越接近正方形。
【解析】
(1)①$\because$菱形相邻内角互补，即$m+n=180$，若一个内角为$70°$，则其邻角为$180°-70°=110°$，
$\therefore$该菱形的“接近度”为$|70-110|=40$。
②正方形的四个内角均为$90°$，此时菱形相邻内角相等，即$m=n=90$，
$\therefore|m-n|=0$，即当接近度为0时，菱形是正方形。
(2)这种说法不合理。
理由：例如两个相似的矩形，边长分别为1、2和2、4（$a\le b$），它们接近正方形的程度相同，但$|1-2|=1$，$|2-4|=2$，两者的接近度不相等，不符合题干要求。
合理定义示例：可定义矩形的“接近度”为$\frac{b}{a}$，$\frac{b}{a}$越接近1，矩形越接近正方形；当$\frac{b}{a}=1$时，矩形为正方形（定义不唯一，满足相似图形接近度相等即可）。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{40}$；②$\boldsymbol{0}$
(2)不合理。合理定义示例：定义为$\frac{b}{a}$，$\frac{b}{a}$越接近1，矩形越接近正方形（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
菱形的性质；正方形的性质；相似图形的特征
【点评】
本题属于新定义类创新题，将特殊四边形的性质与新概念结合考查，解题的关键是紧扣题干给出的定义前提，结合菱形、矩形、正方形的性质和相似图形的特点分析，能够锻炼对新概念的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
