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1. 如果$x:y=2:3$，则下列各式不一定成立的是(
A.$\frac{x+y}{y}=\frac{5}{3}$
B.$\frac{y-x}{y}=\frac{1}{3}$
C.$\frac{x}{2y}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{x+1}{y+1}=\frac{3}{4}$
D
)。A.$\frac{x+y}{y}=\frac{5}{3}$
B.$\frac{y-x}{y}=\frac{1}{3}$
C.$\frac{x}{2y}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{x+1}{y+1}=\frac{3}{4}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查比例性质的应用，解题思路如下：首先根据已知的$x:y=2:3$，可采用设参数法，设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$），再将$x$、$y$代入四个选项的代数式中逐一计算验证，判断等式是否恒成立；也可直接利用比例的合分比性质推导前三个选项，重点注意分子分母同时加同一个数的变形不符合比例的性质，可通过举反例判断。
【解析】
已知$x:y=2:3$，设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$），逐一验证选项：
A选项：$\frac{x+y}{y}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$，等式恒成立；
B选项：$\frac{y-x}{y}=\frac{3k-2k}{3k}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$，等式恒成立；
C选项：$\frac{x}{2y}=\frac{2k}{2×3k}=\frac{2k}{6k}=\frac{1}{3}$，等式恒成立；
D选项：$\frac{x+1}{y+1}=\frac{2k+1}{3k+1}$，仅当$k=1$时该式等于$\frac{3}{4}$，当$k$取其他不为0的数时，等式不成立，例如取$k=2$，此时$x=4$，$y=6$，$\frac{x+1}{y+1}=\frac{5}{7}≠\frac{3}{4}$，故该式不一定成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质，代数式代入求值，比例变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，设参数代入验证是解决这类题最直观的方法，要注意比例仅满足分子分母同时乘除同一个不为0的数时比值不变，不存在分子分母同时加同一个数比值不变的性质，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题考查比例性质的应用，解题思路如下：首先根据已知的$x:y=2:3$，可采用设参数法，设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$），再将$x$、$y$代入四个选项的代数式中逐一计算验证，判断等式是否恒成立；也可直接利用比例的合分比性质推导前三个选项，重点注意分子分母同时加同一个数的变形不符合比例的性质，可通过举反例判断。
【解析】
已知$x:y=2:3$，设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$），逐一验证选项：
A选项：$\frac{x+y}{y}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$，等式恒成立；
B选项：$\frac{y-x}{y}=\frac{3k-2k}{3k}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$，等式恒成立；
C选项：$\frac{x}{2y}=\frac{2k}{2×3k}=\frac{2k}{6k}=\frac{1}{3}$，等式恒成立；
D选项：$\frac{x+1}{y+1}=\frac{2k+1}{3k+1}$，仅当$k=1$时该式等于$\frac{3}{4}$，当$k$取其他不为0的数时，等式不成立，例如取$k=2$，此时$x=4$，$y=6$，$\frac{x+1}{y+1}=\frac{5}{7}≠\frac{3}{4}$，故该式不一定成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质，代数式代入求值，比例变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，设参数代入验证是解决这类题最直观的方法，要注意比例仅满足分子分母同时乘除同一个不为0的数时比值不变，不存在分子分母同时加同一个数比值不变的性质，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
2. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(abcd≠0)$，则下列等式不成立的是（$\quad$）。
A.$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$
B.$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$
C.$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}(a+b≠0,c+d≠0)$
D.$\frac{a+d}{b+c}=\frac{a}{b}(b+c≠0)$
A.$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$
B.$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$
C.$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}(a+b≠0,c+d≠0)$
D.$\frac{a+d}{b+c}=\frac{a}{b}(b+c≠0)$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查比例的相关性质，解题思路可采用两种方法：一是利用比例的基本性质、反比性质、合比性质直接推导各选项是否成立；二是使用设k法，设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，将a、c用含b、d、k的式子表示后代入各选项验证，同时也可通过举符合条件的特殊值快速判断选项正误，最终选出不成立的等式。
【解析】
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k（k≠0）$，则$a=kb$，$c=kd$，逐一验证选项：
A选项：由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$交叉相乘得$ad=bc$，两边同时除以$ac$（$ac≠0$）可得$\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$，即$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$，等式成立，不符合题意；
B选项：左边$\frac{a-b}{b}=\frac{kb-b}{b}=k-1$，右边$\frac{c-d}{d}=\frac{kd-d}{d}=k-1$，左右两边相等，等式成立，不符合题意；
C选项：已知$a+b≠0,c+d≠0$，左边$\frac{a}{a+b}=\frac{kb}{kb+b}=\frac{k}{k+1}$，右边$\frac{c}{c+d}=\frac{kd}{kd+d}=\frac{k}{k+1}$，左右两边相等，等式成立，不符合题意；
D选项：已知$b+c≠0$，左边$\frac{a+d}{b+c}=\frac{kb+d}{b+kd}$，右边为$\frac{a}{b}=k$。假设等式成立则$\frac{kb+d}{b+kd}=k$，交叉相乘化简得$d=k²d$，仅当$k²=1$时该式成立，不具有普遍性。举反例：取$a=1,b=2,c=2,d=4$，满足$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$，左边$\frac{1+4}{2+2}=\frac{5}{4}$，右边$\frac{1}{2}$，显然不相等，故等式不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质，合比性质，比例变形
【点评】
本题是比例性质的常规应用题型，设k法是解决比例类问题的通用方法，特殊值代入法可快速验证选项正误，解题时需注意题目给出的分母不为0的限制条件，避免无意义的情况。
【难度系数】
0.7
本题考查比例的相关性质，解题思路可采用两种方法：一是利用比例的基本性质、反比性质、合比性质直接推导各选项是否成立；二是使用设k法，设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，将a、c用含b、d、k的式子表示后代入各选项验证，同时也可通过举符合条件的特殊值快速判断选项正误，最终选出不成立的等式。
【解析】
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k（k≠0）$，则$a=kb$，$c=kd$，逐一验证选项：
A选项：由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$交叉相乘得$ad=bc$，两边同时除以$ac$（$ac≠0$）可得$\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$，即$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$，等式成立，不符合题意；
B选项：左边$\frac{a-b}{b}=\frac{kb-b}{b}=k-1$，右边$\frac{c-d}{d}=\frac{kd-d}{d}=k-1$，左右两边相等，等式成立，不符合题意；
C选项：已知$a+b≠0,c+d≠0$，左边$\frac{a}{a+b}=\frac{kb}{kb+b}=\frac{k}{k+1}$，右边$\frac{c}{c+d}=\frac{kd}{kd+d}=\frac{k}{k+1}$，左右两边相等，等式成立，不符合题意；
D选项：已知$b+c≠0$，左边$\frac{a+d}{b+c}=\frac{kb+d}{b+kd}$，右边为$\frac{a}{b}=k$。假设等式成立则$\frac{kb+d}{b+kd}=k$，交叉相乘化简得$d=k²d$，仅当$k²=1$时该式成立，不具有普遍性。举反例：取$a=1,b=2,c=2,d=4$，满足$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$，左边$\frac{1+4}{2+2}=\frac{5}{4}$，右边$\frac{1}{2}$，显然不相等，故等式不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质，合比性质，比例变形
【点评】
本题是比例性质的常规应用题型，设k法是解决比例类问题的通用方法，特殊值代入法可快速验证选项正误，解题时需注意题目给出的分母不为0的限制条件，避免无意义的情况。
【难度系数】
0.7
3. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$，且$b+d+f≠0$，若$a+c+e=12$，则$b+d+f=$
6
。答案
3.6
解析
【分析】
本题给出多个比值相等的条件，解题时可优先考虑比例的相关性质：当多个比例相等且所有分母的和不为0时，可使用等比性质，即所有分子的和与所有分母的和的比值等于原比值。也可采用设k法，将每个分子用对应的分母表示后代入已知条件求解。首先确认题目已给出$b+d+f≠0$，满足等比性质的使用前提，结合已知$a+c+e=12$，代入即可求出$b+d+f$的值。
【解析】
方法一（等比性质法）：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$，且$b+d+f≠0$
根据等比性质可得：$\frac{a+c+e}{b+d+f}=2$
又
∵ $a+c+e=12$
∴ $\frac{12}{b+d+f}=2$
解得：$b+d+f=12÷2=6$
方法二（设k法）：
由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$可得：
$a=2b$，$c=2d$，$e=2f$
将三式相加得：$a+c+e=2b+2d+2f=2(b+d+f)$
∵ $a+c+e=12$
∴ $2(b+d+f)=12$
两边同时除以2得：$b+d+f=6$
【答案】
6
【知识点】
等比性质，比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题时需注意等比性质的使用前提是所有分母的和不为0，本题已明确给出该条件，可直接应用性质简化计算，也可通过设k法推导，两种方法都能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
本题给出多个比值相等的条件，解题时可优先考虑比例的相关性质：当多个比例相等且所有分母的和不为0时，可使用等比性质，即所有分子的和与所有分母的和的比值等于原比值。也可采用设k法，将每个分子用对应的分母表示后代入已知条件求解。首先确认题目已给出$b+d+f≠0$，满足等比性质的使用前提，结合已知$a+c+e=12$，代入即可求出$b+d+f$的值。
【解析】
方法一（等比性质法）：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$，且$b+d+f≠0$
根据等比性质可得：$\frac{a+c+e}{b+d+f}=2$
又
∵ $a+c+e=12$
∴ $\frac{12}{b+d+f}=2$
解得：$b+d+f=12÷2=6$
方法二（设k法）：
由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$可得：
$a=2b$，$c=2d$，$e=2f$
将三式相加得：$a+c+e=2b+2d+2f=2(b+d+f)$
∵ $a+c+e=12$
∴ $2(b+d+f)=12$
两边同时除以2得：$b+d+f=6$
【答案】
6
【知识点】
等比性质，比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题时需注意等比性质的使用前提是所有分母的和不为0，本题已明确给出该条件，可直接应用性质简化计算，也可通过设k法推导，两种方法都能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
4. 四边形ABCD是一张矩形纸片。将其按如图 3-1-9所示的方式折叠:使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF。若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为
图3-1-9
$\sqrt{2}+1$
。图3-1-9
答案
4.$\sqrt{2}+1$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用折叠的性质得到折叠前后对应边相等的关系，设CD的长为x，用含x的式子表示出小矩形HEFG的各边长度；第二步，根据相似多边形对应边成比例的性质，结合两个矩形的边的对应关系列出比例方程；第三步，解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，即可得到CD的长度。
【解析】
设CD的长为$ x $。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $ BC=AD=1 $，矩形的长为$ CD=x $，宽为$ AD=1 $。
由折叠的性质可得：$ DH=AD=1 $，$ CG=BC=1 $，小矩形HEFG的竖直边长$ HE=AD=1 $，
∴ 小矩形HEFG的水平边长$ HG = CD - DH - CG = x - 1 - 1 = x - 2 $。
∵ 矩形HEFG与原矩形ABCD相似，对应边成比例，
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{HE}{HG}$，代入得：
$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-2}$
整理得一元二次方程：$ x^2 - 2x - 1 = 0 $
解得：$ x_1=1+\sqrt{2} $，$ x_2=1-\sqrt{2} $（边长为正，不符合题意舍去）。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
折叠的性质，相似多边形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题将折叠变换与相似多边形的性质结合考查，解题的核心是准确利用折叠性质表示出小矩形的边长，再根据相似的比例关系列方程求解，解题时需注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步，先利用折叠的性质得到折叠前后对应边相等的关系，设CD的长为x，用含x的式子表示出小矩形HEFG的各边长度；第二步，根据相似多边形对应边成比例的性质，结合两个矩形的边的对应关系列出比例方程；第三步，解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，即可得到CD的长度。
【解析】
设CD的长为$ x $。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $ BC=AD=1 $，矩形的长为$ CD=x $，宽为$ AD=1 $。
由折叠的性质可得：$ DH=AD=1 $，$ CG=BC=1 $，小矩形HEFG的竖直边长$ HE=AD=1 $，
∴ 小矩形HEFG的水平边长$ HG = CD - DH - CG = x - 1 - 1 = x - 2 $。
∵ 矩形HEFG与原矩形ABCD相似，对应边成比例，
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{HE}{HG}$，代入得：
$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-2}$
整理得一元二次方程：$ x^2 - 2x - 1 = 0 $
解得：$ x_1=1+\sqrt{2} $，$ x_2=1-\sqrt{2} $（边长为正，不符合题意舍去）。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
折叠的性质，相似多边形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题将折叠变换与相似多边形的性质结合考查，解题的核心是准确利用折叠性质表示出小矩形的边长，再根据相似的比例关系列方程求解，解题时需注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.65
5. 已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且$a+b+c=69$，$\frac{a}{6}=\frac{b}{8}=\frac{c}{9}$，求$△ ABC$的三边长。
答案
5. 解:设$\frac{a}{6}=\frac{b}{8}=\frac{c}{9}=x$,则$a=6x,b=8x,c=9x$。
$\because a+b+c=69,\therefore 6x+8x+9x=69$,解得$x=3$,
$\therefore a=6x=18,b=8x=24,c=9x=27$。
$\therefore △ABC$的三边长为18,24,27。
$\because a+b+c=69,\therefore 6x+8x+9x=69$,解得$x=3$,
$\therefore a=6x=18,b=8x=24,c=9x=27$。
$\therefore △ABC$的三边长为18,24,27。
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，可通过设比值为参数的方法，将多个未知量用同一个参数表示，实现消元。本题中先设$\frac{a}{6}=\frac{b}{8}=\frac{c}{9}=x$，即可用含x的代数式分别表示a、b、c，再结合题目给出的三边和为69的条件，列出关于x的一元一次方程，求解得到x的值后，回代即可求出三边的长度。
【解析】
解：设$\frac{a}{6}=\frac{b}{8}=\frac{c}{9}=x$，则$a=6x$，$b=8x$，$c=9x$。
$\because a+b+c=69$，
$\therefore 6x+8x+9x=69$，
合并同类项得$23x=69$，
解得$x=3$。
$\therefore a=6x=6×3=18$，$b=8x=8×3=24$，$c=9x=9×3=27$，经检验三边长符合三角形三边关系。
【答案】
$△ ABC$的三边长为18，24，27。
【知识点】
比例的性质；一元一次方程的应用；三角形周长计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，核心考查连比问题的设参技巧，结合周长条件列方程求解即可，计算量小，解题逻辑清晰，是巩固比例应用和方程知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式时，可通过设比值为参数的方法，将多个未知量用同一个参数表示，实现消元。本题中先设$\frac{a}{6}=\frac{b}{8}=\frac{c}{9}=x$，即可用含x的代数式分别表示a、b、c，再结合题目给出的三边和为69的条件，列出关于x的一元一次方程，求解得到x的值后，回代即可求出三边的长度。
【解析】
解：设$\frac{a}{6}=\frac{b}{8}=\frac{c}{9}=x$，则$a=6x$，$b=8x$，$c=9x$。
$\because a+b+c=69$，
$\therefore 6x+8x+9x=69$，
合并同类项得$23x=69$，
解得$x=3$。
$\therefore a=6x=6×3=18$，$b=8x=8×3=24$，$c=9x=9×3=27$，经检验三边长符合三角形三边关系。
【答案】
$△ ABC$的三边长为18，24，27。
【知识点】
比例的性质；一元一次方程的应用；三角形周长计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，核心考查连比问题的设参技巧，结合周长条件列方程求解即可，计算量小，解题逻辑清晰，是巩固比例应用和方程知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
6. 已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{8}$，$a+2c-2b=4$。
求：(1)$a+b+c$的值；
(2)$\frac{2a+5b - c}{a+b+c}$的值。
求：(1)$a+b+c$的值；
(2)$\frac{2a+5b - c}{a+b+c}$的值。
答案
6. 解:设$\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{8}=k$,则$a=2k,b=5k,c=8k$。
$\because a+2c-2b=4,\therefore 2k+2×8k-2×5k=4$,
$\therefore 8k=4$,解得$k=\frac{1}{2}$,
$\therefore a=2×\frac{1}{2}=1,b=5×\frac{1}{2}=\frac{5}{2},c=8×\frac{1}{2}=4$。
(1)$a+b+c=1+\frac{5}{2}+4=\frac{15}{2}$。
(2)$\frac{2a+5b-c}{a+b+c}=\frac{7}{5}$。
$\because a+2c-2b=4,\therefore 2k+2×8k-2×5k=4$,
$\therefore 8k=4$,解得$k=\frac{1}{2}$,
$\therefore a=2×\frac{1}{2}=1,b=5×\frac{1}{2}=\frac{5}{2},c=8×\frac{1}{2}=4$。
(1)$a+b+c=1+\frac{5}{2}+4=\frac{15}{2}$。
(2)$\frac{2a+5b-c}{a+b+c}=\frac{7}{5}$。
解析
【分析】
遇到多个比值相等的连等比例式时，我们通常采用参数法求解：先设公共比值为k，将a、b、c三个未知数都用含k的代数式表示，再代入已知的等式a+2c-2b=4，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后就能求出a、b、c的具体数值，最后代入所求的两个式子计算即可。
【解析】
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{8}=k$，则$a=2k$，$b=5k$，$c=8k$。
$\because a+2c-2b=4$，
$\therefore$ 代入得$2k + 2×8k - 2×5k = 4$，
化简得$8k=4$，解得$k=\frac{1}{2}$。
$\therefore a=2×\frac{1}{2}=1$，$b=5×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$c=8×\frac{1}{2}=4$。
(1) 计算$a+b+c$：
$a+b+c=1+\frac{5}{2}+4=\frac{2+5+8}{2}=\frac{15}{2}$。
(2) 先计算分子$2a+5b - c$：
$2a+5b - c=2×1 + 5×\frac{5}{2} - 4=2+\frac{25}{2}-4=\frac{21}{2}$，
结合(1)的结果$a+b+c=\frac{15}{2}$，可得：
$\frac{2a+5b - c}{a+b+c}=\frac{\frac{21}{2}}{\frac{15}{2}}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{15}{2}$；(2) $\frac{7}{5}$
【知识点】
比例的性质；代数式求值；一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例计算的基础典型题，核心解题技巧是连比设参数法，通过引入公共参数将多个未知量转化为单一参数求解，大幅简化计算过程，计算时需注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
遇到多个比值相等的连等比例式时，我们通常采用参数法求解：先设公共比值为k，将a、b、c三个未知数都用含k的代数式表示，再代入已知的等式a+2c-2b=4，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后就能求出a、b、c的具体数值，最后代入所求的两个式子计算即可。
【解析】
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{8}=k$，则$a=2k$，$b=5k$，$c=8k$。
$\because a+2c-2b=4$，
$\therefore$ 代入得$2k + 2×8k - 2×5k = 4$，
化简得$8k=4$，解得$k=\frac{1}{2}$。
$\therefore a=2×\frac{1}{2}=1$，$b=5×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$c=8×\frac{1}{2}=4$。
(1) 计算$a+b+c$：
$a+b+c=1+\frac{5}{2}+4=\frac{2+5+8}{2}=\frac{15}{2}$。
(2) 先计算分子$2a+5b - c$：
$2a+5b - c=2×1 + 5×\frac{5}{2} - 4=2+\frac{25}{2}-4=\frac{21}{2}$，
结合(1)的结果$a+b+c=\frac{15}{2}$，可得：
$\frac{2a+5b - c}{a+b+c}=\frac{\frac{21}{2}}{\frac{15}{2}}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{15}{2}$；(2) $\frac{7}{5}$
【知识点】
比例的性质；代数式求值；一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例计算的基础典型题，核心解题技巧是连比设参数法，通过引入公共参数将多个未知量转化为单一参数求解，大幅简化计算过程，计算时需注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
7. 矩形$OABC ∽$矩形$ODEF$，它们的相似比为$\frac{3}{2}$，这两个矩形在平面直角坐标系中的位置如图 3-1-10 所示。已知点 B 的坐标为$(9,6)$，求点 E 的坐标。
答案
7. 解:$\because$矩形$OABC∽$矩形$ODEF$,它们的相似比为$\frac{3}{2}$,
$\therefore \frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OF}=\frac{3}{2}$。
$\because$点B的坐标为$(9,6)$,
$\therefore OA=9,OC=6,\therefore \frac{9}{OD}=\frac{6}{OF}=\frac{3}{2},\therefore OD=6,OF=4$,
$\therefore$点E的坐标为$(-4,-6)$。
$\therefore \frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OF}=\frac{3}{2}$。
$\because$点B的坐标为$(9,6)$,
$\therefore OA=9,OC=6,\therefore \frac{9}{OD}=\frac{6}{OF}=\frac{3}{2},\therefore OD=6,OF=4$,
$\therefore$点E的坐标为$(-4,-6)$。
解析
【分析】
解题时先从已知点B的坐标入手，结合矩形对边相等的性质，得到矩形OABC的两条邻边OA、OC的长度；再根据相似多边形对应边成比例的性质，结合给出的相似比，求出矩形ODEF的两条邻边OD、OF的长度；最后根据点E在第三象限的位置特征，结合矩形顶点的坐标规律确定点E的坐标，注意第三象限内点的横、纵坐标均为负数。
【解析】
$\because$ 矩形$OABC ∽$ 矩形$ODEF$，相似比为$\frac{3}{2}$，
$\therefore$ 两个矩形对应边的比为$\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OF}=\frac{3}{2}$。
$\because$ 四边形$OABC$是矩形，点$B$的坐标为$(9,6)$，
$\therefore OA=9$，$OC=6$。
将$OA=9$，$OC=6$代入比例式得：$\frac{9}{OD}=\frac{3}{2}$，$\frac{6}{OF}=\frac{3}{2}$，
解得：$OD=6$，$OF=4$。
$\because$ 点$E$在第三象限，矩形$ODEF$中，点$E$的横坐标与点F横坐标相同，纵坐标与点D纵坐标相同，F在x轴负半轴，D在y轴负半轴，
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(-4,-6)$。
【答案】
点$E$的坐标为$\boldsymbol{(-4,-6)}$
【知识点】
相似多边形的性质；矩形的性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础的几何与坐标系结合题型，解题的关键是明确相似多边形的对应边比例关系，同时注意坐标系中不同象限点的坐标符号，避免因混淆对应边关系或符号出错导致失分。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知点B的坐标入手，结合矩形对边相等的性质，得到矩形OABC的两条邻边OA、OC的长度；再根据相似多边形对应边成比例的性质，结合给出的相似比，求出矩形ODEF的两条邻边OD、OF的长度；最后根据点E在第三象限的位置特征，结合矩形顶点的坐标规律确定点E的坐标，注意第三象限内点的横、纵坐标均为负数。
【解析】
$\because$ 矩形$OABC ∽$ 矩形$ODEF$，相似比为$\frac{3}{2}$，
$\therefore$ 两个矩形对应边的比为$\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OF}=\frac{3}{2}$。
$\because$ 四边形$OABC$是矩形，点$B$的坐标为$(9,6)$，
$\therefore OA=9$，$OC=6$。
将$OA=9$，$OC=6$代入比例式得：$\frac{9}{OD}=\frac{3}{2}$，$\frac{6}{OF}=\frac{3}{2}$，
解得：$OD=6$，$OF=4$。
$\because$ 点$E$在第三象限，矩形$ODEF$中，点$E$的横坐标与点F横坐标相同，纵坐标与点D纵坐标相同，F在x轴负半轴，D在y轴负半轴，
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(-4,-6)$。
【答案】
点$E$的坐标为$\boldsymbol{(-4,-6)}$
【知识点】
相似多边形的性质；矩形的性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础的几何与坐标系结合题型，解题的关键是明确相似多边形的对应边比例关系，同时注意坐标系中不同象限点的坐标符号，避免因混淆对应边关系或符号出错导致失分。
【难度系数】
0.7
