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7. 在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$和$AC$上的点，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AE=6\ \mathrm{cm}$，$EC=5\ \mathrm{cm}$，且$AD$，$BD$，$AE$，$EC$是成比例的线段，求$AD$的长。
答案
7. 解: $\because \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$,即$\frac{AD}{AB-AD}=\frac{AE}{EC}$,
$\therefore \frac{AD}{12-AD}=\frac{6}{5},\therefore AD=\frac{72}{11}\ \mathrm{cm}$。
$\therefore \frac{AD}{12-AD}=\frac{6}{5},\therefore AD=\frac{72}{11}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
首先根据成比例线段的定义，按题目给出的线段顺序可得比例式$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$；再结合线段和差关系，$BD=AB-AD$，已知$AB$、$AE$、$EC$的长度，将已知量代入比例式，即可得到关于$AD$的方程，解方程后验证结果为正数，符合线段长度的要求即可。
【解析】
$\because$ $AD$，$BD$，$AE$，$EC$是成比例的线段，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，
又$\because BD=AB-AD$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AE=6\ \mathrm{cm}$，$EC=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$ 代入得$\frac{AD}{12-AD}=\frac{6}{5}$，
交叉相乘得：$5AD=6×(12-AD)$，
展开整理得：$5AD=72-6AD$，
$11AD=72$，
解得$AD=\frac{72}{11}\ \mathrm{cm}$，经检验符合线段长度要求。
【答案】
$\frac{72}{11}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 成比例线段的定义
2. 列方程解几何问题
【点评】
本题是成比例线段的基础应用题，解题的核心是准确把握成比例线段的顺序性，避免因比例顺序颠倒出错，同时要注意求解后的结果需符合线段长度为正的实际意义。
【难度系数】
0.75
首先根据成比例线段的定义，按题目给出的线段顺序可得比例式$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$；再结合线段和差关系，$BD=AB-AD$，已知$AB$、$AE$、$EC$的长度，将已知量代入比例式，即可得到关于$AD$的方程，解方程后验证结果为正数，符合线段长度的要求即可。
【解析】
$\because$ $AD$，$BD$，$AE$，$EC$是成比例的线段，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，
又$\because BD=AB-AD$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AE=6\ \mathrm{cm}$，$EC=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$ 代入得$\frac{AD}{12-AD}=\frac{6}{5}$，
交叉相乘得：$5AD=6×(12-AD)$，
展开整理得：$5AD=72-6AD$，
$11AD=72$，
解得$AD=\frac{72}{11}\ \mathrm{cm}$，经检验符合线段长度要求。
【答案】
$\frac{72}{11}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 成比例线段的定义
2. 列方程解几何问题
【点评】
本题是成比例线段的基础应用题，解题的核心是准确把握成比例线段的顺序性，避免因比例顺序颠倒出错，同时要注意求解后的结果需符合线段长度为正的实际意义。
【难度系数】
0.75
8. 如图 3-1-5, 在 $□ ABCD$ 中, $E,F$ 分别为边 $BC,AD$ 上的点, 连接 $EF$。若 $□ ABCD ∽ □ AFEB,AF=2,AD=4$, 求 $AB$ 的长。
答案
8. 解: $\because ▱ABCD∽▱AFEB$,
$\therefore \frac{AB}{AF}=\frac{AD}{AB},\therefore AB^2=AD· AF$。
$\because AF=2,AD=4,\therefore AB^2=8$,
$\therefore AB=2\sqrt{2}$ 或 $AB=-2\sqrt{2}$(舍去),
$\therefore AB$ 的长为 $2\sqrt{2}$。
$\therefore \frac{AB}{AF}=\frac{AD}{AB},\therefore AB^2=AD· AF$。
$\because AF=2,AD=4,\therefore AB^2=8$,
$\therefore AB=2\sqrt{2}$ 或 $AB=-2\sqrt{2}$(舍去),
$\therefore AB$ 的长为 $2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例。先明确两个相似平行四边形的对应边：▱ABCD与▱AFEB相似，对应边AB对应AF、AD对应AB；再根据对应边成比例列出比例式，代入已知的AF、AD长度求解，最后结合线段长度为正数的要求舍去负根即可得到结果。
【解析】
解：$\because ▱ABCD∽▱AFEB$，
$\therefore$ 相似平行四边形的对应边成比例，即$\frac{AB}{AF}=\frac{AD}{AB}$，
$\therefore AB^2=AD· AF$。
$\because AF=2,AD=4$，
$\therefore AB^2=4×2=8$，
解得$AB=2\sqrt{2}$ 或 $AB=-2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
相似多边形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题考查相似多边形性质的基础应用，解题关键是准确找到相似图形的对应边，列比例式计算后要注意结合实际意义舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例。先明确两个相似平行四边形的对应边：▱ABCD与▱AFEB相似，对应边AB对应AF、AD对应AB；再根据对应边成比例列出比例式，代入已知的AF、AD长度求解，最后结合线段长度为正数的要求舍去负根即可得到结果。
【解析】
解：$\because ▱ABCD∽▱AFEB$，
$\therefore$ 相似平行四边形的对应边成比例，即$\frac{AB}{AF}=\frac{AD}{AB}$，
$\therefore AB^2=AD· AF$。
$\because AF=2,AD=4$，
$\therefore AB^2=4×2=8$，
解得$AB=2\sqrt{2}$ 或 $AB=-2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
相似多边形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题考查相似多边形性质的基础应用，解题关键是准确找到相似图形的对应边，列比例式计算后要注意结合实际意义舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 把矩形ABCD按如图3-1-6所示的方式折叠，使AB落在AD上，点B落在点F处，折痕为AE。若四边形FDCE与矩形ABCD恰好相似，则当AB=1时，AD的长为
图3-1-6
9. 把矩形ABCD按如图3-1-6所示的方式折叠，使AB落在AD上，点B落在点F处，折痕为AE。若四边形FDCE与矩形ABCD恰好相似，则当AB=1时，AD的长为
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
。图3-1-6
答案
9.$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
首先设AD的长为x，先利用折叠的性质得到AF=AB=1，进而表示出FD的长度为x-1；再根据矩形的性质可判断四边形FDCE也是矩形，且CD=AB=1；最后利用相似多边形对应边成比例的性质列出方程，求解方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到AD的长。
【解析】
设AD的长为$x$，
∵ 四边形ABCD是矩形，$AB=1$，
∴ $CD=AB=1$，$∠ D=∠ C=∠ B=90°$，
由折叠的性质可知：$AF=AB=1$，$∠ AFE=∠ B=90°$，
∴ $∠ DFE=90°$，即四边形FDCE是矩形，且$FD=AD-AF=x-1$，
∵ 四边形FDCE与矩形ABCD相似，
∴ 对应边成比例，即$\frac{FD}{AB}=\frac{CD}{AD}$，
代入边长得$\frac{x-1}{1}=\frac{1}{x}$，
整理得$x^2 -x -1=0$，
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；相似多边形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是找准相似多边形的对应边，正确列出比例方程，求解时要注意结合线段的实际意义舍去不合理的根。
【难度系数】
0.6
首先设AD的长为x，先利用折叠的性质得到AF=AB=1，进而表示出FD的长度为x-1；再根据矩形的性质可判断四边形FDCE也是矩形，且CD=AB=1；最后利用相似多边形对应边成比例的性质列出方程，求解方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到AD的长。
【解析】
设AD的长为$x$，
∵ 四边形ABCD是矩形，$AB=1$，
∴ $CD=AB=1$，$∠ D=∠ C=∠ B=90°$，
由折叠的性质可知：$AF=AB=1$，$∠ AFE=∠ B=90°$，
∴ $∠ DFE=90°$，即四边形FDCE是矩形，且$FD=AD-AF=x-1$，
∵ 四边形FDCE与矩形ABCD相似，
∴ 对应边成比例，即$\frac{FD}{AB}=\frac{CD}{AD}$，
代入边长得$\frac{x-1}{1}=\frac{1}{x}$，
整理得$x^2 -x -1=0$，
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；相似多边形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是找准相似多边形的对应边，正确列出比例方程，求解时要注意结合线段的实际意义舍去不合理的根。
【难度系数】
0.6
10. 如图3-1-7，将A4纸折叠2次，第一次的折痕与A4纸较长的边重合；如图3-1-8，将1张A4纸对折，使其较长边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸。
(1)A4纸较长边与较短边的比为
(2)A4纸与A5纸是不是相似图形？请说明理由。
(1)A4纸较长边与较短边的比为
$\sqrt{2}:1$
。(2)A4纸与A5纸是不是相似图形？请说明理由。
答案
10. 解:(1)$\sqrt{2}:1$
(2)A4纸与A5纸是相似图形。理由如下：
因为 A4 纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$,
所以设 A4 纸较短边为 $a$,则较长边为$\sqrt{2}a$。
因为由题图 3-1-8 可知:A5 纸较长边与 A4 纸较短边重合,较短边等于 A4 纸较长边的一半,
所以 A5 纸较长边为 $a$,较短边为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
所以 A5 纸较长边与较短边的比为 $a:\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}:1$。
所以 A4 纸较长边与较短边的比=A5 纸较长边与较短边的比。
又因为 A4 纸与 A5 纸的四个角均为直角,
所以 A4 纸与 A5 纸是相似图形。
(2)A4纸与A5纸是相似图形。理由如下：
因为 A4 纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$,
所以设 A4 纸较短边为 $a$,则较长边为$\sqrt{2}a$。
因为由题图 3-1-8 可知:A5 纸较长边与 A4 纸较短边重合,较短边等于 A4 纸较长边的一半,
所以 A5 纸较长边为 $a$,较短边为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
所以 A5 纸较长边与较短边的比为 $a:\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}:1$。
所以 A4 纸较长边与较短边的比=A5 纸较长边与较短边的比。
又因为 A4 纸与 A5 纸的四个角均为直角,
所以 A4 纸与 A5 纸是相似图形。
解析
【分析】
(1) 求解A4纸长宽比时，可先设A4纸较短边为a，较长边为b，结合折叠性质和对折得到A5纸的边的对应关系，建立边长的比例等式即可求出比值；
(2) 判断两个多边形是否相似，需同时满足两个条件：①对应角相等；②对应边成比例。因此我们先分别求出A4纸、A5纸的长宽比，再结合纸张的角都是直角的特点，即可判断是否为相似图形。
【解析】
(1) 设A4纸较短边长为a，较长边长为b，结合折叠的性质及A5纸的边长与A4纸边长的对应关系，可得$\frac{b}{a}=\frac{a}{\frac{b}{2}}$，整理得$b^2=2a^2$，因此$\frac{b}{a}=\sqrt{2}$，即较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$。
(2) A4纸与A5纸是相似图形，理由如下：
已知A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$，设A4纸较短边为$a$，则较长边为$\sqrt{2}a$。
由题意可知：A5纸较长边与A4纸较短边重合，较短边等于A4纸较长边的一半，因此A5纸较长边为$a$，较短边为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
计算A5纸较长边与较短边的比为$a:\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}:1$，即A4纸与A5纸的长宽比相等，对应边成比例。
又因为A4纸和A5纸的四个角均为直角，对应角相等，满足相似多边形的判定条件，因此A4纸与A5纸是相似图形。
【答案】
(1) $\sqrt{2}:1$
(2) 是相似图形，理由见解析
【知识点】
相似多边形的判定，比例的计算，折叠的性质
【点评】
本题结合生活中常见的A系列纸张考查相似图形的相关知识，解题的核心是掌握相似多边形的判定条件，同时需要结合实际找到A4、A5纸张的边长对应关系，题目贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 求解A4纸长宽比时，可先设A4纸较短边为a，较长边为b，结合折叠性质和对折得到A5纸的边的对应关系，建立边长的比例等式即可求出比值；
(2) 判断两个多边形是否相似，需同时满足两个条件：①对应角相等；②对应边成比例。因此我们先分别求出A4纸、A5纸的长宽比，再结合纸张的角都是直角的特点，即可判断是否为相似图形。
【解析】
(1) 设A4纸较短边长为a，较长边长为b，结合折叠的性质及A5纸的边长与A4纸边长的对应关系，可得$\frac{b}{a}=\frac{a}{\frac{b}{2}}$，整理得$b^2=2a^2$，因此$\frac{b}{a}=\sqrt{2}$，即较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$。
(2) A4纸与A5纸是相似图形，理由如下：
已知A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$，设A4纸较短边为$a$，则较长边为$\sqrt{2}a$。
由题意可知：A5纸较长边与A4纸较短边重合，较短边等于A4纸较长边的一半，因此A5纸较长边为$a$，较短边为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
计算A5纸较长边与较短边的比为$a:\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}:1$，即A4纸与A5纸的长宽比相等，对应边成比例。
又因为A4纸和A5纸的四个角均为直角，对应角相等，满足相似多边形的判定条件，因此A4纸与A5纸是相似图形。
【答案】
(1) $\sqrt{2}:1$
(2) 是相似图形，理由见解析
【知识点】
相似多边形的判定，比例的计算，折叠的性质
【点评】
本题结合生活中常见的A系列纸张考查相似图形的相关知识，解题的核心是掌握相似多边形的判定条件，同时需要结合实际找到A4、A5纸张的边长对应关系，题目贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.7
