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8. 图3-2-15是由三个边长均为1的小正方形组成的网格，连接AC，AD，AE。小华说：“∠ADB与∠AEB的和为45°。”请判断他的说法是否正确，并说明理由。
答案
8. 解:正确。
理由:已知 $AB=BC=CD=DE=1$,则 $CE=2,CA=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
$\because \frac{CD}{CA}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{CA}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore \frac{CD}{CA}=\frac{CA}{CE}$。
又$\because ∠ACD=∠ECA,\therefore △ACD∽△ECA$。
$\therefore ∠DAC=∠AEB$。
$\because AB=BC,∠B=90°,∴∠ACB=∠BAC=45°$。
$\because ∠ACB=∠ADB+∠DAC$，
$\therefore ∠ADB+∠DAC=45°$。
$\therefore ∠ADB+∠AEB=45°$。
理由:已知 $AB=BC=CD=DE=1$,则 $CE=2,CA=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
$\because \frac{CD}{CA}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{CA}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore \frac{CD}{CA}=\frac{CA}{CE}$。
又$\because ∠ACD=∠ECA,\therefore △ACD∽△ECA$。
$\therefore ∠DAC=∠AEB$。
$\because AB=BC,∠B=90°,∴∠ACB=∠BAC=45°$。
$\because ∠ACB=∠ADB+∠DAC$，
$\therefore ∠ADB+∠DAC=45°$。
$\therefore ∠ADB+∠AEB=45°$。
解析
【分析】
要判断∠ADB与∠AEB的和是否为45°，首先观察图形可知等腰直角△ABC的底角∠ACB=45°，因此我们可以通过角的转化将两个待求和的角与∠ACB建立关联。首先借助勾股定理计算相关线段的长度，验证△ACD和△ECA的边是否成比例，结合公共角证明两三角形相似，将∠AEB转化为∠DAC，再利用三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和）进行代换，即可推导得出两个角的和。
【解析】
解：小华的说法正确，理由如下：
已知小正方形边长均为1，因此$AB=BC=CD=DE=1$，可得$CE=CD+DE=2$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$CA=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
计算边的比例可得：$\frac{CD}{CA}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CA}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\frac{CD}{CA}=\frac{CA}{CE}$。
又$\because ∠ACD=∠ECA$（公共角），
$\therefore △ ACD ∽ △ ECA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\therefore ∠DAC=∠AEB$（相似三角形的对应角相等）。
$\because AB=BC$，$∠B=90°$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ACB=45°$。
$\because ∠ACB$是$△ ACD$的外角，
$\therefore ∠ACB=∠ADB+∠DAC$，
将$∠DAC=∠AEB$代入得：$∠ADB+∠AEB=45°$。
【答案】
小华的说法正确，$∠ ADB+∠ AEB=45°$。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于网格中的角度计算类问题，解题关键是通过计算线段比例构造相似三角形完成角的转化，结合等腰直角三角形的性质和三角形外角定理即可推导结论，能够有效考查学生的几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
要判断∠ADB与∠AEB的和是否为45°，首先观察图形可知等腰直角△ABC的底角∠ACB=45°，因此我们可以通过角的转化将两个待求和的角与∠ACB建立关联。首先借助勾股定理计算相关线段的长度，验证△ACD和△ECA的边是否成比例，结合公共角证明两三角形相似，将∠AEB转化为∠DAC，再利用三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和）进行代换，即可推导得出两个角的和。
【解析】
解：小华的说法正确，理由如下：
已知小正方形边长均为1，因此$AB=BC=CD=DE=1$，可得$CE=CD+DE=2$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$CA=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
计算边的比例可得：$\frac{CD}{CA}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CA}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\frac{CD}{CA}=\frac{CA}{CE}$。
又$\because ∠ACD=∠ECA$（公共角），
$\therefore △ ACD ∽ △ ECA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\therefore ∠DAC=∠AEB$（相似三角形的对应角相等）。
$\because AB=BC$，$∠B=90°$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ACB=45°$。
$\because ∠ACB$是$△ ACD$的外角，
$\therefore ∠ACB=∠ADB+∠DAC$，
将$∠DAC=∠AEB$代入得：$∠ADB+∠AEB=45°$。
【答案】
小华的说法正确，$∠ ADB+∠ AEB=45°$。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于网格中的角度计算类问题，解题关键是通过计算线段比例构造相似三角形完成角的转化，结合等腰直角三角形的性质和三角形外角定理即可推导结论，能够有效考查学生的几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
二、拓展性作业
9. 如图 3-2-16，在四边形 $ABCD$ 和四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 中，$∠ ABC = ∠ A_1B_1C_1$，$∠ BCD = ∠ B_1C_1D_1$，$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$。求证：四边形 $ABCD$ 与四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 相似。
9. 如图 3-2-16，在四边形 $ABCD$ 和四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 中，$∠ ABC = ∠ A_1B_1C_1$，$∠ BCD = ∠ B_1C_1D_1$，$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$。求证：四边形 $ABCD$ 与四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 相似。
答案
9. 证明:连接 $BD,B_1D_1$(图略)。
$\because ∠BCD=∠B_1C_1D_1$,且$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$，
$\therefore △BCD∽△B_1C_1D_1$，
$\therefore ∠CDB=∠C_1D_1B_1,∠C_1B_1D_1=∠CBD,\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$。
$\because ∠ABC=∠A_1B_1C_1,\therefore ∠ABD=∠A_1B_1D_1$，
$\therefore △ABD∽△A_1B_1D_1$，
$\therefore \frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1},∠A=∠A_1,∠ADB=∠A_1D_1B_1$。
$\therefore \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1},∠ADC=∠A_1D_1C_1$。
又$∠A=∠A_1,∠ABC=∠A_1B_1C_1,∠BCD=∠B_1C_1D_1$，
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 与四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 相似。
$\because ∠BCD=∠B_1C_1D_1$,且$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$，
$\therefore △BCD∽△B_1C_1D_1$，
$\therefore ∠CDB=∠C_1D_1B_1,∠C_1B_1D_1=∠CBD,\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$。
$\because ∠ABC=∠A_1B_1C_1,\therefore ∠ABD=∠A_1B_1D_1$，
$\therefore △ABD∽△A_1B_1D_1$，
$\therefore \frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1},∠A=∠A_1,∠ADB=∠A_1D_1B_1$。
$\therefore \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1},∠ADC=∠A_1D_1C_1$。
又$∠A=∠A_1,∠ABC=∠A_1B_1C_1,∠BCD=∠B_1C_1D_1$，
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 与四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 相似。
解析
【分析】
要证明两个四边形相似，需同时满足所有对应角相等、所有对应边成比例的条件。题目已给出两组对应角相等，三组对应边成比例，缺少∠A与∠A₁、∠ADC与∠A₁D₁C₁的相等关系，以及AD与A₁D₁的比例关系。对于多边形类的证明问题，通常可通过连接对角线将其转化为三角形问题求解，因此我们可以连接BD、B₁D₁，先利用两边成比例且夹角相等证明△BCD∽△B₁C₁D₁，得到BD与B₁D₁的比例关系和对应角相等的结论，再结合已知的∠ABC=∠A₁B₁C₁推导得到∠ABD=∠A₁B₁D₁，进而证明△ABD∽△A₁B₁D₁，补全剩余的角相等和边成比例的条件，最终即可证明两个四边形相似。
【解析】
证明：连接$BD,B_1D_1$。
$\because ∠BCD=∠B_1C_1D_1$，且$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$，
$\therefore △BCD∽△B_1C_1D_1$，
$\therefore ∠CDB=∠C_1D_1B_1,∠C_1B_1D_1=∠CBD,\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$。
$\because ∠ABC=∠A_1B_1C_1$，即$∠ ABD + ∠ CBD = ∠ A_1B_1D_1 + ∠ C_1B_1D_1$，
$\therefore ∠ABD=∠A_1B_1D_1$，
又$\because \frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$，
$\therefore △ABD∽△A_1B_1D_1$，
$\therefore \frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1},∠A=∠A_1,∠ADB=∠A_1D_1B_1$。
由此可得：$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$，
且$∠ADC = ∠ADB + ∠CDB = ∠A_1D_1B_1 + ∠C_1D_1B_1 = ∠A_1D_1C_1$。
结合已知条件$∠A=∠A_1,∠ABC=∠A_1B_1C_1,∠BCD=∠B_1C_1D_1$，可知两个四边形的所有对应角相等，所有对应边成比例。
$\therefore$ 四边形$ABCD$与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似。
【答案】
四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似多边形的判定
【点评】
本题考查多边形相似的证明，核心解题方法是通过连接对角线将四边形的相似问题转化为三角形相似的问题，体现了转化的数学思想，有助于理解多边形与三角形之间的联系，掌握将复杂多边形问题拆解为基础三角形问题的解题思路。
【难度系数】
0.6
要证明两个四边形相似，需同时满足所有对应角相等、所有对应边成比例的条件。题目已给出两组对应角相等，三组对应边成比例，缺少∠A与∠A₁、∠ADC与∠A₁D₁C₁的相等关系，以及AD与A₁D₁的比例关系。对于多边形类的证明问题，通常可通过连接对角线将其转化为三角形问题求解，因此我们可以连接BD、B₁D₁，先利用两边成比例且夹角相等证明△BCD∽△B₁C₁D₁，得到BD与B₁D₁的比例关系和对应角相等的结论，再结合已知的∠ABC=∠A₁B₁C₁推导得到∠ABD=∠A₁B₁D₁，进而证明△ABD∽△A₁B₁D₁，补全剩余的角相等和边成比例的条件，最终即可证明两个四边形相似。
【解析】
证明：连接$BD,B_1D_1$。
$\because ∠BCD=∠B_1C_1D_1$，且$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$，
$\therefore △BCD∽△B_1C_1D_1$，
$\therefore ∠CDB=∠C_1D_1B_1,∠C_1B_1D_1=∠CBD,\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$。
$\because ∠ABC=∠A_1B_1C_1$，即$∠ ABD + ∠ CBD = ∠ A_1B_1D_1 + ∠ C_1B_1D_1$，
$\therefore ∠ABD=∠A_1B_1D_1$，
又$\because \frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$，
$\therefore △ABD∽△A_1B_1D_1$，
$\therefore \frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1},∠A=∠A_1,∠ADB=∠A_1D_1B_1$。
由此可得：$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$，
且$∠ADC = ∠ADB + ∠CDB = ∠A_1D_1B_1 + ∠C_1D_1B_1 = ∠A_1D_1C_1$。
结合已知条件$∠A=∠A_1,∠ABC=∠A_1B_1C_1,∠BCD=∠B_1C_1D_1$，可知两个四边形的所有对应角相等，所有对应边成比例。
$\therefore$ 四边形$ABCD$与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似。
【答案】
四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似多边形的判定
【点评】
本题考查多边形相似的证明，核心解题方法是通过连接对角线将四边形的相似问题转化为三角形相似的问题，体现了转化的数学思想，有助于理解多边形与三角形之间的联系，掌握将复杂多边形问题拆解为基础三角形问题的解题思路。
【难度系数】
0.6
10. 阅读下面的材料，并完成相应的任务。
纯几何法验证勾股定理
我们知道，勾股定理:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。勾股定理的验证方法有很多种，著名的有“赵爽弦图法”“总统证法”“毕达哥拉斯法”“青朱出入法”“欧几里得法”等等。下面我们介绍一种纯几何验证法。
如图
，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$ 于点 D，先证明 $△ ACD ∽ △ ABC$，可得 $AC^2 = AD · AB$，再证明 $△ BCD ∽ △ BAC$，可得 $BC^2 = BD · AB$，两式相加即可得勾股定理，这种方法避开了利用拼图和面积法烦琐的证明，不失为一种很好的验证方法。
任务:
(1)根据材料中的方法，请写出完整的证明过程。
(2)如图 3-2-18，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，我们把这样的直角三角形称为“勾股形”。图 3-2-19 是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的矩形 ABCD，若 $a = 3$，$b = 10$，求该矩形的面积。
纯几何法验证勾股定理
我们知道，勾股定理:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。勾股定理的验证方法有很多种，著名的有“赵爽弦图法”“总统证法”“毕达哥拉斯法”“青朱出入法”“欧几里得法”等等。下面我们介绍一种纯几何验证法。
如图
，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$ 于点 D，先证明 $△ ACD ∽ △ ABC$，可得 $AC^2 = AD · AB$，再证明 $△ BCD ∽ △ BAC$，可得 $BC^2 = BD · AB$，两式相加即可得勾股定理，这种方法避开了利用拼图和面积法烦琐的证明，不失为一种很好的验证方法。任务:
(1)根据材料中的方法，请写出完整的证明过程。
(2)如图 3-2-18，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，我们把这样的直角三角形称为“勾股形”。图 3-2-19 是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的矩形 ABCD，若 $a = 3$，$b = 10$，求该矩形的面积。
答案
10. (1)证明:在 $Rt△ABC$ 中,$∠ACB=90°,CD⊥AB$ 于点 D，
$\therefore ∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB$，
$\therefore ∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°$，
$\therefore ∠B=∠ACD,\therefore △ACD∽△ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC},\therefore AC^2=AB·AD$。
同理,$△BCD∽△BAC$，
$\therefore \frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC},\therefore BC^2=BD·AB$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB·AD+BD·AB=AB(AD+BD)=AB^2$。
(2)解:设小正方形的边长为 $x$,则 $BC=a+x=3+x$，
$AB=b+x=10+x,AC=3+10=13$。
在 $Rt△ABC$ 中,$AC^2=BC^2+AB^2$，
$\therefore 13^2=(3+x)^2+(10+x)^2,\therefore x^2+13x=30$。
$\because$ 矩形的面积$=(3+x)(10+x)=x^2+13x+30$，
$\therefore$ 矩形的面积$=30+30=60$。
$\therefore ∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB$，
$\therefore ∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°$，
$\therefore ∠B=∠ACD,\therefore △ACD∽△ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC},\therefore AC^2=AB·AD$。
同理,$△BCD∽△BAC$，
$\therefore \frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC},\therefore BC^2=BD·AB$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB·AD+BD·AB=AB(AD+BD)=AB^2$。
(2)解:设小正方形的边长为 $x$,则 $BC=a+x=3+x$，
$AB=b+x=10+x,AC=3+10=13$。
在 $Rt△ABC$ 中,$AC^2=BC^2+AB^2$，
$\therefore 13^2=(3+x)^2+(10+x)^2,\therefore x^2+13x=30$。
$\because$ 矩形的面积$=(3+x)(10+x)=x^2+13x+30$，
$\therefore$ 矩形的面积$=30+30=60$。
解析
【分析】
(1) 要证明勾股定理，结合材料给出的相似三角形思路推导：首先寻找△ACD和△ABC的相等角，利用两角对应相等证明两三角形相似，由相似三角形对应边成比例得到$AC^2$的表达式，同理推导得到$BC^2$的表达式，将两式相加后对右侧因式分解，即可推导出勾股定理。
(2) 要求矩形面积，先设小正方形边长为x，用含x的代数式表示出直角三角形的两条直角边、斜边，再利用勾股定理列方程，得到$x^2+13x$的值，最后将矩形面积展开为含$x^2+13x$的形式，整体代入计算即可，无需解出x的具体值。
【解析】
(1) 证明：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CD⊥AB$于点D，
$\therefore ∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB$，
$\therefore ∠A+∠B=90°$，$∠A+∠ACD=90°$，
$\therefore ∠B=∠ACD$，$\therefore △ACD∽△ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，$\therefore AC^2=AB·AD$。
同理，$△BCD∽△BAC$，
$\therefore \frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，$\therefore BC^2=BD·AB$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB·AD+BD·AB=AB(AD+BD)=AB^2$。
(2) 解：设小正方形的边长为$x$，则直角三角形的两条直角边长分别为$a+x=3+x$，$b+x=10+x$，斜边长为$a+b=3+10=13$。
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得$AC^2=BC^2+AB^2$，
$\therefore 13^2=(3+x)^2+(10+x)^2$，整理得$x^2+13x=30$。
$\because$ 矩形的面积等于直角三角形两条直角边的乘积，即$(3+x)(10+x)=x^2+13x+30$，
$\therefore$ 矩形的面积$=30+30=60$。
【答案】
(1) 证明见解析，可证得$AC^2+BC^2=AB^2$，勾股定理成立；
(2) $\boxed{60}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；整体代入求值
【点评】
本题围绕勾股定理的证明与应用设置问题，第一问侧重相似三角形知识的运用，需熟练掌握相似的判定条件及性质；第二问结合图形拼接考查计算能力，运用整体代入的思路可简化计算过程，避免不必要的运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明勾股定理，结合材料给出的相似三角形思路推导：首先寻找△ACD和△ABC的相等角，利用两角对应相等证明两三角形相似，由相似三角形对应边成比例得到$AC^2$的表达式，同理推导得到$BC^2$的表达式，将两式相加后对右侧因式分解，即可推导出勾股定理。
(2) 要求矩形面积，先设小正方形边长为x，用含x的代数式表示出直角三角形的两条直角边、斜边，再利用勾股定理列方程，得到$x^2+13x$的值，最后将矩形面积展开为含$x^2+13x$的形式，整体代入计算即可，无需解出x的具体值。
【解析】
(1) 证明：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CD⊥AB$于点D，
$\therefore ∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB$，
$\therefore ∠A+∠B=90°$，$∠A+∠ACD=90°$，
$\therefore ∠B=∠ACD$，$\therefore △ACD∽△ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，$\therefore AC^2=AB·AD$。
同理，$△BCD∽△BAC$，
$\therefore \frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，$\therefore BC^2=BD·AB$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB·AD+BD·AB=AB(AD+BD)=AB^2$。
(2) 解：设小正方形的边长为$x$，则直角三角形的两条直角边长分别为$a+x=3+x$，$b+x=10+x$，斜边长为$a+b=3+10=13$。
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得$AC^2=BC^2+AB^2$，
$\therefore 13^2=(3+x)^2+(10+x)^2$，整理得$x^2+13x=30$。
$\because$ 矩形的面积等于直角三角形两条直角边的乘积，即$(3+x)(10+x)=x^2+13x+30$，
$\therefore$ 矩形的面积$=30+30=60$。
【答案】
(1) 证明见解析，可证得$AC^2+BC^2=AB^2$，勾股定理成立；
(2) $\boxed{60}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；整体代入求值
【点评】
本题围绕勾股定理的证明与应用设置问题，第一问侧重相似三角形知识的运用，需熟练掌握相似的判定条件及性质；第二问结合图形拼接考查计算能力，运用整体代入的思路可简化计算过程，避免不必要的运算错误。
【难度系数】
0.7
