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1. 已知$△ ABC$的三边长是$\sqrt{2},\sqrt{6},2$，与$△ ABC$相似的三角形三边长可能是(
A.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
B.$1,\sqrt{3},\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1,\sqrt{3},\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$1,\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{3}$
A
)。A.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
B.$1,\sqrt{3},\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1,\sqrt{3},\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$1,\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个三角形与△ABC相似，需用到相似三角形的判定定理：三组对应边成比例的两个三角形相似。解题思路如下：第一步，先把△ABC的三边长按从小到大排序，求出三边的最简比；第二步，将每个选项的三边长也按从小到大排序，算出对应三边的比；第三步，对比两个比值是否完全相同，比值相同的即为正确选项。
【解析】
解：先对△ABC的三边长从小到大排序：
∵√2≈1.414，2=√4，√6≈2.449，
∴三边长从小到大依次为√2、2、√6。
将三边同时除以√2化简得三边比：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}:\frac{2}{\sqrt{2}}:\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
逐一分析选项：
A选项：三边长从小到大排序为1、√2、√3，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$，与△ABC三边比完全相等，两三角形相似；
B选项：三边长从小到大排序为$\frac{\sqrt{2}}{2}$、1、√3，三边比为$\sqrt{2}:2:2\sqrt{3}$，与△ABC三边比不一致，排除；
C选项：三边长从小到大排序为1、$\frac{\sqrt{6}}{2}$、√3，三边比为$2:\sqrt{6}:2\sqrt{3}$，与△ABC三边比不一致，排除；
D选项：三边长从小到大排序为$\frac{\sqrt{3}}{3}$、1、√3，三边比为$1:\sqrt{3}:3$，与△ABC三边比不一致，排除。
【答案】
A
【知识点】
1. 相似三角形的判定 2. 二次根式化简 3. 实数大小比较
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题时要注意先对两个三角形的边按大小排序后再验证比例，避免因边的对应顺序错误导致判断失误，计算比值时要将二次根式化简到最简形式，方便对比。
【难度系数】
0.8
要判断哪个三角形与△ABC相似，需用到相似三角形的判定定理：三组对应边成比例的两个三角形相似。解题思路如下：第一步，先把△ABC的三边长按从小到大排序，求出三边的最简比；第二步，将每个选项的三边长也按从小到大排序，算出对应三边的比；第三步，对比两个比值是否完全相同，比值相同的即为正确选项。
【解析】
解：先对△ABC的三边长从小到大排序：
∵√2≈1.414，2=√4，√6≈2.449，
∴三边长从小到大依次为√2、2、√6。
将三边同时除以√2化简得三边比：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}:\frac{2}{\sqrt{2}}:\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
逐一分析选项：
A选项：三边长从小到大排序为1、√2、√3，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$，与△ABC三边比完全相等，两三角形相似；
B选项：三边长从小到大排序为$\frac{\sqrt{2}}{2}$、1、√3，三边比为$\sqrt{2}:2:2\sqrt{3}$，与△ABC三边比不一致，排除；
C选项：三边长从小到大排序为1、$\frac{\sqrt{6}}{2}$、√3，三边比为$2:\sqrt{6}:2\sqrt{3}$，与△ABC三边比不一致，排除；
D选项：三边长从小到大排序为$\frac{\sqrt{3}}{3}$、1、√3，三边比为$1:\sqrt{3}:3$，与△ABC三边比不一致，排除。
【答案】
A
【知识点】
1. 相似三角形的判定 2. 二次根式化简 3. 实数大小比较
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题时要注意先对两个三角形的边按大小排序后再验证比例，避免因边的对应顺序错误导致判断失误，计算比值时要将二次根式化简到最简形式，方便对比。
【难度系数】
0.8
2. 如图3-2-20，点M在BC上，点N在AM上，$CM=CN$，$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CM}$，下列结论正确的是（
A.$△ ABM ∽ △ ACB$
B.$△ ANC ∽ △ AMB$
C.$△ ANC ∽ △ ACM$
D.$△ CMN ∽ △ BCA$
B
）。A.$△ ABM ∽ △ ACB$
B.$△ ANC ∽ △ AMB$
C.$△ ANC ∽ △ ACM$
D.$△ CMN ∽ △ BCA$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形等边对等角的性质得到一组等角，再通过补角的性质推导得到相似所需的一组对应角相等；接下来对给出的比例式进行等量代换，将CM替换为相等的CN，得到两个三角形两组对应边成比例，最后结合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，匹配选项即可得出正确结论。
【解析】
解：$\because CM=CN$，$\therefore ∠ CMN=∠ CNM$（等腰三角形两底角相等）
$\because ∠ CMN + ∠ AMB = 180°$，$∠ CNM + ∠ ANC = 180°$（平角的定义）
$\therefore ∠ AMB = ∠ ANC$（等角的补角相等）
已知$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CM}$，又$\because CM=CN$，将CM替换为CN，可得：
$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}$
在$△ ANC$和$△ AMB$中：
$\begin{cases}\frac{AN}{AM}=\frac{CN}{BM}\\∠ ANC=∠ AMB\end{cases}$
$\therefore △ ANC ∽ △ AMB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定；补角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型考题，解题的核心是合理利用已知的等边条件，完成等角转化和比例式的等量代换，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形等边对等角的性质得到一组等角，再通过补角的性质推导得到相似所需的一组对应角相等；接下来对给出的比例式进行等量代换，将CM替换为相等的CN，得到两个三角形两组对应边成比例，最后结合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，匹配选项即可得出正确结论。
【解析】
解：$\because CM=CN$，$\therefore ∠ CMN=∠ CNM$（等腰三角形两底角相等）
$\because ∠ CMN + ∠ AMB = 180°$，$∠ CNM + ∠ ANC = 180°$（平角的定义）
$\therefore ∠ AMB = ∠ ANC$（等角的补角相等）
已知$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CM}$，又$\because CM=CN$，将CM替换为CN，可得：
$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}$
在$△ ANC$和$△ AMB$中：
$\begin{cases}\frac{AN}{AM}=\frac{CN}{BM}\\∠ ANC=∠ AMB\end{cases}$
$\therefore △ ANC ∽ △ AMB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定；补角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型考题，解题的核心是合理利用已知的等边条件，完成等角转化和比例式的等量代换，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的前提。
【难度系数】
0.7
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ C = ∠ F = 90°$，要使$\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$，只要$\frac{AB}{DE}=$
$\frac{BC}{EF}(或\frac{AC}{DF})$
。答案
3.$\frac{BC}{EF}(或\frac{AC}{DF})$
解析
【分析】
首先明确已知条件：两个三角形均为直角三角形，且直角∠C=∠F=90°，要判定两个直角三角形相似，可调用直角三角形相似的特殊判定规则：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。先确定AB是Rt△ABC的斜边，DE是Rt△DEF的斜边，只需再补充一组对应直角边成比例，即可满足相似判定要求，因此可选择BC与EF对应，或AC与DF对应，得到符合要求的比值。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ C = ∠ F = 90°$，
根据直角三角形相似的判定定理：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。
其中AB是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，DE是$\mathrm{Rt}△ DEF$的斜边，BC、AC是$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边，EF、DF是$\mathrm{Rt}△ DEF$的直角边，
因此当$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$或者$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$时，$\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$。
【答案】
$\frac{BC}{EF}(或\frac{AC}{DF})$
【知识点】
直角三角形相似的判定；相似三角形的判定条件
【点评】
本题属于基础题，主要考查对直角三角形相似判定定理的理解和应用，解题时注意存在两种符合要求的对应边比例，避免漏解。
【难度系数】
0.85
首先明确已知条件：两个三角形均为直角三角形，且直角∠C=∠F=90°，要判定两个直角三角形相似，可调用直角三角形相似的特殊判定规则：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。先确定AB是Rt△ABC的斜边，DE是Rt△DEF的斜边，只需再补充一组对应直角边成比例，即可满足相似判定要求，因此可选择BC与EF对应，或AC与DF对应，得到符合要求的比值。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ C = ∠ F = 90°$，
根据直角三角形相似的判定定理：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。
其中AB是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，DE是$\mathrm{Rt}△ DEF$的斜边，BC、AC是$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边，EF、DF是$\mathrm{Rt}△ DEF$的直角边，
因此当$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$或者$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$时，$\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$。
【答案】
$\frac{BC}{EF}(或\frac{AC}{DF})$
【知识点】
直角三角形相似的判定；相似三角形的判定条件
【点评】
本题属于基础题，主要考查对直角三角形相似判定定理的理解和应用，解题时注意存在两种符合要求的对应边比例，避免漏解。
【难度系数】
0.85
4. 如图3-2-21，四个三角形的顶点都在方格纸的格点上，相似的两个三角形是
①③
。（填序号）答案
4.①③
解析
【分析】
要判断格点上的两个三角形是否相似，因无明确角度条件，优先选择“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理。解题思路如下：第一步，设每个小方格的边长为单位1；第二步，用勾股定理分别计算四个三角形的三条边长；第三步，分别化简每个三角形的三边长度之比；第四步，对比比值，找出三边比完全相等的两个三角形即为相似三角形。
【解析】
设每个小方格的边长为1，利用勾股定理分别计算四个三角形的三边长：
三角形①的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，三边之比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
三角形②的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$3$，三边之比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$；
三角形③的三边长分别为：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$4$，$\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，三边之比为$2\sqrt{2}:4:2\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
三角形④的三边长分别为：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$5$，三边之比为$\sqrt{5}:\sqrt{13}:5$。
可见三角形①和③的三边对应成比例，因此二者相似。
【答案】
①③
【知识点】
1. 勾股定理
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形相似判定的典型题，解题核心是借助勾股定理准确计算各三角形边长，再通过三边比例关系判断相似，掌握相似三角形的判定定理是解题的前提。
【难度系数】
0.7
要判断格点上的两个三角形是否相似，因无明确角度条件，优先选择“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理。解题思路如下：第一步，设每个小方格的边长为单位1；第二步，用勾股定理分别计算四个三角形的三条边长；第三步，分别化简每个三角形的三边长度之比；第四步，对比比值，找出三边比完全相等的两个三角形即为相似三角形。
【解析】
设每个小方格的边长为1，利用勾股定理分别计算四个三角形的三边长：
三角形①的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，三边之比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
三角形②的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$3$，三边之比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$；
三角形③的三边长分别为：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$4$，$\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，三边之比为$2\sqrt{2}:4:2\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
三角形④的三边长分别为：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$5$，三边之比为$\sqrt{5}:\sqrt{13}:5$。
可见三角形①和③的三边对应成比例，因此二者相似。
【答案】
①③
【知识点】
1. 勾股定理
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形相似判定的典型题，解题核心是借助勾股定理准确计算各三角形边长，再通过三边比例关系判断相似，掌握相似三角形的判定定理是解题的前提。
【难度系数】
0.7
5. 如图 3-2-22, 在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中, $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$, 点 $B,D,E$ 在一条直线上, 求证: $△ ABD ∽ △ ACE$。
答案
5. 证明:$\because △ABC$ 和$△ADE$ 中,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
$\therefore △ABC∽ △ADE,\therefore ∠BAC=∠DAE$,
$\therefore ∠BAD=∠CAE$。
$\because \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE},\therefore △ABD∽ △ACE$。
$\therefore △ABC∽ △ADE,\therefore ∠BAC=∠DAE$,
$\therefore ∠BAD=∠CAE$。
$\because \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE},\therefore △ABD∽ △ACE$。
解析
【分析】
要证明$△ ABD ∽ △ ACE$，可按如下思路推导：首先，题目给出$△ ABC$和$△ ADE$的三组对应边成比例，可先依据三边成比例的相似判定定理证明$△ ABC ∽ △ ADE$；再利用相似三角形对应角相等的性质，得到$∠ BAC=∠ DAE$，两个角同时减去公共角$∠ DAC$，即可推出两个目标三角形的夹角$∠ BAD=∠ CAE$；最后对已知的边的比例式变形，得到$△ ABD$和$△ ACE$的两组对应边成比例，结合推出的等角，用两边成比例且夹角相等的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because$在$△ ABC$和$△ ADE$中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$（相似三角形对应角相等），
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
由$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，根据比例的基本性质交叉变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
在$△ ABD$和$△ ACE$中，$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，且$∠ BAD=∠ CAE$，
$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:$\because △ABC$ 和$△ADE$ 中,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
$\therefore △ABC∽ △ADE,\therefore ∠BAC=∠DAE$,
$\therefore ∠BAD=∠CAE$。
$\because \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE},\therefore △ABD∽ △ACE$。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是相似证明的常见基础综合题，核心是灵活运用相似三角形的判定定理和性质，解题的关键在于先通过已知的三边比例证明大三角形相似，再推导角的等量关系和边的比例关系，进而证明目标三角形相似，需要熟练掌握相似相关定理的应用和比例式的变形技巧。
【难度系数】
0.7
要证明$△ ABD ∽ △ ACE$，可按如下思路推导：首先，题目给出$△ ABC$和$△ ADE$的三组对应边成比例，可先依据三边成比例的相似判定定理证明$△ ABC ∽ △ ADE$；再利用相似三角形对应角相等的性质，得到$∠ BAC=∠ DAE$，两个角同时减去公共角$∠ DAC$，即可推出两个目标三角形的夹角$∠ BAD=∠ CAE$；最后对已知的边的比例式变形，得到$△ ABD$和$△ ACE$的两组对应边成比例，结合推出的等角，用两边成比例且夹角相等的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because$在$△ ABC$和$△ ADE$中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$（相似三角形对应角相等），
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
由$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，根据比例的基本性质交叉变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
在$△ ABD$和$△ ACE$中，$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，且$∠ BAD=∠ CAE$，
$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:$\because △ABC$ 和$△ADE$ 中,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
$\therefore △ABC∽ △ADE,\therefore ∠BAC=∠DAE$,
$\therefore ∠BAD=∠CAE$。
$\because \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE},\therefore △ABD∽ △ACE$。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是相似证明的常见基础综合题，核心是灵活运用相似三角形的判定定理和性质，解题的关键在于先通过已知的三边比例证明大三角形相似，再推导角的等量关系和边的比例关系，进而证明目标三角形相似，需要熟练掌握相似相关定理的应用和比例式的变形技巧。
【难度系数】
0.7
6. 已知:如图 3-2-23, ∠ABE = 90°, 且 AB = BC = CD = DE = 1,请认真研究图形与所给条件,然后找出一对相似的三角形,并证明你的猜想。
答案
6. 解:$△ACD∽ △ECA$。证明如下：
由勾股定理得 $AC=\sqrt{2},AD=\sqrt{5},AE=\sqrt{10},\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\frac{DC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AD}{EA}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore \frac{AC}{EC}=\frac{DC}{AC}=\frac{AD}{EA},\therefore △ACD∽ △ECA$。
由勾股定理得 $AC=\sqrt{2},AD=\sqrt{5},AE=\sqrt{10},\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\frac{DC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AD}{EA}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore \frac{AC}{EC}=\frac{DC}{AC}=\frac{AD}{EA},\therefore △ACD∽ △ECA$。
解析
【分析】
要找出相似三角形，结合已知的直角和多条等长线段的条件，我们可以按以下思路推导：①首先利用勾股定理计算出图中AC、AD、AE的长度；②观察有公共角的三角形，初步筛选可能相似的三角形，本题中△ACD和△ECA有公共角∠ACD，优先验证这两个三角形；③分别列出两个三角形的三边长，计算对应边的比值，若三组对应边比值相等，即可证明两三角形相似。
【解析】
猜想$△ ACD ∽ △ ECA$，证明如下：
已知$∠ ABE=90°$，$AB=BC=CD=DE=1$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{1^2+(1+1)^2}=\sqrt{5}$，
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+(1+1+1)^2}=\sqrt{10}$，
且$EC=CD+DE=2$，
计算对应边的比值：
$\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{DC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{AD}{EA}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因此$\frac{AC}{EC}=\frac{DC}{AC}=\frac{AD}{EA}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可证$△ ACD ∽ △ ECA$。
【答案】
$△ ACD ∽ △ ECA$，证明：由勾股定理得 $AC=\sqrt{2},AD=\sqrt{5},AE=\sqrt{10},\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{DC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AD}{EA}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore \frac{AC}{EC}=\frac{DC}{AC}=\frac{AD}{EA},\therefore △ ACD ∽ △ ECA$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 相似三角形的判定
3. 二次根式化简
【点评】
本题是几何基础证明题，解题核心是结合已知条件用勾股定理准确计算各线段长度，再通过验证三边对应成比例证明相似，解题时要注意对应边的匹配，比值需化简为最简形式，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要找出相似三角形，结合已知的直角和多条等长线段的条件，我们可以按以下思路推导：①首先利用勾股定理计算出图中AC、AD、AE的长度；②观察有公共角的三角形，初步筛选可能相似的三角形，本题中△ACD和△ECA有公共角∠ACD，优先验证这两个三角形；③分别列出两个三角形的三边长，计算对应边的比值，若三组对应边比值相等，即可证明两三角形相似。
【解析】
猜想$△ ACD ∽ △ ECA$，证明如下：
已知$∠ ABE=90°$，$AB=BC=CD=DE=1$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{1^2+(1+1)^2}=\sqrt{5}$，
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+(1+1+1)^2}=\sqrt{10}$，
且$EC=CD+DE=2$，
计算对应边的比值：
$\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{DC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{AD}{EA}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因此$\frac{AC}{EC}=\frac{DC}{AC}=\frac{AD}{EA}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可证$△ ACD ∽ △ ECA$。
【答案】
$△ ACD ∽ △ ECA$，证明：由勾股定理得 $AC=\sqrt{2},AD=\sqrt{5},AE=\sqrt{10},\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{DC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AD}{EA}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore \frac{AC}{EC}=\frac{DC}{AC}=\frac{AD}{EA},\therefore △ ACD ∽ △ ECA$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 相似三角形的判定
3. 二次根式化简
【点评】
本题是几何基础证明题，解题核心是结合已知条件用勾股定理准确计算各线段长度，再通过验证三边对应成比例证明相似，解题时要注意对应边的匹配，比值需化简为最简形式，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
7. 如图3-2-24①，$△ ABC$内有任一点$O$，$D$，$E$，$F$分别为$OA$，$OB$，$OC$的中点。
(1)求证：$△ ABC ∽ △ DEF$；
(2)如果点$O$在$△ ABC$的外部（如图3-2-24②），请仿照图3-2-24①画出图形，探讨(1)中的结论是否成立。
图3-2-24
(1)求证：$△ ABC ∽ △ DEF$；
(2)如果点$O$在$△ ABC$的外部（如图3-2-24②），请仿照图3-2-24①画出图形，探讨(1)中的结论是否成立。
图3-2-24
答案
7.(1)证明:$\because D,E,F$ 分别为 $OA,OB,OC$ 的中点,
$\therefore DE,EF,DF$ 分别是$△AOB,△BCO,△AOC$ 的中位线,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,EF=\frac{1}{2}BC,DF=\frac{1}{2}AC$,
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2},\therefore △ABC∽ △DEF$。
(2)解:画出图形如
所示，(1)中的结论成立。理由:$\because D,E,F$ 分别为 $OA,OB,OC$ 的中点,
$\therefore DE,EF,DF$ 分别是 $△AOB,△BCO,△AOC$ 的中位线,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,EF=\frac{1}{2}BC,DF=\frac{1}{2}AC$,
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2},\therefore △ABC∽ △DEF$。
解析
【分析】
(1)要证明两个三角形相似，可通过三边成比例的判定方法推导。已知D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，可利用三角形中位线定理，得到△DEF的三边与△ABC的三边的比例关系，满足三边成比例即可证明相似。
(2)当点O在△ABC外部时，先连接OA、OB、OC，分别取三条线段的中点D、E、F，顺次连接得到△DEF；此时DE、EF、DF仍为对应三角形的中位线，因此仍能得到三组对应边的比相等，故(1)的结论依然成立。
【解析】
(1)证明：
∵ D、E、F分别为OA、OB、OC的中点，
∴ DE是△AOB的中位线，EF是△BOC的中位线，DF是△AOC的中位线，
由三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，
根据三边成比例的两个三角形相似，可得$△ABC∽△DEF$。
(2)画出的图形如所示，(1)中的结论仍然成立，理由如下：
∵ D、E、F分别为OA、OB、OC的中点，
∴ DE是△AOB的中位线，EF是△BOC的中位线，DF是△AOC的中位线，
由三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ $△ABC∽△DEF$。
【答案】
(1)证明：$\because D,E,F$ 分别为 $OA,OB,OC$ 的中点，$\therefore DE,EF,DF$ 分别是$△AOB,△BCO,△AOC$ 的中位线，$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,EF=\frac{1}{2}BC,DF=\frac{1}{2}AC$，$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2},\therefore △ABC∽ △DEF$。
(2)解：画出图形如所示，(1)中的结论成立。理由：$\because D,E,F$ 分别为 $OA,OB,OC$ 的中点，$\therefore DE,EF,DF$ 分别是 $△AOB,△BCO,△AOC$ 的中位线，$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,EF=\frac{1}{2}BC,DF=\frac{1}{2}AC$，$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2},\therefore △ABC∽ △DEF$。
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定
【点评】
本题考查三角形中位线性质和相似三角形的判定，解题核心是利用中位线得到对应边的比例关系，点O在三角形内部或外部都不改变中位线的性质，属于基础题型，需熟练掌握相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.8
(1)要证明两个三角形相似，可通过三边成比例的判定方法推导。已知D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，可利用三角形中位线定理，得到△DEF的三边与△ABC的三边的比例关系，满足三边成比例即可证明相似。
(2)当点O在△ABC外部时，先连接OA、OB、OC，分别取三条线段的中点D、E、F，顺次连接得到△DEF；此时DE、EF、DF仍为对应三角形的中位线，因此仍能得到三组对应边的比相等，故(1)的结论依然成立。
【解析】
(1)证明：
∵ D、E、F分别为OA、OB、OC的中点，
∴ DE是△AOB的中位线，EF是△BOC的中位线，DF是△AOC的中位线，
由三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，
根据三边成比例的两个三角形相似，可得$△ABC∽△DEF$。
(2)画出的图形如
所示，(1)中的结论仍然成立，理由如下：∵ D、E、F分别为OA、OB、OC的中点，
∴ DE是△AOB的中位线，EF是△BOC的中位线，DF是△AOC的中位线，
由三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ $△ABC∽△DEF$。
【答案】
(1)证明：$\because D,E,F$ 分别为 $OA,OB,OC$ 的中点，$\therefore DE,EF,DF$ 分别是$△AOB,△BCO,△AOC$ 的中位线，$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,EF=\frac{1}{2}BC,DF=\frac{1}{2}AC$，$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2},\therefore △ABC∽ △DEF$。
(2)解：画出图形如
所示，(1)中的结论成立。理由：$\because D,E,F$ 分别为 $OA,OB,OC$ 的中点，$\therefore DE,EF,DF$ 分别是 $△AOB,△BCO,△AOC$ 的中位线，$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,EF=\frac{1}{2}BC,DF=\frac{1}{2}AC$，$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2},\therefore △ABC∽ △DEF$。【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定
【点评】
本题考查三角形中位线性质和相似三角形的判定，解题核心是利用中位线得到对应边的比例关系，点O在三角形内部或外部都不改变中位线的性质，属于基础题型，需熟练掌握相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.8
