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8. 如图 3-2-25，$AB=25$，$BC=40$，$AC=20$，$AE=12$，$AD=15$，$DE=24$。
（1）判断$△ ABC$与$△ ADE$是否相似；
（2）若$∠ BAC = 125°$，$∠ EAC = 85°$，求$∠ CAD$的度数。
图 3-2-25
（1）判断$△ ABC$与$△ ADE$是否相似；
（2）若$∠ BAC = 125°$，$∠ EAC = 85°$，求$∠ CAD$的度数。
图 3-2-25
答案
8. 解:(1)$△ABC∽ △ADE$。
$\because$ 在$△ABC$ 中,$AB=25,BC=40,AC=20$;在$△ADE$ 中,$AE=12,AD=15,DE=24$,
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{5}{3},\therefore △ABC∽ △ADE$。
(2)$\because △ABC∽ △ADE,\therefore ∠BAC=∠DAE$,
$\therefore ∠BAE=∠CAD$。
$\because ∠BAC=125°,∠EAC=85°$,
$\therefore ∠BAE=∠BAC-∠EAC=125°-85°=40°$,
$\therefore ∠CAD=40°$。
$\because$ 在$△ABC$ 中,$AB=25,BC=40,AC=20$;在$△ADE$ 中,$AE=12,AD=15,DE=24$,
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{5}{3},\therefore △ABC∽ △ADE$。
(2)$\because △ABC∽ △ADE,\therefore ∠BAC=∠DAE$,
$\therefore ∠BAE=∠CAD$。
$\because ∠BAC=125°,∠EAC=85°$,
$\therefore ∠BAE=∠BAC-∠EAC=125°-85°=40°$,
$\therefore ∠CAD=40°$。
解析
【分析】
（1）要判断△ABC与△ADE是否相似，题目给出了两个三角形的全部边长，因此选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法，只需计算两组三角形对应边的比值，验证三组比值是否相等即可。
（2）求∠CAD的度数时，可先利用相似三角形对应角相等的性质，得到∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠EAC，可推出∠BAE=∠CAD，先计算∠BAE的度数，即可得到∠CAD的度数。
【解析】
（1）△ABC∽△ADE，理由如下：
在△ABC中，$AB=25$，$BC=40$，$AC=20$；在△ADE中，$AE=12$，$AD=15$，$DE=24$。
计算对应边的比值：$\frac{AB}{AD}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{40}{24}=\frac{5}{3}$，$\frac{AC}{AE}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$，
因此$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{5}{3}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ABC∽△ADE$。
（2）
∵$△ABC∽△ADE$，
∴对应角相等，即$∠BAC=∠DAE$，
∴$∠BAC - ∠EAC = ∠DAE - ∠EAC$，即$∠BAE=∠CAD$。
已知$∠BAC=125°$，$∠EAC=85°$，
∴$∠BAE=∠BAC - ∠EAC=125° - 85°=40°$，
∴$∠CAD=∠BAE=40°$。
【答案】
（1）$△ABC∽△ADE$；（2）$∠CAD=40°$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题是相似三角形判定和性质的基础应用题，解题的关键是准确计算边长的比值找到对应关系，再结合角的和差关系推导待求角的度数，整体解题思路清晰，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.7
（1）要判断△ABC与△ADE是否相似，题目给出了两个三角形的全部边长，因此选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法，只需计算两组三角形对应边的比值，验证三组比值是否相等即可。
（2）求∠CAD的度数时，可先利用相似三角形对应角相等的性质，得到∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠EAC，可推出∠BAE=∠CAD，先计算∠BAE的度数，即可得到∠CAD的度数。
【解析】
（1）△ABC∽△ADE，理由如下：
在△ABC中，$AB=25$，$BC=40$，$AC=20$；在△ADE中，$AE=12$，$AD=15$，$DE=24$。
计算对应边的比值：$\frac{AB}{AD}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{40}{24}=\frac{5}{3}$，$\frac{AC}{AE}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$，
因此$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{5}{3}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ABC∽△ADE$。
（2）
∵$△ABC∽△ADE$，
∴对应角相等，即$∠BAC=∠DAE$，
∴$∠BAC - ∠EAC = ∠DAE - ∠EAC$，即$∠BAE=∠CAD$。
已知$∠BAC=125°$，$∠EAC=85°$，
∴$∠BAE=∠BAC - ∠EAC=125° - 85°=40°$，
∴$∠CAD=∠BAE=40°$。
【答案】
（1）$△ABC∽△ADE$；（2）$∠CAD=40°$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题是相似三角形判定和性质的基础应用题，解题的关键是准确计算边长的比值找到对应关系，再结合角的和差关系推导待求角的度数，整体解题思路清晰，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 如图
，AD，$A_1D_1$分别是$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$的中线，且$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$，判断$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$是否相似，并说明理由。
9. 如图
，AD，$A_1D_1$分别是$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$的中线，且$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$，判断$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$是否相似，并说明理由。答案
9. 解:$△ABC∽ △A_1B_1C_1$。理由如下：
如
,延长 $AD$ 到点$M$,使$AM=2AD$,延长 $A_1D_1$到点 $M_1$,使$A_1M_1=2A_1D_1$。$\therefore DM=AD,D_1M_1=A_1D_1$,
$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$。
$\because AD$ 是$△ABC$ 的中线,$\therefore BD=CD$。
在$△ADC$ 和$△MDB$ 中,$\begin{cases} DM=AD, \\ ∠BDM=∠CDA, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌ △MDB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BM=CA,∠M=∠CAD$。
同理得$△A_1D_1C_1≌ △M_1D_1B_1(\mathrm{SAS})$,
$\therefore A_1C_1=M_1B_1,∠D_1M_1B_1=∠C_1A_1D_1$,
$\therefore \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$,
$\therefore △ABM∽ △A_1B_1M_1$,
$\therefore ∠BAM=∠B_1A_1M_1,∠M=∠M_1$,
$\therefore ∠CAD=∠C_1A_1D_1$,
$\therefore ∠BAC=∠B_1A_1C_1$。
$\because \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1},\therefore △ABC∽ △A_1B_1C_1$。
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，已知两组对应边的比相等，只需证明这两组边的夹角相等即可。由于已知条件包含中线的比，可采用倍长中线的常用辅助线方法，将AC、A₁C₁分别转化为与AB、A₁B₁在同一个三角形中的边，先证明构造出的新三角形相似，得到角的等量关系，进而推导出原三角形的夹角∠BAC与∠B₁A₁C₁相等，最后利用两边对应成比例且夹角相等的判定定理证明原三角形相似。
【解析】
解：△ABC∽△A₁B₁C₁，理由如下：
如，延长AD到点M，使AM=2AD，延长A₁D₁到点M₁，使A₁M₁=2A₁D₁。
∴DM=AD，D₁M₁=A₁D₁，$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△MDB中，$\begin{cases} DM=AD, \\ ∠BDM=∠CDA, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM=CA，∠M=∠CAD。
同理得△A₁D₁C₁≌△M₁D₁B₁（SAS），
∴A₁C₁=M₁B₁，∠D₁M₁B₁=∠C₁A₁D₁，
∴$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$，
∴△ABM∽△A₁B₁M₁，
∴∠BAM=∠B₁A₁M₁，∠M=∠M₁，
∴∠CAD=∠C₁A₁D₁，
∴∠BAC=∠B₁A₁C₁。
又
∵$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁。
【答案】
△ABC∽△A₁B₁C₁。理由如下：
如,延长 $AD$ 到点$M$,使$AM=2AD$,延长 $A_1D_1$到点 $M_1$,使$A_1M_1=2A_1D_1$。
$\therefore DM=AD,D_1M_1=A_1D_1$,
$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$。
$\because AD$ 是$△ABC$ 的中线,$\therefore BD=CD$。
在$△ADC$ 和$△MDB$ 中,$\begin{cases} DM=AD, \\ ∠BDM=∠CDA, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌ △MDB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BM=CA,∠M=∠CAD$。
同理得$△A_1D_1C_1≌ △M_1D_1B_1(\mathrm{SAS})$,
$\therefore A_1C_1=M_1B_1,∠D_1M_1B_1=∠C_1A_1D_1$,
$\therefore \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$,
$\therefore △ABM∽ △A_1B_1M_1$,
$\therefore ∠BAM=∠B_1A_1M_1,∠M=∠M_1$,
$\therefore ∠CAD=∠C_1A_1D_1$,
$\therefore ∠BAC=∠B_1A_1C_1$。
$\because \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1},\therefore △ABC∽ △A_1B_1C_1$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；中线的性质
【点评】
本题是含中线的相似证明典型题，核心解题技巧是倍长中线构造全等三角形，将分散的边的比例条件集中到同一组三角形中，通过证明新三角形相似得到角的等量关系，最终推导原三角形相似，需熟练掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
要判断两个三角形是否相似，已知两组对应边的比相等，只需证明这两组边的夹角相等即可。由于已知条件包含中线的比，可采用倍长中线的常用辅助线方法，将AC、A₁C₁分别转化为与AB、A₁B₁在同一个三角形中的边，先证明构造出的新三角形相似，得到角的等量关系，进而推导出原三角形的夹角∠BAC与∠B₁A₁C₁相等，最后利用两边对应成比例且夹角相等的判定定理证明原三角形相似。
【解析】
解：△ABC∽△A₁B₁C₁，理由如下：
如
，延长AD到点M，使AM=2AD，延长A₁D₁到点M₁，使A₁M₁=2A₁D₁。∴DM=AD，D₁M₁=A₁D₁，$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△MDB中，$\begin{cases} DM=AD, \\ ∠BDM=∠CDA, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM=CA，∠M=∠CAD。
同理得△A₁D₁C₁≌△M₁D₁B₁（SAS），
∴A₁C₁=M₁B₁，∠D₁M₁B₁=∠C₁A₁D₁，
∴$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$，
∴△ABM∽△A₁B₁M₁，
∴∠BAM=∠B₁A₁M₁，∠M=∠M₁，
∴∠CAD=∠C₁A₁D₁，
∴∠BAC=∠B₁A₁C₁。
又
∵$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁。
【答案】
△ABC∽△A₁B₁C₁。理由如下：
如
,延长 $AD$ 到点$M$,使$AM=2AD$,延长 $A_1D_1$到点 $M_1$,使$A_1M_1=2A_1D_1$。$\therefore DM=AD,D_1M_1=A_1D_1$,
$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$。
$\because AD$ 是$△ABC$ 的中线,$\therefore BD=CD$。
在$△ADC$ 和$△MDB$ 中,$\begin{cases} DM=AD, \\ ∠BDM=∠CDA, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌ △MDB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BM=CA,∠M=∠CAD$。
同理得$△A_1D_1C_1≌ △M_1D_1B_1(\mathrm{SAS})$,
$\therefore A_1C_1=M_1B_1,∠D_1M_1B_1=∠C_1A_1D_1$,
$\therefore \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$,
$\therefore △ABM∽ △A_1B_1M_1$,
$\therefore ∠BAM=∠B_1A_1M_1,∠M=∠M_1$,
$\therefore ∠CAD=∠C_1A_1D_1$,
$\therefore ∠BAC=∠B_1A_1C_1$。
$\because \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1},\therefore △ABC∽ △A_1B_1C_1$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；中线的性质
【点评】
本题是含中线的相似证明典型题，核心解题技巧是倍长中线构造全等三角形，将分散的边的比例条件集中到同一组三角形中，通过证明新三角形相似得到角的等量关系，最终推导原三角形相似，需熟练掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
10. 如图 3-2-27,正方形 ABCD 的边长为 2, AE=EB,MN=1,线段 MN 的两端点分别在 CB,CD 上滑动,那么当 CM 为何值时,△ADE 与△MNC 相似？
答案
10. 解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形,
$\therefore ∠A=∠C=90°,AB=AD=2$,
$\therefore AE=EB=1,\therefore DE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$\therefore$ 当 $AE:CM=DE:NM$ 时,$\mathrm{Rt}△AED∽ \mathrm{Rt}△CMN$,
即 $1:CM=\sqrt{5}:1$,解得 $CM=\frac{\sqrt{5}}{5}$;
当 $AD:CM=DE:MN$ 时,$\mathrm{Rt}△AED∽ \mathrm{Rt}△CNM$,即 $2:CM=\sqrt{5}:1$,解得 $CM=\frac{2\sqrt{5}}{5}$;
综上所述,当 $CM$ 为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 时,$△ADE$ 与 $△MNC$ 相似。
$\therefore ∠A=∠C=90°,AB=AD=2$,
$\therefore AE=EB=1,\therefore DE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$\therefore$ 当 $AE:CM=DE:NM$ 时,$\mathrm{Rt}△AED∽ \mathrm{Rt}△CMN$,
即 $1:CM=\sqrt{5}:1$,解得 $CM=\frac{\sqrt{5}}{5}$;
当 $AD:CM=DE:MN$ 时,$\mathrm{Rt}△AED∽ \mathrm{Rt}△CNM$,即 $2:CM=\sqrt{5}:1$,解得 $CM=\frac{2\sqrt{5}}{5}$;
综上所述,当 $CM$ 为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 时,$△ADE$ 与 $△MNC$ 相似。
解析
【分析】
这是一道结合正方形性质的相似三角形动点问题，解题思路如下：1. 先利用正方形性质和已知条件求出△ADE的各边长，明确两个三角形都是直角三角形，直角为对应角；2. 由于MN滑动时两个三角形锐角的对应关系不唯一，需分两种情况讨论相似的对应边关系；3. 根据相似三角形对应边成比例分别列方程求解CM的值，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ A=∠ C=90°$，$AD=AB=2$，
∵$AE=EB$，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=1$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
$△ ADE$和$△ MNC$均为直角三角形，$∠ A$与$∠ C$为对应直角，分两种情况讨论相似：
① 当$\mathrm{Rt}△ ADE ∽ \mathrm{Rt}△ CMN$时，对应边成比例：$\frac{AE}{CM}=\frac{DE}{MN}$，
代入$AE=1$，$DE=\sqrt{5}$，$MN=1$，得$\frac{1}{CM}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$CM=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
② 当$\mathrm{Rt}△ ADE ∽ \mathrm{Rt}△ CNM$时，对应边成比例：$\frac{AD}{CM}=\frac{DE}{MN}$，
代入$AD=2$，$DE=\sqrt{5}$，$MN=1$，得$\frac{2}{CM}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$CM=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
当$CM$为$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，$△ ADE$与$△ MNC$相似。
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题考查相似三角形的分类讨论应用，易错点是容易遗漏两种相似的对应情况，解题时需结合直角三角形的特征，明确直角为固定对应角，再对剩余边的对应关系分类讨论即可求解。
【难度系数】
0.7
这是一道结合正方形性质的相似三角形动点问题，解题思路如下：1. 先利用正方形性质和已知条件求出△ADE的各边长，明确两个三角形都是直角三角形，直角为对应角；2. 由于MN滑动时两个三角形锐角的对应关系不唯一，需分两种情况讨论相似的对应边关系；3. 根据相似三角形对应边成比例分别列方程求解CM的值，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ A=∠ C=90°$，$AD=AB=2$，
∵$AE=EB$，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=1$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
$△ ADE$和$△ MNC$均为直角三角形，$∠ A$与$∠ C$为对应直角，分两种情况讨论相似：
① 当$\mathrm{Rt}△ ADE ∽ \mathrm{Rt}△ CMN$时，对应边成比例：$\frac{AE}{CM}=\frac{DE}{MN}$，
代入$AE=1$，$DE=\sqrt{5}$，$MN=1$，得$\frac{1}{CM}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$CM=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
② 当$\mathrm{Rt}△ ADE ∽ \mathrm{Rt}△ CNM$时，对应边成比例：$\frac{AD}{CM}=\frac{DE}{MN}$，
代入$AD=2$，$DE=\sqrt{5}$，$MN=1$，得$\frac{2}{CM}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$CM=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
当$CM$为$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，$△ ADE$与$△ MNC$相似。
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题考查相似三角形的分类讨论应用，易错点是容易遗漏两种相似的对应情况，解题时需结合直角三角形的特征，明确直角为固定对应角，再对剩余边的对应关系分类讨论即可求解。
【难度系数】
0.7
