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1. 下列说法正确的是(
A.每条线段有且仅有一个黄金分割点
B.黄金分割点把一条线段分为两段，其中较长的线段是这条线段的0.618倍
C.若点C是线段AB的黄金分割点，则$AC^2 = AB · BC$
D.以上说法都不对
B
)。A.每条线段有且仅有一个黄金分割点
B.黄金分割点把一条线段分为两段，其中较长的线段是这条线段的0.618倍
C.若点C是线段AB的黄金分割点，则$AC^2 = AB · BC$
D.以上说法都不对
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查黄金分割的相关概念，解题时先回忆黄金分割的定义、黄金分割点的数量、黄金比的取值，再逐一判断每个选项的正误即可。首先明确黄金分割的核心概念：将一条线段分成两部分，使较长部分与整条线段的长度比等于较短部分与较长部分的长度比，该比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，近似等于0.618；一条线段有2个黄金分割点，分别靠近线段的两个端点。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
选项A：每条线段有2个黄金分割点，分别靠近线段的两个端点，因此A错误。
选项B：根据黄金分割的定义，较长线段的长度 = 整条线段长度 × $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ≈ 0.618×整条线段长度，即较长的线段约是这条线段的0.618倍，因此B正确。
选项C：若点C是线段AB的黄金分割点，只有当AC为较长线段时，才有$AC^2 = AB · BC$；如果AC是较短线段，满足的是$BC^2 = AB · AC$，选项未说明AC是较长段，因此C错误。
选项D：因为选项B正确，所以D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 黄金比的取值
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对黄金分割定义的准确理解，做题时要注意黄金分割点的数量、黄金比的常用近似值，以及黄金分割乘积公式成立的前提是对应线段为较长段，避免因漏看条件判断失误。
【难度系数】
0.7
本题考查黄金分割的相关概念，解题时先回忆黄金分割的定义、黄金分割点的数量、黄金比的取值，再逐一判断每个选项的正误即可。首先明确黄金分割的核心概念：将一条线段分成两部分，使较长部分与整条线段的长度比等于较短部分与较长部分的长度比，该比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，近似等于0.618；一条线段有2个黄金分割点，分别靠近线段的两个端点。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
选项A：每条线段有2个黄金分割点，分别靠近线段的两个端点，因此A错误。
选项B：根据黄金分割的定义，较长线段的长度 = 整条线段长度 × $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ≈ 0.618×整条线段长度，即较长的线段约是这条线段的0.618倍，因此B正确。
选项C：若点C是线段AB的黄金分割点，只有当AC为较长线段时，才有$AC^2 = AB · BC$；如果AC是较短线段，满足的是$BC^2 = AB · AC$，选项未说明AC是较长段，因此C错误。
选项D：因为选项B正确，所以D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 黄金比的取值
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对黄金分割定义的准确理解，做题时要注意黄金分割点的数量、黄金比的常用近似值，以及黄金分割乘积公式成立的前提是对应线段为较长段，避免因漏看条件判断失误。
【难度系数】
0.7
2. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉。生活中到处可见黄金分割的美。在设计人体雕像时，使雕像的下部(腰以下)与全部(全身)的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感。如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为(结果保留两位小数)(
A.1.23 m
B.1.24 m
C.1.25 m
D.1.236 m
B
)。A.1.23 m
B.1.24 m
C.1.25 m
D.1.236 m
答案
2.B
解析
【分析】
首先提取题干中的核心比例关系：雕像下部高度与全身高度的比值为0.618，已知全身高度为2m，要求下部高度，可直接根据比例关系列算式计算，最后需严格按照“保留两位小数”的要求对计算结果做四舍五入处理。
【解析】
设雕像下部的高度为$ x $ m，根据题意可列等式：
$\frac{x}{2}=0.618$
解得：$x=2×0.618=1.236$
题目要求结果保留两位小数，观察千分位数字为6，满足“满5进1”的规则，因此$1.236\approx1.24$（m）
符合要求的结果为1.24m，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的应用；近似数的取舍
【点评】
本题结合生活实际场景考查基础比例计算，难度较低，解题核心是准确提取题干给出的比例关系，计算后需注意按要求保留小数位数，避免直接选择未取舍的三位小数结果。
【难度系数】
0.8
首先提取题干中的核心比例关系：雕像下部高度与全身高度的比值为0.618，已知全身高度为2m，要求下部高度，可直接根据比例关系列算式计算，最后需严格按照“保留两位小数”的要求对计算结果做四舍五入处理。
【解析】
设雕像下部的高度为$ x $ m，根据题意可列等式：
$\frac{x}{2}=0.618$
解得：$x=2×0.618=1.236$
题目要求结果保留两位小数，观察千分位数字为6，满足“满5进1”的规则，因此$1.236\approx1.24$（m）
符合要求的结果为1.24m，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的应用；近似数的取舍
【点评】
本题结合生活实际场景考查基础比例计算，难度较低，解题核心是准确提取题干给出的比例关系，计算后需注意按要求保留小数位数，避免直接选择未取舍的三位小数结果。
【难度系数】
0.8
3. 如图3-2-28，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为
图 3-2-28
$(80\sqrt{5}-160)$
cm。（结果保留根号）图 3-2-28
答案
3.$(80\sqrt{5}-160)$
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若点是线段的黄金分割点，靠近线段某一端点时，另一端点到该分割点的线段为较长线段，较长线段与线段总长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中先根据C、D的位置确定对应的较长线段AC、BD的长度，再观察线段的和差关系：$AC+BD=AB+CD$，变形得到$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据黄金分割的定义，黄金比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$：
∵ 点C是靠近点B的黄金分割点，
∴ 较长线段$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
将$AB=80\ \mathrm{cm}$代入，得$AC=80×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$；
∵ 点D是靠近点A的黄金分割点，
∴ 较长线段$BD=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$；
观察线段组成：$AC+BD=(AD+CD)+(CD+BC)=AB+CD$，
变形可得$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算：
$\begin{aligned}CD&=40(\sqrt{5}-1)+40(\sqrt{5}-1)-80\\&=80(\sqrt{5}-1)-80\\&=80\sqrt{5}-80-80\\&=80\sqrt{5}-160\end{aligned}$
【答案】
$(80\sqrt{5}-160)$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题是黄金分割在实际场景中的应用，解题核心是准确判断黄金分割点对应的较长线段，牢记黄金分割的比值，再结合线段的和差关系列式即可，解题时注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
首先回忆黄金分割的定义：若点是线段的黄金分割点，靠近线段某一端点时，另一端点到该分割点的线段为较长线段，较长线段与线段总长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中先根据C、D的位置确定对应的较长线段AC、BD的长度，再观察线段的和差关系：$AC+BD=AB+CD$，变形得到$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据黄金分割的定义，黄金比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$：
∵ 点C是靠近点B的黄金分割点，
∴ 较长线段$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
将$AB=80\ \mathrm{cm}$代入，得$AC=80×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$；
∵ 点D是靠近点A的黄金分割点，
∴ 较长线段$BD=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$；
观察线段组成：$AC+BD=(AD+CD)+(CD+BC)=AB+CD$，
变形可得$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算：
$\begin{aligned}CD&=40(\sqrt{5}-1)+40(\sqrt{5}-1)-80\\&=80(\sqrt{5}-1)-80\\&=80\sqrt{5}-80-80\\&=80\sqrt{5}-160\end{aligned}$
【答案】
$(80\sqrt{5}-160)$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题是黄金分割在实际场景中的应用，解题核心是准确判断黄金分割点对应的较长线段，牢记黄金分割的比值，再结合线段的和差关系列式即可，解题时注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
4. 根据有关测定，当外界气温与人体正常体温的比是黄金比时，人体感到最舒适（人体正常体温约为$37\ °\mathrm{C}$），这个气温大约为
（结果取整数）
$23\ °\mathrm{C}$
。（结果取整数）
答案
4.$23\ °\mathrm{C}$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆黄金比的近似值为0.618，题目明确“外界气温与人体正常体温的比是黄金比”，即舒适气温÷人体正常体温=黄金比，因此直接用人体正常体温37℃乘以黄金比的近似值，最后将计算结果取整数即可得到答案。
【解析】
黄金比的近似值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，设人体感到最舒适的气温为$x\ \mathrm{° C}$，根据题意可列比例式：
$\frac{x}{37}\approx0.618$
计算得：$x\approx37×0.618\approx22.866$
按照要求结果取整数，得$x\approx23$。
【答案】
$23\ °\mathrm{C}$
【知识点】
黄金分割，比例计算，近似数取值
【点评】
本题结合生活场景考查黄金分割的实际应用，解题核心是准确把握题目给出的比例关系，牢记黄金比的近似值后列式计算即可，题目贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆黄金比的近似值为0.618，题目明确“外界气温与人体正常体温的比是黄金比”，即舒适气温÷人体正常体温=黄金比，因此直接用人体正常体温37℃乘以黄金比的近似值，最后将计算结果取整数即可得到答案。
【解析】
黄金比的近似值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，设人体感到最舒适的气温为$x\ \mathrm{° C}$，根据题意可列比例式：
$\frac{x}{37}\approx0.618$
计算得：$x\approx37×0.618\approx22.866$
按照要求结果取整数，得$x\approx23$。
【答案】
$23\ °\mathrm{C}$
【知识点】
黄金分割，比例计算，近似数取值
【点评】
本题结合生活场景考查黄金分割的实际应用，解题核心是准确把握题目给出的比例关系，牢记黄金比的近似值后列式计算即可，题目贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.9
5. 已知 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB=$\sqrt{5}+1$，则 AP 的长为
2或$\sqrt{5}-1$
。答案
5.2或$\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若点把线段分成两条线段，较长线段与原线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，称为黄金比。本题仅说明P是AB的黄金分割点，未明确AP是较长线段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论：①当AP为较长线段时，用AB长度乘黄金比计算AP；②当AP为较短线段时，用AB总长减去较长线段的长度得到AP。
【解析】
黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，分两种情况计算：
1. 若AP为较长线段：
$AP = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
代入$AB=\sqrt{5}+1$得：
$AP=(\sqrt{5}+1)×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{(\sqrt{5})^2-1^2}{2}=\frac{5-1}{2}=2$
2. 若AP为较短线段：
较长线段长度为2，因此：
$AP=AB-2=(\sqrt{5}+1)-2=\sqrt{5}-1$
综上，AP的长为2或$\sqrt{5}-1$。
【答案】
2或$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金分割的定义，二次根式运算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略一条线段有2个黄金分割点，未分类讨论导致漏解，解题时需注意题干是否明确分割点对应的线段长短，同时要熟练掌握黄金比的取值和二次根式的化简方法。
【难度系数】
0.6
首先回忆黄金分割的定义：若点把线段分成两条线段，较长线段与原线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，称为黄金比。本题仅说明P是AB的黄金分割点，未明确AP是较长线段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论：①当AP为较长线段时，用AB长度乘黄金比计算AP；②当AP为较短线段时，用AB总长减去较长线段的长度得到AP。
【解析】
黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，分两种情况计算：
1. 若AP为较长线段：
$AP = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
代入$AB=\sqrt{5}+1$得：
$AP=(\sqrt{5}+1)×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{(\sqrt{5})^2-1^2}{2}=\frac{5-1}{2}=2$
2. 若AP为较短线段：
较长线段长度为2，因此：
$AP=AB-2=(\sqrt{5}+1)-2=\sqrt{5}-1$
综上，AP的长为2或$\sqrt{5}-1$。
【答案】
2或$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金分割的定义，二次根式运算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略一条线段有2个黄金分割点，未分类讨论导致漏解，解题时需注意题干是否明确分割点对应的线段长短，同时要熟练掌握黄金比的取值和二次根式的化简方法。
【难度系数】
0.6
6. 如图 3-2-29,在平面直角坐标系中,$A(0,6)$,$B(14,0)$,$C(14,4)$,点$P$在线段$OB$上运动。当以$P$,$C$,$B$为顶点的三角形和$△ APO$相似时,求点$P$的坐标。
图 3-2-29
图 3-2-29
答案
6. 解:$\because A(0,6),B(14,0),C(14,4)$,
$\therefore OA=6,OB=14,BC=4,BC⊥ OB$,
$\therefore ∠ AOB=∠ OBC=90°$。
当以 $P,C,B$ 为顶点的三角形和$△ APO$相似时，
$\frac{OA}{BC}=\frac{OP}{PB}或\frac{OA}{BP}=\frac{OP}{BC}$,
$\therefore \frac{6}{4}=\frac{OP}{14-OP}或\frac{6}{14-OP}=\frac{OP}{4}$,
解得 $OP=8.4$ 或 $OP=2$ 或 $OP=12$,
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(8.4,0)$或$(2,0)$或$(12,0)$。
$\therefore OA=6,OB=14,BC=4,BC⊥ OB$,
$\therefore ∠ AOB=∠ OBC=90°$。
当以 $P,C,B$ 为顶点的三角形和$△ APO$相似时，
$\frac{OA}{BC}=\frac{OP}{PB}或\frac{OA}{BP}=\frac{OP}{BC}$,
$\therefore \frac{6}{4}=\frac{OP}{14-OP}或\frac{6}{14-OP}=\frac{OP}{4}$,
解得 $OP=8.4$ 或 $OP=2$ 或 $OP=12$,
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(8.4,0)$或$(2,0)$或$(12,0)$。
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系中的相似三角形动点问题，首先明确两个三角形的直角：△APO中∠AOP=90°，△PCB中∠PBC=90°，两个直角为固定对应角，因此相似时其余两组边的对应关系存在两种情况。我们设OP的长为x，则PB=14-x，分别根据两种对应关系列比例式，求解出符合P在线段OB上要求的x值，即可得到点P的坐标。
【解析】
解：由$A(0,6)$，$B(14,0)$，$C(14,4)$可得：
$OA=6$，$OB=14$，$BC=4$，且$BC⊥ x$轴，
$\therefore ∠ AOP=∠ PBC=90°$。
设$OP=x$，则$PB=14-x$（$0＜x＜14$），当$△ APO$和$△ PCB$相似时，分两种情况：
① 当$△ AOP ∽ △ PBC$时，对应边成比例：$\frac{OA}{BP}=\frac{OP}{BC}$，
代入得$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$，整理得$x^2-14x+24=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$，均符合题意；
② 当$△ AOP ∽ △ CBP$时，对应边成比例：$\frac{OA}{BC}=\frac{OP}{PB}$，
代入得$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$，解得$x=8.4$，符合题意。
综上，$OP$的长为2或8.4或12，
∵点P在x轴上，纵坐标为0，
∴可得点P的坐标。
【答案】
$\boldsymbol{(2,0)}$、$\boldsymbol{(8.4,0)}$、$\boldsymbol{(12,0)}$
【知识点】
1.相似三角形的性质 2.坐标与图形性质 3.分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形与平面直角坐标系结合的典型题型，解题时要先确定两个三角形的固定对应角（直角），再分情况讨论剩余边的对应关系，列方程求解，注意验证解是否符合动点的运动范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
本题是平面直角坐标系中的相似三角形动点问题，首先明确两个三角形的直角：△APO中∠AOP=90°，△PCB中∠PBC=90°，两个直角为固定对应角，因此相似时其余两组边的对应关系存在两种情况。我们设OP的长为x，则PB=14-x，分别根据两种对应关系列比例式，求解出符合P在线段OB上要求的x值，即可得到点P的坐标。
【解析】
解：由$A(0,6)$，$B(14,0)$，$C(14,4)$可得：
$OA=6$，$OB=14$，$BC=4$，且$BC⊥ x$轴，
$\therefore ∠ AOP=∠ PBC=90°$。
设$OP=x$，则$PB=14-x$（$0＜x＜14$），当$△ APO$和$△ PCB$相似时，分两种情况：
① 当$△ AOP ∽ △ PBC$时，对应边成比例：$\frac{OA}{BP}=\frac{OP}{BC}$，
代入得$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$，整理得$x^2-14x+24=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$，均符合题意；
② 当$△ AOP ∽ △ CBP$时，对应边成比例：$\frac{OA}{BC}=\frac{OP}{PB}$，
代入得$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$，解得$x=8.4$，符合题意。
综上，$OP$的长为2或8.4或12，
∵点P在x轴上，纵坐标为0，
∴可得点P的坐标。
【答案】
$\boldsymbol{(2,0)}$、$\boldsymbol{(8.4,0)}$、$\boldsymbol{(12,0)}$
【知识点】
1.相似三角形的性质 2.坐标与图形性质 3.分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形与平面直角坐标系结合的典型题型，解题时要先确定两个三角形的固定对应角（直角），再分情况讨论剩余边的对应关系，列方程求解，注意验证解是否符合动点的运动范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
7. 如图 3-2-30, 已知, $∠ MON = 60°$, 点 A 在 OM 边上, $OA = 4$。请在 ON 边上用无刻度的直尺和圆规作出点 B, 使得 OB 与 OA 的比为黄金比, 写出简要说明。
图 3-2-30
图 3-2-30
答案
7. 解:由题意得,$\frac{OB}{OA}=\frac{OB}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,可得 $OB=2\sqrt{5}-2$。
先作线段 $OA$ 的垂直平分线,交线段 $OA$ 于点 $C$,再过点 $A$ 作OA 的垂线 $AD$,以点 $A$ 为圆心,$AC$ 的长为半径画弧,交射线 $AD$ 于点 $E$,连接 $OE$, 可得 $AE=2$, 则 $OE=2\sqrt{5}$。然后以点 $E$ 为圆心,$AE$ 的长为半径画弧,交线段 $OE$ 于点 $F$。最后以点 $O$ 为圆心,$OF$ 的长为半径画弧,交射线 $ON$ 于点 $B$,此时 $OB=2\sqrt{5}-2$。
如答图 3-2-5,点 $B$ 为所求。
解析
【分析】
要作出满足$\frac{OB}{OA}$为黄金比的点B，首先回忆黄金比的数值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，结合已知$OA=4$，可先算出目标OB的长度为$2\sqrt{5}-2$。接下来思考如何用尺规得到该长度的线段：要得到含$\sqrt{5}$的线段，可通过构造直角三角形利用勾股定理实现，OA长为4，取其一半得长度2，构造直角边分别为4和2的直角三角形，斜边即为$2\sqrt{5}$，再将斜边减去长度2即可得到$2\sqrt{5}-2$，最后将该长度转移到ON边上即可得到点B。
【解析】
1. 计算OB长度：由黄金比的定义得$\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，将$OA=4$代入，解得$OB=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$。
2. 作线段OA的垂直平分线，交OA于点C，此时$AC=OC=\frac{1}{2}OA=2$。
3. 过点A作OA的垂线AD。
4. 以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AD于点E，得$AE=AC=2$。
5. 连接OE，在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得$OE=\sqrt{OA^2+AE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
6. 以点E为圆心，AE的长为半径画弧，交线段OE于点F，此时$OF=OE-EF=2\sqrt{5}-2$。
7. 以点O为圆心，OF的长为半径画弧，交射线ON于点B，点B即为所求。
【答案】
由题意得,$\frac{OB}{OA}=\frac{OB}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,可得 $OB=2\sqrt{5}-2$。
先作线段 $OA$ 的垂直平分线,交线段 $OA$ 于点 $C$,再过点 $A$ 作OA 的垂线 $AD$,以点 $A$ 为圆心,$AC$ 的长为半径画弧,交射线 $AD$ 于点 $E$,连接 $OE$, 可得 $AE=2$, 则 $OE=2\sqrt{5}$。然后以点 $E$ 为圆心,$AE$ 的长为半径画弧,交线段 $OE$ 于点 $F$。最后以点 $O$ 为圆心,$OF$ 的长为半径画弧,交射线 $ON$ 于点 $B$,此时 $OB=2\sqrt{5}-2$。
如答图 3-2-5,点 $B$ 为所求。
【知识点】
黄金分割，尺规作图，勾股定理
【点评】
本题综合考查了黄金比的应用、基本尺规作图以及勾股定理的运用，解题核心是通过构造直角三角形得到含根号的目标线段长度，再通过线段的截取和转移得到所求点，较好地考查了几何操作能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要作出满足$\frac{OB}{OA}$为黄金比的点B，首先回忆黄金比的数值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，结合已知$OA=4$，可先算出目标OB的长度为$2\sqrt{5}-2$。接下来思考如何用尺规得到该长度的线段：要得到含$\sqrt{5}$的线段，可通过构造直角三角形利用勾股定理实现，OA长为4，取其一半得长度2，构造直角边分别为4和2的直角三角形，斜边即为$2\sqrt{5}$，再将斜边减去长度2即可得到$2\sqrt{5}-2$，最后将该长度转移到ON边上即可得到点B。
【解析】
1. 计算OB长度：由黄金比的定义得$\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，将$OA=4$代入，解得$OB=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$。
2. 作线段OA的垂直平分线，交OA于点C，此时$AC=OC=\frac{1}{2}OA=2$。
3. 过点A作OA的垂线AD。
4. 以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AD于点E，得$AE=AC=2$。
5. 连接OE，在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得$OE=\sqrt{OA^2+AE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
6. 以点E为圆心，AE的长为半径画弧，交线段OE于点F，此时$OF=OE-EF=2\sqrt{5}-2$。
7. 以点O为圆心，OF的长为半径画弧，交射线ON于点B，点B即为所求。
【答案】
由题意得,$\frac{OB}{OA}=\frac{OB}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,可得 $OB=2\sqrt{5}-2$。
先作线段 $OA$ 的垂直平分线,交线段 $OA$ 于点 $C$,再过点 $A$ 作OA 的垂线 $AD$,以点 $A$ 为圆心,$AC$ 的长为半径画弧,交射线 $AD$ 于点 $E$,连接 $OE$, 可得 $AE=2$, 则 $OE=2\sqrt{5}$。然后以点 $E$ 为圆心,$AE$ 的长为半径画弧,交线段 $OE$ 于点 $F$。最后以点 $O$ 为圆心,$OF$ 的长为半径画弧,交射线 $ON$ 于点 $B$,此时 $OB=2\sqrt{5}-2$。
如答图 3-2-5,点 $B$ 为所求。
【知识点】
黄金分割，尺规作图，勾股定理
【点评】
本题综合考查了黄金比的应用、基本尺规作图以及勾股定理的运用，解题核心是通过构造直角三角形得到含根号的目标线段长度，再通过线段的截取和转移得到所求点，较好地考查了几何操作能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
