8. 黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感。课本上这样定义“黄金分割点”：一般地，如图3-2-31，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比。
(1)如图3-2-31，若$AB=1$，求黄金比$\frac{AC}{AB}$的值。（结果保留根号）
(2)某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图3-2-32，在$△ ABC$中，点D是BC边上一点，AD将$△ ABC$分割成两个三角形（$S_{△ ABD} ＞ S_{△ ACD}$），满足$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}}=\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}$，称AD为$△ ABC$的黄金分割线。
①求证：点D是线段BC的黄金分割点；
②若$△ ABC$的面积为4，请直接写出$△ ACD$的面积。

8.(1)解:设 $AC=x$,则 $BC=1-x$,
根据题意可知$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC},\therefore \frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$,
整理得 $x^2+x-1=0$,
解得 $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(不合题意,舍去),
$\therefore AC=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
(2)①证明:设$△ ABC$ 中 $BC$ 边上的高为 $h$,
$\because \frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}}=\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}},\therefore \frac{\frac{1}{2}CD· h}{\frac{1}{2}BD· h}=\frac{\frac{1}{2}BD· h}{\frac{1}{2}BC· h}$
$\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{BD}{BC},\therefore$ 点 $D$ 是线段 $BC$ 的黄金分割点。
②解:$△ ACD$ 的面积为 $6-2\sqrt{5}$。

【分析】
(1) 要求黄金比，可先设AC的长度为x，由AB=1可得BC=1-x，再根据黄金分割点的定义给出的比例关系列方程，解一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到AC的长度，进而求出黄金比。
(2) ①要证明D是BC的黄金分割点，只需证明$\frac{CD}{BD}=\frac{BD}{BC}$即可。△ACD、△ABD、△ABC是同高的三角形，它们的面积比等于对应底边长的比，结合题中黄金分割线的面积比例关系，将面积比转化为线段比例即可得证。
②根据黄金分割线的面积比例关系，先求出△ABD的面积，再用△ABC的总面积减去△ABD的面积，即可得到△ACD的面积。
【解析】
(1) 解：设$AC=x$，已知$AB=1$，则$BC=1-x$。
根据黄金分割的定义$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，代入得：
$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$
整理得$x^2+x-1=0$
解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（线段长度为正，不合题意，舍去）
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(2) ①证明：设△ABC中BC边上的高为$h$。
由三角形面积公式得：$S_{△ACD}=\frac{1}{2}CD·h$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·h$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·h$。
根据题意$\frac{S_{△ACD}}{S_{△ABD}}=\frac{S_{△ABD}}{S_{△ABC}}$，代入面积表达式约去$\frac{1}{2}h$得：
$\frac{CD}{BD}=\frac{BD}{BC}$
$\therefore$ 点D是线段BC的黄金分割点。
②解：由①可知$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ABC}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，已知$S_{△ABC}=4$，则：
$S_{△ABD}=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$
$\therefore S_{△ACD}=S_{△ABC}-S_{△ABD}=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；(2) ①证明见上述解析；②$6-2\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义，同高三角形面积性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题以黄金分割为背景，从线段的黄金分割点拓展到三角形的黄金分割线，考查了概念的迁移应用能力，解题的关键是掌握同高三角形面积比等于对应底边长的比，能将新定义规则转化为熟悉的比例关系求解。
【难度系数】
0.7

二、拓展性作业
9. 如图3-2-33，在矩形ABCD中，AD＞AB，AD=4，E是AD的黄金分割点(AE＞DE)，G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，点D落在EF上的点H处，则FH的长为。

9.$4\sqrt{5}-8$

【分析】
解题可按照以下思路逐步推导：1. 利用黄金分割的定义先算出AE的长度，再得到DE的长度；2. 根据第一次折叠的性质，结合矩形的特征，判断四边形ABFE是正方形，得到EF=AE；3. 利用第二次折叠的性质得到EH=DE，最终通过FH=EF-EH计算出结果。核心是借助折叠前后对应边相等的性质，把未知线段转化为已知线段的差求解。
【解析】
解：
∵ E是AD的黄金分割点，且AE＞DE，AD=4，
∴ $AE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×4=2\sqrt{5}-2$，
∴ $DE=AD-AE=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}$。
∵ 将△ABE沿BE折叠，点A落在BC边上的F处，
∴ $AE=EF$，$∠ A=∠ BFE=90°$，
又
∵ 四边形ABCD是矩形，$∠ A=∠ ABF=90°$，
∴ 四边形ABFE是矩形，结合$AE=EF$，可证四边形ABFE是正方形，得$EF=AE=2\sqrt{5}-2$。
∵ 将△DEG沿EG折叠，点D落在EF上的H处，
∴ $EH=DE=6-2\sqrt{5}$。
∴ $FH=EF-EH=(2\sqrt{5}-2)-(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}-8$。
【答案】
$4\sqrt{5}-8$
【知识点】
折叠的性质，黄金分割，正方形的判定与性质
【点评】
本题结合折叠变换和黄金分割考查线段长度计算，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等的性质，将所求线段转化为已知线段的差，对几何图形的性质应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

10. 如图 3-2-34，在 $△ ABC$ 纸板中，$AC = 8$，$BC = 4$，$AB = 10$，$P$ 是 $AC$ 上一点，过点 $P$ 沿直线剪下一个与 $△ ABC$ 相似的小三角形纸板，如果有 4 种不同的剪法，那么 $AP$ 长的取值范围是多少？ 图3-2-34

10. 解:如答图 3-2-6,过点 $P$ 作 $PD// AB$ 交 $BC$ 于点 $D$ 或 $PE// BC$ 交 $AB$ 于点 $E$,则$△ PCD∽△ ACB$ 或$△ APE∽△ ACB$,此时 $0＜AP＜8$。

如答图 3-2-7,过点 $P$ 作 $∠ APF=∠ B$ 交 $AB$ 于点 $F$,则$△ APF∽△ ABC$,此时 $0＜AP≤8$。

如答图 3-2-8,过点 $P$ 作$∠ CPG=∠ CBA$ 交 $BC$于 $G$,则$△ CPG∽△ CBA$。
当点 $G$ 与点 $B$ 重合时,$CB^2=CP× CA$,即 $4^2=CP×8$,
$\therefore CP=2,AP=6$。$\therefore 6≤ AP＜8$。
综上所述,如果有 4 种不同的剪法,那么 $AP$ 长的取值范围是 $6≤ AP＜8$。

【分析】
要解决这个问题，我们需要分类讨论所有能剪出与$△ ABC$相似的小三角形的情况，再结合“有4种不同剪法”的条件确定$AP$的取值范围：
1. 首先考虑平行线构造相似的两种情况：过$P$作$AB$的平行线、过$P$作$BC$的平行线，这两种情况只要$P$不与$A$、$C$重合就成立；
2. 再考虑构造角相等得到相似的两种情况：一种是在$AB$边上取交点构造相似，另一种是在$BC$边上取交点构造相似；
3. 重点分析在$BC$边上取交点的情况，当交点刚好与$B$重合时是临界状态，此时可通过相似性质算出$AP$的下限，最终综合4种剪法都存在的条件，得到$AP$的范围。
【解析】
分情况讨论剪法：
1. 如答图3-2-6，①过点$P$作$PD// AB$交$BC$于点$D$，可得$△ PCD ∽ △ ACB$；②过点$P$作$PE// BC$交$AB$于点$E$，可得$△ APE ∽ △ ACB$。这两种剪法只要$P$不与$A$、$C$重合即可成立，对应$0＜AP＜8$。

2. 如答图3-2-7，过点$P$作$∠ APF=∠ B$交$AB$于点$F$，可得$△ APF ∽ △ ABC$。这种剪法$P$在$AC$上任意位置（可与$C$重合）都成立，对应$0＜AP≤8$。

3. 如答图3-2-8，过点$P$作$∠ CPG=∠ CBA$交$BC$于$G$，可得$△ CPG ∽ △ CBA$。
当点$G$与点$B$重合时，是这种剪法存在的临界情况：此时$△ CBP ∽ △ CAB$，根据相似三角形对应边成比例得$CB^2=CP· CA$，代入$CB=4,CA=8$，得$4^2=CP×8$，解得$CP=2$，因此$AP=AC-CP=8-2=6$。
要保证这种剪法存在，需$CP≤2$，即$AP≥6$，同时$P$不能与$C$重合，因此对应$6≤ AP＜8$。

要满足有4种不同的剪法，需以上4种剪法都成立，取范围的交集得$6≤ AP＜8$。
【答案】
$6≤ AP＜8$



【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于相似三角形的实践操作类题型，需要全面梳理所有构造相似三角形的可能情况，尤其要注意第四种剪法的临界位置，避免因漏考虑临界状态导致范围判断错误，对几何图形的分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.4